3.2 分段函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第三章函数 3.2分段函数 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点]分段函数 x-2,x<2 1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 2.函数f(x) 则f(2)= x x的不同取值范围有着不同的 的 A.-1 B.0 C.1 D.2 函数表达式.例如：函数y=|x|与函数y= 2x,x>0 (x,x≥0 3.已知函数f(x) -x,x< 是同一分段函数。 2+1,≤0，若f(a)+ f(1)=0,则实数a的值等于 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别 A.1 B.-1 是各段函数的定义域、值域的 ;各段 C.-1或1 D.-3或3 函数的定义域的交集是 4.已知函数f(x)的对应值如下表所示： [基础自测] 函数y=f(x)的对应值表 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”) 0 3 (1)分段函数由几个函数构成： ( 1x+1,x≤1 3 6 5 2 (2)函数f(x)= 是分段函数 -x十3，x>2 则f汇f(2)]= A.4 B.5 C.6 D.7 (3)分段函数的图象不一定是连续的. ( [0,x0 (4)y=|x-1|与y= 是同一函数， 5.已知函数f(x)= 元，x=0 ,则f(f(f(一1)) x2+1,x<0 ( 的值等于 》 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 春点一 分段函数求值 通性通法 5,x≥0， [例1幻 已知函数f(x) (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的 x2+2x,x<0. 值所在的范围，代入相应的解析式求解。 (1)求f[f(1)]的值； 对于含有多层“f”的问题，要按照“由内 (2)求f(|a-1|)<3,求实数a的取值 到外”的顺序，逐层处理， 范围. (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“” [尝试解答] 脱掉，转化为关于自变量的方程求解. (3)求解函数值的不等式时，直接转化为不等 式求解，也可通过图象求解， ★跟踪训练 x2+1 (x≤0) 1.已知函数f(x) 2 ,则 (x>0) fLf(1)]= A.5 B.-5 C.-2 D.2 25· 高考总复习数学 春点 分段函数的应用 食跟踪训练 [例2]某市居民自来水收费标准如下：每户 2.某市居民生活用电电价实行全市同价，并按 每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当 三档累进递增.第一档：月用电量为0~200 用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某 千瓦时（以下简称度），每度0.5元：第二档： 月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户 该月用水量分别为5x吨、3x吨. 月用电量超过200度但不超过400度时，超 (1)求y关于x的函数； 出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超 (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分 过400度时，超出的部分每度0.8元；若某 别求出甲、乙两户该月的用水量和水费， 户居民9月份的用电量是420度，则该用户 [尝试解答] 9月份应缴电费是 ( A.210元 B.232元 C.236元 D.276元 W/x+1,-1<x< 3.已知函数f(x) ,若实数a 2x,x≥0 满足a=a-D.则f日) 》 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] x+2,x≤0 [x2+1,x≤1 5.已知函数f(x)= ,则不等式 -x+2,x>0 1.设函数f(x) 2 ,则f汇f(3)] x>1 f(x)≥2x的解集是 2 13 B.(-o∞，0] A.5 B.3 c.3 D. 2x,x>0 D.(-∞，2) 2.已知f(x) c(o引 ) 1x2+x-2,x≤1 6.设函数f(x)= ,则 -1g x,x>1 A.-2 B.4 C.2 D.-4 fLf(-4)]= 3.已知函数f(x)= x2+1,x≤ /x+1,x≤1 \-2x,x>0 ,若f(x)= 7.已知函数f(x)= ,若f(x) 1-x2,x>1 10,则x= ( A.-20 B.3 C.-3 D.-5 一3，则x= 4.(多选题)设函数f(x)= |-x,x≤0 2,x>0 x2,x>0 8.已知函数f(x)= ,若f(a)十 x+1,x≤ f(a)=4,则实数a= A.2 B.-2C.4 D.-4 f(1)=0,则实数a的值等于 ·26· 第三章函数 4-x2,(.x>0) ◆ylm 9.已知函数f(x)= 2,(x=0) 1500 1-2x,(x<0) 0 以 x1 x2 x3 x/s 以 A.起跑阶段，甲跑得比乙快 2 B.起跑阶段，甲、乙跑得一样快 Y C.冲刺阶段，甲跑得比乙快 -3-2-10123x -1 D.冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 -2 4.若函数f(x)在闭区间[一1,2]上的图象如 (1)画出函数f(x)的简图（不必列表）； 图所示，则此函数的解析式为 (2)求f(f(3))的值； (3)当-4≤x<3时，求f(x)取值的集合. 2 5.已知f(x)= +10 试求使 -(x-1)2,x>0, f(x)≥-1成立的x的取值范围. [综合题组练] 1.设f(x)= 1-反x≥0，则ff-2)]= 2,x<0 () A.-1 B c司 D. 2.函数f(x)= x2+6,x∈[1,2] x+7,x∈[-1,1] 则f(x)的 最大值和最小值分别为 ( A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.10,7 3.(2023·春招，5)如图新示，在平面直角坐标 系xOy中，分别给出甲、乙同学在1500m 比赛中跑的路程y(m)关于时间x(s)的 函数图象，其中(0，x1)为起跑阶段，(x2,x3) 为冲刺阶段，则下列结论正确的是() ·27·高考总复习数学 突破·高效演练基础题组练 1.C[符号y=f(x),即“y是x的函数”的数学表示，它仅 仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x) 也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙 述，故A、B错误；当y=x时，x=1或x=一1时，y=1, 故D错误.故选C.] 2.D3.C 4.BC[y=E的值域为[0，十∞)，y=二的值域为 √x (0,十∞)，y=的值城为(0，十o∞)，y=x2+1的值城 x 为[1，十∞).] 5.A[由a-x≥0可得x≤a,即f(x)的定义域为(-∞，a], 所以a=1,则实数a的取值集合为{1}，故选A.] 6.D 7.解析：由f(a)=2,得a2-2a-1=2,解得a=-1或 a=3. 答案：-1或3 8.解析：由f(x)=L有意义可知，x2-1>0, √/x2-1 解得x<-1或x>1, 故函数的定义域为{xx>1或x<一1} 答案：{xx>1或x<-1} 9.解析：由梯形的面积公式有10=红士3卫，y,得y=0 2 x (x0). 答案：y 50(x>0) 10.解：由题可知，要使函数有意义，则有 2-≥0，解得≤号或≥3，到有 {x-a>0 (r>a ①当a<号时，f(x)的定义城为 {<≤2或≥3}： 1 ②当2≤a<3时，f(xr)的定义战为{xx≥3； ③当a≥3时，f(x)的定义域为{xx>a}. 综合题组练 1.A[设t=x-1,则x=t十1. :f(x-1)=x2+4x-5, ∴.f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t+6t,∴.f(x)的表达 式是f(x)=x2十6x.故选A.] 2.C[由题意可得4=5-侣，解得m=5,故选C.] 3餐折：为式释化0 解得x(∞，)U(合1) 答案：（∞，）（合）】 4.解：(1)由题意，函数f(x)=√2x一x,要使函数 f(x)=√2x-x有意义，则满足2x一x≥0， 即x2-2x=x(x-2)≤0，解得0≤x≤2， 故函数f(x)的定义域为[0,2]. (2)由(1)知x∈[0,2]，令y=2x-x2=-(x-1)2十1， 当x=1时，ymx=1;当x=0或2时，ymin=0, 所以0≤2x-x≤1，可得0≤√2x-x≤1， 又由a≥f(x)恒成立，得a≥f(x)mx=1, 故a的取值范围为[1，十o). ·2 3.2 梳理·必备知识知识点 1.对应关系2.并集空集 基础自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2A[当无=2时，则f(2)=二之=-1，故选A] 3.B[函数f(x)={2x,x>0 {x2+1,x≤0 若a>0,可得f(a)=-2a,由f(a)十f(1)=0,知-2a 2=0,解得a=-1(舍)； 若a≤0，可得f(a)=a2十1，由f(a)十f(1)=0,知a2十1 -2=0,解得a=1(舍)或a=一1，符合题意， 综上，a=一1.故选B.] 4.D[由表可解f(2)=5,所以ff(2)]=f(5)=7,故 选D.] 0,x>0 5.解析：因为f(x)=π，x=0 ,所以f(-1)=π2十1， (π2+1，x<0 所以f(f(-1)=f(π2十1)=0， 所以f(f(f(-1))=f(0)=元. 故答案为元 答案：π 提升·学科素养 [例1][解](1)因为1>0，所以f(1)=2×1-5=-3,因 为-3<0，所以f[f(1)]=f(-3)=(-3)2十2 ×(-3)=3. (2)因为a-1≥0，则f(a-1)=2a-1-5, 因为f(a-1)<3,所以2a-1-5<3,即a-1<4, 解得-3<a<5. [例2][解](1)当5x≤4，即x≤号时，3<4， 所以y=1.8×(5x十3x)=14.4x. 当5.x>4,3x4, 即号<≤号y=1.8X4+3×(5x-40+1.8×3z 5 =20.4r-48.当3x>4,即>专时， 5x>4,y=1.8×(4+4)+3×(5.x-4)+3×(3x-4) =24x-9.6, 14.红，0区≤号， 综上y= 20.4x-4.8, 4人x么3' 4 24x-9.6>号 (2)由1)知，当0≤≤号时，0长1.52：当号<x≤ 专时，1.52<<2.4：当>专y>2.4所以若 甲，乙两户共交水费26.4元时，x>3, 4 所以24x-9.6=26.4,解得x=1.5,5x=7.5,3x=4.5; 所以甲户用水量为7.5吨，应缴水费1.8×4十3×3.5= 17.7元；乙户用水量为4.5吨，应缴水费1.8×4十 3×0.5=8.7元. 跟踪训练 1.A[:1>0,.f(1)=-2,-2<0,.f(-2)= (-2)十1=5，故B,C,D错误.故选A.] 2.C[依题意可得某户居民9月份的用电量是420度时， 该用户9月份应缴电费为200×0.5十200×0.6十20× 0.8=236元.故选C.] 2 3.解析：由题意得a>0. 当0a<1时，由f(a)=f(a-1),即2a=√a. 解得a=子利了（日）=）=8 当a≥1时，由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解. 答案：8 突破·高效演练基础题组练 1.D2.B 3.C[当x≤0时，由x2十1=10得：x=-3或x=3(舍)： 当x>0时，由-2x=10得：x=-5(舍)；.x=-3.故 选C.] AD由成博a-4我a=2] 5.A[当x>0时，f(x)=-x十2≥2x,解得3.x≤2，所以 0<x≤3；当x≤0时，f(x)=x十2≥2，解得x≤2， 又x≤0，所以x≤0. 综上，原不等式的解集为(-©，号]故选A] 6.解析：f[f(-4)]=f(16-4-2)=f(10)=-1. 答案：一1 7.解析：若x1,由x十1=一3，得x=一4. 若x>1,由1-x2=-3得x2=4,解得x=2或x= -2(舍去). 综上可得，所求x的值为一4或2. 答案：一4或2 8.解析：因为f(1)=2,且f(1)十f(a)=0,所以f(a)= 一2<0，故a0.依题知a十1=一2，解得a=一3. 答案：一3 ,4-x,(x>0) 9.解：(1)由分段函数f(x)= 2,（x=0)可知，函数 (1-2x,(x<0) (x)的简图为 19 -3-2-1013x -1 -2 (2)因为f(3)=4-3=4-9=-5,所以f(f(3) f(-5)=1-2×(-5)=1+10=11. (3)当-4≤x<0时，f(x)=1-2x∈(1,9]； 当x=0时，f(x)=f(0)=2; 当0<x<3时，f(x)=4-x2∈(-5,4)， 所以一当一4x<3时，f(x)取值的集合为（一5,9]. 综合题组练 1.C[由巴知得f(-2)=2=子，ff(-2)]= f(仔）1F=1-=安递c] 2.A[由题意得当1≤x≤2时，7≤f(x)≤10；当-1≤x <1时，6≤f(x)<8. 所以函数f(x)的最大值为10，最小值为6.故选A.] 3.A 4.解析：由题图可知，当一1≤x<0时，f(x)=x十1；当0≤ ≤2时，fu)=-合 ·2 参考答案 1x+1,-1≤x<0 所以f(x)= 1 2x,0≤x≤2 1x十1，-1≤x<0 答案：f(x)= -2x,0≤x≤2 5.解：fx)≥-1， x≤0， 2x+1≥-1：或{-(x-1)2≥一1 1 解得一4x0或0<x2,即一4x2,∴.所求x的 取值范围是[-4,2]. 3.3 梳理·必备知识知识点一 f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增减 知识点二 增函数或减函数单调区间 基础自测 1.(1)×(2)/(3)×(4)×(5)√/ (6)X此单调区间不能用“U”连接，故单调递减区间 为(-∞，0)和(0，十∞). (7)X应对任意的x<x2,f()<fx2)成立才可以. (8)X若f(x)=x,在[1，十o)上为增函数，但y= f(x)的单调递增区间是（一∞，十o). 2A[易知A中y=士-x在(0，十∞)上是减函数， B,C中函数y=x2-x与y=lnx-x在(0，+oo)上不单 调，D中y=e在(0，十o∞)内是增函数.故选A.] 3.A[因为画数f(x)=2是反比例函数，函教图像为一 三象限双曲线，定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，函数在 (一∞，0)和(0，十∞)上单调递减，故函数的单调递减区 间为（一∞，0）和(0，十∞).故选A.] 4.解析：由题图可知函数的单调递增区间为[-1,1]和[5,7门. 答案：[-1,1]，[5,7] 5.解析：因为y=4x一x2十3=-(x-2)2十7， 所以函数y=4x一x2十3，x∈[0,3]的单调递增区间是 [0,2].当x=2时，ymx=7;当x=0时，ymm=3. 答案：[0,2]37 6.解析：因为函数f(x)=(2a一1)x一3是R上的减函数， 所以2a-1<0,解得a<子 1 答案：（-∞，2 提升·学科素养 [例1][证明]设-1<x<x2<0, 则有f)红)(+）厂(+号)) (）卫 由于-1<x1<x2<0,0<x1x2<1,12-1<0,又x1z2 >0,x1-x2<0, 则f(x1)-∫(x2)>0,即f(x1)>f(x),所以函数在 (一1,0)上为减函数. [例2][解]函数的单调递增区间为[-1.5,3)，[5,6)， 单调减区间为[-4，-1.5)，[3,5)，[6,7门. [例3][解]因为f(x)在区间[一2,2]上单调递减，所 以当-2≤x1<x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之 也成立，即若f(x1)>f(x2),则-2≤x1<x2≤2. 一2m2 因为f(1-m)>f(m),所以}-2≤1-m≤2，解得号< (1-mm m2. 43