第2章 平面解析几何初步 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 以直线与圆的方程及应用为核心，通过高考真题与模拟题整合，提炼距离公式、几何性质等解题方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，发展几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考真题练|11题（含2024北京卷等）|距离公式、勾股定理求弦长、几何性质简化计算（如定点分析）、一题多解|圆的方程转化→直线与圆位置关系（相切/相交）→最值问题（参数法/几何意义）| |高考模拟练|9题（含应用实践、迁移创新）|公共弦方程、公切线求法、运动轨迹分析|圆与圆位置关系→综合应用（如四叶草曲线）→实际问题建模（台球碰撞）|

综合拔高练 高考真题练 考点　直线与圆的方程及应用 1.(2024北京,3)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.3 2.(2024全国甲理,12)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.2 3.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　) A.1+　　　　 　B.4　　　　　 C.1+3　　　　　D.7 4.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) A.1　　　 　　B. C.　　　　　D. 5.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　) A.　　　　　B.-　　　　　C.1　　　　　D.-1 6.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.  7.(2022天津,12)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m的值为　　　　.  8.(2022全国甲文,14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　　　.  9.(2022全国新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　.  10.(2022全国乙理,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　.  11.(2022全国新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　.  高考模拟练 应用实践 1.(2025江苏泰州兴化期中)若线段x+2y-2=0(0≤x≤2)与圆(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)有两个交点A,B,则弦AB的长的最大值为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 2.(多选题)(2025甘肃白银靖远第一中学期中)已知曲线C:(y-kx)=0,圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,则(　　) A.当k<0或k>时,曲线C与圆M没有公共点 B.当k=时,曲线C与圆M有1个公共点 C.当0<k<时,曲线C与圆M有2个公共点 D.当<k<时,曲线C与圆M有4个公共点 3.(多选题)(2025吉林长春外国语学校期中)若圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交于A,B两点,则下列判断正确的是(　　) A.两圆的公共弦所在直线的方程为x+2y-1=0 B.两圆的公共弦长为2 C.经过A,B两点,且过原点的圆的方程为x2+y2-6x+8y=0 D.P为C1上任意一点,Q为C2上任意一点,则|PQ|的最大值为3+5+ 4.(2024湖北襄阳五中月考)已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E,F,则·的最小值是(　　) A.6　　　　　B.5　　　　　C.4　　　　　D.3 5.(多选题)(2025湖北部分名校期中联考)四叶草也叫幸运草,四片叶子分别象征着:成功,幸福,平安,健康,表达了人们对美好生活的向往.某公司在设计四叶草吊坠时,利用了曲线Ω:x2+y2=|x|+|y|进行绘制,点P(a,b)在曲线Ω上,点Q(2,0),则下列结论正确的是(　　) A.曲线Ω围成的图形的面积为π+2 B.|a+b+3|的最小值是 C.直线PQ的斜率的最大值为1 D.|PQ|的取值范围为 6.(2025山西大同期中质量检测)若圆C:x2+y2=r2(r>0)与曲线y=|x|-2有两个公共点,则r的取值范围为　　　　.  7.(2025甘肃兰州外国语高级中学期中)已知圆C1:x2+y2-2x-4y+3=0,直线l:y=x-a(a>0).若直线l与圆C1和圆C2相切于同一点,且圆C2经过点(4,-1),则圆C2的标准方程为　　　　　　　　.  8.(2024广东深圳南头中学期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,过点P(0,3)且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A,B,点Q. (1)若直线l的斜率k=,求线段AB的长度; (2)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值,并求出该定值; (3)设线段AB的中点为M,是否存在直线l使|MO|=|MQ|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 迁移创新 9.(2025江苏南通海门中学调研)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题: (1)如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B'(8,-4)处运动,求碰撞前母球A的球心运动的直线方程; (2)如图②,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动? (3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(4,0)可以向能碰到目标球C(7,-5)的方向运动,求a的最小值(只需要写出结果即可). 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.D　圆的方程可化为(x-1)2+(y+3)2=10,所以圆心坐标为(1,-3),所以圆心到直线x-y+2=0的距离d==3. 2.C　∵b是a,c的等差中项,∴2b=a+c. 由x2+y2+4y-1=0可得x2+(y+2)2=5, 则圆心为点(0,-2),半径r=. 点(0,-2)到直线ax+by+c=0的距离d====, 易知0≤1-≤1, ∴0≤d≤1, ∵|AB|=2=2, ∴当d最大时,|AB|最小, ∴|AB|min=2×=4. 一题多解　∵b是a,c的等差中项,∴2b=a+c. ∴直线ax+by+c=0即为直线ax+y+c=0,即为直线a+c=0,令解得 ∴直线ax+by+c=0过定点Q(1,-2). 圆x2+y2+4y-1=0的圆心为P(0,-2),半径r=, 易知点Q在圆内,∴|AB|取最小值时,Q为线段AB的中点,此时PQ⊥AB,∴|AB|min=2=2×=4. 3.C　将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,它表示以点(2,1)为圆心,3为半径的圆,令x-y=t,即x-y-t=0,由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,所以≤3,即|t-1|≤3,解得1-3≤t≤1+3,所以x-y的最大值为1+3. 4.B　设P(0,-2),圆x2+y2-4x-1=0即(x-2)2+y2=5,则圆心坐标为(2,0),半径为,记M(2,0). 设过点P(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条切线分别是PA,PB,A,B为切点,连接PM,AM,如图,则∠APB=2∠APM,易知|AM|=,|PM|=2,则sin∠APM==,|AP|==,所以cos∠APM==,所以sin α=sin∠APB=2sin∠APMcos∠APM=. 5.A　易知圆(x-a)2+y2=1的圆心坐标为(a,0),∵直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,∴直线2x+y-1=0过圆心(a,0),∴2a+0-1=0,解得a=. 6.答案　2,-2,,-(填写四个中任意一个均对) 解析　依题意可得圆C的圆心为C(1,0),半径r=2,则圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=,则|AB|=2=, 所以S△ABC=·d·|AB|==,解得m=2或m=-2或m=或m=-. 7.答案　2 解析　圆心(1,1)到直线x-y+m=0的距离为,则+=3,解得m=2(负值舍去). 8.答案　(x-1)2+(y+1)2=5 解析　由点M在直线2x+y-1=0上,可设M(a,1-2a), 因为点(3,0)和点(0,1)均在☉M上, 所以=, 解得a=1,则☉M的圆心为M(1,-1),半径为=, 故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 9.答案　x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(写出一个即可) 解析　设圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为O1, 如图所示, 显然两圆外切,由图可知l1:x=-1与两圆均外切. 易知直线OO1的方程为y=x,设直线OO1与l1的交点为P,∴P, 易知过点P的两圆的公切线l2的斜率存在,设为k,则切线l2的方程为y=k(x+1)-,即kx-y+k-=0. 易知点O(0,0)到切线l2的距离为1,∴=1, ∴k=,∴切线l2的方程为7x-24y-25=0. 设两圆相切于点M,垂直于直线OO1的切线l3的方程为y=-x+n,即3x+4y-4n=0, 易知点O(0,0)到切线l3的距离为1,∴=1, ∴|n|=,易知n>0,∴切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0,∴与两圆都相切的切线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 10.答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或+=或+(y-1)2=(写出一个即可) 解析　若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立解得圆心坐标为(2,3),此时圆的半径r==,所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,+=,+(y-1)2=. 11.答案　 解析　由题易知kAB=, 所以直线AB关于直线y=a对称的直线为y-a=-x, 即(3-a)x-2y+2a=0, 由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径, 所以≤1,即6a2-11a+3≤0,解得≤a≤. 高考模拟练 1.B　圆心C(1,2)到直线x+2y-2=0的距离d===, |AB|=2=2=2, 对于线段x+2y-2=0(0≤x≤2), 令x=0,则y=1,记该点为E(0,1), 令x=2,则y=0,记该点为F(2,0), 即该线段的两个端点分别为E(0,1),F(2,0), 而|CE|==, |CF|==, 所以要使弦AB的长取最大值,则r=|CE|=, 所以|AB|max=2=2×=. 2.ACD　由(y-kx)=0,得y=kx或y=kx-, 设l1:y=kx,l2:y=kx-, 则l1过定点(0,0),l2过定点, 圆M:(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(2,1),半径为1. 当l1与圆M相切时,由=1,得k=0或k=, 当l2与圆M相切时,由=1,得k=或k=. 当k<0或k>时,l1与圆M相离,l2与圆M相离,则曲线C与圆M没有公共点; 当k=时,l1与圆M相交,l2与圆M相切,则曲线C与圆M有3个公共点; 当0<k<时,l1与圆M相交,l2与圆M相离,则曲线C与圆M有2个公共点; 当<k<时,l1与圆M相交,l2与圆M相交,则曲线C与圆M有4个公共点. 3.ABD　对于A,由两圆方程作差,得x+2y-1=0, 所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+2y-1=0,故A正确; 对于B,圆C1的圆心坐标为(-1,-4),半径r1=5, 圆心C1到直线x+2y-1=0的距离为=2, 则两圆的公共弦长为2×=2,故B正确; 对于C,经过A,B两点的圆的方程可设为x2+y2+2x+8y-8+λ(x2+y2-4x-4y-2)=0, 即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2-4λ)x+(8-4λ)y-8-2λ=0, 又该圆过原点,所以-8-2λ=0,解得λ=-4, 所以经过A,B两点,且过原点的圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,故C错误; 对于D,圆C2的圆心坐标为(2,2),半径r2=,所以|PQ|的最大值为|C1C2|+r1+r2=3+5+,故D正确. 4.A　由C2:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R)可得,圆C2的半径为1,圆C2的圆心在圆A:(x-2)2+y2=25上运动.设A(2,0),则|PA|∈[4,6]. 由图可知,·=cos 2θ=(|PA|2-4)·(1-2sin2θ)=(|PA|2-4)=|PA|2+-12,由函数y=x+-12在x∈[16,36]上单调递增可知,当|PA|2=16时,·取得最小值,为6. 5.ACD　当x≥0,y≥0时,曲线方程:x2+y2=|x|+|y|可化为x2-x+y2-y=0,即+=, 故曲线Ω在第一象限内是圆心为,半径为的圆上的一段圆弧, 根据对称性,该曲线关于x轴,y轴对称,故其曲线如图1. 对于A,记点B(0,1),C(1,0),曲线Ω在第一象限内所在圆的圆心为A,显然B,C均在曲线Ω上,连接BC,如图2所示. 因为kAB=kBC=-1,所以A,B,C三点共线,则该曲线围成的图形在第一象限内的面积为一个半圆的面积和△BOC的面积之和, 故曲线Ω围成的图形的面积S=4×=π+2,故A正确; 对于B,设点P(a,b)到直线x+y+3=0的距离为d,则d=,即|a+b+3|=d, 根据对称性,曲线Ω在第三象限内是圆心为,半径为的圆上的一段圆弧,如图3所示. 易知点P(a,b)到直线x+y+3=0的距离的最小值为-=-=, 故|a+b+3|的最小值为×=1,故B错误; 对于C,根据题意,作图如下: 由图4可知,当且仅当PQ与曲线Ω在第四象限内相切时,其斜率取得最大值, 根据对称性,曲线Ω在第四象限内是圆心为,半径为的圆上的一段圆弧,其方程为+=,x≥0,y≤0,设过点Q,且斜率存在的直线为y=k(x-2),k>0, 则=,整理得7k2-6k-1=0,即(7k+1)(k-1)=0,解得k=-(舍去)或k=1, 故PQ斜率的最大值为1,故C正确; 对于D,记曲线Ω在第二象限内的圆弧所在圆的圆心为D,如图5所示. 由图5可知,当点P在第一或第四象限内时,|PQ|可以取到最小值,当点P在第二或第三象限内时,|PQ|可以取到最大值, 根据对称性,只讨论点P位于第一和第二象限时的情况. 当点P在第一象限内时,|PQ|的最小值为|AQ|-=-=-=, 当点P在第二象限内时,|PQ|的最大值为|DQ|+=+=+=, 故|PQ|的取值范围为,故D正确. 6.答案　{}∪(2,+∞) 解析　圆C:x2+y2=r2(r>0)关于y轴对称, 因为y=|x|为偶函数,其图象关于y轴对称,所以曲线y=|x|-2的图象也关于y轴对称,所以只需研究射线y=x-2(x≥0)与圆C:x2+y2=r2(r>0)只有一个交点即可. 结合图知,当射线y=x-2(x≥0)与圆C:x2+y2=r2(r>0)相切时,r==,当射线y=x-2(x≥0)与圆C:x2+y2=r2(r>0)相交且只有一个交点时,r>2. 综上,r的取值范围为{}∪(2,+∞). 7.答案　(x-3)2+y2=2 解析　圆C1的方程可整理为(x-1)2+(y-2)2=2, 其圆心为C1(1,2),半径为, 因为圆C1与直线l相切, 所以=,解得a=1(负值舍去), 所以直线l:y=x-1, 联立 所以即切点为(2,1), 设圆C2的圆心为C2(m,n), 则=①, 且=-1②,由①②得m=3,n=0, 所以C2(3,0), 所以圆C2的半径为=, 所以圆C2的标准方程为(x-3)2+y2=2. 8.解析　(1)若直线l的斜率k=,则直线l的方程为y=x+3,圆心O(0,0)到直线l的距离d==, 又圆O的半径r=2,所以|AB|=2=2×=2. (2)设直线l的方程为y=kx+3(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y得(1+k2)x2+6kx+5=0, 则x1+x2= ,x1x2=, 由Δ=36k2-4×(1+k2)×5=16k2-20>0,得k2>, 所以k1+k2=+=+ =2k++=2k+×= 2k+××=0, 所以k1+k2为定值,且该定值为0. (3)存在.设点M(x0,y0),由(2)知x0==, 所以y0=kx0+3=+3=. 又因为|MO|=|MQ|,即3|MO|2=2|MQ|2, 所以3(+)=2, 即++y0=, 即++·=, 整理得=,解得k2=, 即k=或k=-, 由(2)知k2>, 故k2=>满足题意, 所以存在满足条件的直线l,其方程为y=±x+3. 9.解析　(1)过点B(4,0)与点B'(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,由题意知,A,B两球碰撞时,母球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限内,此时|AB|=2. 设A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(a,b),如图所示: 则有解得 即A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(4-,),所以碰撞前母球A运动的直线方程为y=x=x. (2)不能.如图,由(1)知A'(4-,),又因为A(0,-2),B(4,0),所以=(4-,2+),=(-,), 所以·=(4-,2+)·(-,)=4-2>0,故∠AA'B为锐角. 所以点B(4,0)到直线AA'的距离小于2, 故母球A的球心在经过直线BB'上的点A'之前就会与目标球B碰撞. 故不能让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动. (3)a的最小值为-2.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击目标球B后,目标球B从目标球C的右上方B'处撞击目标球C.如图所示: 设B'(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点, 则即 所以所以B'(8,-4),所以直线CB'的倾斜角为45°, 所以直线A'B的倾斜角为135°,易得A'(3,). 过A'(3,)作倾斜角为45°的直线,交y轴于点A,易得A(0,-2).若a<-2,则母球A会在到达A'之前就与目标球B碰撞,不符合题意.因此a的最小值为-2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $