专题15.1 随机事件和样本空间（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

专题15.1 随机事件和样本空间（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 随机现象】 2 【题型2 事件的分类】 2 【题型3 事件与样本空间】 3 知识点1 随机事件和样本空间 1．确定性现象和随机现象 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象. 2．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 3．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【题型1 随机现象】 【例1】（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【变式1-1】（24-25高一·全国·课后作业）下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 【变式1-2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 事件的分类】 【例2】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【变式2-2】（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【变式2-3】（24-25高一上·辽宁·月考）对满足的非空集合，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型3 事件与样本空间】 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高一下·全国·专题练习）一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（　　） A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女） 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列试验中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素． 【变式3-3】（25-26高一·全国·课后作业）箱子中有三颗球，编号 1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间： (1)一次取一球，取后放回，连取两次． (2)一次取一球，取后不放回，连取两次． (3)一次取两球． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 随机事件和样本空间（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 随机现象】 2 【题型2 事件的分类】 3 【题型3 事件与样本空间】 5 知识点1 随机事件和样本空间 1．确定性现象和随机现象 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象. 2．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 3．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【题型1 随机现象】 【例1】（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【解题思路】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高一·全国·课后作业）下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 【答案】A 【解题思路】判断出四个现象是随机现象还是确定性现象，从而选出正确答案. 【解答过程】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【解题思路】根据现象的分类逐项分析判断. 【解答过程】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据随机现象的概念逐项判断即可得解. 【解答过程】由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象. 故选：B. 【题型2 事件的分类】 【例2】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可. 【解答过程】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B． 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【答案】C 【解题思路】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断. 【解答过程】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选：C． 【变式2-2】（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【解题思路】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【解答过程】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·辽宁·月考）对满足的非空集合，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【解答过程】解：因为满足的非空集合， 对于①②，当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，因此“若，则”是随机事件，故①②错误； 对于③，任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，故③正确； 对于④，“若，则”是一定成立，是必然事件，故④正确. 故正确的命题个数为2个. 故选：C. 【题型3 事件与样本空间】 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【解答过程】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 【变式3-1】（2025高一下·全国·专题练习）一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（　　） A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女） 【答案】C 【解题思路】把所有的情况一一列出即可求解. 【解答过程】把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面， 则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）， 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列试验中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据试验的定义及抛掷硬币的可能结果说明即可； （2）一一列举可能的结果即可； 【解答过程】（1）一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”， 试验的样本空间为：． （2）一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”， 试验的样本空间为：. 【变式3-3】（25-26高一·全国·课后作业）箱子中有三颗球，编号 1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间： (1)一次取一球，取后放回，连取两次． (2)一次取一球，取后不放回，连取两次． (3)一次取两球． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【解题思路】根据样本点的概念，结合题意列举试验的样本空间即得． 【解答过程】（1）由题可知共有个样本点， 样本空间为； （2）由题可知共有个样本点， 样本空间为； （3）由题可知共有个样本点， 样本空间为{1与2，1与3，2与3}. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $