专题10 弧度制与任意角的三角函数（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 弧度制与任意角的三角函数 【复习目标】 1. 理解弧度制的概念，会弧度制和角度制的转化，掌握终边相同的角、弧长和扇形面积公式. 2. 掌握三角函数的定义、符号，并会求任意角的三角函数值. 【考点1 角的概念】 1．任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2．角的分类 （1）正角:按逆时针方向旋转所形成的角. （2）负角:按顺时针方向旋转所形成的角. （3）零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3．象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4．轴线角 （1）定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. （2）轴线角的表示： 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 5．终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 【即时训练】 1．下列各角的终边与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．第一象限的角一定是锐角 B．锐角一定是第一象限的角 C．小于的角一定是锐角 D．第一象限的角一定是正角 3．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C 4．若角的终边与相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．角的终边落在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．钟表的分针在1.5小时内转了（ ） A．180° B．-180° C．540° D．-540° 7．与800°角终边相同的角可以表示为（ ），． A． B． C． D． 8．设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则 A． B． C． D． 【考点2 弧度制】 1．弧度制概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， ， 3．常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 4．扇形中的弧长公式和面积公式 （1）弧长公式：(是圆心角的弧度数) （2）扇形面积公式：. 【即时训练】 1．方程，的实根为（    ） A． B． C． 或 D．以上都不是 2．下列转化结果正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 3．下列所给的等式中正确的为（ ） A． B． C． D． 4．化为弧度是（       ） A． B． C． D． 5．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 6．若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为，则扇形的面积为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．一个圆形的电子感应装置，半径为 4cm，当有信号触发时，装置边缘的指示灯在 0.1 秒内划过的弧长为 2π cm，指示灯转动的圆心角是（    ）弧度. A． B． C． D． 8． 弧度化为角度是 . 【考点3 任意角的三角函数】 1．任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 【即时训练】 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．若，且，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（       ） A． B． C． D． 5．已知角终边过点，若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 6．已知角的终边过点，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 7．已知角的终边经过点，则下列选项错误的是（ ） A． B．为钝角 C． D．点在第四象限 8．“角为第一象限角”是“”的 条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选一个填写)  1．（2026年·河南对口升学高考第7题）任意角α满足 则α= （ ） A. B. C. D. 2．（2023年·河南对口升学高考第5题）钟表时针每6小时转过的角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 3．（2023年·河南对口升学高考第6题）下列选项中，正确的是（ ） A. 第一象限的角都是锐角 B. C. 三角函数，都是奇函数 D. 4．（2022年·河南对口升学高考第4题）假定此时12点整，那么1个小时后时针与分针的夹角是（ ） A.0 B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 弧度制与任意角的三角函数 【复习目标】 1. 理解弧度制的概念，会弧度制和角度制的转化，掌握终边相同的角、弧长和扇形面积公式. 2. 掌握三角函数的定义、符号，并会求任意角的三角函数值. 【考点1 角的概念】 1．任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2．角的分类 （1）正角:按逆时针方向旋转所形成的角. （2）负角:按顺时针方向旋转所形成的角. （3）零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3．象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4．轴线角 （1）定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. （2）轴线角的表示： 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 5．终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 【即时训练】 1．下列各角的终边与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的定义，角度制度与弧度制的转换即可求解. 【详解】由题意得，与角终边相同的角的集合为. 对A，当时，，故A错误. 对B，D，当时，，故B错误，D正确. 对C，当时，，故C错误. 故选：D. 2．下列说法中，正确的是（    ） A．第一象限的角一定是锐角 B．锐角一定是第一象限的角 C．小于的角一定是锐角 D．第一象限的角一定是正角 【答案】B 【分析】根据象限角的定义逐项判断即可得解. 【详解】是第一象限角，但不是锐角，故选项错误； 锐角是大于小于的角，一定是第一象限的角，故选项正确； 负角也小于，例如但不是锐角，故选项错误； 是第一象限角，但不是正角，故选项错误； 故选：. 3．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C 【答案】B 【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以该选项错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故B C，故选项B正确； 对C，AC，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，A＝B＝C错误. 如在第二象限，但是并不在集合B,C中， 故选：B． 4．若角的终边与相同，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】先找到与角的终边相同的角，即可求解. 【详解】因为角的终边与相同， 所以， 即角的终边与的终边相同， 又是第三象限角，故角是第三象限角. 故选：C. 5．角的终边落在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为，所以角的终边与角的终边相同， 所以角的终边落在第一象限角， 故选：A． 6．钟表的分针在1.5小时内转了（ ） A．180° B．-180° C．540° D．-540° 【答案】D 【解析】根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ， 故选：D． 7．与800°角终边相同的角可以表示为（ ），． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与800°角终边相同的角可以表示为：（）， 即（）， 故选：C. 8．设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解. 【解析】终边在y轴的负半轴上的角的集合为： 或. 故选：C. 【考点2 弧度制】 1．弧度制概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， ， 3．常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 4．扇形中的弧长公式和面积公式 （1）弧长公式：(是圆心角的弧度数) （2）扇形面积公式：. 【即时训练】 1．方程，的实根为（    ） A． B． C． 或 D．以上都不是 【答案】C 【分析】结合正弦函数根的性质求解. 【详解】方程，则： 或，， 因为，所以或， 故选：C. 2．下列转化结果正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】D 【解析】由得， 对于A选项：化成弧度是，故A不正确； 对于B选项：化成角度是，故B不正确； 对于C选项：化成弧度是，故C错误； 对于D选项：化成角度是，D正确， 故选：D. 3．下列所给的等式中正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度制与角度值的换算公式易得A项错误；根据三角诱导公式可判断D项错误，B项显然错误. 【解析】对于选项A，因，故A项错误； 对于选项B，因，故B项错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，因，故D项错误. 故选：C. 4．化为弧度是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B. 5．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵圆心角为，∴ 圆心角的弧度数为， 又扇形的半径为2，∴该扇形的弧长， 故选：B. 6．若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为，则扇形的面积为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设扇形的弧长为，由题得，所以扇形的面积为， 故选：C. 7．一个圆形的电子感应装置，半径为 4cm，当有信号触发时，装置边缘的指示灯在 0.1 秒内划过的弧长为 2π cm，指示灯转动的圆心角是（    ）弧度. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角公式即可得解. 【详解】由题意可知，弧长cm，cm， 所以指示灯转动的圆心角为， 故选：. 8． 弧度化为角度是 . 【答案】 【分析】根据弧度转换为角度的公式计算. 【解析】弧度化为角度为， 故答案为：. 【考点3 任意角的三角函数】 1．任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 【即时训练】 1．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边上一点的坐标求解三角函数值即可； 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以； 所以， 故选：C 2．若，且，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据题意，由任意角的三角函数的符号规律可求解. 【解析】由，可知可能是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴， 由，可知可能是第二、四象限角， 综上所述，是第二象限角. 故选：B 3．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边上点的坐标求出三角函数值进行计算即可解得. 【详解】由题，角的终边过点， 则， ， 则. 故选：B 4．已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点是角α的终边与单位圆的交点，所以， 故选：B． 5．已知角终边过点，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】已知角终边过点， 则，得， 即，则， 解得，因为， 所以， 故选：C. 6．已知角的终边过点，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】角的终边过点，故可得， 解得，故. 故选：D. 7．已知角的终边经过点，则下列选项错误的是（ ） A． B．为钝角 C． D．点在第四象限 【答案】B 【分析】由已知条件可知角为第三象限角，由三角函数的定义求得的值，逐一分析选项即可. 【解析】选项：角的终边经过点，则，故正确； 选项：为第三象限角，不一定为钝角，故错误； 选项：，故正确； 选项：因为，所以点在第四象限，故正确． 故选：. 8．“角为第一象限角”是“”的 条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选一个填写)  【答案】充分不必要 【解析】当角为第一象限角时，，，所以. 当时，，或，. 若，，则角为第一象限角； 若，，则角为第四象限角. 所以“角为第一象限角”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 1．（2026年·河南对口升学高考第7题）任意角α满足 则α= （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】则α在第三象限， 或 结合正切值， 得 故选：D． 2．（2023年·河南对口升学高考第5题）钟表时针每6小时转过的角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据钟表转一圈的时长和弧度分析求解. 【解析】一个完整的圆周角的弧度是，钟表上的时针12小时内会完成一个完整的圆周，即转过弧度数为，∴时针在6小时内转过弧度数就是. 故选：D. 3．（2023年·河南对口升学高考第6题）下列选项中，正确的是（ ） A. 第一象限的角都是锐角 B. C. 三角函数，都是奇函数 D. 【答案】B 【分析】根据象限角的范围，诱导公式化简求值，三角函数奇偶性，同角三角函数平方关系逐项判断即可. 【解析】第一象限的角不一定是锐角，如角在第一象限，但不是锐角，A错误； ，B正确； 三角函数是奇函数，是偶函数，C错误； 角在第二象限，则，，D错误. 故选：B. 4．（2022年·河南对口升学高考第4题）假定此时12点整，那么1个小时后时针与分针的夹角是（ ） A.0 B. C. D. 【答案】D 【解析】1个小时后，时针指在1点整的位置，分针指在12点整的位置，时针与分针的夹角为， 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $