专题01 二次函数综合热点（解析式、图像性质、几何图形、最值、实际应用等综合）有关的5类核心题型（方法+题型+实战）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“命题解码-方法建模-题型专攻-答题实战”为框架，构建5类核心方法体系，覆盖中考二次函数综合高频考向，注重代数几何转化与动态问题突破，培养数学建模与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法建模|5类方法（含结论背记清单）|坐标化转化几何条件、铅垂高法求面积、分类讨论动点问题、配方法求最值、实际情境建模|从基础公式（三种解析式、顶点公式）到拓展公式（面积万能公式、弦长公式），形成“公式-技巧-应用”递进链条| |题型专攻|5类题型共32题（含2025-2026年多地模考真题）|解析式灵活选用技巧、图像性质综合判断、几何存在性问题转化、区间最值分析、实际问题抽象建模|按“基础求解-性质综合-几何融合-最值应用-实际建模”逻辑编排，典例覆盖中考核心考法与易错点|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 二次函数综合热点 (解析式、图像性质、几何图形、最值、实际应用等综合)有关的5类核心题型 目录 第一部分命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分方法敖建模构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一二次函数解析式求解及技巧 方法二二次函数图像与性质综合及解题技巧 方法三二次函数与几何图形综合及解题技巧 方法四二次函数最值问题及解题技巧 方法五二次函数实际应用及解题技巧 第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】二次函数解析式求解 【题型02】二次函数图像与性质综合 【题型03】二次函数与几何图形综合 【题型04】二次函数最值问题 【题型05】二次函数实际应用 第四部分答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 01 命题解码 ◆ 1.考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：代数与几何深度融合（高频压轴），聚焦二次函数与三角形、四边形的存在性问题 (等腰、直角、平行四边形等)，本质是“坐标化”转化，将几何条件转化为代数关系式求解， 是中考区分度核心载体。 核心考向2：最值与实际应用，涵盖面积、周长最值及利润、拱桥、运动轨迹等情境建模，侧重 考查配方法、顶点式的灵活运用，贴合课标“数学建模”核心素养要求。 核心考向3：动态与参数综合，结合动点、图形旋转/折叠及新定义题型，考查参数对函数图像 的影响，以及“化动为定”的解题思想，是近年命题新趋势。 2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：几何与代数转化不畅，无法将图形性质（全等、相似、对称）转化为函数坐标或解析式， 缺乏“坐标化”思维，难以建立几何与代数的关联桥梁。 瓶颈2：分类讨论不全面，面对存在性、动点问题时，遗漏特殊情况（如等腰三角形顶角顶点分 类、动点取值范围)，导致漏解，是失分重灾区。 瓶颈3：建模与计算薄弱，一是不会将实际情境抽象为二次函数模型，二是机械套用公式，忽略 配方法本质及定义域限制，同时计算失误频发，影响解题准确性。 02 方法建模◆ ☑结论背记 一、二次函数核心基础公式（解题地基，必背) 1.三种标准解析式 形式公式 适用场景 一般式 y=ax2+bx+da≠0) 己知任意三点坐标 顶点式 y=ax-h)2+ka≠0) 已知顶点(h,k)/对称轴/最值 交点式 y=ax-xx-x2a≠0) 己知与x轴两交点xO)、 (x20 2.顶点、对称轴、最值公式 对称轴：x=贵 顶点坐标： 2/38 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 最值： a>0,开口向上x=号时，yn= 4; 3<0,开口向下，X=贵时，yna=。 4。 3.与坐标轴交点公式 与y轴交点：(0，c) 与x轴交点：令y=0,解ax2+bx+c=0,根为、1x2,交点、(&10)、（区20 4.韦达定理（根与系数关系） 若ax2+bx+c=0(a≠0)两根为、x1x2,则： 81十X2=-贵，1X2=景 5.基础坐标公式 两点Ayxy)距离：AB=x-x+y,y 中点坐标：（警，学） 二、二次函数综合万能公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 1.面积万能建模公式：铅垂高法（中考二次函数面积题100%核心) 适用于：抛物线上动点与坐标轴/定点围成的三角形面积最值、定值问题 公式： 水平宽铅垂高$△=专×水平宽×铅垂高 ·水平宽：两定点在x轴上的水平距离（定值） ·铅垂高：过动点作竖直线，截两定点连线的线段长度（变量，用二次函数表示） 拓展：不规则多边形面积→割补法转化为铅垂高三角形求和 2.弦长拓展公式（抛物线与x轴截线段长度） 已知抛物线与x轴交于、X1、X2,则截距长度： x-+xxx (△=b2-4ac,直接算线段长，无需解方程) 3/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 口技法归纳 方法一二次函数解析式求解及技巧 核心是根据题干给出的条件（如已知三点坐标、顶点坐标、与×轴交点、对称轴等），灵活选择一般式、 顶点式、交点式，运用待定系数法求解：技巧是优先选择贴合已知条件的形式，减少计算量，验证结果是 否符合题意。 例题1(2026·江苏扬州·一模)已知抛物线y顶点坐标为(-1,2)，且与y2=x2的开口方向、形状大小完 全相同，则抛物线乃的解析式为() A.y=(x-12+2B.y=(x+)2+2C.y=-(x+1)2+2D.y=-(x-1)2+2 例题2(2026·陕西榆林·二模)定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自 反”函数，该点为“反点”·已知二次函数y=ax2-4x+3(a为常数，Q≠0)是“自反”函数，且该函数 图象上有唯一的“反点”(x,-xo,则a的值为() B.3 C.-4 例题3(2026·安徽安庆·一模)新定义：对于给定的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，我们把形如 ax2-bx+cx≥0 y= -ax2-bx+c(x<0) 的函数称为二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的“友好关联函数”，运用此定义解决下 列问题： 己知二次函数y=x2+2x+3. (1)请写出这个二次函数的“友好关联函数”的表达式 (2)若点A-1,m和点B(n,6)在这个二次函数的“友好关联函数”的图象上，请写出直线AB与该“友好 关联函数”图象的交点坐标（除了A、B两点） 方法二二次函数图像与性质综合及解题技巧 4/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 围绕函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点等核心性质，数形结合分析：技巧 是熟练掌握性质之间的关联（如开口方向决定最值趋势），结合图像快速判断系数符号、取值范围。 例题1(2026·陕西西安·三模)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2mx+m2-6m+3(m为常数) 关于x轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则m的值为() B.2 例题2(2025·陕西西安·一模)如图是二次函数y=ax2+bx+ca≠0)图象的一部分，对称轴为直线 -2,且经过点(02到，给出以下结论：①abc<0;②当x>3时，y随x的增大而减小，③当y>2时， x<0或x>3;④2a-c>0;⑤若二次函数经过点(-1，-2)，则其图象必经过点(4，-2).其中正确的结论是 () A.①②③ B.(④⑤ C.①②⑤ D.②③④ 例题3(2025·江苏镇江·中考真题)在平面直角坐标系中，过点T(0,作y轴的垂线与二次函数 y=2x-+长(h、k为常数)的图像交于点E、F(点E在点F的左侧)，点P在直线EF上，当点P 满足PE+PF=6时，我们称点P是该二次函数图像的T~6生长点. YA -1O (①)二次函数y=2的图像如图所示. ①在的不同取值2、》、5中，使该函数图像有7~6生长点的的依是， 9 5/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②已知P(m,n是该函数图像的T~6生长点，猜想的取值范围，并说明理由. ②)二次函数)=-h°+k红、k为常数)的图像经过点(6,1，若P3,5列是该函数图像的T~6生长点， 1 求该函数的表达式， 例愿4(2025·江苏常州·中考真题)如图：在平面直角坐际系0，巾，一次函数了=一x+3的图像分 别与x轴，y轴交于点A、B,点C是线段AB上一点，C与B不重合.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，且α≠0)的图像经过点B,顶点是C.将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，B、C分别是 B、C的对应点，且点B落在x轴正半轴上，点C的纵坐标为-2. (1)OB= (2)求点C的坐标； 5 ③)已知新抛物线与y轴交于点G0,2点D(3,小、E,)在新抛物线上，若对于满足m<x,≤m+1的 任意实数x2,y2>y总成立，求实数m的取值范围， 例题5(2025·广东广州·一模)已知抛物线G:y=x2+bx+c的顶点为G(x,yo),点A(a+1,2a-2)在 抛物线上，直线1过点2,0和(3,2). (1)求直线1的解析式： (2)点A为抛物线G与直线I的唯一交点，连接OG,记OG的长度为，若给定一实数k,满足k≤h恒成立， 求k的取值范围； (3)已知：任意两正数m,n,有不等式m-n≥0恒成立. ①若m与的乘积为定值t,求证：m+n的最小值为2F,当m=n时，m+n的值最小： 2)的条件下，H为直线y=2x-4上的一动点，0<6<2，连接0H,GH.若oG10H,运用 ①证明的结论，求△OGH面积的最小值， 方法三二次函数与几何图形综合及解题技巧 6/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 联立二次函数与三角形、四边形等几何图形，将几何条件（线段长度、角度、面积、全等/相似)转 化为坐标关系或函数关系式：技巧是利用坐标法表示几何元素，借助勾股定理、面积公式、相似性质建立 等式求解。 例题1(2025·四川成都·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于 A(-1,O),B两点，与y轴相交于点C,直线BC的函数表达式为y=-x+m. B B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)P是抛物线上第一象限内的一点，连接PB、PC,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，在x轴上取点M(3,0),Q0,是y轴上一动点，当过点A,M,Q的抛物线L与线段CP 有且只有一个交点时，直接写出t的取值范围， 例题2(2025·黑龙江·模拟预测)综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于Ax,0),B(x2,0)两点（点A在点B的左侧)，其中X1,x2是 方程x2-2x-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C. y (备用图) (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)己知直线y=3x+9与x,y轴分别相交于点D,E, ①抛物线上是否存在点N,直线BC上是否存在点Q,使以D,N,E,Q为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由. 7/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②设直线BC与1相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得∠PBF=∠DFB？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交于点Q.连接 QD,QE.求线段QD+QE的最小值. 例题3(2025·黑龙江·模拟预测)综合与探究，如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对 称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6. 备用图 (1)求此抛物线的解析式： (2)己知在x轴上存在一点D,使得△ABD的周长最小，则点D的坐标为 (3)若点P在直线AB上，直线CP将ABC的面积分成2：3两部分，求点P坐标. (④)点Q在直线BC上，在抛物线上是否存在点M,使AOM是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存 在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由. 例题4(2025·江苏无锅·核拟预测)抛物线)=方+2x交x轴于4，B两点4在B的右边)，交 2 y轴于点C. (1) (2) (1)直接写出点A,B,C的坐标： 8/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图(1)，连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC,交y轴于点Q.若BC平 分线段PQ,求点P的坐标； (3)如图(2)，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E,F两点（点E在x轴下方）， 线段DE交抛物线于另一点G,连接FG.若∠EGF=90°，求直线DE的解析式. 方法四二次函数最值问题及解题技巧 分两种情况，一是无自变量范围限制时，利用顶点式或配方法、公式法求顶点纵坐标即最值：二是有自 变量范围时，结合对称轴与区间的位置关系，判断区间端点或顶点为最值点：技巧是注意自变量的实际意 义（如长度、个数），避免忽略范围限制。 例题1（2025·陕西咸阳·二模)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-mx+3m2-2m(m为常数)的 图象经过点(0，)，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有() 23 23 A.最大值3 B.最小值3 36 36 C.最大值4 D.最小值4 例题2(2025·湖南长沙·二模)定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数 为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰 函数.这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函 数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们 称这个函数为非峰非谷函数： (1)根据条件判断下列函数的类型，将代码(A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数)写在后 面的括号内： ①函数y=2025 x≠0)；() ②函数y=x+2025(-2025≤x≤2025)；() 26 ③函数y=x2+2025x+ 5 (x为全体实数)；() 9/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若函数y=ax2+bx+ca≠0)在实数范围内为峰函数，且经过点(1,4和点(-1，-4)，其图象与x轴交于A 、B两点，且AB=2√5，求该函数的峰值； (3)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内为谷函数，函数图象经过点(1,2)，且满足abc=4,求 4++c的最小值. 例题3(2025·四川泸州·三模)已知二次函数y=ax2(a>0). (1)若二次函数上的点(x,y)恒成立不等式y≥2x-2,请求出a的最小值. ②)若a= 4,直线y=x+2与二次函数图象交于A,B两点（假设点A在点B左侧）· 1 ①若k=方点M是二次函数图像上一点，且介于点A,B之间，求S.s的最大值. ②已知定点G0,-2),求证∠0GA=∠0GB. 方法五二次函数实际应用及解题技巧 先将实际问题（利润、面积、行程、造价等）转化为二次函数模型，明确自变量的实际取值范围：技巧 是找准等量关系建模，求解后验证结果是否符合实际场景，确保最值或解集有实际意义。 例题1(2026·河南周口·二模)南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧.位于南阳市北郊的中国月季园 在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他 先测量出拱底OA为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门 内壁C处.据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1米为单位长度建立 平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） 10/38 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y/米个 y/米 E B x米 D G x米 图1 图2 (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”DEFG（由三根钢管DE-EF-FG组成)、使E、F两点在抛 物线上，D、G两点在地面OA上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计， 负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有 空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门).直接写出d的取值范围. 例题2(25-26九年级下·四川成都·自主招生)某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销 售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润 的部分对应数据如表：[注：日销售利润=日销售量×（销售单价-成本单价）] 销售单价x(元) 75 82 日销售量y(件) 150 80 日销售利润w(元) 5250 3360 (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式 (2)求该商品日销售利润的最大值， (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件m>0),该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单 价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足(1)中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的 值。 例题3（辽宁抚顺市2026年初中业水平模拟考试数学试卷）晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次 投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米.当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以 11/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录 如下： 活 动 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度， 主 题 活 动 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 准 2.准备皮尺、三角板等测量工具. 备 C 设 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到 B. 术 计 最高点C对应的地面位置0，安排第二位队友用皮尺测量位置0与晓然 方 同学投篮站立位置点A的水平距离OA,第三位队友负责手持三角板确定 0 案 篮筐中心D与地面对应点E,并测量水平距离OE, AR 2.5 E 1.5m 图1 采 经测量，晓然同学的出手高度AB=2.25米，0A=2.5米，0E=1.5米.经 集 查询篮筐的高度DE=3.05米，且A,O,E在一条直线上，AB和ED都 数 垂直于AE. 据 B 确 小组成员经过讨论确定，以点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在 定 直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为 E 图2 思 y=ax2+c,分析数据得D,B两点的坐标，进而求出抛物线的解析式， 路 再利用解析式求出C点的坐标，从而解决问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的解析式： (2)求这次投进篮球的最大离地高度； 12/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达 到多少米？ 例题4(2026·山西吕梁·一模)综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热 门休闲方式.己知某款露营帐篷的支架撑开后（如图1）可近似看作抛物线 建立模型：如图2，抛物线与水平地面交于A,B两点，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过 点O作AB的垂线与抛物线交于点M,且点M是抛物线的顶点，以OM所在直线为y轴，建立平面直角坐 标系（单位长度为1m).已知AB=2.4m,0M=1.8m. A 图1 图2 图3 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式. (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于1m,求活动区域在水平方向上的最大 宽度 (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移m(平移后的抛物 线可视为原抛物线向上平移后的一部分)后，在y轴右侧抛物线上距原点水平距离为1m的点E处悬挂露营 灯，要求悬挂的露营灯高度不低于1.3m,直接写出h的最小值. 03 题型专攻◆ 【题型01】二次函数解析式求解（共6题） 1.(25-26九年级下·陕西·期中)己知二次函数y=ax2+bx+4(a、b均为常数，且a≠0)的顶点坐标为 (2,8),当-2≤x≤5时，该二次函数的最大、最小值分别为mn,则m+n的值为（) 13/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.7 C.-9 D.-16 2.(22-23九年级下·广西玉林·月考)如图，抛物线：y=ax2+2ax+a+2与抛物线l:y2=-x2+4x-5 交于点B1,-2),且分别与y轴交于点D,E.过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A,C,则以 下结论： ①无论x取何值，y,恒小于0： ②可由马向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到； ③当-2<x<1时，随着x的增大，-y2的值先增大后减小； ④四边形AECD的面积为18. 其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. (25-26九年级下·黑龙江大庆·月考)定义：若有二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，存在另 ax2+bx+cx20,a≠0 一函数解析式为2= ax2-bx+c(x<0,a≠0’ 则称是乃的变函数。 例如：函数y,=x2-2x+3,它的变函数解析式为y2= -2x+3到x20则关于函数y=am2+bx+2(a≠0 -x2+2x+3x<0) ,该函数图像经过点(-2,2， ①该抛物线的对称轴为直线x=-1; ②当a<0,-2≤x≤2时，8a+2≤y≤-a+2; ③若点(L,m小、(2，川均在抛物线上，则m的最小值为 24 ④若y2是y的变函数，2的函数图像仍然关于直线x=-1对称； ⑤若乃是的变函数，直线y=t与乃的函数图像恰好有两个交点时，1=2，t2=2+a, 14/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则其中正确结论的个数是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4. (2026年辽宁省本溪市一模数学试题)某数学兴趣小组开展综合与实践活动，记录如下： 活动 测量帐篷内自由活动区的面积 主题 活动 1.准备皮尺等测量工具： 准备 2.查阅并绘制帐篷的示意图. 方案 图1某帐篷的示意图，该帐篷是由曲线段AB绕竖直的直线旋转一周得 示意 到的（点B在直线1上，点A在水平地面上，曲线段AB为抛物线上的 图 段曲线，点B为抛物线的顶点)· 图1 采集 ①帐篷的底圆半径是2.0m; y个B 数据 ②帐篷最高点B距离地面2.5m. 以直线1与地面交点为坐标原点，以水平地面所在的直线为x轴，以直 确定 线1为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点B为抛物线的顶点， D Ax 思路 点A在x轴上，点C为抛物线上一点，CD⊥x轴于点D. 图2 备注 某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区： 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式： (2)某同学的身高是1.7m,求他在帐篷内自由活动区的面积（结果保留π） 5.(2026·甘肃白银·一模)投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊 源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带.其中箭头的 行进路线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度ym)与水平距离x(m)之间的函 数关系图象，投出时箭头在起点处的高度O4为m,当水平距离为1m时，箭头行进至最高点m处.若 15/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC是一个高为三m的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且OB=3m,则这名男生此次投 壶 投中（请填“能”或“不能”）. 3 B 6.(2024·甘肃陇南·一模)一个二次函数的图象经过点1,0，则称t的值是这个函数的“零点”，例知： 二次函数y=ax-3)x+2)a≠0)，无论a取何值，这个函数的图象总经过点3,0)和点(-2,0)，所以3和 -2是这个函数的“零点”.如果一个二次函数有且只有一个“零点”-1，那么这个二次函数的解析式可以 是 (写出一个符合要求的函数解析式即可) 【题型02】二次函数图像与性质综合（共6题） 7.(2026·陕西西安·模拟预测)已知抛物线y=ax2-2ax+a-2的图象经过Am-2,,),B(3-m,y2，其 中m>4,且当x<0时，y值随x值的增大而增大，下列说法正确的是() A.y<y2<-2 B.-2<y2<y1 C.-2<y1<y2 D.y2<y<-2 8.(2022·江西赣州·模拟预测)若一次函数y=cr+mk≠0)的图象经过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 顶点，我们则称这两个函数为“皖美函数组”· (1)判断一次函数y=3x-3和二次函数y=(x-2+1是否为“皖美函数组”，并说明理由； (2)当-3≤x≤-1时，二次函数y=x2-2x-4的最小值为a,若“皖美函数组”中的一次函数y=2x+3和二 次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为参数)相交于P,Q两点，请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该 定值；若不是，请说明理由. 16/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(2026·辽宁沈阳·一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=-(x-1)+4与x轴相交于点A ,B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C.平移抛物线y得到的抛物线经过点B和点D(6,-3). (1)求平移后抛物线的函数表达式， (2)点T在x轴正半轴上，设其横坐标为t(0<t<6),以点T为旋转中心，将线段0C逆时针旋转90°得 到线段0'C',点O,C的对应点分别为0'，C' ①当t=2时，请判断点C是否落在抛物线乃上，并说明理由； ②当线段0'C'与抛物线有公共点时，请直接写出t的取值范围； (3)约定：图象上P,Q两点之间的部分（包括点P,Q)的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点间的 ,(x≤3) 最值差，记为dpo.若新函数= ,3<K<6'点E,五，G在新函数y的图象上，它们的横坐标分别为 m,m+2,4-m,其中-1<m<1,是否存在m的值，使得dc=2dF?若存在，请求出m的值，若不存在， 请说明理由 10.(2026·浙江金华·一模)我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原 图形的平移距离.已知点A(m,n)为平面直角坐标系内一点 (I)若将点A(m,)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A,求点A的平移距离AA'的长度； (2)将直线：y=x+1平移得直线1，设直线1上任意一点A(m,)平移后的对应点为A,若直线1的平移距离 AA=3√2，且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线I的函数表达式： (3)将抛物线y=x2-4x沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线y2=x2+bx+C,当0≤x≤4时，抛物线 y=x+bx+c上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y的平移距离d的取值范围. 17/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.(2026·辽宁葫芦岛·一模)如图，二次函数y,=ax2-2x+c图象的顶点在x轴上，与y轴交于点 次函数乃，=-2x+bx+d与y的对称轴相同，且经过点A和点8，点B的横坐标为) 与y轴交于点P. B (1)求二次函数y2=-2x2+bx+d的解析式： (2)当1<n<3时，直线y=n与二次函数y,y2的图象从左到右依次交于点C,E,F,D.若FD=2PE,求n 的值： (3)二次函数片=a2-2x+c(x≤0)与二次函数，=-2x2+br+d0<x≤ 组成新函数⅓· 2 ①已知点M 点N(2,n),线段MN与⅓有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： x时，函数⅓的最小值为)3，最大值为1+1，求m的 12.(2026·江苏连云港·模拟预测)已知二次函数y=x2+2(a+1x+3a2-2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图像顶点在x轴上，求a的值； (2)求证：无论a为何值，该函数的顶点在函数y=2x2+8x+8的图像上； (3)当0<a<3时，求该函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是 【题型03】二次函数与几何图形综合（共7题） 13.(2026·陕西西安·模拟预测)己知如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,0A=0C=3,顶点为D. 18/38 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求此抛物线的解析式： (2)在线段AC上是否存在一点M,使△AOM和ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请 说明理由 14.(2026·河南周口·一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交 于点C. B (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD,求△BCD面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由。 15.(2026·河南周口·一模)如图1，在ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm,BC=4cm,点P从点A 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线A-B-C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的 速度沿线段BC运动.当点P到达点C时，P、Q停止运动.设点P运动的时间为x(S),△APQ的面积为 19/38 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 74 6 -2-- 、 4 3 2 --- 12345678x 图1 图2 (1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出y的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若片的函数图象与直线y2=-x+n有两个交点，则n的取值范围是 0 2 3 5 0 U 5 4 y1=18-4.5x 4.5 0 16. (2026·浙江杭州·一模)已知二次函数y=ax2-4ax+1(a为常数且a≠0). (1)当点P(2,0)在该二次函数图象上时，求a的值， (2)已知Ax1,y,,B(x2,y2在该函数图象上. ①若a<0时，有x1<2<x2且x+x2>4,求证：y>y2 ②若-a<x<a,x2=2a+1,存在片=y2,求a的取值范围. 17.(2026·辽宁沈阳·一模)如图1，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点 B,与y轴交于点C,经过B、C两点的二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于另一点A. B 图1 备用图 20/38 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求二次函数的表达式： (2)点D、E在直线y=-x+3上，点F是第二象限位于抛物线上一点，点G在x轴上若四边形DEFG是正 方形，求点F的坐标； (3)连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使得∠CBP+LAC0=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由。 18.(25-26九年级下·广东汕头·期中)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx-4与x轴交于点A,B, 点A在点B的左侧.顶点为C (1)若顶点C的横坐标为-1，求b的值及顶点C的坐标. (2)规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点.若抛物线y=x2+bx-4的对称轴为y轴， ①写出抛物线y=x2+bx-4与x轴所围成封闭图形G内部（不包括边界）的所有整点坐标： ②若反比例函数y=冬的图象与抛物线y=x+:-4在第三象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点 的个数总和为2，求实数k的取值范围 (③)若点C为直线y=- 25 4 在第三象限上一点，且直线y=x-1与抛物线y=+6x-4在x轴下方的部分有 且只有一个交点，试求出t的取值范围. 19.(2026·辽宁沈阳·一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线C,:y=ax2-6x+c与x轴交于点 A(L,0)和点B,与y轴交于点C(0,5),点P是抛物线C,:y=ax2-6x+c在x轴下方的一个动点，PE⊥y轴于 点E,PF⊥x轴于点F,得到矩形PEOF (备用图1) (备用图2) (1)求抛物线C,:y=ax2-6x+c的函数表达式： (2)设点P的横坐标为p, ①求P的取值范围； ②当矩形PEOF是正方形时，求P的值； 21/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)将抛物线C,:y=ax2-6x+c向右平移h(h>0）个单位长度后，得到新抛物线C,,新抛物线C,与抛物 线C的对称轴交于点N,直线ON与直线BC交于点G,当OG=4GN时，求h的值. 【题型04】二次函数最值问题（共7题） 20.(2026·安微阜阳·一模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过1,3)点， 对称维为子 (1)求a,b的值； (2)已知A(x,),B(x2,y2)两点均在该抛物线上，且x≠x2,x+x2=2 ①求上-上的值： X1-x2 ②求证：y+y2>6. 21.(2026·辽宁沈阳·一模)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=4x与反比例函数y=”图象交 10 于点A2,,点B的坐标为6,0)，连接AB,动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运 动，设运动的时间为t秒(0<1<8)，过点P作PN∥x轴，分别交AO,AB于点M,N. B B (I)求反比例函数的表达式和直线AB的函数表达式： (2)求MW的长（用含t的代数式表示）； (3)点E是线段MN上一动点（点E不与点M,N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S,和S2,当 t=4时，请直接写出S,·S2(即S与S2的积)的最大值为 22.(2026·安微毫州·一模)已知抛物线y=ax2+bxa≠0)经过点(-1,3)和(2,0)· (1)求a,b的值； 22/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②)点Ax,y)在抛物线y=ar2+hx+2x上，点B(2x+h,y+在抛物线y=x2+2x上4，B与原点不重 4 合)· ①若t=h且4x+h≠0，求h的值： ②若h=2x,求t的最小值. 23.(2026·山东聊城·一模)已知二次函数y=ax2+bx+4的图像经过点，A-2,m,B(5,m). ()求的值： 2)已知二次函数y=ax2+bx+4的最小值为a-8a+10 求该函数的表达式： 4 (3)若a>0,当1≤x≤4时，y的最小值是-5， ①当1≤x≤4时，求y的最大值，并写出取得最大值时点C的坐标； ②在①中y取最大值时的点为C,设过点A,C的直线为片，垂直于x轴的直线x=(-2<t<4)分别交直线 和抛物线于点M,N,求线段MW的最大值. 24.(2025·海南海口·三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)经过点A-L,0)和 B(0,3),与x轴的另一个交点为点C,其顶点D的横坐标为1. (1)求抛物线的表达式： (2)求四边形ACDB的面积； (3)若直线x:m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时，使得AN+MN有最大 值，并求出最大值： (4)当-2≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围. 23/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 25.(2025·湖南·中考真题)如图，己知二次函数y=axx-4a≠0的图象过点A(2,2),连接0A点 P(x,),Q(x2,y2),R(x3,y3),是此二次函数图象上的三个动点，且0<x3<x1<x2<2,过点P作 PB∥y轴交线段OA于点B. A R B D 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、D都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行 解答： ①当PB>QC时，求证：x,+x,>2; ②当PB>RD时，求证：x+x<2; ③)如图，若=子，飞，延长m交销于点T,射线0r、7R分别与？轴交于点Q,R,连接A心 ,分别在射线AT、x轴上取点M、N(点N在点T的右侧)，且∠AMN=∠PA0,MN=22.记 t=R2,-ON,试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值， 26.(2026·山东潍坊·一模)已知二次函数y=x2-2x+k-1,其中k为常数. (1)证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； ②)将该函数的图象沿y轴向上平移，个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的 图象与x轴的交点分别为Ax,0),B(x2,0),且x<x2,记线段AB的长度为d,求d的最小值： (3)该二次函数与一次函数y=1-2)x+k-的图象交于点M,过点2,0作x轴的垂线，分别交二次函数 和一次函数的图象于点P、Q,若MQ=PQ,求k的值. 24/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型05】二次函数实际应用（共6题） 27. (2026·辽宁沈阳·一模)下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 1.去学校档案馆查阅校园平面图； 活动准备 2.了解围成花圃的栅栏长度； 3. 准备皮尺等测量工具 如图，根据校园平面图 情况，设计围成矩形花 圃，花圃一边靠墙（墙 的长度是40m),用栅 设计图： 栏（栅栏宽度忽略不计 墙 设计方案 ulltaauililltiiii 将该花圃分隔为两个 花 区域1 区域2门 矩形区域，用来种植不 同花卉，并在花圃两侧 各留一个进出的门（此 处不用栅栏) 可用栅栏总长为60m,花圃两侧各留的进出的 采集数据 门宽为3m. 设栅栏与墙平行的边的长度为xm,花圃的面积为Sm2, 根据以上信息，解决下列问题： (1)求S与x的函数表达式（不用写出自变量取值范围）： (2)当S=315m时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米？ 28.(2026·陕西咸阳·二模)如图，某市在公园设计了一块花卉展览区域，该花卉区域由抛物线C与抛 物线C,围成，OA为隔离带，C与OA所围区域为花卉区，在C,与OA所围区域内修建一个矩形BCDE,作 为赏花打卡点，用于游客赏花，摄影等，其他区域为草坪，点B,E在OA上（点B在点E左侧），点C, D在抛物线C,上，以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直 角坐标系，其中0A=12米，抛物线C的最高点到OA的距离为12米，C与C,关于x轴对称. 25/38 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 花卉区 B A 赏花 打卡点 C D (1)求抛物线C的表达式： (2)若修建矩形BCDE时，要求BC:CD=3:2,请问是否存在这样的矩形BCDE?若存在，请求出点C的坐 标；若不存在，请说明理由. 29.(2026·江苏扬州·一模)综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置.喷泉的水柱从底 座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y(单位：m)与距喷口点O的水平距离x(单位：m)近 似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： x/m 0 10 20 30 40 y/m 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出 y与x的函数关系式. y/m 12 9 6 3 010203040x/m M主 图1 图2 26/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一 个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距 离不低于5，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）， (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y(单位：m)与距 喷水点O的水平距离x(单位：m)近似满足关系式：y=-0.05x2+优.在距喷口点O水平距离44m处有 一个互动装置点M,要求水柱能落在距互动装置点M的4m范围内（含4m),求t的取值范围， y/m◆ 12 9 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为(20,10)， 6 010203040x/m 设y与x的函数关系式为y=a(x-20)2+10(a≠0)， ,当x=0时，y=0 .a×(0-20)2+10=0 翻得8=0 30. (2026·吉林·一模)如图，矩形ABCD中，AB=4√5，AD=3,点E从点A出发，以每秒5个单位 长度的速度向终点B运动，作∠AEF=30°，EF交AD边或DC边于点F，,且∠AEF和矩形ABCD在直线AB 同侧，以EF为边向右侧作等边△EFG,设点E运动的时间为x秒，等边△EFG与矩形ABCD重叠部分的面 积为y. (1)当点F在边AD上时，用含x的代数式表示EF的长； (2)当点G落在DC边上时，求x的值： (3)求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围. 31.(2026·广东佛山·一模)体育强则中国强，总书记对体育强国的建设始终高度重视，某校积极响应 号召，组织班级篮球比赛.在比赛中，一名1.8米的运动员，从A点跳离地面高度02米时，球在头顶0.25米 处B点出手，当篮球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐中心C点.已知 篮筐中心到地面的距离为3.05米，篮球在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分. 27/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 λC B A (1)请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式； (2)在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分.已知三分线与篮筐中心的水平距离为6.75m,请通过 计算判断运动员此次投篮的得分 32.(2026·辽宁葫芦岛·一模)兴城市海河大桥是一座独塔自锚式悬索桥，它的外轮廓线近似抛物线， 为判断大桥主体是否符合设计标准，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 1.去兴城市城建档案室 查阅大桥的原设计图 纸，记录高度、底部跨 活动准备 度等关键数据：2.准备 皮尺、便携手持水准仪 等测量工具. 图1为海河大桥的平面 示意图，相关信息如下： 1.大桥最高点C与桥底 AB的距离为36m; 2.大桥底部跨度AB为 设计数据 30m; 3.设计标准：实际测量 图1 高度与理论设计高度之 差的绝对值不超过 0.20m. 28/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图2所示 点位1：在线段AB上， 距点A水平距离6m的 点E处，测得拱高 DE=22.9m 实测数据 (DE⊥AB): 点位2：在线段AB上， 图2 距点B水平距离9m的 点G处，测得拱高 FG=30.2mFG⊥AB) 1.根据大桥轮廓建立抛 物线模型； 2.计算D,F两点的理 论设计高度； 设计方案 3.对比实际测量高度与 理论高度，依据允许误 差范围，判断大桥是否 符合设计标准。 根据大桥的设计数据， 确定以AB的中点O为 图3 原点，AB所在的直线 确定思路 为x轴，建立如图3所 示的平面直角坐标系， 分析数据可知点A和抛 物线的顶点坐标. (1)根据设计图纸提供的数据，求抛物线的解析式； (2)结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的D,F两处是否符合设计标准. 29/38 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 04 答题实战 ◆ 一、单选题 1.(2026·安微合肥·一模)如图，口ABCD中，AB=3,AD=4,P,Q两点同时从点A出发，均以1个 单位每秒的速度分别沿着A-B-C,A-D-C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是() V A. B 34 34 34 2.(2026·山东滨州·一模)关于抛物线y=x2-2mx+m2+m-4(m是常数)，下列说法正确的是（) A.当m=1时，抛物线的对称轴是x=2 B.若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=-4 C.若点Am-2,y),B(m+1,y)在抛物线上，则y<2 D.无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于2√2 3.(2026·陕西咸阳·二模)已知抛物线y=ar2+2x+ca≠0)与x轴交于点(-m,0),(m+2,0),在 -2≤x≤2的抛物线上有一点P,其纵坐标为n.若3≤c≤4，则的取值范围是() A.-4≤n≤4 B.n≤-4或n24 C.-5≤n≤5 D.n≤-5或n≥5 4.(2022·四川泸州·一模)如图，己知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点2,0)， 且对称轴为直线x=2,有下列结论：①bc>0:②a+b>0:③4a+26+3c<0:④无论a,b,c取何值， 抛物线一定经过二，0：⑤4am2+4bm-b≥0；⑥一元二次方程ax2+hr+c=1有两个不相等的实数根.其 2a 中正确结论有( 30/38 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.(2026·辽宁营口·一模)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,点E是CD边上任意一个点，连接 AE,将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接CF,则线段CF最小值为() F D B A.62 B.45 C.42 D.8 6.(2022·江西赣州·模拟预测)已知二次函数y=xx+2m-1)+m2-2m(x为自变量)的图象与x轴有 两个交点，且当x>0时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围为() A.m>- 1 2 D.m2 2 7.(2026·黑龙江佳木斯·一模)某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出 售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元(x≥15)，每 天的利润为y元，则y与x的函数关系式为() A.y=x-10)200-10x B.y=x-10)(350-10x C.y=x-15)200-10x) D.y=x-15)(350-10x) 8.(2026·重庆·一模)己知整式M:anx”+an-x-+…+a,x+a,其中n为正整数，an,an1,…,a均 为整数，且满足an>lan->…>a>a,记：k=a+a-+…+a+a,k为偶数.下列说法： ①若n=1,a,=-4,则满足条件的整式M共有2个，其中有1个单项式： ②若k=26,且函数y=M的图象与x轴有交点，则满足条件的整式M共有8个； ③若n=4,a>0(i=0,1,2,3,4),a4≤7，则满足条件的整式M共有9个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 31/38 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 9.(2026·广东汕头·模拟预测)若二次函数y=x2-3x+2的图象关于x轴对称的图象的解析式为 10.(2026·江苏扬州·一模)若点A-1,月1)、B(2,y2、C(4,y)在二次函数y=ax2-2ax+1(a>0)的图象 上，则y、、⅓的大小关系是.（用“<”连接） 11.(2026·江苏连云港·一模)如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kc+b交于A(-3,m),B(1,n)两点， 则不等式ax2+x+c<b的解集是」 12.(2026·上海松江·二模)联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦.如果抛物线的一条弦AB与 抛物线的对称轴垂直，垂足为点C,抛物线的顶点为D,当AB=4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征 值.我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y=3x2-2x+1的特征值是 13.(2026·江苏南京·模拟预测)已知一次函数y=-x+m2+1与二次函数y=-(x-m)+m2+1(m为常 数)的图象在同一平面直角坐标系。若两个函数图象没有交点，则m的取值范围是；若m=-1时， 点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点，则PQ的最小值是 14.(2022·江苏常州·模拟预测)学习完函数的有关知识之后，小函对函数产生了浓厚的兴趣，他利用 “描点法”画出函数y=x+上的图象，如图，他对该函数的性质进行了探究.下面有4个推断： ①该函数自变量x的取值范围为x≠0； ②该函数有最小值2： ③当x>0时，y随x的增大而减小； ④方程x2+=3有三个实数根. 其中正确的是·（写序号） 32/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 32012345 三、解答题 15.（2026·辽宁沈阳·一模)【设计实验方案】如图1所示，设计一个实验装置.从A点处开始，用计 时器、测速仪等测量并记录滑块在水平轨道上的运动时间t(s、运动速度v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据. Ay(cm) 160 v(cm/s) 140 12 120 1 100 80 6 60 4 4 2 0 0 A 4812162024t(s) 4812162024t(s) 图1 图2 图3 【收集整理数据】 运动时间t(s 0 P 16 24 运动速度 12 8 4 0 v(cm/s】 运动路程 0 80 128 144 y(cm) 【数学建模探究】 (1)根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线； 33/38 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)根据图象，分别求出v与t,y与t之间的函数表达式，并代入数据进行验证. 16.(2026·山东滨州·一模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=x2-2mx. (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示)； (2)若点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=x2-2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； (3)M(1-m,y1),N(m,y2)是抛物线y=x2-2mx上两点，若y-y2≤4，直接写出m取值范围. 17.(2026·吉林·一模)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AC=BC=8.动点P从点C出发，沿CB方 向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点P不与点B、C重合时，取线段CP的中点Q,过点P作 PN⊥CB,在BC的上方取线段PN,使PN=2PQ,以PQPN为边作矩形POMN.设点P的运动时间为 t秒.矩形POMN与RIABC重叠部分图形的面积为S. CO P (备用图) (1)线段MQ的长为 (用含t的代数式表示)； (2)当点N在边AB上时，求t的值； (3)当矩形PQMN与R1aABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围. 18.(2026·辽宁沈阳·一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y=x2-3ax+2a. (1)当α=1，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； (2)①若该函数在0≤x≤3时，y随x的增大而减小；在6≤x≤7时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； ②设点M(x1y1)在抛物线y=x2-3ax+2a上，点N(x1y2)在抛物线y=2x2-ax+3a2-6上，当-2≤x≤1时 乃-y2的最大值为-1，求a的值. 19.(2026·甘肃天水·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的负半轴交于点A,与x轴的正半轴交 于点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点为D.过点D向x轴作垂线，交x轴于点E,以AE和 DE为邻边在第二象限内作矩形AEDF.动点M从点D出发，沿DE向点E运动，运动的速度为每秒1个 34/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 单位长度.设点M的运动时间为t秒，过点M作MG⊥DE,交AD于点G,过点G作GH⊥DF于点H, 交抛物线于点Q. F H D H D B B E O E 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式 (2)当M为DE的中点时，求GM的长， (3)如图1，连接AQ,DQ,当△AQD的面积最大时，求t的值. (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿AF向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为 矩形AEDF内一点，且点K在点G的正下方.当四边形APGK为菱形时，求t的值. 20.(2026·贵州遵义·一模)【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，己打造“云端景区”，成为贵 州桥旅新地标.某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究· 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线G,以0点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线C经过 A(0,12,B(40,4,顶点的横坐标为30. M 图1 图2 (1)求抛物线G的解析式： (2)【设计应用】在y轴上点P(0,18)处挂一条与抛物线C形状相同的抛物线灯带C,,抛物线C,最低点到y 轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ 35/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在灯带点M(60,18)处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线C于点N,设射线MN的解析式为 y=c+b(0≤x≤60)·彩灯射线以点M为旋转中心，从抛物线C最低点处顺时针方向旋转，与抛物线 C,C,都有交点时，求k的取值范围. 21.(2026·广东珠海·一模)己知关于x的一元二次方程mx2+(m-1)x+n=0. (1)若6m+n=2,求证：此方程有一个根为2： (2)在（1)的条件下，二次函数y=nx2+(m-1x+n的图象经过点1,2，求代数式 m2-4n2 2n）÷m2+2mn 、m2-4mn+4n2m-2nm-2n 的值； 国当军<n<0时，求证：此方程总有两个不相等的实数根 2.（②026·辽宁按山·一核)安图.在平面直角坐标系0中，二次函数)y=+b饭+c的图象与维 交于点A(2,O)、B两点，与y轴交于点C(0,4),且顶点为N,点P,Q为该二次函数的图象上两点，点P横 坐标为t. B B B A 图1 图2 备用图 (1)求二次函数解析式： (2)如图1，若点P在y轴左侧，且Sa4Cp=24,求点P的坐标； (3)如图2，若PQ平行于x轴，过点N作NH⊥PQ交于点H,设PQ=y,NH=x,求y与x的函数关系式： (4)若点Q位于点P左侧，P、Q两点间的水平距离为1，以PQ为对角线作矩形PDQE使其各边分别与x轴 或y轴平行，若矩形PDQE的周长与抛物线上P、Q两点间纵坐标的最大值相等，求t的值. 23.(2026·湖北襄阳·一模)如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A-3,0),B两点，与y轴交于点C, 点D为抛物线的顶点。 36/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求b的值和点D坐标： (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，∠EBA=∠BCO,求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L,L与y轴交于点P,设点P的纵坐标为n,点Q在L 的对称轴上，点Q的纵坐标为n-1,当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转90°得到点M,当 P、M、D三点不在同一直线上时，设△PMD的面积为S. ①求S关于n的函数解析式： ②当L与线段DM没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围 24.(2026·河北张家口·一模)在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞.设飞行 时间为x(单位：秒)，飞行高度为y(单位：米)·如图，无人机甲的飞行高度y甲是x的二次函数，其图 像马经过点0Q0和点8(20,0，且最高点M的坐标为10,20)：无人机乙志飞号秒后上升至最高点4，此 时高度为9米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地。 224 20H 18 16 10 42 B. 48121620衣 (1)求无人机甲高度y关于飞行时间x的函数解析式： (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度。 (3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； (4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那 个距离值”·调整抛物线参数，使其经过点(0,0)和t,0)，且最高点纵坐标不变，t满足10≤1≤20，在两无 37/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出1为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该 最优垂直距离的值. 38/38 专题01 二次函数综合热点 （解析式、图像性质、几何图形、最值、实际应用等综合）有关的5类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 二次函数解析式求解及技巧 方法二 二次函数图像与性质综合及解题技巧 方法三 二次函数与几何图形综合及解题技巧 方法四 二次函数最值问题及解题技巧 方法五 二次函数实际应用及解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】二次函数解析式求解 【题型02】二次函数图像与性质综合 【题型03】二次函数与几何图形综合 【题型04】二次函数最值问题 【题型05】二次函数实际应用 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：代数与几何深度融合（高频压轴），聚焦二次函数与三角形、四边形的存在性问题（等腰、直角、平行四边形等），本质是“坐标化”转化，将几何条件转化为代数关系式求解，是中考区分度核心载体。 核心考向2：最值与实际应用，涵盖面积、周长最值及利润、拱桥、运动轨迹等情境建模，侧重考查配方法、顶点式的灵活运用，贴合课标“数学建模”核心素养要求。 核心考向3：动态与参数综合，结合动点、图形旋转/折叠及新定义题型，考查参数对函数图像的影响，以及“化动为定”的解题思想，是近年命题新趋势。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：几何与代数转化不畅，无法将图形性质（全等、相似、对称）转化为函数坐标或解析式，缺乏“坐标化”思维，难以建立几何与代数的关联桥梁。 瓶颈2：分类讨论不全面，面对存在性、动点问题时，遗漏特殊情况（如等腰三角形顶角顶点分类、动点取值范围），导致漏解，是失分重灾区。 瓶颈3：建模与计算薄弱，一是不会将实际情境抽象为二次函数模型，二是机械套用公式，忽略配方法本质及定义域限制，同时计算失误频发，影响解题准确性。 结论背记 一、二次函数核心基础公式（解题地基，必背） 1. 三种标准解析式 形式 公式 适用场景 一般式 已知任意三点坐标 顶点式 已知顶点/对称轴/最值 交点式 已知与轴两交点、 2. 顶点、对称轴、最值公式 对称轴： 顶点坐标： 最值： · ，开口向上，时，； · ，开口向下，时，。 3. 与坐标轴交点公式 与轴交点： 与轴交点：令，解，根为、，交点、 4. 韦达定理（根与系数关系） 若两根为、，则： ， 5. 基础坐标公式 两点、距离： 中点坐标： 二、二次函数综合万能公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 1. 面积万能建模公式：铅垂高法（中考二次函数面积题100%核心） 适用于：抛物线上动点与坐标轴/定点围成的三角形面积最值、定值问题 公式： 水平宽铅垂高 · 水平宽：两定点在轴上的水平距离（定值） · 铅垂高：过动点作竖直线，截两定点连线的线段长度（变量，用二次函数表示） 拓展：不规则多边形面积 → 割补法转化为铅垂高三角形求和 2. 弦长拓展公式（抛物线与x轴截线段长度） 已知抛物线与轴交于、，则截距长度： （，直接算线段长，无需解方程） 技法归纳 方法一 二次函数解析式求解及技巧 核心是根据题干给出的条件（如已知三点坐标、顶点坐标、与 x 轴交点、对称轴等），灵活选择一般式、顶点式、交点式，运用待定系数法求解；技巧是优先选择贴合已知条件的形式，减少计算量，验证结果是否符合题意。 例题1 （2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 例题2 （2026·陕西榆林·二模）定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“反点”定义，反点满足，代入二次函数得到关于的一元二次方程，由“唯一反点”可知方程有唯一解，利用一元二次方程根的判别式等于求解即可． 【详解】解：∵“反点”坐标满足横纵坐标互为相反数，即，且“反点”在二次函数图象上， ∴将代入，得:， 整理得， ∵该二次函数有唯一的“反点”， ∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式， ∵， ∴令， 解得． 例题3 （2026·安徽安庆·一模）新定义：对于给定的二次函数，我们把形如的函数称为二次函数的“友好关联函数”，运用此定义解决下列问题： 已知二次函数． （1）请写出这个二次函数的“友好关联函数”的表达式____________； （2）若点和点在这个二次函数的“友好关联函数”的图象上，请写出直线与该“友好关联函数”图象的交点坐标（除了、两点）____________． 【答案】 【分析】（1）充分理解“友好关联函数”的定义，再结合二次函数，进行分析，即可作答； （2）理解题意，再进行分类讨论，确定；同理确定，再由待定系数法确定直线的函数解析式为，再分两种情况分析：当时，当时，联立两个函数求解即可． 【详解】解：（1）∵的函数称为二次函数的“友好关联函数”．且二次函数． ∴这个二次函数的“友好关联函数”的表达式； （2）∵， ∴点在函数上， ∴， ∴点； 当时，把代入，得， 解得或（舍去）； 当时，把代入，得， 整理得：， ， ∴方程无解； ∴； 设直线的函数解析式为， 代入得：，解得：， ∴， 当时，联立得： 解得：（与点B重合，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，联立得： 解得：（与点A重合，舍去）或， ∴直线与该“友好关联函数”图象的交点坐标为． 方法二 二次函数图像与性质综合及解题技巧 围绕函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点等核心性质，数形结合分析；技巧是熟练掌握性质之间的关联（如开口方向决定最值趋势），结合图像快速判断系数符号、取值范围。 例题1 （2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的特点可得新抛物线的顶点坐标为，然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 例题2 （2025·陕西西安·一模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，给出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③当时，或；④；⑤若二次函数经过点，则其图象必经过点．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断选项①④；由图象性质即可判断②；由二次函数性质结合即可判断③；根据二次函数的性质即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴正半轴相交， ， 对称轴在轴右侧， ，异号， ， ，，故①正确，④错误； 对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； ∴当时，随的增大而减小；故②正确， ∵对称轴为直线，且经过点， ∴抛物线经过， ∴当时，；故③错误； ∵二次函数经过点，对称轴为直线， ∴抛物线图象必经过点，故⑤正确． 故选：C． 例题3 （2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 例题4 （2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 例题5 （2025·广东广州·一模）已知抛物线的顶点为，点在抛物线上，直线过点和． (1)求直线的解析式； (2)点为抛物线与直线的唯一交点，连接，记的长度为，若给定一实数，满足恒成立，求的取值范围； (3)已知：任意两正数，，有不等式恒成立． ①若与的乘积为定值，求证：的最小值为，当时，的值最小； ②在（2）的条件下，为直线上的一动点，，连接，．若，运用（3）①证明的结论，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①见详解，② 【分析】（1）直线过和两点，用待定系数法设代入两点坐标解方程组即可； （2）由抛物线与直线有唯一交点，联立方程得，从而用表示将顶点的坐标代入，转化为关于的二次函数，求其最小值即可得到的最小值，进而确定的取值范围； （3）①由展开得，即，当且仅当时取等号；②设在直线上，由， 利用勾股定理展开化简，得，因为，所以，将代入化简得，与相乘后开方得，设，换元后得，由(3)①的结论知，当时取等号，故最小值为． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 直线过点和， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：联立抛物线与直线， ， 整理得①， 抛物线与直线有唯一交点， 方程①的判别式， ， ， ② 将②代入抛物线解析式， ， ， ，， ， ， 而， ， ， 当时，； 恒成立， ； （3）解：①， ， 即， ， ， 当且仅当，即时取等号； ②设， ， 由勾股定理， ， 展开化简得， ， ， ， ， 将代入， ， ， ， ， ， 且， ， 解得， ，故， ， 设， 则， ， ， 设， ，，即 ． 由(3)①知， 取， ， 当且仅当，即时取等号，此时，满足条件． 的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数与直线的位置关系、勾股定理的应用以及基本不等式求最值的方法；解题的关键是第（2）问利用将双变量问题转化为单变量问题，第（3）问②利用勾股定理和直角三角形面积公式建立面积表达式，通过换元法构造基本不等式的形式求解最值，体现了数形结合与化归转化的数学思想． 方法三 二次函数与几何图形综合及解题技巧 联立二次函数与三角形、四边形等几何图形，将几何条件（线段长度、角度、面积、全等 / 相似）转化为坐标关系或函数关系式；技巧是利用坐标法表示几何元素，借助勾股定理、面积公式、相似性质建立等式求解。 例题1 （2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)的取值范围为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算． （1）由待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出的表达式，当最大时，最大，求解即可 （3）根据点在抛物线上，可先得出抛物线的表达式为，先对或进行分类讨论，其中发现时，抛物线与线段无交点；时，对点与点重合、抛物线过点、抛物线与线段相切三种情况进行分类讨论，根据图像进行求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， 点的坐标为． 将点代入，得． 直线的函数表达式为， 令，则，解得， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）如图1，过点作轴交于点． 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8， 此时点的坐标为． （3）由（2）知，点坐标为， 又∵， 直线的函数表达式为， 抛物线过点， 可设抛物线的函数表达式为， 在抛物线上， ， 抛物线的函数表达式为， ①当时， ， 抛物线开口向上。 又， ， 抛物线与线段无交点． ②ⅰ）当，且点与点重合时，作出图形如图2所示， 此时． 抛物线与线段只有一个交点， ． ⅱ）当，且抛物线过点时，作出图形如图3所示． 将代入，得． 抛物线与线段只有一个交点， ． ③当抛物线与线段相切时， 联立， 整理，得， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 综上所述，的取值范围为或． 例题2 （2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①0或3或或；②存在，理由见解析；③ 【分析】（1）根据，是方程的两个根求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①分情况讨论：当为平行四边形的对角线、为对角线、为对角线时，根据两条对角线的中点相同，进行列方程组求解即可； ②求出角的之间的关系，再用三角函数求解即可； ③运用轴对称求两条线段和最短即可． 【详解】（1）解：，是的两个根， ，， ，， 抛物线与x轴相交于A、B两点， ， 解得， 抛物线函数表达式为； （2）①解：0或3或或，理由如下： 令得：，解得， 令得：， 则点、， 抛物线与y轴相交于点C， 则点， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为、点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时， 的中点为、的中点为， 则 解得或， 令时，，点的坐标为、点的坐标为， 令时，，点的坐标为、点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 解得； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 整理得， 判别式， 则没有实数解， 综上所述，点的横坐标为，，，； ②解：存在，理由如下： 直线与x、y轴分别交于点D、E， 时，， 当时，，， ∴点、， ，， ， 由抛物线可知：当时，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 设，则，， ， （舍去）或， ； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设，，设直线MN的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为； 联立方程组， 得， ， 将代入，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， ， 解得：， 联立方程组， 得出， 点Q在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点E关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 则， 由轴对称性质可得， 的最小值， 由两点之间线段最短可得：线段的最小值为， ， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、轴对称—最短路径问题、解直角三角形的应用，数形结合思想方法的运用是解题的关键． 例题3 （2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴．    ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 （4）解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，以及几何变换轴对称—最短距离，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 例题4 （2025·江苏无锡·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标； (3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式． 【答案】(1)，，； (2) (3) 【分析】（1）在中，令得，令得，； （2）由，得直线的解析式为，设直线的解析式为，，可得，故；根据平分线段，知的中点在直线上，求得直线解析式为，有，解出t的值从而可得； （3）过点G作轴，过点E，F分别作的垂线，垂足分别为T，S，证明，可得，求出，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立得，联立得，设，，，故，，，从而知，，，故，可得，即得，，得直线解析式为． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， 令得， 解得或， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 设， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 令得， ∴； ∵平分线段， ∴的中点在直线上， 设直线的解析式为， 将代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：过点G作轴，过点E，F分别作的垂线，垂足分别为T，S，如图： ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵点D与原点O关于对称， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立得：， 联立 得：， 设，，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 方法四 二次函数最值问题及解题技巧 分两种情况，一是无自变量范围限制时，利用顶点式或配方法、公式法求顶点纵坐标即最值；二是有自变量范围时，结合对称轴与区间的位置关系，判断区间端点或顶点为最值点；技巧是注意自变量的实际意义（如长度、个数），避免忽略范围限制。 例题1 （2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先根据二次函数（为常数）的图象经过点，可得关于的一元二次方程，解方程可得：或，根据抛物线的对称轴在轴右侧，可得：，从而可知，把代入二次函数可得二次函数的解析式为：，利用二次函数的性质可知二次函数有最小值． 【详解】解：二次函数（为常数）的图象经过点， ， 分解因式得：， 解得：或， 二次函数的对称轴为， 对称轴在轴右侧， ， ， ， 二次函数的解析式为， 整理得：， 二次函数有最小值，最小值为． 故选：D． 例题2 （2025·湖南长沙·二模）定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数： (1)根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内： ①函数；（　　） ②函数；（　　） ③函数（为全体实数）；（　　） (2)若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值； (3)若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值． 【答案】(1)、、． (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据定义，结合反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象，分析判断，即可求解； （2）根据定义，可得，根据经过点和点，，建立方程组，解方程组求得的值，得出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解； （3）根据定义，可得，根据经过点，得出，根据题意可得，设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，根据方程有实数根，得出的最小值为，，根据要使得的最小值．则同号，则，即可求解． 【详解】（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（） ②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（） ③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（） 故答案为：、、． （2）解：∵函数在实数范围内为峰函数， ∴， ∵经过点和点， ∴ ∴， 函数的图象与轴交于、两点，设 ∴是方程的两个实数根， ∴ 又∵， ∴ ∴ 即 ∴ ∵，， ∴ 解得：（，正值舍去） ∴ ∴ ∵ ∴顶点坐标为，即该函数的峰值为； （3）∵函数（）在实数范围内为谷函数， ∴， ∵函数的图象经过点 ∴ ∴ 又∵ ∴ 设中，是最大的数，设是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∵方程有实数根， ∴ 设， 如图 ∴当时， ∵，即的最小值为 ∴当取得最小值时， ∵要使得的最小值．则同号， ∴ ∴的最小值为． 例题3 （2025·四川泸州·三模）已知二次函数． (1)若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值． (2)若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）． ①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值． ②已知定点，求证． 【答案】(1) (2)①；②见解析； 【分析】（1）由题意可知，，即，由可知，与轴的交点最多为1个时，不等式恒成立，利用判别式小于等于0即可； （2）①联立直线与抛物线，先求得点和，过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，通过，表示出，从而得到的最大值；②设点，，作轴于，作轴于，联立直线和抛物线，得到，通过根与系数的关系，得到，，，通过计算可知，，得到，利用 ，，可知，推出，得证． 【详解】（1）二次函数上的点恒成立不等式， ∴ ∴ ∴ （2）解：①， ， ， ， 联立直线和抛物线，得到 解得，， 当时，，那么 当时，，那么 过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示： 时，有最大值，最大值为， 此时，且介于点，之间，符合题意； 的最大值为； ②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示： 联立直线和抛物线，得到 ， ， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，一元二次方程与根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方法五 二次函数实际应用及解题技巧 先将实际问题（利润、面积、行程、造价等）转化为二次函数模型，明确自变量的实际取值范围；技巧是找准等量关系建模，求解后验证结果是否符合实际场景，确保最值或解集有实际意义。 例题1 （2026·河南周口·二模）南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围． 【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)最多需准备米该种钢管 (3) 【分析】（1）由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，设点的横坐标为，那么，则点的横坐标为，求出，，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）令，则，求得，，再结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米， ∴，米， ∴， 设抛物线形花墙拱门的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线形花墙拱门的解析式为， ∵， ∴拱门最高点距地面的高度为米； （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 设点的横坐标为，那么， 由题意可得，点和点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，为米， 故最多需准备米该种钢管； （3）解：令，则， 解得：，， ∴（米）， ∵仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，负责人准备将队形设计成每排6人， ∴（米）， ∵当每两人间的距离为d米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门， ∴d的取值范围． 例题2 （25-26九年级下·四川成都·自主招生）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式． (2)求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 【答案】(1) (2)该商品日销售利润的最大值为6250元 (3) 【分析】（1）先设y关于x的函数关系式为，然后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出w的解析式，再根据抛物线的图像和性质作答即可； （3）设利润为元，根据题意得的解析式，再求出对称轴，再根据抛物线的图像和性质作答即可． 【详解】（1）解：设日销售量（件）与销售单价（元）之间满足的一次函数解析式为，把，代入得：， 解得：，， 解析式为； （2）解：由题意得该商品的成本单价是 元． ， ， 当时，最大，最大值为， 答：该商品日销售利润的最大值为元； （3）解：设利润为元，根据题意可得： ， 对称轴为． ∵销售单价不低于68元，即， ∵日销售量， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴，且开口向下， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值为6600， ∴， ∴． 例题3 （辽宁抚顺市2026年初中业水平模拟考试数学试卷）晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与晓然同学投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离．    采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且，，在一条直线上，和都垂直于．    确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得，两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)求这次投进篮球的最大离地高度； (3)如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 【答案】(1) (2)最大离地高度为米 (3)最低封盖高度为米 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）根据顶点是最高点进行解答即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，, 又抛物线经过点、点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线顶点为最高点， ∴最大离地高度为米； （3）解：当时，（米）， 所以，最低封盖高度为米． 例题4 （2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定，，，设抛物线的函数表达式为，代入后得到关于，，的方程组，求解即可； （2）当时，代入由（1）所得的抛物线的函数表达式得到，求解后可得答案； （3）确定平移后的抛物线解析式为，确定抛物线上的点的坐标为，再代入求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：∵，，为的中点， ∴， ∵以点为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）， ∴，，， 设抛物线的函数表达式为，过点，，， ∴， 解得： ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知：抛物线的函数表达式为， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴活动区域在水平方向上的最大宽度为； （3）解：∵将抛物线支架沿竖直方向向上平移， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于， ∴此时抛物线上的点的坐标为， ∴， ∴， ∴的最小值． 【题型01】二次函数解析式求解（共6题） 1．（25-26九年级下·陕西·期中）已知二次函数（均为常数，且的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为，则的值为（   ） A．0 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴公式和待定系数法求出a、b的值，则可得到二次函数的解析式，根据二次函数的性质可推出离对称轴越远函数值越小，则可确定当时函数的最大值和最小值，进而可得答案． 【详解】解：∵二次函数均为常数，且的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且当时，函数有最小值，最小值为， ∴， ∵顶点的纵坐标为8， ∴函数的最大值为8，即， ∴． 2．（22-23九年级下·广西玉林·月考）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C，则以下结论： ①无论x取何值，恒小于0； ②可由向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形的面积为18. 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】将整理为，再讨论判断①；先把点代入求出抛物线的表达式，再根据抛物线的形状相同，并结合顶点的位置进行平移后判断②；将两个关系式作差可得，再根据一次函数的性质判断③即可；先分别求出点，，点，点，进而得出，然后根据判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴无论x取何值时，恒小于0，所以①正确； 把点代入中， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线的顶点坐标为， ∴可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，则②不正确； ∵ ， ∴当时，的值随着x的增大而减小，则③不正确； 如图所示，点， 由可知抛物线的对称轴是， 当时，， ∴点， ∴，即， 解得， ∴． 由，可得抛物线的对称轴是． 当时，， ∴点， ∴，即， 解得， ∴点， ∴． ∵轴，x轴y轴， ∴，即， ∴，则④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的变函数． 例如：函数，它的变函数解析式为则关于函数，该函数图像经过点， 该抛物线的对称轴为直线； ②当，时，； ③若点、均在抛物线上，则的最小值为； ④若是的变函数，的函数图像仍然关于直线对称； ⑤若是的变函数，直线与的函数图像恰好有两个交点时，， 则其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题是二次函数新定义综合题，先根据已知点坐标推导出，得到的解析式，再逐一判断每个结论，结合变函数定义分析即可． 【详解】解：∵经过点， ∴， 整理得， ∴， ①对称轴为直线，故①正确； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在范围内，顶点在对称轴处，函数取得最大值，离对称轴距离最远，函数取得最小值， 当时，，为最大值 当时，，为最小值 ∴，故②正确； ③∵点在抛物线上 ∴， ∴ ∵， ∴的最小值为，故③正确； ④根据定义， 取，它关于的对称点为， 当时，，当时， ∵， ∴， 故不关于对称，④错误； ⑤时，，顶点为， 当时，直线与恰好有个交点；当时，直线也恰好与有个交点，故⑤正确； 综上，正确结论共个． 4．（2026年辽宁省本溪市一模数学试题）某数学兴趣小组开展综合与实践活动，记录如下： 活动主题 测量帐篷内自由活动区的面积 活动准备 1．准备皮尺等测量工具； 2．查阅并绘制帐篷的示意图． 方案示意图 图1某帐篷的示意图，该帐篷是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的（点B在直线l上，点A在水平地面上，曲线段为抛物线上的一段曲线，点B为抛物线的顶点）． 采集数据 ①帐篷的底圆半径是； ②帐篷最高点B距离地面． 确定思路 以直线l与地面交点为坐标原点，以水平地面所在的直线为x轴，以直线l为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点B为抛物线的顶点，点A在x轴上，点C为抛物线上一点，轴于点D． 备注 某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)某同学的身高是，求他在帐篷内自由活动区的面积（结果保留π） 【答案】(1) (2)他在帐篷内自由活动区的面积 【分析】（1）可设抛物线的顶点式表达式，代入点A的坐标求解参数，得到抛物线表达式． （2）先将身高对应的y值代入抛物线表达式，求出对应的值，再利用圆的面积公式计算面积． 【详解】（1）由题意得，，， 设抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为； （2）当时，， ∴， ∴自由活动区的面积为， 答：他在帐篷内自由活动区的面积． 5．（2026·甘肃白银·一模）投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度为，当水平距离为时，箭头行进至最高点处．若是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且，则这名男生此次投壶______投中（请填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案再比较得出结论． 【详解】解：由题意可知点的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设与之间的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， ∴与之间的函数表达式为， 当时，， ， ∴这名男生此次投壶不能投中． 6．（2024·甘肃陇南·一模）一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论取何值，这个函数的图象总经过点和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是_____________．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“零点”的定义可知二次函数的图象顶点坐标为，据此写出一个函数的解析式即可． 【详解】解：∵二次函数有且只有一个零点，其图象的顶点在x轴上， 又∵零点是， ∴顶点坐标为， 故该二次函数的解析式可设为， 取， ∴这个二次函数的解析式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型02】二次函数图像与性质综合（共6题） 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的图象经过，，其中，且当时，y值随x值的增大而增大，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对抛物线配方得到对称轴和顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再计算两点到对称轴的距离，结合开口向下抛物线的性质比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，顶点纵坐标为， ∵当时，随的增大而增大，在对称轴左侧， ∴抛物线开口向下，， ∵开口向下时抛物线顶点为最高点， ∴抛物线上所有非顶点的点纵坐标都小于， 设点A，B到对称轴的距离分别为和， ∵， ∴，， ∵， ∴，即点离对称轴更远， ∵抛物线开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小， ∴． 8．（2022·江西赣州·模拟预测）若一次函数​的图象经过二次函数​的顶点，我们则称这两个函数为“皖美函数组”． (1)判断一次函数​和二次函数​是否为“皖美函数组”，并说明理由； (2)当时，二次函数的最小值为a，若“皖美函数组”中的一次函数和二次函数（a，b，c为参数）相交于P，Q ​两点，请问​的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)是定值，的长度为 【分析】（1）先求出二次函数的顶点坐标，然后代入一次函数计算即可； （2）先求出当时，二次函数的最小值，然后设设抛物线的顶点坐标为：，然后得到抛物线解析式，与一次函数联立利用韦达定理求得两点坐标，然后利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 由题知二次函数图象的顶点为：． ∵当时，， ∴一次函数不经过点． 故一次函数和二次函数不是“皖美函数组”． （2）解：为定值，长度为， ∵二次函数的对称轴为，开口向上， ∴当时，二次函数在时，取得最小值， ∴当时，． 设抛物线的顶点坐标为：． 则抛物线的表达式为：． 将上式与联立并整理得：． 设，两个交点中其中一个点的横坐标为，由‘皖美函数组’定义可知，，两个交点中其中一个交点为二次函数顶点，另外一个点点的横坐标为， 则，解得：， 代入， 故，， 则的长度为． 因此长度为定值． 9．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．平移抛物线得到的抛物线经过点B和点． (1)求平移后抛物线的函数表达式． (2)点T在x轴正半轴上，设其横坐标为t（），以点T为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，点O，C的对应点分别为． ①当时，请判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出t的取值范围； (3)约定：图象上P，Q两点之间的部分（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点间的最值差，记为．若新函数，点E，F，G在新函数的图象上，它们的横坐标分别为m，，，其中，是否存在m的值，使得？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①不在，见解析② (3)或 【分析】（1）因为抛物线平移后二次项系数不变，所以可设；因为经过点B和D，所以先通过​的表达式求出点B坐标，再将B、D坐标代入所设表达式，用待定系数法求解的函数表达式． （2）①因为要判断点是否在上，所以先根据旋转的性质，结合求出的坐标，再将该坐标代入的表达式验证是否成立。 ②因为线段与有公共点，所以先根据旋转性质写出的坐标，得到线段的表达式，再分别考虑线段端点在上的情况，结合确定t的取值范围． （3）因为根据最值差的定义，分别分析​和​的计算方式，分情况讨论不同m取值范围内的最高点和最低点；因为，所以据此列出方程，求解并检验m是否符合． 【详解】（1）解：对于， 令，解得或， ∴． ∵平移不改变二次项系数， ∴设， 把和代入， 得， ​解得， ∴，或； （2）解：对于， 令，得， ∴， 把点，绕逆时针旋转，得，， 即线段为水平线段，（）． ①当时，， 把代入​， 得， ∴不在抛物线上； ②当在抛物线上时，， 解得或（舍去）， 当在抛物线上时，， 解得或（舍去）， ∴． （3）解：​∵，E，F，G在新函数的图象上，它们的横坐标分别为m，，， ∴当时，，； 当时，，． ∴E，F两点在图象上，G点在图象上，且E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最高点为抛物线的顶点， G，F两点之间的部分（包括点G，F）的最高点为抛物线上的F点，最低点为 ∴， 当时，E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最低点为E， ∴， ∵​， ∴，解得，或（舍去）； 当时，E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最低点为F， ∴， ∴，解得，或（舍去）． 综上，或． 10．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为或 (3) 【分析】（1）根据平移的规律求出平移后点的坐标，再根据距离公式求解即可； （2）先确定平移方向，再结合平移距离求出平移的单位长度，最后根据直线平移规律求函数表达式； （3）设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位，确定平移后抛物线的顶点，进而得到平移后抛物线的解析式，最后利用抛物线上的点到轴的距离都小于列不等式求解. 【详解】（1）解：∵点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴， ∴； （2）解：∵直线平行于第二、四象限的角平分线， ∴点沿直线的方向平移， ∴设点沿轴平移个单位，沿轴平移个单位， ∵， ∴， ∴直线沿直线方向平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位，或向右平移个单位，向下平移个单位， ∴直线的函数表达式：或， 即：直线的函数表达式为或； （3）解：∵ ∴平移前顶点 设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位， ∴， 解得：， ∴平移后顶点为， ∴平移后解析式：， 当时，， 当时，， 当时，抛物线上的点到轴的距离都小于， ∴ 由解得； 由解得或； 由解得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴综上：. 11．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）由点，得．顶点在轴上，得， 即可确定对称轴为 ．即可确定； （2）推导出．设点，则点， 得，解得（舍）， ．得． （3）由图可知，当时，有最小值，得，解得． 得最大值 ．当时，，解得：或（舍）．即得． 【详解】（1）图象与轴交于点， ． 顶点在轴上， ， ， ． 对称轴为 ． 与的对称轴相同，且经过点， ． 把点代入得：， ， ． （2）解：设直线与抛物线的对称轴交于点， 由题可知：， ． ， ， ． 设点， 则点， ， 解得（舍）， ． ． （3）解：①定义为： ① 在部分，代入​得​； 在​部分，代入​得； 在时，​随x的增大而减小； 在时​随x的增大而增大，在​时随x的增大而减小，最大值为3（时），时​。 当时，线段与无交点。 当时，是公共点，线段与​交于和， 共2个交点； 当​时，线段与（）交于1点，与​（）交于2点，共3个交点； 当时，线段与（） 无交点，与​（）交于2点，共2个交点； 当时，线段与交于，与​无交点，仅1个交点； 当时，线段与（） 无交点。 故n的取值为：或 ， ②当时，， 由图可知，当时，有最小值， ， ． 最大值为 ． 在中，当时，， 解得：或（舍）． ． 12．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知二次函数，a为常数． (1)若该二次函数的图像顶点在x轴上，求a的值； (2)求证：无论a为何值，该函数的顶点在函数的图像上； (3)当时，求该函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）该二次函数的图像顶点在x轴上，则方程与轴只有一个交点，利用判别式为0解答即可； （2）先配方求出原二次函数的顶点坐标，将顶点横坐标代入给定函数，计算得到的纵坐标与顶点纵坐标比较，即可证明结论； （3）由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解： 令得：， 判别式， 该二次函数的图像顶点在x轴上， ， 解得； （2）证明：由题意得：， 该二次函数的顶点坐标为， 将顶点横坐标代入函数得： ， 因此，无论a为何值，该函数的顶点都在函数的图像上； （3）解：由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标， 函数的顶点坐标为， 在上，随的增大而减小，在上，随的增大而增大， 时，有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是． 【题型03】二次函数与几何图形综合（共7题） 13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 14．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 15．（2026·河南周口·一模）如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________． 【答案】(1) (2)图见解析，性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）描点法画出函数图象，根据图象写出性质即可； （3）求出时的函数值，进而求出直线经过点和时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：点运动到点时，所用时间为秒；运动到点时，所用时间为秒； 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上： （2）解：列表如下： 0 1 2 3 4 0 5 4.5 0 画出函数图象如下： 性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） （3）解：当时，， 当经过点时，，解得， 当经过点时，，解得， 故的函数图象与直线有两个交点时，． 16．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 17．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 18．（25-26九年级下·广东汕头·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，点A在点B的左侧．顶点为C． (1)若顶点C的横坐标为，求b的值及顶点C的坐标． (2)规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．若抛物线的对称轴为y轴． ①写出抛物线与x轴所围成封闭图形G内部（不包括边界）的所有整点坐标； ②若反比例函数的图象与抛物线在第三象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数k的取值范围． (3)若点C为直线在第三象限上一点，且直线与抛物线在x轴下方的部分有且只有一个交点，试求出t的取值范围． 【答案】(1)；顶点C的坐标为 (2)①，，，，，，；②； (3)或 【分析】（1）根据顶点C的横坐标为，可求出b的值，即可； （2）①根据对称轴可得抛物线方程，根据列举法即可求出所有的整数点； ②结合抛物线和双曲线的图象特征即可确定两个整数点为，，即可求解； （3）根据点C为直线在第三象限上一点，可得抛物线方程为，根据分别求出直线过点A，B时，t的值，以及直线与抛物线的相切只有一个公共点时可得，进而结合图形特征即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点C的横坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为y轴， ∴， ∴． 抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧， 当时，得， 解得或， ∴点，点， ①∵当时，， ∴点，在区域G的内部； 当时，得：， ∴点，，在区域G的内部； 当时，得：， ∴点，在区域G的内部； 综上所述，在区域G的内部（不包括边界）的整点为，，，，，，； ②∵抛物线过点，，， ∴抛物线在第三象限内的部分是之间的图象． ∴抛物线在第三象限内的整数点坐标为，抛物线在第三象限内内部的整数点坐标为，， 依题意得：， 解得：； （3）解：∵点C为直线在第三象限上一点，抛物线， ∴其顶点C的纵坐标为， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴，， 当直线经过点A时，将点A的坐标代入得：， 解得：； 当直线经过点B时，将点B的坐标代入得：， 解得：； 当直线与抛物线在x轴下方的部分只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， ∴方程整理得 ∴， 解得：， ∴t的取值范围为或． 19．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为， ①求的取值范围； ②当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②， (3)的值为或 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）①求出抛物线于轴的交点坐标，即可求出的取值范围； ②设，根据正方形的性质得出，解方程求出值即可； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，得出，，分点在点上方和下方两种情况，证明，根据，分别列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：①∵抛物线的函数表达式为， ∴时，， 解得：，， ∴，， ∵点是抛物线在轴下方的一个动点，点的横坐标为， ∴． ②设， ∵轴于点，轴于点， ∴，， ∵矩形是正方形， ∴，即． 解得：，． （3）解：设与抛物线的对称轴交于点，直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴对称轴为直线， ∵对于直线，当时，， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位长度后，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， 对于抛物线，当时，， ∴， ①如图，当点在点上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）． 如图，当点在点下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 综上所述：的值为或． 【题型04】二次函数最值问题（共7题） 20．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． (1)求，的值； (2)已知，两点均在该抛物线上，且， ①求的值； ②求证：． 【答案】(1)， (2)①3；②见解析 【分析】（1）把代入得出，根据对称轴得出，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出，的值即可； （2）①根据，两点均在该抛物线上得出，根据得出，代入求值即可； ②先求出，根据，代入并配方得出，根据得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点，对称轴为， ∴， 解得：． （2）解：①，两点均在该抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图象交于点，点的坐标为，连接，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为秒（），过点作轴，分别交，于点，． (1)求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)点是线段上一动点（点不与点，重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为______． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为 (2) (3)36 【分析】（1）把点A的坐标代入正比例函数的表达式中求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，把分别代入和中，求出对应的x的值即可得到点M和点N的坐标，进而可求出； （3）根据（2）所求可得，设，则，则可求出，进而可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入中得，解得， ∴反比例函数的表达式为； 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：由题意得，， ∴； 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴； （3）解：由（2）可得，，， ∴当时，，， 如图所示，设，则 ∵ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为36． 22．（2026·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求a，b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（A，B与原点不重合）． ①若且，求h的值； ②若，求t的最小值． 【答案】(1) (2)①h＝－4；②t有最小值，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①首先将代入得到，然后将代入得到，将代入得，得到，整理得到，得到，进而求解即可； ②首先得到，代入得，然后得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点B（）在抛物线上，， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当h＝时，t有最小值，最小值为． 23．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最小值为，求该函数的表达式； (3)若，当时，y的最小值是， ①当时，求y的最大值，并写出取得最大值时点的坐标； ②在①中y取最大值时的点为C，设过点A，C的直线为，垂直于x轴的直线分别交直线和抛物线于点M，N，求线段MN的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①，此时点 ②36 【分析】（1）二次函数图像上，纵坐标相等的两点、关于对称轴对称，先求对称轴，再结合对称轴公式求解； （2）利用二次函数最值公式列出方程，解出得值即可； （3）①当时，y的最小值是，可得，写出二次函数解析式，开口向上的抛物线，离对称轴更远，最大值在处取得，把代入二次函数解析式即得点的坐标； ②把代入二次函数解析式，求出点的坐标，通过点和点坐标求出直线 的解析式，直线与直线、抛物线的交点为点，，利用两点纵坐标的差得到线段的长度为，求二次函数 在内的最大值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴对称轴为直线， ， ． （2）∵二次函数最小值为， ∴， 由（1）可知：， 化简得， 解得：． ∵二次函数有最小值， ∴， ∴， ∴， ∴函数表达式为． （3）①若，时，，且由（1）可知：， 即时，， ， ∴， 当时，时，取最大值，， 此时点． ②把代入， ， 设直线表达式为， 将，代入， 解得：， ∴． ∴，， 令， 得，， ∴当时，， ∴点在点上方， ， ∴当时，取最大值36． 24．（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可； （3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴． （3）解：当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （4）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4， ①当时， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∴，解得（舍）． ②当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴； ③当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴（舍），（舍） 综上所述，n的取值范围为． 25．（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，的最大值为 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出； （3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得： ∴ （2）证明：设直线的解析式为，代入得， ∴ ∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∵，即， ∴，即， （3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，即 又∵ ∴ ∵的解析式为 ∴， 又∵ ∴ ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（2026·山东潍坊·一模）已知二次函数，其中k为常数． (1)证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； (2)将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴的交点分别为，，且，记线段的长度为d，求d的最小值； (3)该二次函数与一次函数的图象交于点M，过点作x轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点P、Q，若，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)或 【分析】（1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）根据二次函数的平移规律得到新的二次函数解析式，令，由韦达定理可得，，从而得出，即可得解． （3）先表示出点、的坐标，从而得出，联立二次函数与一次函数，求出交点坐标，从而得出，再根据，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，即， 不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； （2）解：， 将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度， 得到的新二次函数为， 令，则， ∵新二次函数的图象与x轴的交点分别为，， ∴，， ， ∵记线段的长度为d， ， 的最小值为1； （3）解：当时，， 当时，， ，， ， 联立， 整理得：，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，． 综上可知，k的值为或． 【题型05】二次函数实际应用（共6题） 27．（2026·辽宁沈阳·一模）下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 【答案】(1) (2)栅栏与墙平行的边的长度为21米 【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达； （2）根据（1）中的函数表达式，令，求出对应的的值，再根据墙的长度是，则，取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为，则与墙垂直的边的长度为， ． （2）解：令， ，解得，， ∵墙的长度是， ． ． 答：栅栏与墙平行的边的长度为21米． 28．（2026·陕西咸阳·二模）如图，某市在公园设计了一块花卉展览区域，该花卉区域由抛物线与抛物线围成，为隔离带，与所围区域为花卉区，在与所围区域内修建一个矩形，作为赏花打卡点，用于游客赏花，摄影等，其他区域为草坪，点，在上（点在点左侧），点，在抛物线上，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中米，抛物线的最高点到的距离为12米，与关于轴对称． (1)求抛物线的表达式； (2)若修建矩形时，要求，请问是否存在这样的矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 【分析】（1）根据题意得：点，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把代入即可求解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则点，，可得，，再根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵与关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，则点，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴此时点的坐标为． 29．（2026·江苏扬州·一模）综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 30．（2026·吉林·一模）如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为． (1)当点在边上时，用含的代数式表示的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，点落在边上 (3) 【分析】本题属于四边形动点问题，计算量较大，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，三角函数，解题的关键是利用分类讨论思想分别画出图形，利用三角函数进行求解． （1）根据题意得出，再由三角函数确定，，即可求解； （2）依据题意，当点落在上时，，得到，通过求解三角形得到，进而完成求解． （3）需要分三种情况讨论，①当点在上，点在矩形内部或者边上时，全部在矩形内部，求出，即可得到答案；②当点在上，点不在矩形边上时，重叠部分的面积即与面积之差，先求出的值，列出，求解三角形得到，进而得到的面积，最终完成求解；③当点在上，利用三角形的面积公式即可完成求解． 【详解】（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵点在边上， ∴当点F与点D重合时，， ∴； （2）解：如图所示，当点落在上时， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵点运动速度为每秒个单位长度， ∴点落在边上时，运动了秒． 故当时，点落在边上． （3）解：因，故的最大值为， ①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部， 此时为直角三角形，，， ∵， ∴， ∴等边三角形的高为， ∴面积为， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ②当点在上，点不在矩形边上时， 此时，，， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴等边与矩形重叠部分的面积为， 当时，达到临界值，即时，， ，此时． ③当时，点在上，点不在矩形边上时， 此时，， ∴， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ∴与的函数解析式为 31．（2026·广东佛山·一模）体育强则中国强，总书记对体育强国的建设始终高度重视，某校积极响应号召，组织班级篮球比赛．在比赛中，一名米的运动员，从A点跳离地面高度米时，球在头顶米处B点出手，当篮球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮筐中心C点．已知篮筐中心到地面的距离为米，篮球在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式； (2)在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分．已知三分线与篮筐中心的水平距离为，请通过计算判断运动员此次投篮的得分． 【答案】(1)见解析， (2)2分 【分析】（1）以点A为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点设该抛物线的解析式为，将代入求出得，即可解答； （2）将代入抛物线表达式，求出（舍去，此为上升阶段的点），即篮筐中心与出手点的水平距离为，再与比较，即可解答． 【详解】（1）解：以点A为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图 ∴（米），米， ∴ ∵当篮球运行的水平距离为米时，且达到最大高度米， ∴设该抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入抛物线表达式，得 ， ， 解得（舍去，此为上升阶段的点），即篮筐中心与出手点的水平距离为， ∵三分线与篮筐中心的水平距离为，， ∴此次投篮在三分线内，得分为2分． 32．（2026·辽宁葫芦岛·一模）兴城市海河大桥是一座独塔自锚式悬索桥，它的外轮廓线近似抛物线，为判断大桥主体是否符合设计标准，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 1.去兴城市城建档案室查阅大桥的原设计图纸，记录高度、底部跨度等关键数据：2.准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 设计数据 图1为海河大桥的平面示意图，相关信息如下： 1.大桥最高点与桥底的距离为； 2.大桥底部跨度为； 3.设计标准：实际测量高度与理论设计高度之差的绝对值不超过． 实测数据 如图2所示： 点位1：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高（）； 点位2：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高 设计方案 1.根据大桥轮廓建立抛物线模型； 2.计算两点的理论设计高度； 3.对比实际测量高度与理论高度，依据允许误差范围，判断大桥是否符合设计标准． 确定思路 根据大桥的设计数据，确定以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，分析数据可知点和抛物线的顶点坐标． (1)根据设计图纸提供的数据，求抛物线的解析式； (2)结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的，两处是否符合设计标准． 【答案】(1) (2)大桥的两点均符合设计标准 【分析】（1）由顶点可得，把代入求出a值即可； （2）分别把D、F的横坐标代入解析式求出纵坐标，求出与拱高的测量值差值的绝对值，是否超过，即可判断是否符合设计标准． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 大桥最高点与桥底的距离为， ∴抛物线的顶点， ， 大桥底部跨度为， ∴抛物线经过点， ， 解得：， ； （2）解：由题可知：点的横坐标为， 把代入抛物线，得：， ， 由题可知：点的横坐标为， 把代入抛物线得：， ， 答：大桥的两点均符合设计标准． 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况讨论，①当时，过点作，交于点，得到，，推出，为二次函数；②当时，过点作，交于点，过点作，交于点，得到，高为，推出，为一次函数；③当时，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到，，，，，根据，得到，为二次函数． 【详解】解：①当时，过点作，交于点， ∴，， ∴，为二次函数； ②当时，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵, ∴高为， ∴，为一次函数； ③当时，如图所示，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，，，，， ∴， ， ， ， ∴，为二次函数，开口向下． 2．（2026·山东滨州·一模）关于抛物线（m是常数），下列说法正确的是（   ） A．当时，抛物线的对称轴是 B．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则 C．若点在抛物线上，则 D．无论m为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先将抛物线配方为顶点式，再逐个验证选项，用到二次函数对称轴、一元二次方程根的判别式、二次函数增减性、平行线间距离等知识点． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对选项A∵当时，抛物线对称轴为直线 ∴A错误． 对选项B∵抛物线与轴只有一个公共点 ∴一元二次方程的判别式 令，解得 ∴B错误． 对选项C∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大 ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴ ∴C错误． 对选项D∵抛物线顶点坐标为， 所有顶点都在直线上 ∵平行于直线 ∵设与轴的交点分别为 当时，；当时， ∴，，则 ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形 ∵经过原点，如图，过点作于点，则 ∴到的距离为， 即抛物线的顶点到直线的距离都等于 ∴无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 ∴D正确． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线对称轴的两种计算方法列式子求出的值，进而根据抛物线图象的性质分析的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线对称轴为：直线， 解得：， 抛物线表达式为：， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取最大值，， 当时，取最小值，， ． 4．（2022·四川泸州·一模）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论． 【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方， ∴， ，故①正确； ③经过， 又由①得， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等， 当时，即 ， 即， 经过，即经过，故④正确； ⑤当时，，当时，， ， 函数有最小值， ， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确； 综上所述：正确结论有①③④⑤⑥共5个． 5．（2026·辽宁营口·一模）如图，矩形中，，点E是边上任意一个点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则线段最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】过F作于H，设，证明，得出，，在中，根据勾股定理求出，然后根据二次函数的性质求出的最小值，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 过F作于H，设， ∵绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取最小值为72， ∴的最小值为． 6．（2022·江西赣州·模拟预测）已知二次函数（x为自变量）的图象与x轴有两个交点，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将二次函数整理为一般式，根据题目给出的两个条件列不等式求解：一是图象与x轴有两个交点，可得判别式；二是二次项系数为正，开口向上，时随增大而增大，可得对称轴横坐标，解不等式后取交集得到的取值范围． 【详解】∵ ， ∴ ，函数开口向上，，， 根据图象与轴有两个交点，得， ∴， ∴ ，解得 ， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧随增大而增大， 又根据时随增大而增大， ∴ 二次函数对称轴，解得 ， 又∵， ∴的取值范围为． 7．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【详解】解：每件利润为元， 实际每天销售量为：， ∴． 8．（2026·重庆·一模）已知整式：，其中为正整数，，，…，均为整数，且满足，记：，为偶数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有2个，其中有1个单项式； ②若，且函数的图象与轴有交点，则满足条件的整式共有8个； ③若，，，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①由，故，②当，，分类求解即可，③当，，，且，是偶数，，求解即可 【详解】解：当，，是偶数， 故是偶数，由，故， 故满足条件的整式共有3个，，其中有1个单项式， 故①错误； 当，， 当时，，由， 故，；或，； 且函数，的图象与轴有交点， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由，， 可得， 由，故异号，符合题意的函数有，，，， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由，， 故， 符合题意的函数有，，，， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由， 且，故， 符合题意的函数有，，，，，，，， 此时这些函数对应的8个整式都符合要求； ，都不符合要求； 则满足条件的整式共有20个 故②错误； 当，，， 且是偶数，则有， 则，为整数， 故只能取， 当时，，且为偶数， 故是奇数， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，，且为偶数， 故是偶数， 当时，此时三数和为偶数，故必须是偶数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为奇数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，，且为偶数， 故是奇数， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 共9个，故③正确. 二、填空题 9．（2026·广东汕头·模拟预测）若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为____． 【答案】 【分析】因为求原函数图象关于x轴对称的图象解析式，所以需要明确关于x轴对称的点的坐标变换规律：若原图象上一点，则其对称点为．因为已知原二次函数解析式为，所以将对称点坐标代入原解析式，把原解析式中的替换为，再整理得到新的函数解析式． 【详解】解：设对称后图象上任意一点坐标为，则该点关于轴的对称点一定在原二次函数图象上； 将代入原解析式，得 ， 整理后得到对称后的解析式：． 10．（2026·江苏扬州·一模）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先求出对称轴，再根据抛物线的对称性得出点的对称点，然后根据抛物线的开口方向和性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是， ∴点的对称点的坐标是． ∵抛物线开口向上，当时，随着的增大而增大，且， ∴． 11．（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 12．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 13．（2026·江苏南京·模拟预测）已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】①联立一次与二次函数解析式消去得到一元二次方程，利用两函数无交点等价于判别式小于列不等式求解即可；②先代入得到两个函数解析式，根据垂线段最短确定最短的条件，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点，通过求直线与坐标轴交点证明是等腰直角三角形得到角，即可得，设抛物线上点的横坐标为，表示出铅垂距离，利用三角函数将转化为关于的二次函数，最后根据二次函数性质即可求得的最小值． 【详解】解：①联立两个函数解析式，得 ， 把①代入②，得 ， 整理，得 ， ， ∵两函数图象无交点， ∴一元二次方程无实数根，即， ∴， 解得； ②当时， 一次函数， 二次函数， 由垂线段最短可知，当垂直于直线时，的值最小， 如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点， 令，代入一次函数得， 令，代入一次函数得，解得， ∴、， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， 设抛物线上点的横坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴ 在中，， ​∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值． 14．（2022·江苏常州·模拟预测）学习完函数的有关知识之后，小函对函数产生了浓厚的兴趣，他利用“描点法”画出函数的图象，如图，他对该函数的性质进行了探究．下面有个推断： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数有最小值； ③当时，随的增大而减小； ④方程有三个实数根． 其中正确的是 _____．（写序号） 【答案】①④ 【分析】根据函数的图象与函数的关系式综合进行判断即可． 【详解】解：由函数的图象可得，图象与轴无交点，即， 故函数自变量的取值范围为，故①说法正确； 根据图象可知，函数值可以是或负数，因此②说法不正确； 由函数的图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故③说法不正确； 根据函数的图象可直观看出该函数与直线，有三个交点，如图： 即方程有三个实数根，故④说法正确； 综上，正确的结论有：①④． 三、解答题 15．（2026·辽宁沈阳·一模）【设计实验方案】如图1所示，设计一个实验装置．从A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录滑块在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 8 16 24 运动速度 12 8 4 0 运动路程 0 80 128 144 【数学建模探究】 (1)根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线； (2)根据图象，分别求出v与t，y与t之间的函数表达式，并代入数据进行验证． 【答案】(1)见解析 (2)，；验证见解析 【分析】（1）根据表格中的数据分别在图2的平面直角坐标系中描点、连线，即可得出图象； （2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证； 【详解】（1）解：图象如图所示， （2）解：设， 将，；，代入，得， ， 解得， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致； 设， 将，；，；，；代入，得， ， 解得，， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致． 16．（2026·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据函数解析式判定出的值最小，得出，然后利用二次函数的性质以及图象得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 17．（2026·吉林·一模）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 18．（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为． (1)当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； (2)①若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； ②设点在抛物线上，点在抛物线上，当时的最大值为，求a的值． 【答案】(1)对称轴为直线，与坐标轴的交点坐标为； (2)①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，分别令，，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）①求出对称轴，根据增减性，判断对称轴的位置，列出不等式组进行求解即可；②易得，根据二次函数的性质，分3种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，当时，解得， ∴抛物线与坐标轴的交点坐标为； （2）解：①∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∴，解得； ②∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∴ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵当时，的最大值为， ∴当，即时，则当时，的值最大为， 解得或（舍去）； 当，即时，则当时，的值最大为， 解得（舍去）或（舍去）； 当，即时，则当时，的值最大为， 解得或（舍去）； 综上：或． 19．（2026·甘肃天水·二模）如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当M为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值． (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2) (3)t的值为2 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题； （2）利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题； （3）分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得点坐标，进而根据题意求得点、点坐标，求得长可求值； （4）根据题意可表示出涉及到的点、点、点坐标，假设出点坐标，根据菱形的性质对边相等表示出点坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， ， 解得：， 所以抛物线的函数解析式为． （2）解：根据顶点坐标公式可求顶点的坐标为， ∵点和点关于直线对称，且， ∴点坐标为， ， ，， ， 又， ， ∵M为的中点， ， ． （3）解：当边上的高最大时，的面积最大， 即平行于直线且与抛物线相切时，的面积最大， 设直线的解析式为，且点坐标为，点的坐标为， 解得：， 设平行于直线且与抛物线相切的直线为， ∵两直线平行， ， ， ∵直线与抛物线相切， ， 整理，得：， ， 解得：， ， 抛物线和直线解析式联立得，， 解得：， 即：， 此时，点横坐标为，代入得： ， 即：， ， ， （秒）． （4）解：， ， 根据题意可知点和点的纵坐标相等， ∴将代入得： ， ， ∵， ， ， 可设点坐标为， 则， 当四边形为菱形时，， 即：， 整理，得：， ∴点坐标为， 根据题意，由勾股定理可得： ， ， 即：， 整理，得：， 解得：（舍去），， （秒）． 20．（2026·贵州遵义·一模）【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)能 (3) 【分析】（1）由抛物线过点，设抛物线的解析式为：，再用待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线的解析式，然后把，解得，比较得，即可求解； （3）分别求出射线过和、和的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过且顶点的横坐标为30， ∴，即，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线最低点到轴的水平距离为30， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 当时，， ， ∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上； （3）解：∵：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵：， ∴抛物线经过点， ∴将和代入中得：，解得：； 将和代入中得：，解得：， ∵射线与抛物线和抛物线都有交点， ∴的取值范围为：． 21．（2026·广东珠海·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：此方程有一个根为； (2)在（1）的条件下，二次函数的图象经过点，求代数式的值； (3)当时，求证：此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）先将变形为，再将代入一元二次方程的根的判别式中，求出，然后代入求根公式即可； （2）将点代入，得到，结合（1）中的，求出、的值，再代入化简后的式子中，计算即可； （3）由，得出，代入一元二次方程的根的判别式中，求出，即可证明此方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）证明：方程是关于的一元二次方程， ， ， ． ， ， ，． 故若，此方程有一个根为； （2）解二次函数的图象经过点， ，即， 由（1）知，， ，， ； （3）证明：，即， ， ， ， 此方程总有两个不相等的实数根． 22．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点，得出点坐标为，点坐标为，进而根据，解方程，即可求解； （3）依题意得出，根据点坐标为，进而得出根据，即可求解； （4）依题意，点坐标为，，分别表示出，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， ， 解得， ． （2）设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 过点作轴交延长线于点， 过，两点分别作，分别交于，两点， 点坐标为，点坐标为， ， ， 解得，， ∵点在轴左侧，， ． （3）解：，， ， ∵点坐标为， ，， ， ，． （4）解：依题意，点坐标为，， ，， 当时，矩形的周长， 当时，矩形的周长， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， ①当时，解得，（舍） ②当时，解得（舍） ③当时，解得（舍） ④当时，解得，（舍） 综上所述：或． 23．（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）过点E作于点F，求出点B的坐标，进而求出，则；设，则，可得方程，，解方程即可得到答案； （3）①可求出抛物线L的解析式为，则，可得到，由旋转的性质可得，，则可得到；②求出当L与线段没有公共点时n的取值范围，再根据（3）①所求求出S随n的增大而增大时n的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点D的坐标为； （2）解：如图所示，过点E作于点F， 由（1）得抛物线的解析式为， 在中，当时，，则， 当时，则， 解得或，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴点E的横坐标为 （3）解：①设抛物线L的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点P的纵坐标为n， ∴， ∴， ∴抛物线L的解析式为， ∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， 由（1）得点D的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即轴， ∴； ②如图3-1所示，当抛物线L的顶点恰好是点D时，则， 解得； 如图所示，当抛物线L的顶点在点D下方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-3所对，当抛物线L的顶点在点D上方，且点M恰好在抛物线L上，且在抛物线L的对称轴左侧时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时点P的坐标为，即此时D、P、M三点共线； 如图3-4所示，当抛物线L的顶点在点D上方，且点Q在点D下方，点P在点D上方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-5所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方，且点M恰好在抛物线L上时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 如图3-6所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方时， 由函数图象可知当点M的横坐标小于时，满足抛物线L与线段没有公共点， ∴， ∴， 综上所述，当抛物线L与线段没有公共点时，或或； ∵， ∴当时，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大，此时不满足题意； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 综上所述，当或时，S随n的增大而增大， ∴当或时，抛物线L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大． 24．（2026·河北张家口·一模）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． (1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． (3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； (4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 【答案】(1) (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． (3) (4)当秒时，最优垂直距离最小，最小值为米． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）联立相应函数解析式求解即可； （3）先运用待定系数法求得无人机乙下降过程中的函数解析式，然后列绝对值方程并分类讨论求解即可； （4）由乙无人机过和，最高点纵坐标不变20，则；利用待定系数法可得，然后根据两架无人机的最大垂直距离，利用二次函数的性质可得，再利用二次函数的性质结合求得即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点， 设顶点式． 代入点得：，解得：． 所以，即． （2）解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点， 设无人机乙下降过程的函数解析式为：， ，解得：， ∴无人机乙下降过程的函数解析式为：， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． （3）解：垂直距离，分两段讨论： ① 乙起飞段：时，易得：， ， ∴对称轴为， 令，解得：或， 如图，当时，随的增大而增大， ∴时，； ∴的最大值为． ② 乙下降段：时， 令，解得：或， ∴对称轴为， 如图：当时，； 当时，； 当时，； 则当时，时，； 综上，两架无人机的最大垂直距离． （4）解：由乙无人机过和，最高点纵坐标不变20， ∴， 设，顶点横坐标，代入顶点： ，解得：， ∴． 令， ，解得： ∴当时，第一处处于高度相同；当时第二次处于高度相同， ∵“最优垂直距离”指在两机首次、第二次同高的时间x的取值范围为，最大垂直距离的最小值，且， ∴， ∵， ∴两架无人机的最大垂直距离， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为，即当时，随t的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值， ∴当秒时，最优垂直距离最小，最小值为米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $