1.3 充要条件-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 1.3充要条件 》 梳理·必备知识 基础盘点「 落实双基 [知识点一]命题 2.对于任意两个集合A,B,“x∈A∩B”是 1.命题： 叫命题 “x∈A”的 () 2.真命题与假命题： A.充分条件 1)真命题： 时，称该 B.必要条件 命题为真命题， C.充要条件 (2)假命题： 时，称 D.既不充分也不必要条件 该命题为假命题， [注]没有真假意义的语句都不是命题. 3.“x=1”是“(x-1)2=0”的 如：感叹句、疑问句、祈使句等 A.充分而不必要条件 [知识点二]充要条件 B.必要而不充分条件 如果p是q的充分条件(p→q),p又是q的 C.充分必要条件 必要条件(q→p),则称p是g的 D.既不充分也不必要条件 条件，简称 条件.记作p台q. 4.已知条件甲：0<x<5,条件乙：一3<x一2 [基础自测] <3,那么甲是乙的 () 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”) A.充分不必要条件 (1)“x-3>0”是命题. () B.必要不充分条件 (2)命题“若p,则g”的否命题是“若p,则 C.充要条件 g” () (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分 D.既不充分也不必要条件 条件， 5.写出一1<x<2的一个必要不充分条 (4)q不是饣的必要条件时，“p力q”成立.( 件 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 春点一 命题及其关系 ②能说明若。>6，则。<合为假命恶的一组 [例1](1)命题真假的判断 a,b的值依次为 ①下面的命题中是真命题的是 (2)四种命题的关系 A.y=sin2x的最小正周期为2π 命题“已知a>1,若x>0,则a>1”的否命 B.若方程a.x2+bx十c=0(a≠0)的两根同 题为 () 号，则>0 A.已知0<a<1,若x>0,则a>1 C.如果M二N,那么MUN=M B.已知a>1,若x≤0，则a>1 D.在△ABC中，若AB·BC>0,则B为 C.已知a>1,若x≤0，则a≤1 锐角 D.已知0<a<1,若x≤0，则a≤1 ·8… 第一章集合与充要条件 通性通法 通性通法 1.写一个命题的其他三种命题时的注意事项 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)对于不是“若卫，则g”形式的命题，需先改 写为“若p,则q”形式 (1)定义法：根据p→q,q→p进行判断. (2)若命题有大前提，需保留大前提， (2)集合法：根据p,q成立的对应的集合之间 (3)注意一些常见词语及其否定表示： 的包含关系进行判断 词语是都是 都不是 等于 大于 [提醒]判断充要条件需注意三点： 否定不是不都是至少一个是不等于不大于 (1)要分清条件与结论分别是什么. 2.判断命题真假的两种方法 (1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经 (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断. 过严格的推理证明；而要说明它是假命 (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明. 题，只需举一反例即可. (2)间接判断（等价转化）：由于原命题与其逆 食跟踪训练 否命题为等价命题，如果原命题的真假不 3.已知a∈R,若集合M={0,a},N={0,1,2},则 易直接判断，那么可以利用这种等价性间 “a=1”是“MCN”的 () 接地判断命题的真假 A.充分不必要条件 食跟踪训练 B.必要不充分条件 1.转化与化归的数学思想很重要，比如要证明 C.充要条件 命题p:“若a≥是，则a·e>≥x”,我们可以 D.既不充分也不必要条件 证明命题 4.已知a∈R,若集合M={1,a},V={-1,0,1}, A.若a·e<x,则a< 则“a=0”是“M二N”的 A.充分不必要条件 B.若a·e≤x,则a< e B.必要不充分条件 C.若a·e<x,则a≤l C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.若a<尽，则ac< 专点三全称命题与特称命题 2.下列命题的逆命题是真命题的是 ( [例3]已知函数f(x)=x2-2ax+1,则 A.两直线平行，内错角相等 B.如果a=b,那么a2=b “a>1”是“f(x)在（一o∞，1）内单调递减”的 C.钝角三角形中有两个锐角 ( D.内错角相等 A.充分不必要条件 考点二充分条件、必要条件的判断 B.必要不充分条件 [例2](1)已知a,b都是实数，那么“b>a>0” C.充要条件 是日>分的 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 通性通法 B.必要不充分条件 判断充要条件需注意的3点 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (1)要分清条件与结论分别是什么. (2)已知p:x=2,q:x-2=√2一x,则p是 (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断： 9的 (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明. A.充分不必要条件 食跟踪训练 B.必要不充分条件 C.充要条件 5.二次函数y=a.x2+bx十c的图象在x轴上 D.既不充分也不必要条件 方的充要条件是 。9 高考总复习数学 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] (2)若x为无理数，则x2为无理数； 1.命题“若x,y都是偶数，则x十y也是偶数” (3)若x=y,则x2=y2; 的逆否命题是 ( (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的 A.若x十y不是偶数，则x,y都不是偶数 面积相等. B.若x十y是偶数，则x,y不都是偶数 C.若x十y是偶数，则x,y都不是偶数 D.若x十y不是偶数，则x,y不都是偶数 2.若a∈R,则“a=1”是“|a=1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断 3.向量a=(m,1),b=(1,m),则“m=1”是 [综合题组练] “a∥b”的 () 1.“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛 A.充分不必要条件 主席1935年10月所写的一首词《清平乐· B.必要不充分条件 六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄， C.充要条件 一种积极向上的奋斗精神.从数学逻辑角度 D.既不充分也不必要条件 分析，其中“好汉”是“到长城”的() 4.设x∈R,则“x2一5x<0”是“|x一1<1”的 A.充分条件 ( B.必要条件 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充要条件 2.设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使 D.既不充分也不必要条件 得A二C,B二CC”是“A∩B=⑦”的() 5.已知平面a,直线m,n满足m丈a,nCa,则 A.充分不必要条件 “m∥n”是“m∥a”的 () B.必要不充分条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充分必要条件 3.已知x,y为两个正整数，p:x=2且y=3, D.既不充分也不必要条件 q:x十y=5,则力是q的 条件. 6.“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的 4.设p:P={xx2-8.x-20≤0}，q:非空集合 条件 S={x1-m≤x≤1+m},且p是q的充分 7.已知集合A={x|a-2<x<a十2}，B={x| 不必要条件.求实数m的取值范围. x≤一2或x≥4}，则A∩B=⑦的充要条件 是 8.若“x2一x一6>0”是“x>a”的必要不充分 条件，则a的最小值为 9.下列“若p,则q”形式的命题中，p是q的什 么条件？（充分不必要条件，必要不充分条 件，既是充分条件也是必要条件，既不充分 也不必要条件) (1)若x=1,则x2一4x十3=0； ·10·高考总复习数学 的所有点，从而MUV表示坐标平面内除(2,3)外的所 有点.所以(C,M)∩(C,N)=C,(MUN)={(2,3)}. 答案：{(2,3)} 8.解析：因为A={0,2,a},B={1,a},若AUB={0,1,2, 4,16,则/a=16 {a=4,所以a=4. 答案：4 9.解：(1)因为A={xx>1或x<一3}，所以CA={x -3x1}; (2)由于(CuA)∩B=☑，CA={x-3≤x≤1}，当B =☑时，即a-2>2a-1时，即a<-1时，显然满足题 意；当B≠☑时，即a≥-1时，则u-2>1或2a-1< 一3，解得a>3;综上，实数a的取值范围是(-o,-1) U(3,+∞). 综合题组练 1LAD[由已知得号-合a+6-00空a+6-9② 则A={42}B=(合·}AUB ,1,号}，故选ACD.] {-43} 2.AC[由集合A={x∈Zx2-x-2≥0}， -1012 解得：A={x∈Zx≥2，或x≤-1}，.C,A={0,1},故 答案选AC.] 3.解析：集合A={xx≤a,集合B={1,2,3},若A∩B≠ 心，则1,2,3这三个元素至少有一个在集合A中，若2 或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1 ∈A即可，所以a≥1. 答案：[1，十∞) 4.解析：1)若a=合时A={红到-合<x<2}B=0< ≤3AUB={z-2<≤3}由uB={xx≤0 或>31，所以An(,B)-{-<r≤0} B 】023 (2)由A∩B=⑦知 当A=☑时.a-1≥2a+1,∴.a≤-2，当A≠☑时 2a+1a-1…或(2a+1>a-1, 1a-1≥3， 12a+1≤0， a≥4我-2Ka≤-合 a-12a+10 a-1 综上：实数a的取位范国是{au≤-或a≥4}： 1.3 梳理·必备知识知识点一 1.能够判断真假的语句2.(1)当命题给出的判断正确或 符合客观实际(2)当命题给出的判断不正确或不符合客 观实际 ·2 知识点二 充分且必要充要 基础自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.A[(A∩B)二A,.x∈A∩B→x∈A, .“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件.门 3.C[将x=1代入方程(x一1)2=0中，显然方程成立；解 方程(x一1)=0，可得x=1;故“x=1”为方程“(x-1) =0”的充要条件.故选C.] 4.A[条件乙：-1<x<5.所以0<x<5→-1<x<5,但 一1<x<5p0<x<5,所以甲是乙的充分不必要条件， 故选A.] 5.解析：因为{x一1<x<2}{xx<3},所以“x<3”是不等 式“一1<x2”成立的一个必要不充分条件. 答案：x<3 提升·学科素养 [例1](1)①B[y=sin'x=1-cs2x,T=2=元.所以 2 A是假命题；若方程a.x十bx十c=0(a≠0)的两根同号， 则西西=后>0，所以B是真命题：当MEN时，MUN =N,故C是假命题；：当AB·BC>0时，向量AB与BC的 夹角为锐角，而B可为钝角，故D是假命题.故选B.] ②[解析]1若a>6>0,则<石成立： 1若a>0>6:则>0，。<0，所以<名不成主： 重若0>a>6,到日<方<0成之 综上，只需选取符合“a>0>b”的一组a,b,就能说明原 命题是假命题 例如，a=1,b=一1；a=2,b=一1等. [答案]1，一1（答案不唯一） (2)C[根据原命题与否命题的关系，得原命题的否命 题为“已知a>1,若x≤0，则a≤1”.] [例】[解折]1①若}>方则}六-b2>0当 a b ab <b时、6成立；当a>0,6<0时，满足 ，但0<a<b不成立.故b>a>0”是“>”的充分 1 b 不必要条件，故选A. (2)当x-2=√2-x时，两边平方可得(x-2)=2-x, 即(x-2)(x-1)=0,解得x1=2,x2=1.当x=1时，-1 =√1，不成立，故舍去，则x=2,所以D是g的充要条件， 故选C, [答案](1)A(2)C [例3][解析]由题意，f(x)=x2-2a.x+1=(x-a)2+ 1一a2，此二次函数的对称轴为x=a, 当a>1时，f(x)在（一o∞，1）上单调递减成立，若f(.x)在 (一o∞，1)上单调递减，可得a≥1， .“a>1”是“f(x)在（一∞，1)上单调递减”的充分不必 要条件.故选A. [答案]A 跟踪训练 1,A[由题意可知，应证明命题力的逆否命题，即“若a· c<x,则a<1”] 2.A[A.逆命题：内错角相等，两直线平行， 该逆命题是真命题，故A符合题意； B.逆命题：如果a2=b,那么a=b, .'如果u2=b2·那么a=士b, .该逆命题是假命题，故B不符合题意； 6 C.逆命题：有两个锐角的三角形是 钝角三角形，该逆命题是假命题，故C不符合题意： D.逆命题：相等的角是内错角，是假命题，该逆命题是 假命题，故D不符合题意，数选A.] 3.A[当a=1时，集合M={1,0},N={0,1,2},可得M 二N,满足充分性，若M二N,则a=1或a=2,不满足必 要性，所以“a=1”是“M三N”的充分不必要条件，故 选A.」 4.A[当a=0时，M={1,0},可解M二V,当M二N时， a=0或一1，即“a=0”是“M二N”的充分不必要条件，故 选A.」 5.解析：①确定抛物线的开口方向 二次函数y=ax十bx十c的图象是抛物线，其开口方向 由二次项系数u决定.当a>0时，抛物线开口向上；当a <0时，抛物线开口向下，要使图象在x轴上方，抛物线 需开口向上，因此a必须大于0，所以a>0. ②判断抛物线与x抽的交，点情况 抛物线与x轴的交点个数由判别式△=b一4ac决定.当 4>0时，抛物线与x轴有两个不同交点；当△=0时，抛 物线与x轴有一个交，点（顶，点在x轴上）；当△<0时，抛 物线与x轴没有交点.要使图象在x轴上方，抛物线需 与x轴无交点，因此判别式需小于0，△=b-4ac<0. 综上，二次函数y=a.x2十bx十c的图象在x轴上方的充 要条件是a>0且△=b一4ac<0. 答案：a>0且△=b一4ac<0 突破·高效演练基础题组练 1.D 2.A[由a=1可得|a=1成立，由a=1得，a=1或a =-1,即|a=1得不到a=1,所以“a=1”是“|a=1”的 充分不必要条件.故选A.门 3.A 4.B[由x2-5.x<0可得0<x5.由x-1<1可得0< x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2-5x<0” 是“x一1<1”的必要而不充分条件，门 5.A[由线面平行的判定定理可知，m∥n→m∥a,但m∥ a争n∥.] 6.解析：因为-2x1Px>1或x<一1，并且x>1或x -1P-2<x<1,所以“-2<x1”是“x>1或x<-1” 的既不充分条件，也不必要条件. 答案：既不充分也不必要 7.解析：AnB=g台a+2≤4， 1a-2≥-2.90≤a≤2. 答案：0a2 8.解析：由x一x一6>0，解得x<2或x>3. 因为“x2一x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 所以{xx>a}是{xx<一2，或x>3}的真子集，即a≥ 3,故a的最小值为3. 答案：3 9.解：(1)因为命题“若x=1,则x2一4x十3=0”是真命题， 而命题“若x2-4x十3=0，则x=1”是假命题，所以p是 q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要 条件 (2)因为饣今y,而q→p,所以p是q的必要不充分条件. (3)因为p一q,而gPp,所以p是g的充分不必要条件 (4)因为p→q,而q护p,所以p是g的充分不必要条件. 综合题组练 1.A[设p为不到长城，推出7q非好汉，即一p→一q, 则q→，即好汉→到长城，故“好汉”是“到长城”的充分 条件，故选A.门 2.A[由A二C,B二CC,易知A∩B=⑦，但A∩B=☑ 时未必有A二C,B二CC,如图所示 B ·28 参考答案 所以“存在集合C使得A二C,B二CC”是“A∩B=☑” 的充分不必要条件.] 3.解析：若x=2且y=3,则x十y=5成立.可知p→q,反之 当x=1,y=4时，满足x十y=5, 但x=2且y=3不成立.p→q,q本p,故p是q的充分不 必要条件， 答案：充分不必要 4.解：由题知P={x一2x10}. :p是q的充分不必要条件。 …p→q且q力p,即P军S. 002什002 .m≥9，又因为S为非空集合， 所以1一1十m,解得m≥0， 综上，实数m的取值范围是[9，十∞). 第二章2.1 梳理·必备知识知识点一 1.a>b 2.a=b 3.a<b 知识点二 1.a>beb<a 2.a>c 3.a+c>b+c 4.ac>bc ac<bc 知识点三 1.a>c-b 2.a+c>b+d 3.ac>>bd 4.a">b" 知识点四 1.≥2.≥a=b3.≥a=b 思考 1.提示：a十c>b+d成立，a一c>b一d不一定成立，但a dDb-c成立. 2.提示：不一定，但当a>b>0,c>d>0时，一定成立. 基础自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6)× 2.A[因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0,b的符号 不确定，b一a<0,a一c>0,b-c>0,据此判断A成立，B, D不成立，C不一定成立， 3.DL因为c<d<0,所以0<-d<一c, 又0<b<a,所以-bd<-ac,即bd>ac, 又周为dD0,所以告告脚色>骨] c 4解析：由-受<a<径，-受<-K受a< 得-π<a-B0. 答案：（一π，0） 提升·学科素养 [例1】[解析]由题，十2(5x)≥2， {3(x1)>-2x-2).其中x+2 (5-x)≥2，化简得一x≥-8，解得x8,3(x-1)一2(x 一2)，化简得3x一3>-2x+4,解得x≥了，故不等式组 17 解集为（写8]故选B [答案]B [例2][解析]当b<0时， 显然有a>b台aa>bb: 当b=0时，显然有a>b台aa>bbl; 当b>0时，由a≥b有a>b, 所以a>b台aa>bb. 综上可知a>b台→aa>bb,故选C. [答案]C [例3][证明](1)因为a>b,c>0,所以ac>bc, 即-ac<-bc. 又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc. 跟踪训练 1.C[不等式组2x-6<0, 13x+3>0, 53. 1x>-1, .-1x3, 不等式组的解集为（一1,3）.故选C.」 7