2.2 一元一次不等式(组)与含绝对值的不等式-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 2.2一元一次不等式（组）与含绝对值的不等式 》 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一]区间及有关概念 4.含绝对值不等式的解法： 1.一般区间的表示：设a,b∈R,且a<b,规定 (1)若c>0,|ax+b<c台-c<a.x十b<c;ax 如下： 十b>c台a.x+b<-c或a.x+b>c. (2)若c<0,ax+b|<c台x∈0；|ax+b|>c 定义 名称 符号 数轴表示 台x∈R. [基础自测] {xla≤x≤b} 闭区间 1.不等式3x+2<2x+3的解集在数轴上表 示正确的是 (x a<x<b} 开区间 -10 .-1 0 半开半 {xa≤x<b} [a,b) A B 闭区间 -1 0 0 D 半开半 {xla<x≤b} (a,b] 闭区间 2.不等式号-写≤1的解华是 3 A.x≤4 B.x≥4 2.特殊区间的表示： C.x≤-1 D.x≥-1 定义 R {xx≥a} (xlx>a) Axlasa} (zlx<a 3.关于x的不等式4十a≥1的解集如图所 符号 5 [知识点二] 一元一次不等式及其解法 示，则a的值是 () 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的次 -2-1012 数是 且系数 的不等式叫一元一 A.9 B.-9C.5D.-5 次不等式，其一般形式为 或 4.如果关于x的不等式(a十1)x>a+1的解 2.一元一次不等式的解法步骤，即包含 集为x<1,那么a的取值范围是() A.a>0 B.a<0 等五个步骤， C.a>-1 D.a<-1 [知识点三]一元一次不等式组及其解法 5.下列说法正确的是 ( 一元一次不等式组解集的四种情况(a<b) A.不等式组之3的解是5<1<3，即解集 x>5 x二公解集：(b,十©)，口诀B 为：(5,3) x>一 <“解集：(-o∞，a),口诀： B. 的解是一3<x<一2，即解集为： x<-3 x<b (-2,-3) (x之0解集： ,口诀： x<b C.三乙的解是x=2,即解集为：(2} S解集 ,口诀： D.<- x>- 3的解是x≠一3，即解集为：xz2 [知识点四]含绝对值的不等式 -3} 6.解下列不等式： a,(a>0) (1)2x-1<3: 1.绝对值的意义：|a={0,(a=0) (2)|3-2x|>5; -a,(a<0) (3)2<x-1|<3. 2.实数a的绝对值a|的几何意义：在数轴上 表示对应实数a的点到原点的距离！ 3.若m>0,x≤m台-m≤x≤m;|x|≥m台 x≤一m或x≥m. ·14· 第二章不等式 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一 用区间表示数集 2.考查了不等式的解集，不等式的解集在数 [例1]把下列数集用区间表示： 轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右 (1){xx≥-2}；(2){xx<0}: 画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空 (3){x|-1<x<1,或2≤x<6}. 心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画 尝试解答] 折线，熟知实心圆点与空心圆点的区别是 解答此题的关键. 3.用数轴表示不等式的解集时，要注意“两 定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原 点和界点即可.定边界点时要注意，点是实 心还是空心，若边界点含于解集为实心点， 不含于解集即为空心点；二是定方向，定方 向的原则是：“小于向左，大于向右” 食跟踪训练 2.不等式组 x-1>0① 的解集在数轴上表 4-2x≥0② 示为 通性通法 熟悉记牢区间的表达方式 食跟踪训练 0 0 1.已知区间[一2a,3a十5]，则a的取值范围 D 为 专点确定不等式（组）中字母的取值范围 吉点不等式（组）的解法 [例3]若关于x的不等式组 2x>3-3有 [例2] (1)不等式2x-1>2x的解 3.x-a>5 实数解，则α的取值范围是 是 通性通法 (2)一个不等式组的解集在数轴上表示出来 由不等式的性质求出每个不等式的解 如图所示，则下列符合条件的不等式组为 集，然后根据不等式的解集得出关于a的不 等式；要熟知解一元一次不等式（组）的过程， 注意逆向思维， -5-4-3-2-1012345 食跟踪训练 x>2 1x<2 B x≤-1 x>-1 4+x>x+2 2 (x2 x<2 3.若关于x的不等式 的解集为 C x≥-1 x十u∠0 I<- 2 通性通法 (-∞，2)，则a的取值范围是 1.解一元一次不等式，熟知解一元一次不等 专点四】 解含绝对值的不等式 式的步骤：先去分母，去括号，再移项，合并 [例4]已知|x-1|<a(a>0)的解集是 同类项，化系数为1，是解答此题的关键 (一1，c),则a十c的值为 ·15·高考总复习数学 2.C[通解：当a=1,b=-1时，满足a>0>b,此时a2= -ab,a=b1,(2)广<(2)）所以AB,D不-定成 立，因为u>0>b,所以-a<0,ah<0,所以1-1= 、ab b>0所以合>合-定成，故选C ab 化解：因为>0>6：所以>0>石所以日>石-定 a 成立.故选C.] 3.A[利用作差法比较大小.因为x>1,所以a一b=x3 x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)>0,b =x(x-1)>0,所以a>b>0.故选A.] 突破·高效演练基础题组练 1.B2.A3.D 4.C[若a<b<0,则a2>b,故A错；若0<a<b,则b> 1 号，故D错：若ab<0.即u<0.b>0,则a6>0>u。 >a而，故B错，C正确.所以选C.] >0>1 5.A[若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a 十b>2十1=3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2 ×1=2.即“a>2且b>1”是“a十b>3且ab>2”的充分 条件.反之，若“a十b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不 一定成立，如a=6,b=2,所以“a>2且b>1”是“a十b >3且αb>2”的充分不必要条件.故选A.] 6.C[由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出 日<分由a>0>6得止>石故能粮出日<方成立的 条件有3个.] 7.A[因为1<y<3,所以-6<-2y<-2,又因为-2< x2,所以一8<x一2y0.故选A.] 8.ABC[因为y=x立在(0，十oo)上是增函数，所以a2< 位，周为y=子-c在0，十0)上是减画数，所以日- a >古-心因为号号-品0，所以号>台 当c=0时，ac2=bc2,所以D不成立.故选ABC.] 9.解析：作差可得(a1b十a2b2)一(a1b2十a2b,)=（a1-a2) ·(b1一b2),因为a1<a2,b1b2, 所以(a1-a2)(b,-b2)>0,即a1b十a2b2>a1b2+a2b. 答案：a1b1十azb2>a1b2十ab1 10解析：对于①，>0，故①成主： 对于②，a>0,b<0时不成立； 对于③，取a=1,b=一2时不成立； 对于④，c≥0，故④成立. 答案：①④ 综合题组练 1.B[由a>0不能兼出>b且日>名，故甲不是乙的克 分条件，若a>6且>方即a>6且>0，期ah ab 0,所以a>0,6<0,所以由a>6且>方能推出a>0. 故甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要不充分条件.门 2.C[由1<a4可得2<2a<8,而2<b<8,故4<2a+ b<16,故选C.] aB[:-受<aK,<-K-K受- <a一又A。0,从而经<a0.] ·28 4.证明：，bc-ad≥0，，∴.bc≥ad,∴.bc+bd≥ad+bd, 即b(c+d)≥d(a+b). 又bd>0,两边同除以bd得a十b≤十d 5.证明：由于b-4=-a2=(b+a)(b-a) a b ab ab :a<b<0,∴.b+a<0,b-a>0,ab>0, ÷+ab00<0,故台<号 ab 2.2 梳理·必备知识知识点一 1.[a,b](a,b)2.(-o∞，+∞)[a,+o∞)(a,+∞) (-o∞，a](-,a) 知识点二 1.1不等零a.x>ba.x<b2.先去分母去括号再 移项合并同类项化系数为1 知识点三 同大取大同小取小(a,b)大小小大中间找2大 大小小找不到 基础自测 1.D2.A 3.A[去分母得：4x十a≥5，移项得：4x≥5-a,系数化为1 得≥5，根据数轴因知解集为≥-15=-1 4 ∴.a=9.故选A.] 4.D 5.C[不等式组之3的解集是(5，+∞)；>一2无解； 1x>5 (x-3 2的解条是红=2：仁无解藏选C了 x≥2 6.解：(1)由2x-1<3,得-3<2x-13,即-2<2x 4,故不等式的解集为{x一1<x<2. (2)由3-2.x>5,得|2x-3>5,即2x-3<-5或2.x 一3>5，所以x<-1或x>4, 所以不等式的解集为：{xx<一1或x>4} 阳)法-返不学式学价于任号 即x1-2或x-1>2∫x<-1或x>3 1-3<x-1<3 {-2<x<4 所以，不等式的解集为：（一2，一1）U(3,4). 法二：原不等式等价于2<x一1<3或21一x3, 即3x<4或一2<x<-1, 所以，不等式的解集为：（一2，-1）U(3,4). 提升·学科素养 [例1][解](1){xx≥-2用区间表示为[-2，十∞)： (2){xx<0}用区间表示为(-∞，0)： (3){x-1<x<1,或2≤x<6}用区间表示为(-1,1)U 2,6). [例2][解析](1)去分母得，4x一2>x, 移项得，4x一x>2,合并同类项得，3.x>2, 系数化为1得，x>3 2 (2)由题图示可看出，从一1出发向右画出的折线且表示 一1的，点是实心圆，表示x≥一1； 从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示 x<2,所以这个不等式组的解集为一1≤x<2,即： ∫2 .故选C. (x≥-1 [答案](1)x> 3 (2)C [例3][解析] {3x-4>5@,由①得，x<3,由②得. (2x>3x-3① x>5+a 3 38 :此不等式组有实数解，.5a<3, 3 解得a<4. [答案]a<4 [例4][解析]由|x一1|<a(a>0),得一ax一1<a, 所以有1一a<x<1十a,因为不等式的解集为（一1，c), 所以1一a=一1,1十a=c,解得a=2,c=3,所以a十c的 值为5. [答案]5 跟踪训练 1.解析：由题意可知3a十5>-2a,解得a>一1.故a的取 值范围是（一1，十∞）. 答案：（一1，十∞） 2c9。 由①得x>1: 由②得x≤2， 故此不等式组的解集为：{x1<x2} 在数轴上表示为： 3 故选C. 4+x+20 3 2 3.解析： x+u∠0② 2 解不等式①得x<2,解不等式②得x<一u,不等式组 的解集是(-0∞，2).∴.一a≥2，.a≤一2. 答案：a≤-2 4.D 突破·高效演练基础题组练 1.C2.A 3.D[由于不等式组之3的解集是心>，依据不等式组 a>a 的解集“大大取大”的确定方法可知a≥3，故选D.] 4.C5.B6.167.{x-5x<-2,或2<x5} 8.{xx<-4,或x>4}9.{-1,0,1,2} 10.解：原不等式可化为二1≥0，或210 12x-1>3.x 11-2x>3.x 解不等式姐，得x(0,号）) 综合题组练 1.C2.B3.-15 4.解析：因为x十mn十1， 所以-1-nx十mn十1，即一1一n一mxn十1 一771， 又不等式x十m≤n十1的解集是{x-1≤x≤1}， 所以一1二m一1，解得m=1=0,所以m十1=0. 1n十1-m=1 答案：0 5.解：原不等式可以化为(a+2).x>b十3，所以 (1)当a>-2时，u十2>0，不等式的解为x>十8 a十2 (2)当a<-2时，a+2<0,不等式的解为< a+2 (3)当a=一2时，a十2=0，这时原不等式转化为0>b +3. ①如果b<一3，则不等式的解为全体实数： ②如果b≥一3，则不等式无解. 综上所述，当a>一2时，原不等式的解集 当-2时，原不等我的解集是{口<牛} 当u=一2且b<一3时，原不等式的解集是R: 当u=一2且b≥一3时，原不等式的解集是⑦ ·28 参考答案 2.3 梳理·必备知识知识点一 1.未知数的最高次数是2的整式方程一元二次方程 ax2+bz十c=0(a,b,c是常数，且a≠0)二次项系数 次项系数常数项 2.方程的解解方程 知识点二 3.相同的数 知识点三 3.210 -b±√6-4ac 2a 知识点四 b 知识点五 一个2a.x2+b.x+c<0ax2+bx+c>0 知识点六 {xx<x1,或x>x2} <x< 知识点七 1.f(x)g(x)>02.f(.x)g(.x)<0 基础自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/(5)/(6)× (7)×(8)/ 2.A[由题中图象可知-2<x<1时，y>0即a.x2十b.x+ c>0,故选A.] 3.B[因为M={x一1x<4},N={x0x5},所以 M∩N=[0,4).] 4.解析：不等式两边同乘以一1，原不等式可化为x十2x 30. 方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1. 而y=x2十2x-3的图象开口向上，可得原不等式一x 一2.x十3≥0的解集是{x一3x1}. 答案：{x|-3≤x≤1} 5.解析：2x(x-7)>3(x一7)台2x(x一7)一3(x-7)>0台 (红-7)(2x-3)>0,解得<号或>7，所以原不等式 的解集为{<号或>} 答案：{r<或>7} 6.解析：当a=0时，f(x)=-1≤0成立， 当a≠0时，若对Hx∈R,f(x)0, 须有a_4XaX(-1)≤0，解得-4≤u<0. 1a0 综上知，实数a的取值范围是[一4,0]. 答案：-4,0 提升·学科素养 [例1][解](1)原不等式可化为x2一7x十6<0. 解方程x2-7x十6=0得，x1=1,x2=6. 结合二次函数y=x2一7x十6的图象知，原不等式的解 集为{x1<x<6}. (2)由原不等式得8x2-8x十4>4x-x2」 ∴.原不等式等价于9x2一12x+4>0. 2 解方程9.x2-12x十4=0，得x=x2=3 结合二次函数y=9x一12x十4的图象知，原不等式的 解袋为≠号} [例2][解]，x2+a.x十b<0的解集为{x1<x<2}, .1,2是x2十ax十b=0的两根. 由市达定现有{6以2行823 1b=2 代入所求不等式bx2+ux+1>0,得2x2-3.x+1>0. 69