题型专题03 数列通项、求和与性质4类题型解密（抢分专练）（上海专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题03 数列通项、求和与性质 题型 考情分析 考向预测 1.等差、等比数列的基本运算 2025年上海卷：T7考查等差、等比数列基本量运算 2024年上海卷：T7考查等差数列；T7考查数列的函数性质 2023年上海卷：T3考查等比数列基本量运算；T21 数列与导数的综合 预计在2026年高考中，高考对数列求和的考查主要以解答题形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度为中等偏下,有时也常与函数、不等式等交汇命题. 2.等差、等比数列的性质 3.数列求和 4.数列中创新问题 题型1 等差、等比数列的基本运算 1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. 3.等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. 4.等比数列的前n项和公式： Sn＝ 5.等差、等比数列的基本量问题的求解 (1)抓住基本量：首项a1、公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)形式的数列为等比数列. 【例1】（2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 【答案】/ 【解析】因为，，则， 且，所以. 【变式1-1】（2026·上海奉贤·一模）已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______． 【答案】/0.25 【解析】设等比数列的公比为， 因为各项均为正数，若，， 则，故该等比数列的公比为. 【变式1-2】（25-26高三上·上海青浦·期末）设等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】6 【解析】设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 则. 【变式1-3】（2026·上海普陀·一模）设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 【答案】2 【解析】设等差数列的公差为， 由得， 即，解得. 题型2等差、等比数列的性质 1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a. 2.前n项和的性质(m，n∈N*)： 对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外). 3.等差、等比数列性质问题的求解 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解. (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题. 【例2】（新考法）（2026·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则_____________. 【答案】7 【解析】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 【变式2-1】若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=___________. 【答案】50 【解析】根据等比数列的性质可得，所以. 令，则， 于是， 所以. 【变式2-2】（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为____________. 【答案】/ 【解析】设等差数列的首项为，公差为， . 所以，， 所以：. 【变式2-3】（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________. 【答案】2 【解析】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 题型3 数列求和 1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和. 3.裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数 ， (2)分母两项的差与分子存在一定关系 ， (3)分母含无理式＝－. 4.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式. 【例3】（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 【变式3-1】（2026·上海宝山·月考）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 【解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差， 所以. 对于，且， 所以是等比数列. （2）由（1）可知：， 可得， 令，解得， 所以满足的的最小值为13. （3）由（1）可知：， 则，可知数列为等差数列， 设数列的前n项和为，则， 令，解得， 当时，，则； 当时，，则 ； 综上所述：. 【变式3-2】（2026·上海宝山·一模）已知数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式；写出的具体展开式，并求其值. 【解】（1）由，得， 即时，且， 所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列. （2）由（1）知数列是等比数列，公比为3，且首项， 从而，所以， . 【变式3-3】（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 【解】（1）由题意可知，，即，即， 整理可得，因为， 所以，， 因此，. 所以，，， 则等比数列的公比为， 故. （2）由（1）可得， 所以， . 题型4 数列中创新问题 数列中的新定义问题，主要是指即时定义新概念、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于更透彻地理解新定义.但是，归根结底这些问题考查的还是数列的基本概念、性质和运算，根据条件适时转化是解决此类问题的基本思路与原则. 【例4】（2026·上海黄浦·期末）设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而． (1)求，； (2)若是首项为2，公比为2的等比数列，求； (3)若，则与之间有何关系？请求出的通项公式． 【解】（1）当时，所有的不同数列为：，， ，， 当时，所有的不同数列为：，， ,,及共12种，， 所以，. （2）由题知， 设,不全为零， 则 , 则，，，，，， ，， . （3），， ，即， ， ， 累加得，又， ， 所以，. 【变式4-1】（25-26高三下·上海金山·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 【解】（1）证明：因为数列的前项和， 所以当时，，解得，所以； 当时，， 由，得， 化简得， 所以，两边加1得， 所以数列是首项为3、公比为3的等比数列； （2）由（1）知，，所以， 集合中的元素形如， 因式分解得：， 因此的元素对应，其中，， 则的取值范围为，且对任意整数， 均存在，使得， 所以的不同值个数为，从而； 【变式4-2】（24-25高三下·上海·月考）定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. (1)若 ，证明:数列 是 数列； (2)设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； (3)设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 【解】（1）解：（1）由得， 所以数列满足． 单调递减， 所以当时，取得最大值0，即． 所以，数列是T数列． （2）由， 得， 当，即时，，此时数列单调递增； 而当时，，此时数列单调递减； 因此数列中的最大项是， 所以的取值范围是． （3）假设数列是数列，依题意有： ， 因为，所以当且仅当小于的最小值时， 对任意恒成立， 即可得． 又当时，，，故， 综上所述：当且时，数列是数列． 【变式4-3】（2026·上海奉贤·期末）已知无穷数列，.若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”. (1)若，，判断与是否“伴随”，说明理由； (2)已知数列的前项和为，满足，证明：与“伴随”. 【解】（1）数列与不“伴随”. 取，， 所以数列与不“伴随”. （2）数列中，，则，解得， ，即， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，，， 则， 所以与“伴随”. 1．（2026·上海崇明·一模）已知等差数列首项为，公差，则其前6项和_______． 【答案】36 【解析】由题意，所以. 2．（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 【答案】 【解析】，,计算可得； 又成等比数列， ,变换可得,代入，计算可得,。 3．（2025·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 _____. 【答案】 【解析】对的两边取倒数得， 所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，所以． 4．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【答案】 【解析】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 5．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数________． 【答案】15 【解析】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 6．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 7．（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【答案】B 【解析】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B 8．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【解析】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 9．（2025·上海金山·三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】A 【解析】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： 10．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】，，带入， 得，解得，， 当，得， 化简得，又 若，则，，所以或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则， 因为，， 所以，故无整数解，所以①是真命题； 设，，所以②是真命题； 故选：A. 11.（2026·上海崇明·期中）在等差数列中，，且构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【解】（1）设等差数列的公差为，由构成等比数列，得， 而，则，而，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 数列都是递增数列，则数列为递增数列， 而， 所以时，正整数的最小值为6. 12．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）由题意，， 当时，， 当时，， 则. （2）， 设，当时，， 恒成立， 则， 因为，所以. 13．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 14．（2026·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 15．（2026·上海徐汇·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 【解】（1）由题意得，，. 因为，所以， 解得，所以，， 所以数列的公比为3， 所以数列的通项公式为. （2）∵数列为等差数列，且公差为2， ，， ∴， 解得，故. 16．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 17．（2026·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 18．已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和以及的值； (3)若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）由，， 因为（）， ∴数列是公比为，首项为1的等比数列. （2）因为，所以， . （3）因为，所以， 所以，所以恒成立，所以， 设，易知，，， 当时，，令，故单调递减， 即， 所以，所以. 19．设是数列的前项和，且是和2的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记； ①求数列的前项和； ②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【解】（1）是和2的等差中项， ①， 当时，， 当时，②， ①-②得：， ， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， . （2）① ， ②由①可得：， ， 由于单调递增， 可得， 即， 则存在常数，使对恒成立， 可得，即的最小值为. 20．（2026·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【解】（1），因为， 所以是以为公比的等比数列； （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列通项、求和与性质 题型 考情分析 考向预测 1.等差、等比数列的基本运算 2025年上海卷：T7考查等差、等比数列基本量运算 2024年上海卷：T7考查等差数列；T7考查数列的函数性质 2023年上海卷：T3考查等比数列基本量运算；T21 数列与导数的综合 预计在2026年高考中，高考对数列求和的考查主要以解答题形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度为中等偏下,有时也常与函数、不等式等交汇命题. 2.等差、等比数列的性质 3.数列求和 4.数列中创新问题 题型1 等差、等比数列的基本运算 1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. 3.等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. 4.等比数列的前n项和公式： Sn＝ 5.等差、等比数列的基本量问题的求解 (1)抓住基本量：首项a1、公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)形式的数列为等比数列. 【例1】（2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 【变式1-1】（2026·上海奉贤·一模）已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______． 【变式1-2】（25-26高三上·上海青浦·期末）设等差数列的前项和为，若，则__________. 【变式1-3】（2026·上海普陀·一模）设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 题型2等差、等比数列的性质 1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a. 2.前n项和的性质(m，n∈N*)： 对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外). 3.等差、等比数列性质问题的求解 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解. (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题. 【例2】（新考法）（2026·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则_____________. 【变式2-1】若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=___________. 【变式2-2】（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为____________. 【变式2-3】（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________. 题型3 数列求和 1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和. 3.裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数 ， (2)分母两项的差与分子存在一定关系 ， (3)分母含无理式＝－. 4.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式. 【例3】（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【变式3-1】（2026·上海宝山·月考）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 【变式3-2】（2026·上海宝山·一模）已知数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式；写出的具体展开式，并求其值. 【变式3-3】（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 题型4 数列中创新问题 数列中的新定义问题，主要是指即时定义新概念、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于更透彻地理解新定义.但是，归根结底这些问题考查的还是数列的基本概念、性质和运算，根据条件适时转化是解决此类问题的基本思路与原则. 【例4】（2026·上海黄浦·期末）设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而． (1)求，； (2)若是首项为2，公比为2的等比数列，求； (3)若，则与之间有何关系？请求出的通项公式． 【变式4-1】（25-26高三下·上海金山·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 【变式4-2】（24-25高三下·上海·月考）定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. (1)若 ，证明:数列 是 数列； (2)设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； (3)设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 【变式4-3】（2026·上海奉贤·期末）已知无穷数列，.若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”. (1)若，，判断与是否“伴随”，说明理由； (2)已知数列的前项和为，满足，证明：与“伴随”. 1．（2026·上海崇明·一模）已知等差数列首项为，公差，则其前6项和_______． 2．（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 3．（2025·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 _____. 4．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 5．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数________． 6．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为______． 7．（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 8．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 9．（2025·上海金山·三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 10．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 11.（2026·上海崇明·期中）在等差数列中，，且构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 12．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 13．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 14．（2026·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 15．（2026·上海徐汇·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 16．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 17．（2026·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 18．已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和以及的值； (3)若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 19．设是数列的前项和，且是和2的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记； ①求数列的前项和； ②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 20．（2026·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $