一串好题带你逛排列组合-《中学生数理化》高二数学2026年3月刊

中学生数理化解题篇经典题突破方法 ,高二数学2026年3月 串好题带你逛排列组合 ■湖北省武汉市第三中学 尚峰 排列组合是高中数学的热点和难点，内 恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共 容抽象，解题方法灵活，不少同学常常感觉无 有()种。 从下手。有时好不容易做出来答案却又心里 A.120 B.60 C.30 D.20 没底，再去检查一遍发现又得出了另一个结 解析：不妨记5名志愿者为a,b,c,d,e。 果，往往全班同学得到的答案千奇百怪，而且 假设a(特殊元素)连续参加了两天公益 每个人都觉得自己做得很有道理。很多同学 活动，再从剩余的4人中抽2人分别参加星 碰到这类问题就抓耳挠腮，苦恼不已。下面 期六与星期天的公益活动，共有A=12(种) 以问题串的形式展示排列组合问题的基本解 方法。 题策略和方法，帮助同学们突破难点，提高正 同理，b,c,d,e连续参加了两天公益活 确率。 动，也各有12种方法。 题目：有4名男生、3名女生，问下列情 所以恰有1人连续参加了两天公益活动 形各有多少种不同的安排。 的安排方式有5×12=60（种）。选B。 问题1：全体排成一行，甲不在两端。 高考真题：用数字1,2,3,4,5组成没有 策略1：“特殊”优先：对于有条件限制的 重复数字的五位数，其中奇数的个数为。 元素和位置的排列组合问题，采用“特殊”优 解析：个位是特殊位置，优先考虑它，只 先排的策略。 能从1,3,5中选1个，其他位置共有A种排 解析：法一：从特殊元素“甲”入手，甲不 法，所以满足条件的奇数的个数为3A=72。 在两端，还有中间5个位置可以选择，其他人 问题2：全体排成一行，甲不站最左端， 全排列，所以有5A=3600(种)方法 乙不站最右端。 法二：从特殊位置“两端”入手，先排这两 策略2：合理分类、准确分步、正难则反。 个位置，从除甲外的6人中选2人排列，再将 对于需要分类讨论的题要做到合理分类、准 其他5个位置安排上剩下的5个人，方法有 确分步，做到不重复不遗漏；有些问题分类， A·A=3600(种)。 正面情况较复杂而反面情况简单，可以考虑 高考真题：现有5名志愿者报名参加公 正难则反。 益活动，在某一星期的星期六、星期日两天， 解析：法一：分两类：①甲在最右端，其他 每天从这5人中安排2人参加公益活动，则 人无限制，有A种方法；②甲不在最右端，并 18 器脑数餐聚方清中学生表理化 且甲也不能在最左端，先考虑甲，有5种方 再把甲、乙排进去。因为甲、乙不相邻，所以 法，乙不在最右端，还有5个位置可选，其他 需要在5人形成的6个空位中选2个来安排 人无限，有5×5A:种方法。 甲、乙，即有A·A=3600(种)排法。 共有A+5×5A=3720(种)方法。 高考真题：6把椅子摆成一排，3人随机 法二：正难则反，整体考虑。反面即甲站 就座，任何两人不相邻的坐法种数为 在最左端或乙站在最右端，重叠部分是甲在 解析：先把3个空椅子摆好，形成4个空 最左端且乙在最右端，故有A2·A十A 位，然后3个同学各带一把椅子插入这4个 =3720(种)方法。 空位中，故有A=24(种)坐法。 高考真题：从1,3,5,7,9中任取2个数 问题5：全体排成一行，男女互不相邻。 字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组 解析：先对女生内部排序，3个女生形成 成个没有重复数字的四位数。（用数宇 4个空位，因为男女都互不相邻，4个男生刚 填写答案) 好排在这4个空位上，所以共有A·A= 解析：先选数再排列，分两类：①取的4 144(种)排法。 个数字不包括0，则可以组成没有重复的四 或先排男生有A种排法，此时女生只能 位数有C号C号A=720(个)； 插在男生形成的5个空位的中间3个，不能排 ②取的4个数字包括0，因为0不能在千 在两端的空位上，排法有A·A=144(种)。 位，所以可以组成没有重复的四位数有CC· 注意：因为要求男女互不相邻，这里男女 (A-A)=540(个)。 生的人数要么相等，要么相差一个才有可能。 根据加法原理可得，共有720十540= 如果人数相等，那么男女各自排列好后有两 1260(个)数。 种插人的方法；如果人数相差一个，那么男女 问题3：全体排成一行，甲、乙相邻 各自排列好后只有一种插入的方法。 策略3：相邻问题捆绑法，不相邻问题插 高考真题：某次联欢会要安排3个歌舞 空法。 类节目、2个小品类节目和1个相声类节目 解析：甲、乙相邻，有A种排法，再把甲、 的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数 乙看成一个整体，与剩下的5个人一起排列， 是。 相当于6个元素全排列，即有A:·A:= 解析：先排歌舞类节目，有A种排法。 1440(种)方法。 排好后有4个空位，再排另外3个节目，因为 高考真题：把5件不同产品摆成一排，若 3个歌舞节目不相邻，所以中间2个空位必 产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 须安排节目，分两类：①中间2个空位，一个 不相邻，则不同的摆法有种。 空位排1个小品，另一个空位排1个相声和1 解析：从A与B相邻中减去A、B相邻 个小品，有CAA种排法；②中间2个空里 并且A、C相邻的情况。A与B相邻，它们内 分别插入1个节目（要么是2个小品，要么是 部可交换位置，有A种摆法，再把A,B作为 1个小品、1个相声)，第3个节目插入两端， 一个整体与其他3个产品一起排列，有A种 有(A?十CA)C种排法。 摆法，所以有AA=48(种)摆法。 共有A[CAA十(A+CA)C]= 若A,B相邻且A,C相邻，则A一定在 120(种)排法。 B,C中间，它们内部有A:种摆法，然后把它 也可以这样分两类：①相声排中间的一 们看作一个整体与其他2个产品一起排列， 个空位，另一个空位排1个小品，另1个小品 有A种摆法，此时共有AA=12(种)摆法。 有4个位置可以插入，有CCC种排法；② 故满足条件的摆法有48一12=36（种）。 相声排两端的空位里，把2个小品插入中间2 问题4：全体排成一行，甲、乙不相邻。 个空位，有CA种排法。 解析：先将除甲、乙外的5人进行排列， 共有A(CCC+CA)=120(种) 19 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年3月 排法。 解析：当C在最左侧有A种排法，C在 问题6：全体排成一行，恰有2名女生相邻。 左数第二位，有CA}种排法，C在左数第三 解析：先将男生全排列，有A种，再从3 位，有AA十AA种排法，则一共有(A十 名女生中挑选2个相邻并捆绑成一个元素， CA十AA+AA)×2=480(种)排法。 内部排列有A种，这个元素与剩下的1名女 问题9：排成前后两排，前排2人，后排 生不能相邻，即插人男生形成的5个空位，共 5人 有AAA=2880(种)方法。 策略5：灵活使用等价转化。 问题7：全体排成一行，男生按身高从高 解析：一般会考虑先安排前排的2人，再 到低，从左到右排序。 安排后排的5人，那么就是AA;实际上可 策略4：定序问题：对于某些元素顺序已 以7人排成一排站好后，把最左端的2人拉 定的排列问题，可将其他元素进行选位排列 到前排去，所以前排2人后排5人和排成一 或全排列数除以已定序元素的全排列数。 排的站法一样，故有A=5040(种)排法。 解析：先从7个位置中选3个供女生站， 问题10：7个人围坐在一张圆桌上就餐， 因为男生的排列已定，所以剩下的4个位置 共有多少种坐法？ 只有1种排法，则共有A=210(种)排法。 解析：先当成直线型排列，有A:种排法， 或先7个人全排列有A种站法，男生顺 但1234567,2345671等这种轮换的不同排列 序已定，即男生内部的A种排法只能取按身 (7种)在圆排列中是同一个排列，故共有 高从高到低排的那一种，故除以A,即有六 =720(种)坐法。 =210(种)排法。 方法点拨：把n个不同元素放在圆周的 联考真题：5人站成一排，如果甲必须站 n个位置上排列，则a1,a2,…,an;a2,…,am, 在乙的左边，乙必须站在丙的左边，则不同的 a1;…在圆排列中只算一种，这个顺序轮换后 排法有多少种？ 可以重合，一共有”！ =(n一1)！种排法。 解析：5人全排列有A种站法，甲、乙、 丙三人顺序确定，故应除以3人的全排列数 问题11：(1)从中选出3名同学参加活 、总共有 动，女生甲必须参加。 =20(种)排法。 策略6：不同元素的搭配问题，关注“至 问题8：全体排成一行，甲、乙在丙的 多”“至少”“恰好”“必须”这样的关键词。 同侧。 解析：女生甲必须参与，在剩下的6人中 解析：先从7个位置中选4个供其他人 选2人有C=15(种)方法。 排列，有A种排法，再把甲、乙、丙三人的顺 (2)从中选出3名同学参加活动，其中至 序排定，甲、乙两人排列有A种排法，他们在 少有1名女生。 丙的同侧，有左、右两种选择。 解析：至少有1名女生包含3种情况：1 共有AA:·2=3360(种)排法。 女2男或2女1男或3女，有C?·C+C· 或者用分类讨论：丙在两端，有2·A种 C+C=31(种)方法。或从反面即没有女生 排法，丙在第二或第六位，有CAA}种排 参加来解，有C一C=31(种)方法。 法，丙在第三或第五位，有C·(A十A)· 高考真题：从2位女生，4位男生中选3 A种排法，丙在第四位，有A·A号·A种 人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则 排法，则一共有3360种排法。 不同的选法共有种。（用数字填写答案） 高考真题：将A,B,C,D,E,F6个字母 解析：正面分类：恰有1位女生时，有 排成一排，且A,B均在C的同侧，不同排法 CC=12(种)方法；恰有2位女生时，有 有种。 CC号=4（种）方法。共有12十4=16（种） 20 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年3月 中学生教理化 方法。 反面减法：6人选3人有C种方法，全 eC+)A=14(种)方法。 是男生有C种方法，共有C一C=16(种) 高考真题：4名同学到3个小区参加垃 方法。 圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每 (3)男女生各指定一名队长，现从中选3 个小区至少安排1名同学，则不同的安排方 名同学参加活动，既要有队长又要有女生 法共有种。 当选。 解析：根据题意，先将4人分为2十1+1 解析：准确分类：队长为女生时，有C= 的三组，有C=6(种)分组方法，再将三组同 15(种)方法；队长为男生时，其他两人是1男 学分配到3个小区，有A=6(种)分配方法， 1女或2女，有CC十C=7(种)方法。共有 故不同的安排方法有6×6=36（种）。 22种方法。 问题13：4月23日是“世界读书日”，现 找准反面用诚法：反面是无女生或无队 有10张面值50元的购书卡分发给这7名同 长，重叠的是刚好选到男生中非队长的3人， 学，每名同学至少要有1张，则有多少种不同 所以有C一C一C十1=22（种）方法。 的分配方法？ 高考真题：从6男2女共8名学生中选 策略8：相同元素的分配问题，用隔 出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组 板法。 成4人服务队，要求服务队中至少有1名女 把n个相同小球放入m个(m<n)不同 生，共多少种选法？ 的盒子中，每个盒子至少有一球，只需在n个 解析：先选出4人组成服务队再进行队 小球形成的n一1个间隔中选择一1个间 长的指定，总的选法有CCC种，服务队中 隔插入隔板，把小球分成m份，即有C种 没有女生的选法有CCC种，故共有 分法； C%CC-CC1C=660(种)选法。 若允许某些盒子不放球（有空盒），则先 问题12：(1)将这4名男生安排到武汉、 补充m个虚拟的小球视为每个盒子已经放 北京、上海参加志愿活动，有多少种不同的安 了一个，于是将问题转化为把n十m个小球 排方法？ 放人m个不同的盒子中，每个盒子至少有 策略7：不同元素的分组分配问题，需先 球，即在n十m一1个间隔中选m一1个间隔 分组再分配，分组中注意平均分组可能会 插入隔板，即C+-1种分法。 重复。 解析：相当于把10张相同的购书卡分成 解析：每名同学都有3种选择，则一共有 7份，每份至少有1张，每位同学拿自己对应 31=81(种)不同的安排。 的那一份即可。所以在这10张购书卡形成 (2)将4名男生安排到武汉、上海参加志 的9个间隔里选6个插人隔板就可以完成， 愿活动，每地至少1人，有多少种不同的安排 故分配方案有C=C=84(种)。 方法？ 联考真题：5个相同的小球放入3个不 解析：先分组，每地至少1人，则4名同 同盒子中，每盒不空的放法共有种。 学可分为1+3或2+2的两组。1+3：从4 解析：一共有5个相同的小球，放入3个 人中选1人为一组，剩下3人自然成另一组， 不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成3 有CC种方法；2十2：这就是平均分组，从4 份，每份至少1个。将5个小球摆放一列，中 人中选2人为一组，剩下2人为一组，因为选 间有4个空，则只需在这4个空中选2个插 出来的和剩下的都是2人，所以会产生重复， 入隔板，有C?=6(种)方法。所以每盒不空 的放法共有6种。 将重复的用除法去掉，有A种方法 (责任编辑徐利杰) 再分配，将分好的两组安排给两地，即有 21