2.1 不等式的基本性质-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第二章 不等式 方程的概念 方程 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 按元 配方法 方程的分类 一元二次方程解法 因式分解法（十字相乘法） 按次数 求根公式法 a>b a-b>0 根与系数的关系：韦达定理 实数大小的比较 a=b a-b=0 作差法比较两因式（数）大小 思维导图 a<b a-b<0 方程与不等式) 对称性 不等式的基本性质 传递性 加法法则 乘法法则 不等式 不等式的解集与区间 不等式的解 一元一次不等式组)的解 c>0 含绝对值不等式的解，lar+bM>c c=0 lax+bl<cc<0 一元二次不等式的解 一般形式ar+bx+c>0a≠0) x+bx+c<0(a≠0) 不等式的应用 解法配方法 不等式组法（因式分解） 图解法（二次函数图解） 2.1不等式的基本性质 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]实数大小的基本性质 [知识点四]几个常用重要不等式 1.a-b>0台 ;2.a-b=0台 1.a2 0,(a∈R). 3.a-b<0曰 2.(a-b)2 0,当且仅当 时等号成立 [知识点二]不等式的基本性质 3.a2+b 2ab,当且仅当 时等号 成立 1.对称性： 思考： 2.传递性：如果a>b,b>c,那么 1.若a>b,c>d,那么a+c>b+d成立吗？ 3.加法法则：如果a>b,那么 a-c>b-d呢？ 4.乘法法则：如果a>b,c>0,那么 如果a>b,c<0,那么 [知识点三]不等式性质的相关推论 1.移项法则：a十b>c→ 2.若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗？ 2.不等式相加法则：a>b,c>d→ 3.不等式相乘法则：a>b>0,c>d>0 → 4.乘方法则：a>b>0→(n≥2，n∈N*) ·11· 高考总复习数学 [基础自测] 2.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”) 列选项中一定成立的是 ( A.ab-ac B.c(b-a)<0 (1)a=b是=成立的充要条件. C.cb2<ab2 D.ac(a-c)>0 (2)a>b→ac2>bc2. ( 3.若a>b>0,c<d<0,则下列结论正确的是 ( ) (3)若a+c>b+d,则a>b,c>d. ( (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的. B.-<0 c d (5)设a,b∈R,且a>b,则a3>b3. 4.若一2 <a<<受，则&-B的取值范围 (6)若分>1，则a>b. 是 》 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一 用性质解不等式 通性通法 解决此类问题常用两种方法：一是直接 [例1]一元一次不等式组} x+2(5-x)≥2， 的 3(x-1)>-2(x-2) 使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊 值法排除错误答案 解集是 ( ★跟踪训练 A.(1,8] 后 2.(一题多解)已知a>0>b,则下列不等式一定 成立的是 ( C.[-8,1) A.a2<-ab B.lal<6 通性通法 c ) 1.熟记不等式性质 春点目 数（武）的天小比较 2.应用不等式性质时，注意字母有正有负还 [例3]已知a>b,e>f,c>0,求证：f-ac< 可能是0. e-bc. [尝试解答] 食跟踪训练 2x-6<0, 1.不等式组 的解集为 3.x+3>0 A.(-3,1) B.(-∞，-3)U(1,+∞) 通性通法 C.(-1,3) D.(-∞，-1)U(3,+∞) 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 专点二】 不等式性质的应用 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定 [例2]（特值法）设a,b∈R,则“a>b”是“aa 号→结论. (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通 >bb”的 ( 分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论. A.充分不必要条件 食跟踪训练 B.必要不充分条件 3.已知x>1,a=x3-1,b=x2-x,则() C.充要条件 A.a>b0 B.b>a>0 D.既不充分又不必要条件 C.a>b>1 D.6>a>1 ·12· 第二章不等式 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1, 10,故a>6,有下列不等式：①号>名：@< a 则f(x),g(x)的大小关系是 ( A.f(x)=g(x) 方@la>6l:@al≥h1c,其中一定政 B.f(x)g(x) 立的有 (填正确的序号) C.f(x)<g(x) [综合题组练] D.随x的值变化而变化 1.已知条件甲：a>0,条件乙：a>b且1>1 2已知a6∈R若a≥0，同时成立，则 ab 则甲是乙的 () () A.充分不必要条件 A.ab0 B.ab<o B.必要不充分条件 C.a+b>0 D.a+b<0 C.充要条件 3.若m<0,n>0且m十n<0,则下列不等式 D.既不充分也不必要条件 中成立的是 () 2.已知1<a<4,2<b<8,则2a+b的取值范 A.-n<m<n<-m 围是 () B.-n<m<-m<n A.1<2a+b<4 B.2<2a+b<8 C.m<-n<-m<n C.4<2a+b<16 D.4<2a+b<8 D.m<-n<n<-m 4.已知a,b为非零实数，且a<b,下列不等式 3.若角a,9满足一罗<a<月<π，则&一B的取 一定成立的是 () 值范围是 ( A.a2<b2 B.ab2-a2b A._3,3 C.1<1 2’2 B. aba'b D&<号 5.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且 c.. D.(-.o) ab>2”的 () 4若bc=ad≥0，bd>0,求证：才6<十4 A.充分不必要条件 d B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知下列四个条件：①b>0>a,②0>a>b, @a>0>6,@a>b>0,能推出日<方成立 的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知-2<x<2,1<y<3,则x-2y的取值 5a0,求证身<台 范围是 () A.(-8,0) B.(-8,2) C.(-4,2) D.(-10,-2) 8.(多选题)设b>a>0,c∈R,则下列不等式 中正确的是 () A.a 1 c号 D.ac2<bc2 9.若a1<a2,b1<b2,则a1b1十a2b2与a1b2十 a2b1的大小关系是 ·13.C.逆命题：有两个锐角的三角形是 钝角三角形，该逆命题是假命题，故C不符合题意： D.逆命题：相等的角是内错角，是假命题，该逆命题是 假命题，故D不符合题意，数选A.] 3.A[当a=1时，集合M={1,0},N={0,1,2},可得M 二N,满足充分性，若M二N,则a=1或a=2,不满足必 要性，所以“a=1”是“M三N”的充分不必要条件，故 选A.」 4.A[当a=0时，M={1,0},可解M二V,当M二N时， a=0或一1，即“a=0”是“M二N”的充分不必要条件，故 选A.」 5.解析：①确定抛物线的开口方向 二次函数y=ax十bx十c的图象是抛物线，其开口方向 由二次项系数u决定.当a>0时，抛物线开口向上；当a <0时，抛物线开口向下，要使图象在x轴上方，抛物线 需开口向上，因此a必须大于0，所以a>0. ②判断抛物线与x抽的交，点情况 抛物线与x轴的交点个数由判别式△=b一4ac决定.当 4>0时，抛物线与x轴有两个不同交点；当△=0时，抛 物线与x轴有一个交，点（顶，点在x轴上）；当△<0时，抛 物线与x轴没有交点.要使图象在x轴上方，抛物线需 与x轴无交点，因此判别式需小于0，△=b-4ac<0. 综上，二次函数y=a.x2十bx十c的图象在x轴上方的充 要条件是a>0且△=b一4ac<0. 答案：a>0且△=b一4ac<0 突破·高效演练基础题组练 1.D 2.A[由a=1可得|a=1成立，由a=1得，a=1或a =-1,即|a=1得不到a=1,所以“a=1”是“|a=1”的 充分不必要条件.故选A.门 3.A 4.B[由x2-5.x<0可得0<x5.由x-1<1可得0< x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2-5x<0” 是“x一1<1”的必要而不充分条件，门 5.A[由线面平行的判定定理可知，m∥n→m∥a,但m∥ a争n∥.] 6.解析：因为-2x1Px>1或x<一1，并且x>1或x -1P-2<x<1,所以“-2<x1”是“x>1或x<-1” 的既不充分条件，也不必要条件. 答案：既不充分也不必要 7.解析：AnB=g台a+2≤4， 1a-2≥-2.90≤a≤2. 答案：0a2 8.解析：由x一x一6>0，解得x<2或x>3. 因为“x2一x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 所以{xx>a}是{xx<一2，或x>3}的真子集，即a≥ 3,故a的最小值为3. 答案：3 9.解：(1)因为命题“若x=1,则x2一4x十3=0”是真命题， 而命题“若x2-4x十3=0，则x=1”是假命题，所以p是 q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要 条件 (2)因为饣今y,而q→p,所以p是q的必要不充分条件. (3)因为p一q,而gPp,所以p是g的充分不必要条件 (4)因为p→q,而q护p,所以p是g的充分不必要条件. 综合题组练 1.A[设p为不到长城，推出7q非好汉，即一p→一q, 则q→，即好汉→到长城，故“好汉”是“到长城”的充分 条件，故选A.门 2.A[由A二C,B二CC,易知A∩B=⑦，但A∩B=☑ 时未必有A二C,B二CC,如图所示 B ·28 参考答案 所以“存在集合C使得A二C,B二CC”是“A∩B=☑” 的充分不必要条件.] 3.解析：若x=2且y=3,则x十y=5成立.可知p→q,反之 当x=1,y=4时，满足x十y=5, 但x=2且y=3不成立.p→q,q本p,故p是q的充分不 必要条件， 答案：充分不必要 4.解：由题知P={x一2x10}. :p是q的充分不必要条件。 …p→q且q力p,即P军S. 002什002 .m≥9，又因为S为非空集合， 所以1一1十m,解得m≥0， 综上，实数m的取值范围是[9，十∞). 第二章2.1 梳理·必备知识知识点一 1.a>b 2.a=b 3.a<b 知识点二 1.a>beb<a 2.a>c 3.a+c>b+c 4.ac>bc ac<bc 知识点三 1.a>c-b 2.a+c>b+d 3.ac>>bd 4.a">b" 知识点四 1.≥2.≥a=b3.≥a=b 思考 1.提示：a十c>b+d成立，a一c>b一d不一定成立，但a dDb-c成立. 2.提示：不一定，但当a>b>0,c>d>0时，一定成立. 基础自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6)× 2.A[因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0,b的符号 不确定，b一a<0,a一c>0,b-c>0,据此判断A成立，B, D不成立，C不一定成立， 3.DL因为c<d<0,所以0<-d<一c, 又0<b<a,所以-bd<-ac,即bd>ac, 又周为dD0,所以告告脚色>骨] c 4解析：由-受<a<径，-受<-K受a< 得-π<a-B0. 答案：（一π，0） 提升·学科素养 [例1】[解析]由题，十2(5x)≥2， {3(x1)>-2x-2).其中x+2 (5-x)≥2，化简得一x≥-8，解得x8,3(x-1)一2(x 一2)，化简得3x一3>-2x+4,解得x≥了，故不等式组 17 解集为（写8]故选B [答案]B [例2][解析]当b<0时， 显然有a>b台aa>bb: 当b=0时，显然有a>b台aa>bbl; 当b>0时，由a≥b有a>b, 所以a>b台aa>bb. 综上可知a>b台→aa>bb,故选C. [答案]C [例3][证明](1)因为a>b,c>0,所以ac>bc, 即-ac<-bc. 又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc. 跟踪训练 1.C[不等式组2x-6<0, 13x+3>0, 53. 1x>-1, .-1x3, 不等式组的解集为（一1,3）.故选C.」 7 高考总复习数学 2.C[通解：当a=1,b=-1时，满足a>0>b,此时a2= -ab,a=b1,(2)广<(2)）所以AB,D不-定成 立，因为u>0>b,所以-a<0,ah<0,所以1-1= 、ab b>0所以合>合-定成，故选C ab 化解：因为>0>6：所以>0>石所以日>石-定 a 成立.故选C.] 3.A[利用作差法比较大小.因为x>1,所以a一b=x3 x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)>0,b =x(x-1)>0,所以a>b>0.故选A.] 突破·高效演练基础题组练 1.B2.A3.D 4.C[若a<b<0,则a2>b,故A错；若0<a<b,则b> 1 号，故D错：若ab<0.即u<0.b>0,则a6>0>u。 >a而，故B错，C正确.所以选C.] >0>1 5.A[若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a 十b>2十1=3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2 ×1=2.即“a>2且b>1”是“a十b>3且ab>2”的充分 条件.反之，若“a十b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不 一定成立，如a=6,b=2,所以“a>2且b>1”是“a十b >3且αb>2”的充分不必要条件.故选A.] 6.C[由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出 日<分由a>0>6得止>石故能粮出日<方成立的 条件有3个.] 7.A[因为1<y<3,所以-6<-2y<-2,又因为-2< x2,所以一8<x一2y0.故选A.] 8.ABC[因为y=x立在(0，十oo)上是增函数，所以a2< 位，周为y=子-c在0，十0)上是减画数，所以日- a >古-心因为号号-品0，所以号>台 当c=0时，ac2=bc2,所以D不成立.故选ABC.] 9.解析：作差可得(a1b十a2b2)一(a1b2十a2b,)=（a1-a2) ·(b1一b2),因为a1<a2,b1b2, 所以(a1-a2)(b,-b2)>0,即a1b十a2b2>a1b2+a2b. 答案：a1b1十azb2>a1b2十ab1 10解析：对于①，>0，故①成主： 对于②，a>0,b<0时不成立； 对于③，取a=1,b=一2时不成立； 对于④，c≥0，故④成立. 答案：①④ 综合题组练 1.B[由a>0不能兼出>b且日>名，故甲不是乙的克 分条件，若a>6且>方即a>6且>0，期ah ab 0,所以a>0,6<0,所以由a>6且>方能推出a>0. 故甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要不充分条件.门 2.C[由1<a4可得2<2a<8,而2<b<8,故4<2a+ b<16,故选C.] aB[:-受<aK,<-K-K受- <a一又A。0,从而经<a0.] ·28 4.证明：，bc-ad≥0，，∴.bc≥ad,∴.bc+bd≥ad+bd, 即b(c+d)≥d(a+b). 又bd>0,两边同除以bd得a十b≤十d 5.证明：由于b-4=-a2=(b+a)(b-a) a b ab ab :a<b<0,∴.b+a<0,b-a>0,ab>0, ÷+ab00<0,故台<号 ab 2.2 梳理·必备知识知识点一 1.[a,b](a,b)2.(-o∞，+∞)[a,+o∞)(a,+∞) (-o∞，a](-,a) 知识点二 1.1不等零a.x>ba.x<b2.先去分母去括号再 移项合并同类项化系数为1 知识点三 同大取大同小取小(a,b)大小小大中间找2大 大小小找不到 基础自测 1.D2.A 3.A[去分母得：4x十a≥5，移项得：4x≥5-a,系数化为1 得≥5，根据数轴因知解集为≥-15=-1 4 ∴.a=9.故选A.] 4.D 5.C[不等式组之3的解集是(5，+∞)；>一2无解； 1x>5 (x-3 2的解条是红=2：仁无解藏选C了 x≥2 6.解：(1)由2x-1<3,得-3<2x-13,即-2<2x 4,故不等式的解集为{x一1<x<2. (2)由3-2.x>5,得|2x-3>5,即2x-3<-5或2.x 一3>5，所以x<-1或x>4, 所以不等式的解集为：{xx<一1或x>4} 阳)法-返不学式学价于任号 即x1-2或x-1>2∫x<-1或x>3 1-3<x-1<3 {-2<x<4 所以，不等式的解集为：（一2，一1）U(3,4). 法二：原不等式等价于2<x一1<3或21一x3, 即3x<4或一2<x<-1, 所以，不等式的解集为：（一2，-1）U(3,4). 提升·学科素养 [例1][解](1){xx≥-2用区间表示为[-2，十∞)： (2){xx<0}用区间表示为(-∞，0)： (3){x-1<x<1,或2≤x<6}用区间表示为(-1,1)U 2,6). [例2][解析](1)去分母得，4x一2>x, 移项得，4x一x>2,合并同类项得，3.x>2, 系数化为1得，x>3 2 (2)由题图示可看出，从一1出发向右画出的折线且表示 一1的，点是实心圆，表示x≥一1； 从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示 x<2,所以这个不等式组的解集为一1≤x<2,即： ∫2 .故选C. (x≥-1 [答案](1)x> 3 (2)C [例3][解析] {3x-4>5@,由①得，x<3,由②得. (2x>3x-3① x>5+a 3 38