1.1 集合及其关系-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第一章 集合与充要条件 集合的概念 确定性 定义：可以判断真假的陈述句 集合中元素的性质互异性 分类命题 无序性 集合的概念 集合与元素的关系 结构写成“若p,则g”的形式 不属宇 集合分类按元素个数 充分条件（一） 按元素性质 常见集合的符 必要条件（仁） 充要条件 列举法 号：N,N*,Z,Q,R 霏 性质描述法 充要条件（台） 集合的 表示法 图形法（文氏图，数轴） 既不充分也不必要条件（中） 区间法（数集） 子集AcB台P→g台P是q的充分条件 件 子集：AsB台P→9台 集合与集相等A=B台P一9台P是g的充要条件 p是q的充分条件 合的关系真子集AB=P=9且qp=p是g的充分不 必要条件 相等：A=B白P q台 子集与推 交集定义AnB=pAg 性质 p是g的充要条件 出的关系 集合的运算并集定义AUB台PVg或 逻辑 性质 联结词 真子集：A军B台P三g且q力A 补集定义CuA=p 非 一p是q的充分不必要条件 性质 1.1集合及其关系 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一]元素与集合的相关概念 「知识点四]集合的表示 1.元素：一般地，把 统称为元素，常用 1.列举法：把集合的元素 出来，并用 小写的拉丁字母 表示 括起来表示集合的方法叫作列 2.集合：一些 组成的总体，简称 ,常 举法 用大写拉丁字母 表示 2.描述法： 3.集合相等：构成两个集合的元素是 的. (1)定义：用集合所含元素的 表示集 4.集合中元素的特性： 和 合的方法称为描述法 (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集 [知识点二]元素与集合的关系 合元素的 及 1.属于：如果a是集合A的元素，就说 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中 ,记作 元素所具有的 2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说 [知识点五]集合间的基本关系 ,记作 1.一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中 [知识点三 常见的数集及表示符号 元素都是集合B中的元素，我们 非负整数集 数集 正整数集 整数集有理数集 就说这两个集合有包含关系，称集合A为 (自然数集)》 集合B的子集，记作 (或 符号 R 读作“ ”(或“ ”) 1 高考总复习数学 2.如果集合A是集合B的子集(A二B),且 (6)若A=B,则A二B. ( ( ),此时，集合A (7)空集是任何集合的真子集. 与集合B中的元素是一样的，因此集合A 2.用“∈”或“”填空： 与集合B相等，记作 专_N:-8_7E Q:0N' 3.如果A二B,但存在元素x∈B,且x在A,我们称 集合A是集合B的 ,记作 5 R (或 3.集合{0,1}的子集有 () 4.不含任何元素的集合叫作 ,记作 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知集合A={x一1一x<0},则下列各式 是任何集合的子集， 是任何非 正确的是 () 空集合的真子集 A.0二A B.{0}∈A [基础自测] C.0∈A D.{0}二A 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”) 5.能正确表示集合M={x|x∈R且0≤x≤≤1》 (1)某公司的优秀员工可以组成集合，( 和集合N={x∈R|x2=x}关系的Venn (2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集 图是 ( 合是相等的. (3)由一1,1,1组成的集合中有3个元素.( ) M (4)空集中只有元素0，而无其余元素.( ) (5)任何一个集合都有子集. ( ) B D 》 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一集合的概念及其表示 食跟踪训练 [例1](1)（集合的确定性）下面给出的四类 1.（1)(集合的确定性)下列四组对象中能构成 对象中，能组成集合的是 ( 集合的是 ( A.高一某班个子较高的同学 B.比较著名的科学家 A.某市第一中学高一学习好的学生 C.无限接近于4的实数 B.在数轴上与原点非常近的点 D.到一个定点的距离等于定长的点的全体 C.很小的实数 ②)已知a∈R6ER若袋合{兰， D.倒数等于本身的数 {a2,a十b,0},则b202-a2026的值为( (2)(集合的确定性)下列说法正确的是() A.-2B.-1 C.1D.2 A.2026年上半年发生的大事能构成一个 通性通法 集合 与集合中的元素有关问题的求解策略 B.小于100的整数构成的集合是无限集 (1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴） C.空集中含有元素0 数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类 D.自然数集中不含有元素0 型的集合 (3)(集合的互异性)若-1∈{2，a2-a-1, (2)看这些元素满足什么限制条件， (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中 a2十1}，则a= ( ) 元素的个数，要注意检验集合是否满足元 A.-1 B.0 素的互异性， C.1 D.0或1 ·2· 第一章集合与充要条件 专点二元素与集合的关系 食跟踪训练 给出下列6个关系：0号∈R.②5∈0 3.(1)若集合M={xx2-1=0},T={-1,0,1, [例2] 则M与T的关系是 ( ③0tN,④√4∈N,⑤π∈Q,⑥|-2|在Z. A.MT B.MCT 其中正确命题的个数为 C.M=T D.M∈T A.4 B.3 C.2 D.1 (2)用Venn图表示下列集合之间的关系： A={xx是平行四边形}，B={xx是菱形}， 通性通法 C={x|x是矩形}，D={x|x是正方形}. 首先确定集合的元素是什么，即集合是 数集还是点集或其他，再明确集合元素满足 的限制条件是什么。 食跟踪训练 2.用符号“∈”或“在”填空 若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集 合，则点(0,0) A,(1,1) A, (-1,1) A 专点三 集合间关系的判断 春点四子集、真字集的个数问题 [例3](1)下列各式中，正确的个数是( [例4](1)已知集合A={x∈R|x2-3.x+2 ①{0}∈{0,1,2} ②{0,1,2}二{2,1,0} =0},B={x∈N|0<x<5},则满足条件A ③0C{0,1,2}④☑={0}⑤{0,1}={(0,1) C丢B的集合C的个数为 ⑥0={0} A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知集合A={x∈Rx2=a},使集合A (2)指出下列各组集合之间的关系： 的子集个数为2个的a的值为 ①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1, A.-2 B.4 一1)，(1,1)}；②A={x|x是等边三角形}， C.0 D.以上答案都不是 B={xx是等腰三角形}；③M={x|x= 通性通法 2n-1,n∈N},V={xx=2+1,n∈N. 空集是任何集合的子集，是任何非空集 [尝试解答] 合的真子集，应时刻关注对空集的讨论；任何 集合都是自身的子集；含有n个元素的集合， 共有2”个子集，有2”一1个真子集，2”一1个 非空子集。 ★跟踪训练 4.(1)已知集合M={x∈Z1≤x≤m},若集 通性通法 合M有4个子集，则实数m () (1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化 A.1 B.2 C.3 D.4 简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量 (2)若集合A{1,2,3},且A中至少含有一 个奇数，则这样的集合有 个 精确. (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是 专点五根据集合之间的关系求参数 将条件转化为元素或区间端点间的关系 [例5]已知集合A={-1,2},B={xa.x-2 =0},若B二A,则实数a的取值所组成的集 (要注意区间端点的取舍)，进而转化为参 合是 ) 数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直 A.{-1,2} B.{-2,1} 观解决这类问题！ C.{-2,0,1} D.{-1,0,2} ·3· 高考总复习数学 通性通法 食跟踪训练 5.设集合A={x|x2-8.x+15=0},B={x|a.x 根据集合间的关系求参数的策略 -1=0}. (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论 I)若a=日，试判定集合A与B的关系： 因为二A对任意集合A都成立， (2)若B二A,求实数a的取值集合. (2)借助Venn图和数轴使抽象问题直观化， 列出关于参数的等式或不等式（组）. (3)注意检验区间端点值， 》 突破·高效演练 分层训练 高效提能 [基础题组练了 10.已知A={xx2-3x+2=0},B={xla.x 1.下列对象能构成集合的是 2=0},且B二A,求由实数a的值组成的集 A.高一年级全体较胖的学生 合C. B.高一(2)班的高个子学生 C.比较大的自然数 D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 2.集合A={1,2,3,5},当x∈A时，若x-1 A且x+1庄A,则称x为A的一个“孤立元 素”，则A中孤立元素的个数为 () A.1 B.2C.3 D.4 3.已知集合A={1,2},B={x|x2-(a+1)x 十a=0,a∈R},若A=B,则a=() A.1 B.2C.-1D.-2 [综合题组练] 4.已知集合A={一1,0,1}，则含有元素0的 1.已知集合{xx2+ax=0}={0,1},则实数a的 A的子集的个数为 ( 值为 () A.2 B.4 C.6 D.8 A.-1 B.0 C.1 D.2 5.设A={x|2<x<3},B={x|x<m},若 2.已知集合A={x|x2-2x≤0}，B={xlx≤a}, A二B,则m的取值范围是 若A二B,则实数a的取值范围是( A.m>3 B.m≥3 A.a≥2 B.a>2 C.m<3 D.m≤3 C.a<0 6.已知集合A={xx-3>0},B={x|2x-5 D.a≤0 ≥0}，则这两个集合的关系是 3.集合M={x|x=3”,n∈N},集合N={x|x 7.设集合A={1,3,a},B={1,a-a+1},且 =3n,n∈N},则集合M与集合N的关系为 B二A,则a的值为 () 8.已知A={x|-3<x<5,B={xlx>a}, A.MN B.NM A二B,则实数a的取值范围是 C.M-N D.M在N且N生M 9.已知M={2,a,b},N={2a,2,b},且M= N,试求a与b的值. 4.已知集合M={女-经+子∈Z,集合 N-{女-暂-无k∈Z,则 () A.MN B.NM C.M=N D.以上都不对 5.已知集合A={xax-6=0},B={x|2x2一 3x=0},且A二B,则a=高考总复习数学 参考 第一章1.1 梳理·必备知识知识点一 1.研究对象a,b,c.. 2.元素集A,B,C. 3.一样4.确定性互异性无序性 知识点二 1.a属于集合Aa∈A2.a不属于集合Aa任A 知识点三 实数集NN或N,ZO 知识点四 一列举花括号“{}”2.(1)共同特征(2)一般符 号取值（或变化）范围共同特征 知识点五 1.任意一个A二BB2AA含于BB包含A 2.集合B是集合A的子集B二AA=B3.真子集 AB(或B吴A)4.空集心5.空集空集 基础自测 1.(1)×(2)/(3)×(4)×(5)/(6)√(7)× 2.解析：因为号不是自然数，所以号N,一3是整数，所以 一3∈Z:因为√2不是有理数，所以√2任Q:0不是非零自 然数，所以0庄N:因为5是实数，所以√5∈R. 答案：庄∈氏任E 3.D[集合{0,1》的子集为②，{0}，1}，{0,1}.] 4.D[集合A={x-1-x<0}={xx>-1},所以0∈ A,{0}二A,D正确.门 -2-1012 5.B[N={.x∈Rx2=x〉={0,1}，M={xx∈R且0x 1},.NM.] 提升·学科素养 例1](1)D[选项A,B,C所描述的对象没有一个明确 的标准，故不能构成一个集合， 选项D的标准唯一，故能组成集合.故选D.] (2B[{a,b,1〉={a2,a+b,01.b=0,则b=0; .{a,0,1}={a,a,0},a2=1且a≠1，.a=-1, .62026-a226=0-1=-1.故选B.] [例2]C[R,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然 数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，3，π都 是无理数，所以②③⑤⑥⑤不正确.] [例3][解析](1)B[对于①，是集合与集合的关系， 应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个 集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集； 对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素， 并且空集是任何非空集合的真子集，所以⑦三{0}；对于 ⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而〈(0,1)}是以 有序数对(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)} 不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}. 故②③是正确的，应选B.] (2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有 序实数对，故A与B之间无包含关系. ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边 相等的三角形，故AB. ③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于 n∈N*,因此集合M含有元素“1”，而集合V不含元素 “1”,故NM. 方法二由列举法知M={1,3,5,7,..},N={3,5,7, 9,.·.},所以N手M. [例4幻[解析](1)由x2-3.x十2=0，得x=1或x=2, 所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件 的C可为{1,2,3}，{1,2,4}. ·2 答案 (2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2=a只有 一个解；若方程.x2=a只有一个解，必有a=0. [答案](1)B(2)C [例5][解析][：B二A,当a=0时，B=☑，满足条件， 当a≠0时，B={-1}或{2}，即-a-2=0或2a-2=0, 解得a=一2或a=1.综上可得，实数4的取值所组成的 集合是{0，一2,1}.故选C. [答案]C 跟踪训练 1.(1)D(2)B (3)B[①若a2-a-1=-1,则a2-a=0,解得a=0或 a=1,a=1时，{2，a2-a-1,a+1}={2,-1,2},舍去， ∴.a=0; ②若a十1=一1，则a=一2，a无实数解；由①②知：a =0.故选B.] 2.解析：第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直 线y=x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y=x上， (-1,1)不在直线上..(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1)A. 答案：∈∈任 3.(1)A[因为M={xx2-1=0}={-1,1}, 又T={-1,0,1},所以MT.] (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间 的关系，再画Venn图.如图所示. A B D 4.解析：(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个 元素，丈由M={x∈Z1xm},其元素为大于等于1 而小于等于m的全部整数，则m=2. (2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}， {3,2};若A中含有两个奇数，则A={1,3}. 答案：(1)B(2)5 5.解：(1)由x2一8x十15=0，得x=3或x=5, 数A=35,当a=号时， 由a.x-1=0,得x=5.所以B={5},所以B至A. (2)当B=⑦时，满足B二A,此时a=0:当B≠0，a≠0 时，集合B= 1) 1 、由B二A得=3或三5，所以a=3或a与： 11 综上所速，实数口的取值集合为{0,3，} 突破·高效演练基础题组练 1.D2.A3.B 4.B[根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}， {0,一1}，{-1,0,1}，共4个.] 5.B[因为A={x2<x<3},B={xx<m},A二B,将集 合A,B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.] B A 2 3 m 6.解析：A={xx-3>0}={xx>3},B={x2x一5≥0} ={≥}站合教轴知A=B 0123 答案：A手B 7.解析：，A={1,3,a},B={1,a2-a十1}，且B二A, ,.a2-a+1∈A,.u-a+1=3或a2-a+1=a. 由a2一a十1=3，得a=2或a=-1; 由a2-a十1=a,得a=1.