精品解析：江苏省扬州市邗江区2025-2026学年高二下学期期中调研数学试题

高二数学期中试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 3. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到关于的不等式组，解出的范围即可． 【详解】解：的定义域是， ， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 若函数在区间上单调递减， 则且且，解得：， 故选：． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，属于基础题． 4. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 5. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【详解】将区域标号，如下图所示： 因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法. 故选：C. 6. 在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点关于坐标轴及平面对称得出点，再应用空间向量的数量积坐标公式计算求解. 【详解】由已知得点关于轴的对称点为， 点关于坐标平面的对称点为， . 故选：A. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，结合根据单调性比较大小即可. 【详解】设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减. 所以在时取到最大值， 因为， 又因为在上单调递增，所以，所以. 故选：B 8. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用排列数与组合数公式依次计算即可判断各选项. 【详解】对于选项A，显然 ，故 正确； 对于选项B，因为 ，所以 或 ， 计算可得 (舍去) 或 ，故 正确； 对于选项C，由 ，计算可得 ， 所以 (舍) 或 或 ，故 不正确； 对于选项D， ，故 D 不正确. 故选：AB. 10. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（ ） A. 函数的极大值点有个 B. 函数在是减函数 C. 若时，的最大值是，则的最大值为4 D. 当时，函数有个零点 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合即可判断D选项的正误. 【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、， 单调递减区间为、，B选项正确； 由单调性可知，函数有个极大值点，A选项正确； 当时，函数最大值是，而最大值是，C选项错误； 作出函数的图象如下图所示，由下图可知， 当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确. 故选：C 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 若点在平面内，则必存在实数，使得 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 存在实数、使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误； 对B：取的中点为，连接，如下所示： 在三角形中，分别为的中点，故可得//， 在三角形中，分别为的中点，故可得//， 则//，故直线所成的角即为或其补角； 在三角形中，， ， 由余弦定理可得：， 即直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对C：连接如下图所示： 在三角形中，， ，， 故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为， 则.故C正确； 对D：记的中点为，连接，如下所示： 由B选项所证，//，又面面，故//面； 易知//，又面面，故//面， 又面，故平面//面， 又面，故可得//面， 故存在实数、使得，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用1，2，3...，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为_________（用数字作答） 【答案】224 【解析】 【详解】用1，2，3…，9这九个数字，要组成没有重复数字的三位数的偶数，个位数必须是偶数， 偶数有2，4，6，8共4种选择， 因此可以组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为. 13. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，分和讨论单调性. 时在区间单调递减，最小值为，解得与条件矛盾舍去；时根据极值点与区间的位置关系分情况讨论，结合最小值为0求解. 【详解】求导得， 当时，，，则在上单调递减， 则函数的最小值为与矛盾，舍去； 当时，令，得（负根舍去）. ①若，即时，在单调递减，则函数的最小值为，矛盾，舍去； ②若，即时，在单调递减，在单调递增， 函数的最小值在处取得，即， 解得，满足. 综上，可得实数的值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） （1）若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ （2）若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ （3）若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【解析】 【分析】（1）利用“元素相邻捆绑法”求排法种数. （2）利用“元素不相邻插空法”求排法种数. （3）方法一：利用“特殊元素（位置）优先法”求排法种数；方法二：利用“间接法”求排法种数. 【小问1详解】 若4名男生相邻，有种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况． 所以共有种不同的排法． 【小问2详解】 若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种， 所以共有种情况． 【小问3详解】 方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法； 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种， 其他人全排列，只有种不同排法， 共有种排法． 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法. 方法二：7名学生全排列，有种排法， 其中男生甲排中间，有种排法， 女生乙排第一名，有种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法． 16. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. 【小问1详解】 因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 由题意得， 故 ． 17. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得或， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，， 点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：因为在三棱柱中，平面，则三棱柱为直三棱柱，又， 所以以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 因为，，所以， 因此. （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，要证线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为即可； （2）利用空间向量求二面角，先找出两个面的法向量，进而求出两个面法向量夹角的余弦值， 利用同角三角函数的关系求出二面角的正弦值即可； （3）利用线面所成角的正弦值等于直线的方向向量与面的法向量夹角余弦值的绝对值进行求解即可； 利用向量投影公式，求点到面的距离，即求向量在法向量上的投影长度即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知三棱柱为直三棱柱，， 则是平面的一个法向量，，． 设为平面的法向量，则，即， 取，则，，所以. 又因为，所以， 因此，二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得，又由（2）知为平面的法向量， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 又，所以点到平面的距离. 19. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值； （2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围； （3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围. 【小问1详解】 ，定义域为，， 令，得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 由（1）可知，的最大值为1，所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 若函数在上恒成立，即在成立， 所以在上恒成立， 令， 则， 因为，所以当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意； 当时，令， ①当时，即时，则恒成立， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以时符合题意； ②当时，即时，令， 则， 因为，所以， 所以当时，，所以在上恒成立， 即函数在上单调递增，所以当时，， 所以时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 6. 在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（ ） A. 函数的极大值点有个 B. 函数在是减函数 C. 若时，的最大值是，则的最大值为4 D. 当时，函数有个零点 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 若点在平面内，则必存在实数，使得 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 存在实数、使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用1，2，3...，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为_________（用数字作答） 13. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 14. 已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） （1）若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ （2）若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ （3）若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 16. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 17. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，， 点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $