题型专题01 函数性质与基本初等函数6类题型解密（抢分专练）（上海专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题01 函数性质与基本初等函数（抢分专练） 题型 考情分析 考向预测 1.函数的定义域 2025年上海卷：14题考查幂函数的性质 2024年上海卷：分段函数解不等式 2023年上海卷： 分度函数的值域 以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性； 2.利用函数的性质推断函数的图象； 3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强． 2．分段函数 3．基本函数的图象 4．基本函数的性质 5．函数的零点 6．函数性质的综合应用 7.抽象函数 题型1 函数的定义域 复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 【例1】（25-26高三下·上海金山·月考）求函数的定义域________. 【答案】， 【解析】由题意，，所以，解不等式可得，， 所以函数的定义域为，. 【变式1-1】（25-26·上海普陀期末）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式1-2】函数的定义域为________. 【答案】 【解析】由题意可得，得 或. 函数的定义域为， 【变式1-3】（2026·上海浦东·期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是， 则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为. 题型2．分段函数 1.分段函数求值的策略 　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值. 2.与分段函数有关的方程、不等式的求解思路 解与分段函数有关的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 【例2】（25-26高三下·上海黄浦·月考）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，不等式可化为，所以，可得； 当时，不等式可化为，所以，且，所以， 所以不等式的解集是，故选B. 【变式2-1】（2026·上海金山一模）已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，， 所以，故选C 【变式2-2】设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，，故：C. 【变式2-3】（2026·上海徐汇模拟）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】当时，得， 当时，，得，所以， 综上：的解集为， 题型3．基本函数的图象 1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同. 2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，，－1五种情况. 【例3】（2026·上海宝山·期末）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A 【变式3-1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）函数在区间上的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，， 则函数为偶函数，排除选项AB； 又，则，排除选项D，选项C符合题意. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高三上·上海徐汇·期中）函数的大致图像如图，则其解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知函数的图象知：函数的定义域为，且函数值恒大于等于零， 对于A选项，的图象是两条射线， 与已知图象不符，故不正确. 对于B选项,的定义域为，与已知图象不符，故不正确. 对于C选项,当时,是一个单调递增的曲线，当时,是一个单调递减的曲线，整体图象关于对称，且在处平滑连接,与已知图象相符，故正确. 对于D选项,当时，，增长速度较快，当时，，下降速度也较快，与已知图象不符，故不正确. 故选：C 【变式3-3】（24-25高三下·上海宝山·期末）已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为当时，均有意义，所以，所以， 当时， 令，可得在上单调递减，单调递增， 所以在上单调递减， 设函数，则， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A符合题意. 故选：A. 题型4．基本函数的性质 1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 【例4】（2026·上海徐汇·期末）已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______． 【答案】2 【解析】为幂函数， ，解得或； 当时，，是偶函数，满足题意； 当时，，其定义域为，不为，故不满足题意； 综上所述：； 【变式4-1】（2026·上海崇明·期末）已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值域是______． 【答案】 【解析】因为时，，函数为增函数， 所以， 又是定义域为的偶函数， 所以图象关于轴对称，故当时，， 即的值域. 【变式4-2】（2026·上海奉贤·期末）已知且，且函数过点，则函数，的值域为______. 【答案】 【解析】因为函数过点， 所以，即，解得，所以， 所以， 由对数函数的单调性知，在上单调递增， 所以，即， 【变式4-3】（2026·上海金山·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【解析】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 题型5．函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在定理判断； (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根； (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性. 【例1】（2026·上海普陀·期末）设且，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】对于，在上单调递减，在上单调递增，且， 因，，设，则， 又由可得，依题意，该方程有两解，且， 则， 对于，因， 故. 【变式5-1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由题意得 ， 作出函数的图像，如图所示， 由图及解析式可知，在单调递减，在单调递增，且， 在单调递减，在单调递增，且，， 因为函数恰有两个零点， 得到与图象有且仅有两个交点，故或. 【变式5-2】（25-26高三上·上海闵行·期末）已知，其中，若函数有两个不同零点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】令，即，则， 当或时，，则， 此时函数在和上单调递增，， 且时，，时，； 当或时，，则， 此时函数在和上单调递减.作出函数的图象：    由题意，函数有两个不同零点， 则函数与有2个交点， 由图可知，要使函数与有2个交点， 则或，即的取值范围为. 【变式5-3】对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”．已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由题意可知，对任意的恒有两个不同的解， 即由，需使对任意的恒成立， 即关于的不等式对任意的恒成立 当时，，需使，解得，则； 当时，，需使，解得，则且． 综上，． 题型6．函数性质的综合应用 1.函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. 【例1】（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ，． 【变式6-1】（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】由条件可知，在单调递增，且在单调递减， 所以，或， 所以不等式，等价于或， 解得：或， 所以不等式的解集为. 【变式6-2】（25-26高三上·上海·期末）已知函数满足，对任意的都有，当时，，则__________. 【答案】 【解析】由，得， 所以函数为周期函数，周期为， 所以， 因为当时，，所以， 所以. 【变式6-3】（25-26高三上·上海·月考）已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 【答案】0 【解析】因为，所以，即， 又为偶函数，所以，所以， 所以，即， 综上，，即，故是以4为周期的周期函数. 由，令，得，即，所以. 由，令，得. 所以. 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）函数 的图像恒过定点_____. 【答案】 【解析】令，解得, 则, 所以函数图像恒过定点. 2．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 3．（25-26高三上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】设， 当时，，即函数在上的值域为， 要使得函数的值域为，则该函数在上的值域包含， 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，， 所以函数在上的值域为， 由题意可得，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 4．（25-26高三下·上海·月考）函数的严格减区间为____________. 【答案】. 【解析】因为对数函数底数，外函数为增函数， 故函数的减区间即为内函数在定义域内的减区间， 即且是减函数， ，解得， 故函数的严格减区间为：. 5．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 6．（25-26高三上·上海·期末）若函数和的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】设是的图象上的任意一点，则它关于轴的对称点必不在函数的图象上，即关于的方程无解，显然，则无解. 因，当且仅当，即时取等， 故有. 7．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】方程即， 显然为方程的一个根， 由题意方程有2个非零根，则函数与有两个交点， 画出函数的图象，如图所示： 由图可知，故实数的取值范围为. 8．（25-26高三上·上海浦东新·月考）设，若存在定义域为的函数既满足“对于任意，或”，又满足“关于x的方程无实数解”，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由，得或2， 所以函数的图象必过点， 当或2时，必定有解； 当且时，将直线与函数或图象的交点去掉， 用另一个函数图象上对应的横坐标的点替换即可符合题意， 则实数a的取值范围是. 10．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知函数满足对任意实数均成立．若，，则______． 【答案】1 【解析】由， 得， 两式相减得， 若，则， 当时可得，与矛盾，等式不成立， 因此，即，函数是周期为3的周期函数， 所以. 9．（25-26高三上·上海奉贤·期中）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为元. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】若仓库前面墙体的长为米，则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 故， 故，则，所以实数的取值范围是. 11．（25-26高三上·上海·月考）函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】， 由于，当时，，函数在上单调递减，排除AB， 当时，，函数在上单调递增，排除C. 故选：D. 12．（25-26高三上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】， 令，可得或. 故选：C 13．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】定义在上的偶函数在上是严格减函数， 若，则有，所以，解得 14．（2025·甘肃武威·模拟预测）定义在上的函数满足，且，若，则（   ） A．512 B．2026 C．3032 D．4052 【答案】D 【解析】由及， 得，即， 由，得， 所以，又， 所以构成以2为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：D. 15．（25-26高三上·上海·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【解析】对于①：设、是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数， 且，可得， 可得，， 因为，可知为奇函数， ，可知为偶函数，故①为真命题； 对于②：设，，， 可知、、均是定义域上的奇函数， 且，，， 所以、、均是定义域上的奇函数，故②是真命题； 故选：A. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数性质与基本初等函数（抢分专练） 题型 考情分析 考向预测 1.函数的定义域 2025年上海卷：14题考查幂函数的性质 2024年上海卷：分段函数解不等式 2023年上海卷： 分度函数的值域 以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性； 2.利用函数的性质推断函数的图象； 3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强． 2．分段函数 3．基本函数的图象 4．基本函数的性质 5．函数的零点 6．函数性质的综合应用 7.抽象函数 题型1 函数的定义域 复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 【例1】（25-26高三下·上海金山·月考）求函数的定义域________. 【变式1-1】（25-26·上海普陀期末）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【变式1-2】函数的定义域为________. 【变式1-3】（2026·上海浦东·期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 题型2．分段函数 1.分段函数求值的策略 　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值. 2.与分段函数有关的方程、不等式的求解思路 解与分段函数有关的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 【例2】（25-26高三下·上海黄浦·月考）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·上海金山一模）已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式2-2】设，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·上海徐汇模拟）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 题型3．基本函数的图象 1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同. 2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，，－1五种情况. 【例3】（2026·上海宝山·期末）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）函数在区间上的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·上海徐汇·期中）函数的大致图像如图，则其解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高三下·上海宝山·期末）已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型4．基本函数的性质 1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 【例4】（2026·上海徐汇·期末）已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______． 【变式4-1】（2026·上海崇明·期末）已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值域是______． 【变式4-2】（2026·上海奉贤·期末）已知且，且函数过点，则函数，的值域为______. 【变式4-3】（2026·上海金山·期末）函数，的最小值为_________． 题型5．函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在定理判断； (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根； (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性. 【例1】（2026·上海普陀·期末）设且，若，则的取值范围是___________． 【变式5-1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 【变式5-2】（25-26高三上·上海闵行·期末）已知，其中，若函数有两个不同零点，则的取值范围为___________． 【变式5-3】对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”．已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为___________． 题型6．函数性质的综合应用 1.函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. 【例1】（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【变式6-1】（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是____________. 【变式6-2】（25-26高三上·上海·期末）已知函数满足，对任意的都有，当时，，则__________. 【变式6-3】（25-26高三上·上海·月考）已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）函数 的图像恒过定点_____. 2．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 3．（25-26高三上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 4．（25-26高三下·上海·月考）函数的严格减区间为____________. 5．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 6．（25-26高三上·上海·期末）若函数和的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为_______． 7．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______. 8．（25-26高三上·上海浦东新·月考）设，若存在定义域为的函数既满足“对于任意，或”，又满足“关于x的方程无实数解”，则实数a的取值范围是__________. 10．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知函数满足对任意实数均成立．若，，则______． 9．（25-26高三上·上海奉贤·期中）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为元. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是__________ 11．（25-26高三上·上海·月考）函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 12．（25-26高三上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·甘肃武威·模拟预测）定义在上的函数满足，且，若，则（   ） A．512 B．2026 C．3032 D．4052 15．（25-26高三上·上海·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $