江苏省南京市备考卷（2-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年江苏省南京市中考数学备考卷（2-2） 一．选择题（共6小题） 1．下列四个数中，是负数的是（　　） A．|﹣1| B．（﹣2）2 C．（﹣1）2015 D． 2．在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．一组数据的方差为s2，将该数据每一个数据，都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（　　） A． B．s2 C．2 s2 D．4 s2 4．已知某物体的质量m，其体积，则它的密度ρ为（　　） A．10g/cm3 B． C．103g/cm D．152g/cm 5．如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（　　） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 6．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝5，P是AD上一点，将△CDP绕点C逆时针旋转45°时，点P的对应点P'恰好落在AB上，则PD的长为（　　） A．1 B． C． D．1或 二．填空题（共10小题） 7．若数据x1，x2，…，x8的平均数是2，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的平均数是 　 　 ． 8．正九边形的中心角等于　 　 度． 9．计算的结果为　 　 ． 10．一元二次方程x2+4x＝3的两根为x1、x2，则x1•x2的值是 　 　 ． 11．方程的解是　 　 ． 12．如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 　 　 ． 13．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，则扇形ABD的面积为　 　 ． 14．如图，B、C是线段AD上两点，AB、BC、CD分别是⊙O1、⊙O2、⊙O3的直径，这三个圆的半径都等于10，设AG切⊙O3于G，且交⊙O2于E、F，则弦EF的长为 　 　 ． 15．如图，AD是△ABC的中线，ED＝2AE，BE的延长线交AC于点F，则的值为 　 　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB边上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF＝2AE，连接AF，CE，则的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共11小题） 17．解不等式组：． 18．（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 20．如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB＝PC•PD． 21．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 22．中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． A．嫦娥探月 B．天问探火 C．北斗组网 D．神舟飞天 （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是　 　 ； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 23．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CG⊥BD于点F，FG＝CF，连接AG． （1）求证：四边形AEFG是矩形； （2）若∠ABD＝30°，AG＝2AE＝6，求BD的长． 24．某公司销售一种新产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系． （1）求y关于x的函数关系式； （2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额﹣年销售产品总进价﹣年总开支），当x为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，请你帮助该公司确定销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？ 25．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1，sinα． 一般地，当a、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ． 例如：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45sin30°． 任务： （1）计算：sin75°＝　 　 ； （2）如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝22，求BC的长； （3）已知0＜β＜α＜45°，且sin（α+β），求sin2α的值． 26．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m． （1）把桥拱看作一个二次函数的图象，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m，宽为7.5m（横断面如图②），以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 27．综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN＝0.2米，MQ＝1.6米，雨伞撑开的宽度AC＝1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OG⊥AC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）中，点C到地面的距离是　 　 米； ②如图（1）所示，θ＝72°，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），求小丽身体被雨水淋湿的部分PK的长度．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，θ＝60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并直接写出头部不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出EG的最小值为　 ． 【三轮复习】2026年江苏省南京市中考数学备考卷（2-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D D B D C 一．选择题（共6小题） 1．【答案】C 【解答】解：A、|﹣1|＝1，不合题意； B、（﹣2）2＝4，不合题意； C、（﹣1）2015＝﹣1，符合题意； D、|﹣2|＝2，不合题意， 故选：C． 2．【答案】D 【解答】解：该立体图形的左视图为， 故选：D． 3．【答案】D 【解答】解：每个数据都扩大2倍，根据一组数据扩大n倍后，方差是原数据方差的n2倍，即s2×22＝4s2． 故选：D． 4．【答案】B 【解答】解：ρ＝55， 故选：B． 5．【答案】D 【解答】解：如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 6．【答案】C 【解答】解：过点D'作CD的垂线分别交AB、CD于点M、N，如图， 则∠CND'＝∠P'MD'＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形BCNM、四边形ADNM都是矩形， ∴MN＝BC＝AD＝5，BM＝CN，AM＝DN， ∵∠DCD'＝45°， ∴△CND'是等腰直角三角形， ∴CN＝D'N， 根据旋转的性质，得CD'＝CD＝4， ∵CN2+ND'2＝CD'2， ∴CN2+CN2＝（4） 2， D'N＝CN＝4． ∴AM＝DN＝CD﹣CN＝44，D'M＝MN﹣ND'＝1， 设MP'＝x， 则BP'＝AB﹣AM﹣MP'＝4﹣x，P'D'2＝MP'2+MD'2＝x2+1， ∵BC2+BP'2＝CP'2， CD'2+P'D'2＝CP'2， ∴BC2+BP'2＝CD'2+P'D'2， ∴52+（4﹣x）2＝（4）2+x2+1， 解得：x＝1， ∴P'D'2＝12+1＝2， ∴PD＝P'D'， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 7．【答案】5． 【解答】解；．数据x1，x2，…，x8的平均数是2， ∴x1+x2+...x8＝2×8＝16， ∴2x1+1+2x2+1+…+2x8+1＝2（x1+x2+...x8）+8＝2×16+8＝40， ∴2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的平均数是5， 故答案为：5． 8．【答案】40 【解答】解：正九边形的中心角等于：40°． 故答案为：40． 9．【答案】． 【解答】解： ． 故答案为：． 10．【答案】﹣3． 【解答】解：方程化为一般式为x2+4x﹣3＝0， 根据根与系数的关系得x1•x2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 11．【答案】x＝7． 【解答】解：， 方程两边同乘（x+2）（x﹣1），得3（x﹣1）＝2（x+2）， 解得x＝7， 检验：当x＝7时，（x+2）（x﹣1）≠0， 所以分式方程的解是x＝7， 故答案为：x＝7． 12．【答案】π 【解答】解 ∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∵圆的半径r＝2， ∴S阴影π． 故答案为：π． 13．【答案】． 【解答】解：连接BC，如图所示，由图可得， AB，BC，AC， ∴AB2+BC2＝（）2+（）2＝10＝（）2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，AB＝AC， ∴∠BAC＝45°， ∴扇形ABD的面积为， 故答案为：． 14．【答案】16． 【解答】解：连接O2E，O2F，O3G，作O2L⊥AG于点L，则EL＝FL， ∵AB、BC、CD分别是⊙O1、⊙O2、⊙O3的直径，这三个圆的半径都等于10， ∴O2B＝O2E＝O2F＝O3D＝O3G＝10，AB＝BC＝CD＝20， ∴AO2＝AB+O2B＝20+10＝30，AO3＝3AB﹣O3D＝3×20﹣10＝50， ∵AG切⊙O3于G， ∴AG⊥O3G， ∴∠O2LA＝∠O3GA＝90°， ∴sinA， ∴O2LAO230＝6， ∴EL8， ∴EF＝2EL＝16， 故答案为：16． 15．【答案】． 【解答】解：如图，AD是△ABC的中线，过点D作DM∥BF交AC于M， ∴， ∵ED＝2AE， ∴AD＝3AE， ∵DM∥BF， ∴△CDM∽△CBF， ∴， ∴， ∴CM＝FM； ∵DM∥BF， ∴△AEF∽△ADM， ∴， ∴， ∴CM＝FM＝2AF， ∴AC＝5AF， ∴， 故答案为：． 16．【答案】． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3， ∴DA＝BC＝3，CD＝AB＝6，∠D＝90°， 如图，延长DA到G，使AG＝DA＝3，连接GE、GC， 则； ∵BF＝2AE， ∴， ∴； ∵∠GAE＝∠B＝90°， ∴△GAE∽△ABF， ∴， 即； ∴， 当点E在线段GC上时，GE+GC取得最小值，从而取得最小值； ∵DC＝DG＝6，∠D＝90°， ∴在Rt△DGC中，由勾股定理得， ∴取得最小值为； 故答案为：． 三．解答题（共11小题） 17．【答案】﹣1＜x＜3． 【解答】解：由①得：x＜3， 由②得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x＜3． 18．【答案】见解答． 【解答】解：（1）如图1，点N、N′为所作； （2）如图2、3，△ABC为所作． 19．【答案】（1）证明见解答； （2）四边形BEDF不能是菱形，理由见解答； （3）平行四边形ABCD的面积为95． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，且CB＝AD， ∴∠BCE＝∠DAF， 在△BCE和△DAF中， ， ∴△BCE≌△DAF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． （2）解：四边形BEDF不能是菱形， 理由：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴点E与点F不能重合， ∵BE⊥AC于点E， ∴BE＜BF， ∴BE≠BF， ∴四边形BEDF不能是菱形． （3）解：由（1）得△BCE≌△DAF， ∴CE＝AF＝7，BE＝DF， ∵DF＝EF，AB＝13， ∴BE＝EF， ∴AE＝7+EF＝7+BE， ∵∠AEB＝90°， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴（7+BE）2+BE2＝132， 解得BE＝5或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴BE＝DF＝EF＝5， ∴AC＝CE+AF+EF＝7+7+5＝19， ∴S△ABC＝S△CDA19×5， ∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝295， ∴平行四边形ABCD的面积为95． 20．【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC、BD． ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△ACP∽△DBP， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD． 21．【答案】． 【解答】解：（1）∵标有数字“1”的扇形的圆心角为120°， ∴转出的数字是1的概率是； （2）∵数字“1”的扇形的圆心角为120°， ∴数字“3”的扇形的圆心角为120°， ∴两个“﹣2”总的扇形的圆心角也为120°， 根据题意列表如下： 1 ﹣2 3 1 2 ﹣1 4 ﹣2 ﹣1 ﹣4 1 3 4 1 6 共有9种等可能的情况数，其中两次分别转出的数字之和为正数的有6种， 则两次分别转出的数字之和为正数的概率是． 22．【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到“B．天问探火”的结果有1种， ∴摸到“B．天问探火”的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们两人介绍的航天工程主题相同的结果有4种， ∴他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 23．【答案】（1）证明见解析； （2）66． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CG⊥BD， ∴AE∥CG，∠AEB＝∠AEF＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∵FG＝CF， ∴四边形AEFG是平行四边形， 又∵∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFG是矩形； （2）解：∵AG＝2AE＝6， ∴AE＝3， 由（1）可知，四边形AEFG是矩形， ∴EF＝AG＝6， ∵∠ABD＝30°， ∴AB＝2AE＝6， ∴BE3， 由（1）可知，△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF＝3， ∴BD＝BE+EF+DF＝36+366． 24．【答案】（1）yx+8； （2）当x＝100元时，最大年获利为60万元； （3）要使销售量最大，且年获利不低于40万元，销售单价应定为80元． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，它过点（60，5），（80，4）， ， 解得： ， ∴yx+8； （2）z＝yx﹣40y﹣120＝（x+8）（x﹣40）﹣120x2+10x﹣440， ∴当x100元时，最大年获利为60万元； （3）令z＝40，得40x2+10x﹣440， 整理得：x2﹣200x+9600＝0， 解得：x1＝80，x2＝120， 要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间， 又因为销售单价越低，销售量越大， 所以要使销售量最大，且年获利不低于40万元，销售单价应定为80元． 25．【答案】（1）； （2）2； （3）． 【解答】解：（1）∵sin75°＝sin（45°+30°） ＝sin45°cos30°+cos45°sin30° ， 故答案为：； （2）作AB的垂直平分线l交BC于点M，连接AM，过点A作AN⊥BC，N为垂足， ∴AM＝BM， ∵在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝22， ∴∠BAM＝∠B＝15°，∠AMN＝2×15°＝30°，∠CAN＝45° ∴AN＝NC， ∵sinC， ∵sin45°， ∴AN（2）， ∵tan∠AMN，tan30°， ∴MN＝（）， BM＝AM＝2AN＝2， ∴BC＝BM+MN+NC＝22； （3）∵0＜β＜α＜45°，sin（α+β），cos（α﹣β）， ∴cos（α+β），sin（α﹣β）， sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ， ∴sin2α＝sin（α+β+α﹣β）＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β） ． 26．【答案】（1）； （2）船不能安全通过此桥．理由如下： 由题意，把，代入， ∴． ∵当船行至桥时水位上升高度为40÷5×0.25＝2（m）， ∴船顶距AB高为． ∵， ∴船不能安全通过此桥． 【解答】解：（1）∵AB为16m， ∴A（﹣8，0），B（8，0）． ∴可设此函数的表达式为y＝a（x+8）（x﹣8）． ∵当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m， ∴D（6，1.4）． 把x＝6，y＝1.4代入y＝a（x+8）（x﹣8）， ∴1.4＝a（6+8）×（6﹣8）， ∴． ∴，即； （2）船不能安全通过此桥．理由如下： 由题意，把，代入， ∴． ∵当船行至桥时水位上升高度为40÷5×0.25＝2（m）， ∴船顶距AB高为． ∵， ∴船不能安全通过此桥． 27．【答案】（1）①1.8；②0.26米； （2）； （3）EG的最小值为． 【解答】解：（1）①由题意知，OG＝0.45米，GP＝1.35米，∴OP＝OG+GP＝0.45+1.35＝1.8米， 即点C到地面的距离是1.8米， 故答案为：1.8； ②∵AC＝1米，点O为AC中点， ∴OCAC＝0.5米， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠KDP＝72°， ∵AC∥BD， ∴∠OCK＝∠KDP＝72°， ∴在Rt△OCK中，OK＝OC•tan72°＝0.5×3.08＝1.54米， ∴PK＝OP﹣OK＝1.8﹣1.54＝0.26米； （2）如图，延长PN交AC于点F，则OF＝EG＝x， ∴CF＝OF+OC＝（x米， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠KDP＝60°， ∵AC∥BD， ∴∠FCK＝∠KDP＝60°， ∴在Rt△FCK中，FK＝CF•tan60°米， ∴PK＝FP﹣FK＝1.8x）x+1.8， 即y， 延长NM交AB于点H，过A作AI⊥MN于点I， 则AI＝1.8﹣1.6＝0.2（米），，AF＝NI＝0.5﹣x，为使头部不被淋湿， ∴， 解得， 又∵x≥0， ∴， ∴； （3）设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿， 如图，延长NM交AB于点R，过R作RT⊥BD交BD于T， 延长EG交CD于W，过W作WY⊥OG交OG于Y， 则WY＝OC＝0.5，∠GWD＝∠YGW＝60°，RT＝MQ＝1.6， ∴BD， 在Rt△YGW中，YGOG，GW； 在Rt△DEW中，EW， ∴EG＝EW﹣GW， 在Rt△BRT中，BT， 又∵BD﹣BTMN＝0.2， ∴此时头部不会被淋湿，综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为． 故答案为：． 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