专题06 直线与圆、圆锥曲线-江苏省职教高考五年（2022-2026）《数学真题分类汇编》

专题06 直线与圆、圆锥曲线 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 直线与圆 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 √ 直线的倾斜角与斜率 √ 直线的点斜式和斜截式方程 √ 直线的一般式方程 √ 两条相交直线的交点 √ 两条直线平行的条件 √ 两条直线垂直的条件 √ 点到直线的距离公式 √ 圆的方程 √ 直线与圆的位置关系 √ 直线与圆的方程的应用 √ 考点01 直线与圆 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知圆C的标准方程为，则其圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的标准方程的定义即可求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 2.（2023江苏省职教高考数学真题）小明将一张坐标纸折叠一次，发现点与点重合，则折痕所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】折叠后点A与点B重合，说明折痕是线段AB的垂直平分线。因此需先求AB的中点坐标，再求AB的斜率，进而得到折痕的斜率，最后用点斜式求直线方程。 【详解】中点为，，所求直线为中垂线， 方程为，即 故选：D 3.（2024江苏省职教高考数学真题）若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先设的中点坐标为，根据题意，得到中点所在直线方程，由圆上的点到直线的距离的最值情况即可得解. 【详解】设的中点坐标为， 因为，，所以，即， 又，，分别在直线和直线上移动， 所以，两式相加得， 所以，即即为中点所在直线方程， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到P点的最小距离为. 故答案为：. 4.（2022江苏省职教高考数学真题）圆上任意点P到直线的最小距离是 . 【答案】 【解析】 【分析】先将参数方程转化为普通方程，确定曲线类型，再结合点到直线的距离公式，利用三角函数的最值求解最小距离。 【详解】 由参数方程（为参数），消去参数： 因此，曲线是以为圆心，半径的圆。 直线方程为， 根据点到直线的距离公式，圆心到该直线的距离为： 圆上点到直线的最小距离=圆心到直线的距离-圆的半径， 即： 故答案为： 内容 要求 A B C 圆锥曲线 椭圆 √ 双曲线 √ 抛物线 √ 考点01 双曲线 1.（2026江苏省职教高考数学真题）设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到即两焦点坐标，通过双曲线定义将求周长最小值转换为求的最小值， 再根据两点之间线段最短得到，即可求解. 【详解】由双曲线方程，得，，， 故右焦点，设左焦点为. 根据双曲线定义，左支上的点满足，即. 的周长，其中为定值， 因此周长最小即最小. 根据两点之间线段最短，当三点共线时，最小， 即， 此时 . 故答案为：. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】的最小值即焦点到渐近线的距离，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即可得出结果. 【详解】对于双曲线， 这里，则， 右焦点，渐近线方程为. 最小值即焦点到渐近线的距离， 取渐近线，即， 则到该渐近线的距离， 所以最小值为. 故选：B. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的一条渐近线方程是，且该双曲线的一条准线和抛物线的准线重合，则该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线渐近线方程得到，再利用双曲线与抛物线的准线重合得到，从而代入求得，由此得解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即， 抛物线可化为，其准线为， 可得双曲线的准线，即， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则该双曲线的标准方程为. 故选：A. 4.（2022江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得与的值，结合条件求解和，则双曲线方程可求. 【详解】因为双曲线的焦距为2，所以， 由双曲线的一条渐近线与直线垂直，得， 又 所以，即， 则， 所以双曲线的方程为， 故选：B 考点02 抛物线 1.（2025江苏省职教高考数学真题）以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆圆心坐标，再根据抛物线的焦点坐标写出标准方程即可． 【详解】由圆的一般方程为，所以圆心为，所以抛物线的焦点为， 故抛物线的焦点在轴负半轴，开口向左， 设抛物线的标准方程为，且， 所以，所以抛物线标准方程为． 故答案为：. 2.（2023江苏省职教高考数学真题）经过圆的圆心的抛物线标准方程是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心坐标； （2）根据“抛物线过该圆心”，结合抛物线的标准方程形式，确定抛物线的方程。 【详解】圆标准方程， 设抛物线方程或，圆心在抛物线上， 或，∴抛物线方程为或 故答案为：或 考点03 圆锥曲线综合 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，且与轴和轴分别交于两点，.①求直线的斜率；②连接，，记△的面积为.证明：. 【答案】（1）. （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）①设出直线方程求出坐标，联立方程组结合韦达定理及中点坐标公式，利用与的中点重合即可得解. ②联立方程组，利用韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式即可证明. 【小问1详解】 椭圆一个焦点为，因此，焦点在轴上， 离心率，解得，因此， 由得，因此椭圆标准方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为， 令，则，解得，则， 令，则，，所以的中点为， 联立方程组得，整理得 ， 设，，由韦达定理得， 因此的中点横坐标为，纵坐标为， 由得与的中点重合，因此纵坐标相等：， 因为，约去得，解得. 直线与椭圆在第一象限交于两点，因此斜率为负，即. ② 证明：将代入直线方程得， 联立方程组得得， 方程有两个正实根，因此，，，解得. 原点到直线的距离， 弦长， 的面积. 由基本不等式， ， 当且仅当时取等号，因，等号取不到，因此， 即，得证. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 【答案】（1）， （2）证明见解析，定点 【解析】 【分析】（1）由椭圆准线方程列出式子解得，进而得到椭圆方程和离心率； （2）分情况设出直线方程，联立椭圆方程，根据向量的垂直坐标表示结合韦达定理求出直线，即可得出直线过定点. 【小问1详解】 已知椭圆的长轴长为4，即，所以． 其右准线方程，其中，解得，， 即离心率，椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 已知，设， 当直线斜率存在时，设直线的方程为． 联立直线与椭圆方程，得：， 展开并整理得． 由韦达定理可得． 因为，以为直径的圆恒过点， 所以，则． 将代入上式得：， 整理得， 把代入上式： ， ， ， 即，因式分解得， 因为异于点，所以，解得． 所以直线的方程为，恒过定点． 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由可得，又， 联立求解发现无解，这种情况不成立． 综上，直线过定点． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆，点在椭圆D上，射线交椭圆C于点N． ①求点N的坐标； ②若直线l与椭圆C有两个交点E、F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：的面积是定值． 【答案】（1） （2）① ②证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程中，可得a与b的关系，由离心率公式可得a与c的关系，再由椭圆中的即可求解椭圆的标准方程. （2）①先求出点M的坐标，再求出直线OM的方程，设出点N的坐标，再由点N在椭圆C上，代入椭圆C的方程即可求解点N的坐标. ②分为直线斜率存在和不存在两种情况讨论，求解三角形的底边和高，计算即可得到定值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以有①， 又因为离心率为，所以有②， 又因为在椭圆中③，将②代入③中有④， 将④代入①中有，解得，所以， 所以椭圆. 【小问2详解】 ①由（1）知，，， 所以椭圆，点代入D得 解得，所以，则， 因为射线交椭圆C于点N， 所以点N点在第一象限，所以，， 设，N在椭圆C上，则，解得， 又因为，所以，所以，. ②（i）当直线l斜率不存在时，轴，且与椭圆相切，如图一， ， 当时，，解得， 设,,所以，所以, 当时，，解得， 设,,所以，所以 （ii）当直线l斜率存在时，设l：，，，如图二， 因为l与椭圆D相切，所以，联立得， ， ，可得， ，联立得， 由， 所以，， ， 点O到l的距离是， ， 综上，的面积是定值． 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的四个顶点围成得四边形周长为，离心率为 (1)求椭圆的标准方程 (2)不垂直于轴的直线过椭圆的上焦点，且与椭圆交于两点，点的坐标为，证明：直线与直线的斜率之和等于零 【答案】（1）椭圆方程为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】 【小问1详解】 （1），解得， ∴椭圆方程为； 【小问2详解】 证明：椭圆方程为的焦点， 设直线方程为，， 消去得， ，， ， ∴直线与直线的斜率之和等于零. 5.（2022江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的右准线方程为，且该准线截抛物线所得的弦长为8． （1）求抛物线的标准方程； （2）若椭圆的右顶点和抛物线的焦点重合． ①求椭圆的标准方程； ②过点M（－3，0）的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点D，证明，直线AD过定点． 【答案】（1）. （2）① ②过定点证明见详解. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的标准方程即可得解. （2）①由椭圆的标准方程及准线方程即可得解. ②由韦达定理及利用直线与椭圆的位置关系即可得解. 【小问1详解】 将代入抛物线. 解得. 即直线与抛物线两交点为,截得弦长为. 解得或. 所以抛物线的标准方程为:. 【小问2详解】 ①由（1）得抛物线的焦点为,所以. 又因为椭圆右准线方程为解得. 所以. 所以椭圆标准方程为. ② 证明:由已知条件可知直线斜率存在,设其方程为,设，,则. 由得. 所以. 由. 可得. 因为三点共线,所以. 又因为,. 则. 所以. 即. 则. 得. 解得. 经检验满足式. 所以直线的方程为. 所以直线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆、圆锥曲线 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 直线与圆 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 √ 直线的倾斜角与斜率 √ 直线的点斜式和斜截式方程 √ 直线的一般式方程 √ 两条相交直线的交点 √ 两条直线平行的条件 √ 两条直线垂直的条件 √ 点到直线的距离公式 √ 圆的方程 √ 直线与圆的位置关系 √ 直线与圆的方程的应用 √ 考点01 直线与圆 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知圆C的标准方程为，则其圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 21.（2023江苏省职教高考数学真题）小明将一张坐标纸折叠一次，发现点与点重合，则折痕所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 4.（2022江苏省职教高考数学真题）圆上任意点P到直线的最小距离是 . 内容 要求 A B C 圆锥曲线 椭圆 √ 双曲线 √ 抛物线 √ 考点01 双曲线 1.（2026江苏省职教高考数学真题）设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，__________________. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的一条渐近线方程是，且该双曲线的一条准线和抛物线的准线重合，则该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4.（2022江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 考点02 抛物线 1.（2025江苏省职教高考数学真题）以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程是_____． 2.（2023江苏省职教高考数学真题）经过圆的圆心的抛物线标准方程是_____． 考点03 圆锥曲线综合 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，且与轴和轴分别交于两点，.①求直线的斜率；②连接，，记△的面积为.证明：. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆，点在椭圆D上，射线交椭圆C于点N． ①求点N的坐标； ②若直线l与椭圆C有两个交点E、F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：的面积是定值． 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的四个顶点围成得四边形周长为，离心率为 (1)求椭圆的标准方程 (2)不垂直于轴的直线过椭圆的上焦点，且与椭圆交于两点，点的坐标为，证明：直线与直线的斜率之和等于零 5.（2022江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的右准线方程为，且该准线截抛物线所得的弦长为8． （1）求抛物线的标准方程； （2）若椭圆的右顶点和抛物线的焦点重合． ①求椭圆的标准方程； ②过点M（－3，0）的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点D，证明，直线AD过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $