3.1 函数的概念及其表示方法-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

2.C[设这批台灯的销售单价为x元，则单价提高金额(x 一15)元，其销量为2(x-15)盏，提价后日销售量30-2 (x-15),则销售收入为[30-2(x-15)]x,令[30-2(.x -15)].x>400,即x2-30x+200<0,可化为(x-10)(x -20)<0,解得10x20,又x>15,所以15<x<20. 故这批台灯的销售单价x的取值范围是{x15<x< 20}.1 3.解析：由题意，知x2一4x十3m≥0对一切实数x恒成立， 所以△=(-4)2-4X3m≤0，解得m≥3 、4 答案：m>≥号 4.解：(1)由题意，知x=-1,x=3是方程ax2+bx-a十2 =0的两个根 代入方程有。b十2=0 (a=-1 {8a+36+2=0心{6=2 (2)当b=2时，f(x)=a.x2+2.x-a十2 =(a.x-a+2)(.x+1),a>0, )>0可化为(e)+10>0. ①当4=2≥-1，即4≥1时， a 解集为<-1浅公。} ②当0-2<-1，即0<a<1时， 解集为{xx<a2或x>-1 第三章3.1 梳理·必备知识知识点一 实数集任意一个数x唯一确定x 知识点二 定义域对应关系对应关系不是 知识点三 数学表达式图象表格 基础自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)×(5)× 2.C[由230·解得x>号且≠3.所以已知西数 {x-3≠0， 的定义城为[是3)U3,+∞.] 3.B[对于A,函数y=(√x十I)的定义域为{xx≥一1}， 与函数y=x十1的定义城不同，不是相等函数；对于B, 定义域和对应关系都相同，是相等函数：对于C,函数 y=十1的定义战为(xx≠0}，与画数y=x十1的定 义域不同，不是相等函数；对于D,定义域相同，但对应关 系不同，不是相等函数.门 4.解析：令1=士，则≠0=0)-(）+5· -中，所以a)-i≠0. 答案.5工+1(x≠0) 提升·学科素养 [例1门[解析]对于ABC,每一个x的取值均有唯一的 一个y值与其对应，符合函数定义，则ABC中图象均为 函数图象；对于D,对于每一个x∈(0,2]的取值，都有两 个y值与其对应，不符合函数定义，则D中图象不是函 数图象.故选D. [答案]D [例2][解](1)当且仅当x一2≠0，即x≠2时，函数y =2+32有意义，所以这个函教的定义城为x≠21. ·2 参考答案 (2)要使函数有意义，需x2-2x-3≥0，即(x-3)(x十1) ≥0，所以x≥3或x≤一1，即函数的定义域为{xx≥3 或x≤-1} [例3][解析]①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等 函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是相等函数； ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同，不是相等函 数：④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤f(t)与 g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数 [答案]⑤ [例4][解](1)设f(x)=a.x十b(a≠0)，则f[f(x)]= f(ax+b)=a(ax+b)+b=a'x+ab+b. 又ff(x)]=4x+8,∴.ax十ab十b=4x+8, 即a2=4 6=8，或a-2 1a=2 (a6+b=8解得 3 1b=-8 “f)=2a+号成f)=-2x-8 (2)配凑法：，fW元+1)=x+2V元+1=(W+1), f(x)=x2.又W元+1≥1，.f(x)=x2(x≥1). 换元法：令t=√十1，则x=(t-1)2.由于x≥0， 所以t≥1. 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)+1=t2,所以 f(x)=x(x≥1). 891:2)+f(）=,0将用士特接，得 2()+)=2@ 2x)+f(）=3 联立①②得 1 3 ,解得f(x)=2x 2f()+f)= x (x≠0)，即f(x)的解析式是f(.x)=2x 1(x≠0) 跟踪训练 1.D[A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M,但 N中无与之对应的y;B、C均不满足函数的唯一性，只有 D正确.] 2.解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 {x+6≥0脚化1 (x+1≠0 平x2+x-6≤0 即x≠-1 {(x+3)(x-2)≤0解得-3≤x≤2且x≠-1，即函 数定义域为{x一3x2,且x≠一1} ②》案线高数有意又，则{设产8解得-V而≤≤ √10，且x≠土3，即定义域为{x|一√10≤x≤√10，且 x≠士3}. 3.D[A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取 0:D化简以后为y=t一1.故选D.] 4.(1)解析：设f(x)=a.x2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1得c =1,则f(x)=a.x2+bx+1,f(x+1)-f(x)=[a(x十 1)2+b(x+1)+1]-(a.x2+bx+1)=2a.x+a+b=2.x. 故得侣62。得=16=-1 故得f(x)=x2-x十1. 答案：f(.x)=x-x+1 (2)解：配凑法：f(x十1)=x2-3x十2=(x十1)2-5.x +1=(x+1)2-5(x+1)+6,.f(x)=x2-5.x+6. 换元法：令t=x+1,则x=1-1,.f(t)=(t-1)2-3(t -1)+2=t2-5t+6,即f(x)=x2-5.x+6. (3)解：f(x)+2f(一x)=x+2x,①∴.将x换成一x,得 f(-x)十2f(x)=x2-2x.② 由①@得3f)=t-6f)=合-2x 高考总复习数学 突破·高效演练基础题组练 1.C[符号y=f(x),即“y是x的函数”的数学表示，它仅 仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x) 也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙 述，故A、B错误；当y=x”时，x=1或x=一1时，y=1, 故D错误.故选C.] 2.D3.C 4.BC[y=E的值域为[0，+o∞)，y= 1工的值域为 √x (0,十∞)y=二的值战为(0，十0)，y=x2十1的值战 为[1，+o∞).] 5.A[由a一x≥0可得x≤a,即f(x)的定义域为(-o∞，a], 所以a=1,则实数a的取值集合为{1}，故选A.] 6.D 7.解析：由f(a)=2,得a2-2a-1=2,解得a=-1或 4=3. 答案：一1或3 8.解析：由fr)=二1有意义可知，x2-1>0, √x2-1 解得x<-1或x>1, 故函数的定义域为{xx>1或x<一1}。 答案：{xx>1或x<-1} 9.解析：由梯形的面积公式有100=+3).，得y=50 2 x (x>0). 答案：y=50(x>0) 10解：由题可知，要使函数有意义，则有 2+3≥0，解得≤分支≥3，则有 x-a>0 x>a ①当a<2时，f()的定义城为 @当号<≤a<3时，fx)的定义战为{x≥3： ③当a≥3时，f(x)的定义域为{xx>a}. 综合题组练 1.A[设t=x-1,则x=t十1. :f(x-1)=x2+4x-5, .f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t+6t,.(x)的表达 式是f(x)=x2十6.x.故选A.] 2.C[由题意可得4=5-侣，解得m=5,故选C.] &解指两式释化 答案()（合 4.解：(1)由题意，函数f(x)=√2x一x,要使函数 f(x)=√/2x-x有意义，则满足2x一x≥0， 即x2一2x=x(x一2)0，解得0x≤2， 故函数f(x)的定义域为[0,2]. (2)由(1)知x∈[0,2]，令y=2.x-x2=-(x-1)2十1， 当x=1时，ymx=1;当x=0或2时，ymm=0, 所以0≤2.x-x≤1，可得0≤√2x-x≤1， 又由u≥f(x)恒成立，得a≥f(x)mx=1, 故a的取值范围为[1，十oo). ·2 3.2 梳理·必备知识知识点 1.对应关系2.并集空集 基础自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2.A[当x=2时，则f2)=-号=-1.故选A] 3.B[函数f(x)=,2xr>0 {x2+1,.x≤0 若a>0,可得f(a)=一2a,由f(a)十f(1)=0,知-2a 2=0,解得a=-1(舍)； 若a≤0，可得f(a)=a2+1,由f(a)+f(1)=0,知a2+1 一2=0，解得a=1(舍)或a=一1，符合题意， 综上，a=一1.故选B.] 4.D[由表可解f(2)=5,所以f[f(2)]=f(5)=7,故 选D.] 0,x>0 5.解析：因为f(x)=π，x=0 ,所以f(-1)=π2+1， x2+1,x<0 所以f(f(-1)=f(x2+1)=0, 所以f(f(f(一1)))=f(0)=π. 故答案为元 答案：π 提升·学科素养 [例1][解](1)因为1>0，所以f(1)=2×1-5=-3,因 为-3<0，所以f[f(1)]=f(-3)=(-3)2+2 ×(-3)=3. (2)因为|a-1|≥0，则f(|a-1|)=2|a-1-5, 因为f(a-1)<3,所以2|a-1|-5<3,即|a-1|<4, 解得-3<a<5. [例2】[解](1)当5x≤4，即x≤号时，3<4， 所以y=1.8×(5x+3x)=14.4x. 当5.x>4,3.x4, 即号<≤号0=1.8X4+3X(5x-40+1.8×3 5 =20,4-48当3>4，即>号时， 5.x>4,y=1.8×(4+4)+3×(5x-4)+3×(3.x-4) =24.x-9.6, 4 14.4x,0≤x≤5， .4 综上y= 20.4x-4.8,5 ∠x≤3' 24x-0.6>号 (2)由1)知，当0≤≤号时，0≤y<1.52:当号<≤ 专时，1.52<y<2.4:当>号时y>2.4所以若 甲、乙两户共交水费26,4元时>亭 所以24x-9.6=26.4,解得x=1.5,5.x=7.5,3x=4.5; 所以甲户用水量为7.5吨，应缴水费1.8×4十3×3.5= 17.7元；乙户用水量为4.5吨，应缴水费1.8×4十 3×0.5=8.7元. 跟踪训练 1.A[1>0,.f(1)=-2,-2<0,.f(-2)= (-2)2+1=5,故B,C,D错误.故选A.] 2.C[依题意可得某户居民9月份的用电量是420度时， 该用户9月份应缴电费为200×0.5+200×0.6+20× 0.8=236元.故选C.]第三章 函数 函数的定义 函数概念 定义域同一函数（定义域 函数的两要素 对应法则对应法则都相同) 常见函数的定义域的求法 列表法 正比例函数 函数的 图象法 综合法 定义 增区间 一次函数 表示法 解析法 增函数 图象 单调 单调性 判断证明」区间减区间 反比例函数 减函数 般步骤 思 二次函数 函数的性质 奇偶性 奇函数 偶函数 定义 指数函数 基本初 函数 周期性 图象 图 等函数 判断证明一般步骤 对数函数 形式 般式 顶点式 解析式求法一待定系数法 幂函数 L交点式 三角函数 二次函数 图象和性质一a>0 -a<0 常值函数 与一元二次方程，一元二次不等式 分段函数 分段函数 函数的应用 二次函数 次函数 3.1函数的概念及其表示方法 》 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 知识点一] 函数的概念 知识点二]相同函数 值域是由 和 决定的，如果两 般地，设A,B是非空的 个函数的定义域和 相同，我们就称 如果对于集合A中的 这两个函数是同一函数.两个函数如果仅对 按照某种确定的对应关系f,在集合B 应关系相同，但定义域不同，则它们 概念 中都有 的数y和它对应，那 相同的函数 知识点三]函数的三种表示方法 么就称f：A→B为从集合A到集合 B的一个函数 表示法 定义 用 表示两个变量之间的对 对应 解析法 y=f(x),x∈A 应关系 关系 定义 用 表示两个变量之间的对应 的取值范围 图象法 域 关系 与x的值相对应的y 列出 来表示两个变量之间的 值域 列表法 的值的集合{f(x)x∈A》 对应关系 ·21 高考总复习数学 [基础自测] 2.函数y=√2x-3+1 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） -3的定义域为() (1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以 B.(-∞，3)U(3,+∞) 对应着不同的y. (2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的 c U(.+)D.(3,+) 值域也就确定了. () 3.下列函数中，与函数y=x十1是相等函数 (3)f(x)=3.x+4与f(t)=3t+4是相同的 的是 函数 ( A.y=(Wx+1) B.y=Vr+1 (4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的 数与之对应 C.y=: +1 D.y=√x+1 (5)两个函数相同指定义域和值域相同的 函数 ( 4.已知f)x+5x,则fx)= 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一 函数概念的理解 专点二己知函数的解析式求定艾域 [例1]下列四个图形中，不是函数图象的是 [例2]求下列函数的定义域： ( (1)y=2+ x2(2)y=2-2x-3. 3 [尝试解答] 通性通法 [尝试解答] 求函数定义域的几种类型 通性通法 (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R. (1)一个对应关系函数，要满足A,B必须是非 (2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零， 空数集；A中任何一个元素在B中必须有元 (3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或 素与其对应；A中任一元素在B中必有唯 等于零 元素与其对应 (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的 (2)函数中两变量x,y的对应关系是“一对 定义域是几个部分定义域的交集 一”或者是“多对一”而不能是“一对多”. (5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合 ★跟踪训练 实际情境，使其有意义. 1.若集合M={x|0≤x≤2}，N={y0≤y≤ ☆跟踪训练 3},则下列图形给出的对应中能构成从M 2.求下列函数的定义域： 到N的函数f:M→V的是 ) ↑y (1)y= (x+1)9 -√-x2-x+6; x+1 (2)y=10- 1x|-3 ·22· 第三章函数 春点 函数相同 通性通法 [例3]下列各组函数： (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待 ①f(x)=x2- ,g(x)=x-1;②f(x)= 定系数法求解，即由函数类型设出函数解析 式，再根据条件列方程（组），通过解方程 )=会③f()=√x+3)8 (组)求出待定系数，进而求出函数解析式. =x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x°；⑤汽 (2)已知f(g(x)=h(x),求f(x),常用的有 车匀速运动时，路程与时间的函数关系 两种方法： f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80.x ①换元法，即令t=g(x),解出x,代入 (0≤x≤5)， h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函 其中表示相等函数的是 (填上所有 数解析式，注意：换元后新元的范围. 正确的序号). ②配凑法，即从f(g(x)的解析式中配凑 通性通法 出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后 判断两个函数为同一函数的方法 判断两个函数是否为同一函数，要先 将解析式中的g(x)用x代替即可， 求定义域，若定义域不同，则不是同一函 (3)方程组法：已知关于f()与f日或 数；若定义域相同，再化简函数的解析式， 看对应关系是否相同， f(一x)的表达式，可根据已知条件再构 [注意](1)在化简解析式时，必须是等价 造出另外一个等式组成方程组，通过解方 变形.（2)函数是两个数集之间的对应关 程组求出f(x). 系，所以用什么字母表示自变量、因变量是 食跟踪训练 没有限制的 4.(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)=1, 食跟踪训练 f(x+1)-f(x)=2x,则函数f(x)的解析 3.与函数y=x一1为同一函数的是 A.y=z'-x 式为 B.m=(n-1)2 (2)已知f(x+1)=x2-3.x+2,求f(x). C.y=x-x D.y=(t-1) 专点四】 求函数解析式 [例4](1)已知函数f(x)是一次函数，若 f几f(x)门=4x+8,求f(x)的解析式， (2)已知函数f(√x+1)=x十2√x+1,求 f(x)的解析式： (3)已知函数f(x)满足2f(x)十 (3)已知fx)+2f(-x)=x2+2x,求f(x). 3x,求f(x)的解析式. [尝试解答] ·23· 高考总复习数学 突破·高效演练 分层训练 高效提能 [基础题组练] 9.一个面积为100cm的等腰梯形，上底长为 1.函数符号y=f(x)表示 xcm,下底长为上底长的3倍，则它的高y A.y等于f与x的乘积 与x的函数关系为 B.f(x)一定是一个式子 10.已知函数f(x)=√2x-7x+3+1,求 C.y是x的函数 Vr-a D.对于不同的x,y也不同 f(x)的定义域. 2.函数y=√x-1一3的定义域是() A.(-2,4)B.(-∞，-2)U(4,+∞) C.[-2,4] D.(-o∞，-2]U[4,+o∞) 3.y与x成反比，且当x=2时，y=1,则y关 于x的函数关系式为 () 1 A.y=- B.y=-1 [综合题组练] C.y- 2 2 D.y=- 1.已知f(x一1)=x2+4x一5，则f(x)的表达 式是 () 4.(多选题)下列函数中，值域为(0，+∞)的是 A.f(x)=x2+6x B.f(x)=x2+8x+7 C.f(x)=x2+2x-3D.f(x)=x2+6x-10 A.y=√ B.y- 2.已知函数f(x)=x一”的图像经过点 c D.y=x2+1 (5,4),则实数m的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知函数f(x)=√a-x的定义域为(-∞，1]， 3.函数f(x)= 2x2 +(2x一1)°的定义域为 则实数a的取值集合为 ) √1-x A.{1} B.(-∞，1] C.[1,+∞) D.(-∞，1)U(1,+∞) 4.已知函数f(x)=√J2x一x. 6.(2023·春招，2)函数f(x)= 3的定义 (1)求函数f(x)的定义域. (2)若a≥f(x)恒成立，求a的取值范围， 域是 A.[0,3) B.[0,+∞) C.(-∞，3)U(3,+∞) D.[0,3)U(3,+∞) 7.设函数f(x)=x2-2x-1,若f(a)=2,则 实数a= 8尼如厨数1)号 的定义域 为 ·24·