利用极化恒等式解决平面向量数量积的最值或范围问题&浅议与平面向量最值相关的六种题型-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

中学生数理化高”数学2026年2月 知识结构与拓展 利用极化恒等式解决平面向量数量积的最值或范围问题 ■龚兵 一、极化恒等式 如图1，在平行四边形ABCD中，设 AB=a,AD=b,则AC=a十b,DB=a-b。 c. n.[o) 解：由M为AB的中点，结合极化恒等式 得NA.N=N材-M=N材-1，所以只 需求|NM|的最值即可。当NM⊥CD时， 图1 INM取得最小值，当N与D重合时，INM取 极化恒等式可表示为a·b= -[(a+ 得最大值，所以的取值范围是[停，小，即 b)2-(a-b)2]或a·b=|AM12-|BM2= 的取值范国是[)，所以N财.N |AM:一BD(M为对角线的交点)。 的取值范围是[子。应选A。 极化恒等式的几何意义：向量的数量积 点评：极化恒等式可以将共起点的两个 可表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 向量的数量积转化成长度问题来求解。 “和对角线”与“差对角线”的平方差的子。在 例2如图3，已知正方形ABCD的边 △ABD中，也可以用三角形的中线AM来 长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上 表示，即a·b=|AM12-|BM12=|AM12 (正方形ABCD内部，含边界)，则PC·PD 的取值范围为( )。 子B,它指示了三角形的中线长与边长 的关系。 二、利用极化恒等式解题的步骤 取中点，找第三边的中点，连接向量的起 点与中点；公式转化，运用极化恒等式将数量 积转化为中线长与第三边长的一半的平方 图3 差：求长度，利用平面几何方法求中线及第三 A.(0,16] B.[0,16] 边的长度，从而求出数量积。 C.(0,4] D.[0,4] 三、极化恒等式的应用 解：取CD的中点E,结合极化恒等式得 例1如图2，在四边形ABCD中，M为 P元.p元-p-Di=pi_C AB的中点，且AB=2,MC=MD=CD=1。 4 若点N在线段CD(端点除外)上运动，则 P它’-4。当P在A点或B点处时，P它 NA·NB的取值范围是( )。 取得最大值2√5，当P在弧AB的中点时， P正取得最小值2，所以PE|的取值范围 是[AA,即为[225].故心P而 的取值范围为[0,16]。应选B。 点评：本题是通过极化恒等式转化成圆 图2 外的点到圆上的点的距离最值问题求解的。 A[-) 作者单位：对外经济贸易大学附属中学 (责任编辑王琼霞) 高-黄架双结肉军西骨中学生款理化 平面向量中的最值或范围问题是一种典 型的能力考查题，它能有效地考查同学们的 思维品质和解决问题的能力。其基本题型是 浅议与平面向量 根据已知条件求某个变量的范围或最值，如 向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围 最值相关的六种题型 等。下面就与平面向量最值有关的问题进行 ■杜海洋陈晓华 举例说明，供同学们学习与参考。 题型一：与数量积有关的最值问题 例1如图1，扇形OAB的半径为1，圆 设a=OA,b=Oi,c=O心。因为a-c 心角为，P是AB上的动点，则A正.丽 与b-c的夹角为S,所以∠ACB= 3。又因 的最小值为( ) 为(a,b>=∠AOB=3·所以OA,C,B四 点共圆，如图2所示。 图1 A.-√2B.0 2 解：由题设得A户=O币一O,B户 图2 OP-OB,所以A户·BP=(OP-OA)· 设圆的半径为R,则当|c|=2R时，c (O币-Oi)=O币-Op·(OA+OB)+ 取得最大值。易得|AB=√，结合正弦定理 0i.0丽.因为0.0=-2,0=1 得2R=AB =2,所以c=2。应选A。 2π 所以A.B=号-O币.(o+O)。要 sin 3 题型三：与夹角有关的最值问题 使AP·BP的值最小，只需OP·(OA+ 例3已知e,e?为单位向量，满足 OB)的数量积最大，也就是满足OP,OA+ |3e1-e2≤5，a=e1+2e2,b=e1+e2,向量 OB同向共线（夹角为0）即可。 a,b的夹角为0。 所以当OA+OB1=1OP1=1时，可得 (1)求e,·e2的取值范围。 (.㎡)=号-1=2，应选C (2)求cos20的最小值。 题型二：与模长有关的最值问题 解：(1)因为3e1一e|≤5，所以|3e, 例2设向量a,b,c满足|a|=b1=1, e2|2≤5，整理得10一6e1·e2≤5，所以e1· 2,a-c与b-c的夹角为受，则 1 a·b= e2≥5。又因为e·e2=e1川e2lcos(e1e2> Ic|的最大值等于()。 =cos<e1,ez)≤1，所以e1·e2的取值范围是 A.2 B.3 C.√2D.1 [8 解：因为|a|=|b|=1,所以a·b= lallblcos(a,b)=1xleos(a.b)=-1 ，即 (2)易得cos20= (a·b)2 |a121b 2π [(e1+2ez)·(e1+e2)] cos<a,b)=- 2,所以(a,b)= 3。 le+2e21le+e212 中学生数理化驾识皱锌与28年2月 知识结构与拓展 (3+3e1·e2)2 为3，最小值为0。 (5+4e1·ee)(2+2e:·e2) 题型五：与三角形有关的最值问题 9(1+e1·e2) 例5在△ABC中，已知∠ACB=60°， 10+8e1·e2o BM=MC,|AM1=3,则△ABC的面积的最 设e,·e,=1,则5≤1≤1，所以c0s0 6 大值为()。 A.93 4 B.93 2 C.3D.23 10+8t 6 解：在△AMC中，由∠ACB=60°， 100,所以cos0的最小值是99 99 |AM1=3及余弦定理得9=AC2+MC2一 1009 AC·MC。 题型四：与三角函数有关的最值问题 因为AC2+MC≥2AC·MC(当且仅当 例4已知向量a=(2sinx,cos2x),b= AC=MC时取等号)，所以9+AC·MC= (3cosx,2),函数f(x)=a·b。 AC2+MC≥2AC·MC,所以0<AC· (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递 MC≤9。因为BM=M心，所以M为BC的 减区间。 中点，所以△ABC的面积S△Ax=2S△A= (2)求函数fx)在区间[0，]上的最 AC·MC·sm0-AC·MC,所以0< 大值和最小值。 -9 解：(1)因为f(x)=a·b=2√sinx· ,所以△ABC面积的最大值为9,3 29 cos x+2cosx =3 sin 2x cos 2x+1- 应选B。 2sim2x+答)+1，所以函数f(x)的最小正 题型六：与基本不等式有关的最值问题 例6设向量OA=(1,-2),OB=(a, 周期T=”=元。 一1)，OC=(一b,0),其中O为坐标原点， 2 a>0,b>0。若A,B,C三点共线，则ab的 由受+2k元≤2x+晋≤+26x,k∈Z. 最大值为()。 2 可得 ≤<十：质∈.所以函数 A.B日 6 解：因为OA=(1,-2),OB=(a,-1), f)的单调递减区间为[后+女x,+, O元=(-b,0),所以A言=O-OA=(a k∈Z。 1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2)。因为 (2)由x∈[0，]可得2x+∈ A,B,C三点共线，所以AB=入AC(入∈R), 所以(a一1,1)=入（一b一1,2），所以 [后 a-1=入(-b-1), 1=2入， 消去入得2a+b=1。 当2x+吾-否即-受时.函数f 因为a>0,b>0,所以1=2a十b≥ 2 取得最小值为2sim7石+1=0，当2x十 2v2a,所以ah≤名，当且仅当2a=6=日 1 6 1 三，即x=吾时，函数了(x)取得最大值为 时取等号。故ab的最大值为8。应选C 作者单位：1.四川省成都经济技术开发 2sin2+1=3。 区实验中学校 2.四川省成都市龙泉中学校 故函数f(x)在区间[0，] 上的最大值 (责任编辑王琼霞) 8