圆锥曲线的“四心”问题探析-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

解题篇经典题突破方法 高二数学2026年2月 中学生数理化 圆锥曲线的“四心”问题探析 ■福建省泉州市第七中学 彭耿铃 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注 重知识又注重能力，突出圆锥曲线的本质特 例2设点P为精国C莞十荒-1上 征。圆锥曲线中的面积、弦长、最值等是常考 一点，F1、F,分别是椭圆C的左、右焦点，且 内容，而圆锥曲线中的“四心”问题让我们耳 △PFF2的重心为点G。如果|PF1|:IPF, 目一新。因此在学习过程中，同学们通过研 =2:3,那么△GPF1的面积为()。 究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题， A号 B.2√2 快速提高数学解题能力，增强信心。下面将 探究此类题型规律，揭示解题方法，提供解题 C.8/2 D.3√2 3 规律，供同学们参考。 考点一、圆锥曲线中的重心问题 解析：由题意知点P为精圆C:需十岩 例1已知下1、下：为椭圆 =1上一点，并且|PF1|:|PF21=2:3, |PF,1+|PF2|=2a=10。 (a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点 解得|PF1|=4,PF,1=6。 (左、右顶点除外)，G为△PFF。的重心。 又|F1F2|=2c=2×V25-16=6,故 若∠F,GF,≤号元恒成立，则椭圆的离心率e △PFF,为等腰三角形，以PF1为底的高 的取值范围是( )o h=√6-4=4√2。 A.(o. B.(o.] 1 故S△pE,=2|PF:|Xh=8VE,SAGm c[哈 D.[1) = 8√2 ,选C。 3 解析：因为P为 小结：本题考查了椭圆的定义和性质，由 椭圆上一点，且 2 ∠FGF:≤号x恒成 重心和中点的定义可得S△GPF,= 立，不妨设点P为上 兰X}Ss,同时考查同学们的运算求解 顶点，如图1所示。 能力。 因为G为 图1 考点二、圆锥曲线中的外心问题 △PF1F2的重心，所以 例3(2020年清华大学强基计划试 c01=号o1=. 题)双曲线C:无-，=1(a>0,b>0),斜室 而G0≥an若1F,0,即G0≥ 为1的直线l交C于A,B两点，D为C上另 一点，AD⊥BD,△AOD,△BOD的重心分 1FO1,地即b 3c,所以b≥3c。变 别为P,Q,△ABD的外心为M,若kop· koQ·koM=一8，则双曲线的离心率为 形可得a2-c≥3c,则e2≤，解得0<e≤ 解析：如图2，在 多故选B △AOD中，取AD的中 点E。点P为△AOD 小结：本题主要考查椭圆的几何性质及焦 的重心，则P在OE上 点三角形的重心坐标公式的应用，也考查了数 设A(x1,y1),D(x2, 形结合的思想和同学们的运算求解能力。 图2 19 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高数学2026年2月 y2),E(xo,y。),则x。= x1十x2 因为|PF|=b,由双曲线的定义可得 2 ，y0= |PF'|-|PF|=2a,所以|PF'1=2a+b,则 y,且- 号y 2 a26=1, (2c)2=(2a+b)2+b2。 ab =1。 因为c2=a2十b2,整理可得b=2a,所以 两式作差得，一x道 yi-y a2 =0,即 c=5a,则e=￡=5，选D。 (x1-x2)(x1十x2)(y1-y)(y1十y2) 小结：先由O心=Oi(入≠0)可确定O、 69 D、I三点共线，根据外心的性质可得OD⊥ 0,则k=当二Y=6(x十x2-0x PF,再由点O为F'F的中点，根据中位线的 x1一x2 a2(y1+y2)a'yo 性质可得PF'∥OD,则PF'⊥PF,进而在 ,即kom·kAD b 6: a'ko koE·kAD= a。 Rt△PF'F中利用勾股定理求解。 同理，kw·k a,kw·kAB= b 考点三、圆锥曲线中的内心问题 例5如图4，抛物线 年y 因为AD⊥BD,所以kAD·kD=一1。 C:x2=2py(p>0)的焦点F b" 由kAB=1,可得kOP·ko0·koM= a 恰好也是椭圆P,女十 ,=1 m 4 一8，即 2。 (m>0)的一个焦点，F1、F2分 别是椭圆工的上、下焦点，P 图4 e== a -3。 /1+ 是椭圆上的任一点，I是 △PFF,的内心，PI交y轴于点M,且Pi= 小结：本题考查解双曲线问题时常用的 2IM,点(xn,yn)(n∈N”)是抛物线在第一象 点差法，也考查三角形重心和外心的性质，列 限内的点，且抛物线在该点处的切线与x轴的 出相关表达式，从而得到离心率。 交点为(xn+1,0),若x2=1,则x22= 例4 如图3，设 F(c,0)为双曲线E: 解析：由椭圆三十=1(m>0)的焦点 在y轴上，得0<m<4。 6=1(a>0,b>0)的 连接F2I,因为I是△PF1F2的内心，所 以F,I平分∠FF,P。 右焦点，以F为圆心，b 为半径的圆与双曲线在 图3 在△PFI中，由正弦定理 PII sin∠PF,7 第一象限的交点为P,线段FP的中点为D, sin∠P1F,。在△MF,I中，由正弦定理得 PF, △POF的外心为I,且满足O而=Oi(入≠ 0),则双曲线e的离心率为( ）。 MI MF2 A.√2 B.5C.2D.5 sin∠MF7=sin∠MIF 解析：因为OD=λOi(入≠0)，所以O、 因为∠MIF2十∠PIF,=x,所以 D、I三点共线。 sin∠MIF,=sin∠PIF2o 因为点D为线段FP的中点，△POF的 PI 又sin∠PF,I=sin∠MF,I,所以MT 外心为I,所以DI⊥PF,即OD⊥PF。 |PF21 设双曲线的左焦点为F'(一c,0),则点 ME O为线段F'F的中点。 在△PFF'中，PF'∥OD,即PF'⊥PF, PF=2。 因为Pi-2IM,所以MF, 所以△PF'F是直角三角形，|F'F1= IPF |F'P|2+|PF12。 同理可得PI IM FMT=2。 20 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年2月 中学生数理化 所以|PF1I+PF2I=2|FM|+ 故 ID DF DF. 2|FM|。 IPF PF. 由椭圆的定义可知|PF11十|PF2|=2a IDF+DF:I 2c =4,F1M|+F2M|=2c。所以4=4c,c= PF+PFT- 2a =e=2 1,即椭圆的焦点坐标为(0，士1)。 SAIFF: ID|1 所以抛物线的方程为x2=4y,即y= 则SAPF F2 TPD=3,选A。 小结：本题利用椭圆的性质和角平分线 子则y=己.故抛物线C在（红）处 定理解决三角形面积比值，意在考查转化与 的切线方程为y-=2,:一)。 化归的思想，数形结合思想，属于中档题，解 题的难点是角平分线定理的应用。 又y。1x多，可得y二2xx一y,即 考点四、圆锥曲线中的垂心问题 例7(2023年高考山东卷)平面直角 xnx=2y+2yn。 坐标系x0v中，双曲线C:一广=1(a 令y=0,则x1=2y 2 4= 29 0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x=2py (p>0)交于点O,A,B。若△OAB的垂心 又=会=1，所以x=2,x,是首项 为抛物线C,的焦点，则双曲线C1的离心率 为2，公比为2的等比数列，x2=2× 为。 解析：设OA所在的直线方程为y= 名x,则OB所在的直线方程为y一 b 220210 I a 小结：本题考查的是椭圆的定义、角平分 2pb b 线的性质定理、正弦定理等综合知识，属于难 a 解方程组 a 得 所以 题。在解决涉及圆锥曲线上的点与焦点之间 2=2py, 2pb2 关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题 a2。 的突破口。三角形的内心是三个内角的平分 点A的坐标为 2pb 2pb' ,抛物线的焦点F a 线的交点，根据三角形内角平分线的性质定 理，把所求的比值转化为三角形边长之间的 的坐标为(0，) 比值来求解。 因为F是△OAB的垂心，所以ko·kAF 例6如图5，点 =-1。 P为揽图子-苦-1 因此，一」 2 b25 上任一点，F1、F2为其 OD E 2pb 4 左、右焦点，△PFF2 a 3 S△IrFy 的内心为I,则S =1+69 则e2=c a=4>e= 2 图5 小结：本题考查双曲线的综合应用，考查 =()。 同学们的抽象概括能力与运算求解能力。 A号 B c D 注：本文为2024年泉州市教育教学改革 解析：连接PI并延长交x轴于点D,连 专项课题“全国新高考工卷命题视角下的数 接R,IR。在△PrD中，P 学概念教学评价研究”的研究成果， QJYKT2024-174。 DF IPF。 在△PF,D中，IDI=DFl (责任编辑徐利杰) PF,T° 21