经检验，a=1时集合A,B不 满足集合中元素的互异性，舍去.故a=一1或a=2. 答案：一1或2 8.解析：在数轴上画出集合A. -30 又因为A二B,所以a<-3,当a=一3时也满足题意，所 以a一3. 答案：{aa一3》 9.解：根据集合中元素的互异性， a= 有侣侣岸群8成88 (b=0或 4 16= 2 1 la= 再根据集合中元素的互异性，得=0， (6=1或 4 b-2 10.解：由x一3x十2=0，得x=1或x=2.所以A={1,2}. 因为B二A,所以对B分类讨论如下：①若B=⑦，即方 程ax一2=0无解，此时a=0; ②若B≠⑦，则B={1}或B={2}. 当B={1}时，有a-2=0,即a=2; 当B={2}时，有2a一2=0，即a=1.综上可知，符合题 意的实数a所组成的集合C={0,1,2}. 综合题组练 1.A[由x十ux=0,得x(x十a)=0,所以x=0或x=一a. 所以由已知条件可得一a=1,所以a=一1.] 2.A[A={x0x2},B={xxa},.为使A二B, a须满足a≥2.] 02a 3.D[因为1∈M,1任N,所以M车V,因为0∈N,0任M, 所以V车M.综上知，M车N且N车M.] 4A[:经+-2+D,k元 4 8 管-吾-行2ke ·.任取z∈M,有x∈N,且∈N,但gEM, '.MN.] 5.解析：B=x2x-3x=0)={0,号}当A=⑦时，AC B成立，此时u=0,当A≠☑时，A={xax-6=0}= {8}因为ACB所以日=是释a=4,维上a=0我a =4,故答案为0或4. 答案：0或4 1.2 梳理·必备知识知识点一 1.或并集2.{xx∈A,或x∈B} 知识点二 1.且交集2.{xx∈A,且x∈B》 知识点三 1.AA0A2.AB3.三=== 知识点四 1.全集U2.集合A相对于全集U的补集补集C,A {xx∈U且x任A}3.0UAU☑ ·28 参考答案 基础自测 1.(1)×(2)×(3)/ 2.B[MUV表示属于M或属于V的元素组成的集合， 故MUN={-1,0,1,2}.] 3.C「因为A={1,2},AUB={1,2,3}.所以B={3}或 {1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C.] 4.{2}U或{2,3,4} 5.{非锐角三角形}或{直角三角形、钝角三角形》 提升·学科素养 [例1](1)[解析]M={a,c},.a,c不再是CvM中 元素，故CM={b,d},所以选C. (2)在B中且不在A中的区域表示为B∩(CuA).故 选B. [答案](1)C(2)B [例2]解析](1)因为集合A={x0xa,a>0}, B={0,1,2,3},若A∩B有3个真子集，则A∩B={0,1}, 所以1≤u<2.所以a的取值范围是[1,2). (2)A={-2,-1},由(CA)∩B=0,得B二A. x+(m十1)x十m=0可化为(x十1)(x十m)=0, 当m=1时，B={-1},符合题意； 当m≠1时，B={-1,-m},为使B二A成立，须有-m =-2,即m=2.综上知m=1或2. [答案](1)B(2)1或2 跟踪训练 1.(1)A[画出数轴，故AUB={xx>-2}.] -2-10 (2)解：如图所示， -2 2 当a<一2时，AUB=A: 当-2≤a<2时，AUB={xx>-2}; 当a≥2时，AUB={x|-2<x<2,或x>a.}. 2.解：A={xa≤x≤b,∴.CuA={xx>b或x<a. 又CuA={xx>4或x<3},.a=3,b=4. 0 34 3.解：由(CA)∩B={2},∴.2∈B且2庄A. 由A∩(CB)={4},.4∈A且4EB. 分别代入得4+4p+12=0 122-5×2+q=0 .p=-7,q=6,.A={3,4},B={2,3}, .AUB={2,3,4}. 突破·高效演练基础题组练 1.C[由题意得B={1,3},所以AUB={-1,1,2,3}, Cv(AUB)={-2,0}.故选C.] 2.A3.C 4.B[由题可知，CuN={0,1,3},又因M={1,2,3},所 以M∩CuN={1,3},故选B.] 5.B[因为集合A={0,1,2,3,4,5},B={xx=2n,n∈ V”},所以A∩B={2,4},故选B.] 6.解析：因为全集U=1,2,3,4,5},集合A=(1,3,4},B= {3,5},所以A∩B={3},则C,A={2,5}. 答案：3}2,5} 7.解析：M= {w=-} y y=x+1(x≠2) {(x,y)|y=x十1，且x≠2}，如图 2 所示，集合U表示坐标平面内的 所有，点，M表示直线y=x十1上 除去(2,3)的所有点，而N表示坐 1012 标平面内除去直线y=x十1之后 35