概率统计种的综合问题讲义-2026届高考数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦概率与统计综合应用，覆盖马尔科夫链递推关系、数列转化及与导数函数交汇等高考核心考点，按“问题情境—递推建模—数列转化—函数优化”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练、分层练习四环节，帮助学生突破概率与数列、函数结合的难点，体现复习系统性与针对性。 讲义以“问题链驱动+数学建模”为特色，如马尔科夫链问题引导学生从初始概率建立Pₙ与Pₙ₋₁的递推关系，转化为等比数列求通项，培养数学思维与推理能力。设置“真题精讲—方法迁移—综合应用”三阶训练，配合即时反馈，助力学生用数学语言表达概率模型，为教师把控复习节奏提供清晰路径，高效提升应考能力。

概率与统计中的综合问题 概率结合数列问题（马尔科夫链） 解决这类题的步骤如下： （1）理清初始事件的概率（或）； （2）利用事件关系寻求第步的概率与第步的概率之间的关系，即递推关系; （3）利用数列的相关知识，由已知与求出通项公式. 将递推式转化为等差或等比数列（如 Pₙ - x = k (Pₙ₋₁ - x)） 1.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 2.（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【解题思路】（1）根据全概率公式可求； （2）根据全概率公式构建递推关系后可得，利用构造法可证明是等比数列且可求的通项公式； （3）根据题意可得，故可求. 【解答过程】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是， 故. 3.（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 【答案】(1) X 0 1 2 3 P ， (2)①；；② 【详解】（1）由题意可知：， 则，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值，且方差. （2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是， 若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以； 若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园， 所以； ②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园， 则，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 当时，则 ，且符合上式，所以. 其他概率结合数列问题 解决这类题的步骤如下： 1.列出含n的式子 2.按照数列求和、求最值的方法操作。 1．（2025·河北·模拟预测）新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0． (1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和． 【答案】(1)分布列见解析，期望为4； (2). 【分析】（1）由题可得3人得分的情况为3，4，5，6，然后由题意可得分布列及数学期望； （2）由题可得合计积分是分时，有人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，据此可得，然后由错位相减法可得答案. 【详解】（1）由题可得X的值可得为3，4，5，6， 则，，，. 则分布列如下： 3 4 5 6 则； （2）由题可得合计积分是分时，有人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》， 可得，，， 则. 则 ， 两式相减可得：. 则. 2．（24-25高三上·海南海口·月考）为提高我国公民整体健康水平，年月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议岁的成年人每周进行分钟中等强度或分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访，记采访的岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立. (1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率； (2)若抽取的岁的市民数为离散型随机变量，求的分布列，并求不超过的概率. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，概率为 【分析】（1）分析可知，采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，利用独立重复试验的概率公式以及独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意，列出随机变量的分布列，则得，利用错位相减法求和可求出所求事件的概率. 【详解】（1）根据题意，某天采访刚好到第五位可停止当天采访， 即采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人， 所以某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率为. （2）由题意可知，若采访的人数为，则意味着采访前个人中，有一个是达标成年人， 第个人为达标成年人， 所以，采访的人数为的概率为， 依题意，可得随机变量的分布列如下表所示： X 2 3 4 n P 所以， ， 记①， 则②， 由①②，可得， 即，解得， 所以，不超过的概率为. 3．（2024·广东汕头·三模）假设甲同学每次投篮命中的概率均为. (1)若甲同学投篮4次，求恰好投中2次的概率. (2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数的概率分布列及数学期望. (3)提高投篮命中率，甲学决定参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个.试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 (3)当时，甲同学投篮次数的期望最大. 【分析】（1）根据伯努利实验模型即可得到答案； （2）根据步骤列出分布列，再根据期望公式即可得到答案； （3）设中同学投篮似次数为，再得到的可能取值，写出其分布列，计算出其期望，利用作差法研究其单调性即可得到最大值. 【详解】（1）依题意，甲同学投篮4次，恰好投中2次的概率. （2）投篮次数的可能取值为2，3，4， ， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 所以. （3）设甲同学投篮似次数为，则的可能值为， 于是， 数学期望， 令，则，， 因为显然为单调递减函数， 则数列是递减的， 当时，， 当时，， 即有，因此最大， 所以当时，甲同学投篮次数的期望最大. 4．在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且． (1)求p的值； (2)求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值； (3)记事件“，且甲获胜”的概率为，求． 【答案】(1) (2)分布列见解析，均值为 (3) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到关于的方程，解出即可； （2）首先分析得的可能取值为0，1，2，再按步骤写出其分布列，最后计算均值即可； （3）对和分析研究，再求出甲先发球，甲、乙各得1分的概率为，最后得到，再利用等比数列的通项公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意可知，对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”， 所以，解之得. （2）的可能取值为0，1，2， 的分布列为：， ， ， 0 1 2 所以. （3）且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束， 且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分， 最后第个球均为甲得分； 且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束， 且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分， 最后第个球均为甲得分. 按照甲先发球，甲、乙各得1分的概率为， 所以，且， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是通过对的分析得，最后利用等比数列通项公式即可得到答案. 5．（24-25高三下·云南·期中）某中学在运动会期间，为活跃气氛，举行了一场趣味运动会，准备了两种有奖游戏， 每位参与者只能参加其中一项游戏， 规则如下: 游戏一 （投篮挑战）: 参与者进行投篮， 若某次投篮为首次命中， 则游戏立即结束并获奖; 若未命中，则继续投篮，最多可投篮 次 ，若 次内始终未命中，则游戏结束， 无法获奖; 游戏二 （沙包入筐）: 参与者投掷沙包入筐， 若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次， 则游戏立即结束并获奖; 若投掷 次 后仍未累计命中 2 次，则游戏结束， 无法获奖. 已知甲在游戏一中每次投篮的命中率为 ，且每次投篮是否命中相互独立; 甲在游戏二中每次投掷沙包的命中率为 ，且每次投掷沙包是否命中相互独立. (1)若甲参加游戏一，当 时，求甲的投篮次数 的分布列及数学期望； (2)当 时，记事件 为 “甲在参加游戏一时获奖”，事件 为 “甲在参加游戏二时获奖”. （i） 求 ; （ii） 若 ，求 的最小值. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）6 【分析】(1) 甲参加游戏一，当时，的可能取值为，，，,求出分布列与数学期望；（2）（i）甲参加游戏一，甲参加游戏一，当时，求出，用表示甲参加游戏二获得奖品抛掷的次数，若甲抛掷（且）次沙包且获得奖品，则前次中只有1次抛掷命中，且第次抛掷命中．．利用错位相减求解；(ii)由题意知,求解单调性，求出的最小值. 【详解】（1）甲参加游戏一，当时，的可能取值为，，，． ， ， ， ； 所以的分布列为 所以的数学期望为． （2）（ⅰ）甲参加游戏一， 当时，则；     用表示甲参加游戏二获得奖品抛掷的次数，若甲抛掷（且）次沙包且获得奖品，则前次中只有1次抛掷命中，且第次抛掷命中． 由题意，可知，． 所以， 令， 则， 两式相减得 ， 故， 所以， 故． （ⅱ）由题意知， 则． 令（且），则； 则， 所以（且）为单调递减数列． 又，， 所以当且时，恒成立， 故的最小值为． 概率统计与导数、函数的交汇应用 1. 决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。方法点拨：明确决策目标：确定核心优化指标（如最大利润、最小成本、最低误判率）。 转化概率模型：将实际问题转化为概率分布（如二项分布、超几何分布），求期望或概率表达式。 结合函数性质优化：通过函数单调性、不等式或导数，找到最优参数（如产品定价、检测次数） 2.其他问题：方法点拨：构建目标函数：将概率、数学期望转化为关于参数（如概率 p、数量 m）的函数 f (x)。 求导分析单调性：通过求导找到函数的极值点，判断单调区间。 结合定义域求解：根据参数的实际意义（如 0 < p < 1），确定最值点及对应最值。 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【知识点】频率分布直方图的实际应用、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出； （2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 2.（25-26高三下·山东·月考）为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）．初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． (1)已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【答案】(1)期望为； (2) 【知识点】计算条件概率、独立重复试验的概率问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据超几何的期望公式即可求解，利用条件概率以及超几何概率的计算公式可求解概率， （2）根据二项分布的概率公式以及期望公式求解一个人获得奖金的期望，进而根据题意得，构造函数，利用导数求解函数的单调性得解. 【详解】（1）记总题数，甲会做的题数， 从中任选2题作答，则答对题数服从超几何分布， 数学期望． 事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即， 由条件概率公式得：． （2）设进入决赛的同学获得的奖金为元， 其分布为， 期望，化简得 9名同学总奖金的期望， 即．整理得． 令，由知在单调递增， 又，因此不等式解为， 结合，得． 3.（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； (2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【详解】（1）如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，故：应该换门. （2）假设山羊门数为（），如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门比不换门中奖概率更高. （3）不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元时值得的，须有：. 整理得：. 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 4.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 课后作业： 1.（2024·贵州遵义·二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束． (1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望； (2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为； ①证明：是等差数列； ②求顾客获得一等奖的概率． 【答案】(1)5 (2)证明见解析； 【分析】（1）先求出一次取出红球的概率，设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为，可得其服从二项分布，再设3次取球后累计分数为随机变量，得出其与的关系，从而得出答案. （2）①由可证明；②由①中的结论先求出，然后得出，由题意求出即可. 【详解】（1）记事件：“一次取出红球”，则， 设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为， 3次取球后累计分数为随机变量. 则， 则，故， 所以； （2）①由题意当时，，即 所以是等差数列； ②由题意，由上可知：， 所以， 又由题意，所以. 由先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，即， 所以先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，顾客获得一等奖的概率. 2.（2025·湖北武汉·模拟预测）有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为1，2，3的3个白球，乙口袋中有编号为1，2，3的3个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作． (1)求2次换球后，甲口袋中恰有3个白球的概率； (2)求次换球后，甲口袋中3个球颜色恰好相同的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次换球后，甲口袋中3个球编号恰好为1，2，3的概率（结果用含的式子表示）．当为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式即可求解； （2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式； （3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值. 【详解】（1）经过一次交换后，甲口袋中有2白1黑，乙口袋中有2黑1白， 记“2次换球后，甲口袋中恰有3个白球”为事件，则； （2）记“次换球后，甲口袋中有3个球颜色相同的”概率为， 则 当第次换球后，只有两种可能，一种是同颜色，另一种是有一个不同颜色， 而同颜色的交换后不可能再同颜色，而有一个不同颜色的通过交换可以变为同颜色， 此时发生的概率为，再根据全概率公式可得： ，所以， 则是等比数列，即； （3）又记“次换球后，甲口袋中有3个球编号分别为1，2，3”概率为， 则， 当第次换球后，只有两种可能，一种是有三个编号为1，2，3，另一种是没有三个编号为1，2，3， 而三个编号为1，2，3的交换后也有可能编号仍为1，2，3，此时发生的概率为， 另一种可能是AAB型，另一边一定是BCC型，这样通过交换A和C就可以变换为有三个编号为1，2，3，此时发生的概率为，再根据全概率公式可得： ， 所以有， 即是等比数列，即， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以当时，取到最大值. 3.（2025·河南郑州·模拟预测）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 【答案】(1)0.5; (2)证明见解析，，. 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解； （2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）由题意，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 所以，则， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式也满足题意，则. 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为. 所以， 整理可得， 因为，所以， 即， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，满足上式也满足题意，则， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为 4.（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 (1)用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元） 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③ 【答案】(1) (2)36.5 【分析】 （1）利用回归直线的公式求和的值，可得回归方程. （2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值. 【详解】（1） ∴回归方程为： （2） 2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益（万元） ， ，得 ∴其在上递增，上递减 5.（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， (2) 【分析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得的值； （ii）由题意可知，的取值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【详解】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率与统计中的综合问题 概率结合数列问题（马尔科夫链） 解决这类题的步骤如下： （1）理清初始事件的概率（或）； （2）利用事件关系寻求第步的概率与第步的概率之间的关系，即递推关系; （3）利用数列的相关知识，由已知与求出通项公式. 将递推式转化为等差或等比数列（如 Pₙ - x = k (Pₙ₋₁ - x)） 1.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 2.（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 3.（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 其他概率结合数列问题 解决这类题的步骤如下： 1.列出含n的式子 2.按照数列求和、求最值的方法操作。 1．（2025·河北·模拟预测）新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0． (1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和． 2．（24-25高三上·海南海口·月考）为提高我国公民整体健康水平，年月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议岁的成年人每周进行分钟中等强度或分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访，记采访的岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立. (1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率； (2)若抽取的岁的市民数为离散型随机变量，求的分布列，并求不超过的概率. 3．（2024·广东汕头·三模）假设甲同学每次投篮命中的概率均为. (1)若甲同学投篮4次，求恰好投中2次的概率. (2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数的概率分布列及数学期望. (3)提高投篮命中率，甲学决定参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个.试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？ 4．在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且． (1)求p的值； (2)求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值； (3)记事件“，且甲获胜”的概率为，求． 5．（24-25高三下·云南·期中）某中学在运动会期间，为活跃气氛，举行了一场趣味运动会，准备了两种有奖游戏， 每位参与者只能参加其中一项游戏， 规则如下: 游戏一 （投篮挑战）: 参与者进行投篮， 若某次投篮为首次命中， 则游戏立即结束并获奖; 若未命中，则继续投篮，最多可投篮 次 ，若 次内始终未命中，则游戏结束， 无法获奖; 游戏二 （沙包入筐）: 参与者投掷沙包入筐， 若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次， 则游戏立即结束并获奖; 若投掷 次 后仍未累计命中 2 次，则游戏结束， 无法获奖. 已知甲在游戏一中每次投篮的命中率为 ，且每次投篮是否命中相互独立; 甲在游戏二中每次投掷沙包的命中率为 ，且每次投掷沙包是否命中相互独立. (1)若甲参加游戏一，当 时，求甲的投篮次数 的分布列及数学期望； (2)当 时，记事件 为 “甲在参加游戏一时获奖”，事件 为 “甲在参加游戏二时获奖”. （i） 求 ; （ii） 若 ，求 的最小值. 概率统计与导数、函数的交汇应用 1. 决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。方法点拨：明确决策目标：确定核心优化指标（如最大利润、最小成本、最低误判率）。 转化概率模型：将实际问题转化为概率分布（如二项分布、超几何分布），求期望或概率表达式。 结合函数性质优化：通过函数单调性、不等式或导数，找到最优参数（如产品定价、检测次数） 2.其他问题：方法点拨：构建目标函数：将概率、数学期望转化为关于参数（如概率 p、数量 m）的函数 f (x)。 求导分析单调性：通过求导找到函数的极值点，判断单调区间。 结合定义域求解：根据参数的实际意义（如 0 < p < 1），确定最值点及对应最值。 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 2.（25-26高三下·山东·月考）为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）．初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． (1)已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 3.（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； (2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 4.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 课后作业： 1.（2024·贵州遵义·二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束． (1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望； (2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为； ①证明：是等差数列； ②求顾客获得一等奖的概率． 2.（2025·湖北武汉·模拟预测）有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为1，2，3的3个白球，乙口袋中有编号为1，2，3的3个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作． (1)求2次换球后，甲口袋中恰有3个白球的概率； (2)求次换球后，甲口袋中3个球颜色恰好相同的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次换球后，甲口袋中3个球编号恰好为1，2，3的概率（结果用含的式子表示）．当为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？ 3.（2025·河南郑州·模拟预测）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 4.（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 (1)用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元） 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③ 5.（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $