专题08 计数原理与概率统计-江苏省职教高考五年（2022-2026）《数学真题分类汇编》

专题08 计数原理与概率统计 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 概率统计 随机事件 √ 古典概型 √ 概率的简单性质 √ 抽样方法 √ 统计图表 √ 样本的均值和标准差 √ 分类、分步计数原理 √ 排列与排列数公式 √ 组合与组合数公式 √ 排列组合的应用 √ 二项式定理 √ 离散型随机变量及其分布 √ 二项分布 √ 正态分布 √ 用样本估计总体 √ 一元线性回归 √ 考点01 排列组合与二项式定理 1.（2026江苏省职教高考数学真题）某地油菜花海成为春日旅游的热门打卡点，两个家庭各有1名小孩共6人趁着春假到此踏青赏花.6人站成一排拍照留念，2个小孩要求站在一起且不在两端，则不同的站法种数是（ ） A. 72 B. 144 C. 240 D. 288 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知，则的值是（ ） A. 15 B. 21 C. 30 D. 42 3.（2024江苏省职教高考数学真题）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中第4项的系数是（ ） A. B. C. 960 D. 3360 4.（2023江苏省职教高考数学真题）高三年级学生准备了4个演讲类、3个配音类节目，参加学校红色教育表演活动，考虑到演出效果，同类节目不能排在一起，则这7个节目的不同编排种数是（ ） A.144 B.240 C.1440 D.5040 5.（2022江苏省职教高考数学真题）从6门不同的在线课程中选修3门，其中思政和历史课程至少选修1门，则所有不同的选课方案种数是（ ） A．4 B．12 C．16 D．20 考点02 概率与统计 1.（2026江苏省职教高考数学真题）年“苏超”横空出世，推动了江苏“足球+文旅”的融合发展.某地推出款足球文创产品，具体如下：玩偶系列款，定价分别为元，元；手作系列款，定价分别为元，元；画册系列款，定价分别为元，元.某足球爱好者欲从款中随机购买款，同一款式不重复购买，每款产品被选购的可能性相等，求下列事件的概率： （1） {3款中恰有1款是手作系列}； （2） {3款中至少有1款定价不超过100元}； （3） {3款定价之和不超过300元，且至少有1款是玩偶系列}. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）随着科技的不断进步，人形机器人被广泛应用于诸多领域．某企业购买了4台人形机器人从事某条流水线上的4项工作．假定4台机器人分别为甲、乙、丙、丁，4项工作按流程依次为．给每台机器人随机分配1项工作，且每项工作仅由1台机器人完成．求下列事件的概率： （1）甲恰好分配到D项工作； （2）乙和丙分配到的工作不相邻； （3）甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）学校准备从2名教师、4名男同学、3名女同学中随机选5人参加一项志愿者服务活动.求下列事件的概率： （1）{女同学全部被选中}； （2）{男同学甲被选中，且至少1名教师被选中}； （3）{既有男同学又有女同学被选中}. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知集合 (1)从集合中任取一个整数，从集合中任取一个整数，求事件{关于的幂函数是奇函数}的概率 (2)从集合中任取一个实数，从集合中任取一个实数，求事件{双曲线的离心率}的概率 5.（2022江苏省职教高考数学真题）袋内有形状、大小相同的9个球，其中2个白球，3个红球，4个红球，从中随机取中3个球，求下列事件的概率： （1）A={取出的3个球颜色相同}； （2）B={取出的3个球中红、白、黄球各有一个}； （3）C={取出的3个球中恰有2个白球}． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 概率统计 随机事件 √ 古典概型 √ 概率的简单性质 √ 抽样方法 √ 统计图表 √ 样本的均值和标准差 √ 分类、分步计数原理 √ 排列与排列数公式 √ 组合与组合数公式 √ 排列组合的应用 √ 二项式定理 √ 离散型随机变量及其分布 √ 二项分布 √ 正态分布 √ 用样本估计总体 √ 一元线性回归 √ 考点01 排列组合与二项式定理 1.（2026江苏省职教高考数学真题）某地油菜花海成为春日旅游的热门打卡点，两个家庭各有1名小孩共6人趁着春假到此踏青赏花.6人站成一排拍照留念，2个小孩要求站在一起且不在两端，则不同的站法种数是（ ） A. 72 B. 144 C. 240 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数与排列数计算即可. 【详解】①将2个小孩捆绑为1个整体，内部排列有种； ②先排4个大人，全排列有种， 4个大人形成3个中间空位（排除两端），将小孩整体插入空位，有种； ③总站法数：种. 故选：B. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知，则的值是（ ） A. 15 B. 21 C. 30 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数性质，求，再根据组合数公式求解即可. 【详解】根据组合数性质，因为，则． 所以， 可得. 故选：． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中第4项的系数是（ ） A. B. C. 960 D. 3360 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数最大项求出，再代展开式通项公式求第4项的系数即可. 【详解】二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中共有项，故， 第4项为，则系数为. 故选：A. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）高三年级学生准备了4个演讲类、3个配音类节目，参加学校红色教育表演活动，考虑到演出效果，同类节目不能排在一起，则这7个节目的不同编排种数是（ ） A.144 B.240 C.1440 D.5040 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查排列组合中的 “不相邻” 问题，可采用 “插空法” 求解。先排一类节目，再将另一类节目插入到其形成的空隙中，最后根据排列数公式计算。 【详解】演讲类节目有个，全排列的排列数为。 根据排列数公式，可得种排法。 排好个演讲类节目后，会形成个空隙配音类节目有个，需要插入到这个空隙中，且每个空隙最多插一个，排列数为。 计算种排法。 根据分步乘法计数原理，总的编排种数为演讲类节目排法数乘以配音类节目插空排法数，即种。 故选：． 5.（2022江苏省职教高考数学真题）从6门不同的在线课程中选修3门，其中思政和历史课程至少选修1门，则所有不同的选课方案种数是（ ） A．4 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查组合数的应用，可采用“直接法”（分情况讨论满足条件的选法）或“间接法”（总选法减去不满足条件的选法）来求解。 【详解】（1）思政和历史选1门的选法有种，从另外4门中选2门的选法有种。 根据组合数公式，可得，。 这种情况的选法种数为种。 （2）思政和历史都选的选法有种，从另外4门中选1门的选法有种。 这种情况的选法种数为种。 将两种情况的选法种数相加，总选法种数为种。 故选：C 考点02 概率与统计 1.（2026江苏省职教高考数学真题）年“苏超”横空出世，推动了江苏“足球+文旅”的融合发展.某地推出款足球文创产品，具体如下：玩偶系列款，定价分别为元，元；手作系列款，定价分别为元，元；画册系列款，定价分别为元，元.某足球爱好者欲从款中随机购买款，同一款式不重复购买，每款产品被选购的可能性相等，求下列事件的概率： （1） {3款中恰有1款是手作系列}； （2） {3款中至少有1款定价不超过100元}； （3） {3款定价之和不超过300元，且至少有1款是玩偶系列}. 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. （）先算出取出3款定价均超过100元的情况数，利用间接法即可得解. （）根据题意写出基本事件数即可得解. 【小问1详解】 总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件：恰有1款手作系列.手作系列2款选1款，非手作4款选2款，共种， 因此. 【小问2详解】 总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件的对立事件为“3款定价均超过100元”，定价超过100元的共3款， 从中选3款的情况共种，因此. 【小问3详解】 总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件C：3款定价之和元，且至少1款玩偶的组合有： ， 因此. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）随着科技的不断进步，人形机器人被广泛应用于诸多领域．某企业购买了4台人形机器人从事某条流水线上的4项工作．假定4台机器人分别为甲、乙、丙、丁，4项工作按流程依次为．给每台机器人随机分配1项工作，且每项工作仅由1台机器人完成．求下列事件的概率： （1）甲恰好分配到D项工作； （2）乙和丙分配到的工作不相邻； （3）甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据排列数的应用求出基本事件总数，再求出事件A包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式(其中是基本事件总数，是事件A包含的基本事件数)计算概率； （2）根据题意，结合排列数的应用，利用捆绑法先求出乙和丙分配到的工作相邻的事件数，继而求得乙和丙分配到的工作不相邻的事件数，结合古典概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，结合排列数的应用，先求得甲分配到项工作或丁分配到项工作的事件数，继而求得甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作的事件数，结合古典概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，4台机器人分配4项工作，总的分配方法数为种， 若甲恰好分配到项工作，那么剩下3台机器人分配剩下3项工作，方法数为种， 根据古典概型概率公式，甲恰好分配到D项工作的概率； 【小问2详解】 由题意，先求出乙和丙分配到的工作相邻的事件数．把乙和丙看作一个整体(捆绑法)， 与甲、丁全排列，有种排法，同时乙和丙之间有种排法， 所以乙和丙分配到的工作相邻的情况共有种； 那么乙和丙分配到的工作不相邻的事件数为种， 根据古典概型概率公式，乙和丙分配到的工作不相邻的概率为； 【小问3详解】 由题意，甲分配到项工作共有种； 丁分配到项工作有种； 甲分配到项工作且丁分配到项工作，有种； 所以甲分配到项工作或丁分配到项工作的事件数为种． 所以甲没有分配到项工作，且丁没有分配到项工作的情况数为种． 根据古典概型概率公式，甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作的概率为 3.（2024江苏省职教高考数学真题）学校准备从2名教师、4名男同学、3名女同学中随机选5人参加一项志愿者服务活动.求下列事件的概率： （1）{女同学全部被选中}； （2）{男同学甲被选中，且至少1名教师被选中}； （3）{既有男同学又有女同学被选中}. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式，结合实际问题组合数的计算即可得解； （2）利用古典概型的概率公式，结合分类计数原理与组合数的计算即可得解； （3）利用古典概型的概率公式，结合间接法与组合数的计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，一共有9人，总的基本事件有个， 事件A包含的基本事件有个， 所以； 【小问2详解】 事件B包含的基本事件有个， 所以； 【小问3详解】 事件C包含的基本事件有 个， 所以. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知集合 (1)从集合中任取一个整数，从集合中任取一个整数，求事件{关于的幂函数是奇函数}的概率 (2)从集合中任取一个实数，从集合中任取一个实数，求事件{双曲线的离心率}的概率 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第(1)问：先确定集合、中的整数，再找出满足幂函数为奇函数的组合，最后根据古典概型概率公式计算。 第(2)问：根据双曲线离心率的公式得出、的关系，再结合几何概型，通过计算区域面积比求解概率。 【小问1详解】 由题意，，所有基本事件有个，事件条件为为奇数， 符号条件的基本事件为，共3个， ，事件的概率为； 【小问2详解】 所有基本事件为正方形，面积为，化简得，事件条件为 符号条件的基本事件为三角形，面积为， ，事件的概率为. 5.（2022江苏省职教高考数学真题）袋内有形状、大小相同的9个球，其中2个白球，3个红球，4个红球，从中随机取中3个球，求下列事件的概率： （1）A={取出的3个球颜色相同}； （2）B={取出的3个球中红、白、黄球各有一个}； （3）C={取出的3个球中恰有2个白球}． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，需要先确定总的基本事件数（从个球中任取个的组合数），再分别计算每个事件包含的基本事件数，最后根据概率公式求解。 【小问1详解】 球的颜色有红、黄（题目中“个红球”应为“个黄球”，推测笔误），白色有个，数量不足个，所以颜色相同的球只能是红球或黄球。 取出个红球的组合数： 取出个黄球的组合数： 事件包含的基本事件数为，因此： 【小问2详解】 需要从个白球中取个，个红球中取个，个黄球中取个，根据分步乘法计数原理，组合数为： 因此： 【小问3详解】 从个白球中取个，从剩下的个（红球个 + 黄球个）球中取个，组合数为： 因此： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $