专题7 函数的单调性及最值（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的单调性及最值 【复习目标】 1. 理解函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性. 2. 会判断所给函数的单调性，并会求函数的单调区间. 3. 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法. 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确， 对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误， 对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误， 对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误， 故选：A 2．若函数是减函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为减函数，得出即可得解. 【详解】因为函数是减函数，所以，解得， 故选：. 3．函数的单调区间为（       ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【解析】的对称轴为，开口向上， 所以在在单调递减，在单调递增， 故选：D. 4．下列函数在定义域内单调递减的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，故A错误；   对于B，在定义域上单调递减，故B正确；   对于C，在定义域上单调递增，故C错误；   对于D，在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 5．若是定义在上的减函数，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性即可得解. 【解析】因为是定义在上的减函数，， 所以，解得， 故选：D. 6．若偶函数在区间上是增函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的偶函数的性质和增函数的性质易得答案 【解析】函数为偶函数，则 又函数在区间上是增函数， 因为， 所以，即. 故选：D. 7．已知二次函数在区间上是增函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质列出不等式即可得解. 【详解】二次函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 故选：. 8．下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性的定义所求函数是减函数，再判断具体函数的单调性易得答案. 【解析】由时，，所以函数在上为减函数的函数． A选项，在上为增函数，不符合题意． B选项，在上为减函数，符合题意． C选项，在上为增函数，不符合题意． D选项，在上为增函数，不符合题意． 故选：B． 9．若函数在内不单调，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得的对称轴为， 因为函数在内不单调，所以，得， 故答案为：． 10．函数的定义域为，满足：对于任意，都有，且． (1)求的值； (2)如果，且在上是单调增函数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由已知，令，易求出的值 （2）由（1）和已知条件，找出函数值为3的自变量值，结合函数单调性求解. 【详解】（1）对于任意，都有，且 令 则， （2）， ， 又定义域为且在定义域上是单调增函数， 成立时，满足， 解得 即满足条件的的取值范围为． 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值，即，解得舍去， 所以， 故选：B. 2．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【解析】∵，等号成立当且仅当， ∴函数的最小值是， 故选：C. 3．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【解析】函数在区间是减函数， 所以时有最大值为1，即A=1，时有最小值，即B=， 则， 故选：A. 4．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 5．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为在上单减，所以在上单减， 即在上单减， 所以f(x)的最大值为. 故选：D. 6．函数，则函数在区间内的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可解得. 【详解】由题，函数， 函数对称轴为，且函数图像为开口向上的抛物线， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则在区间内，函数的最大值为，最小值为， 故函数值域为. 故选：A. 7．如图所示为函数，的图象，下列说法正确的是（       ）    A．在上是减函数，在上是增函数 B．在上的最大值为3，最小值为 C．在上有最大值3，最小值 D．当直线与的图象有3个交点时， 【答案】C 【分析】结合函数的图象，分析其单调性与最值判断ABC，分析其与的交点判断D，从而得解. 【解析】对于A，在上是先递增后递减的函数，故A错误； 对于B，在上无最小值，故B错误； 对于C，在处取得最大值3，在处取得最小值，故C正确； 对于D，当直线与的图象有3个交点时，，故D错误. 故选：C. 8．若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【答案】A 【解析】在区间，上是增函数，最小值是， ，又为偶函数， 在，上单调递减， （5）． 即在区间，上的最小值为， 综上，在，上单调递减，且最小值为， 故选：A． 9．若函数在区间上的最大值为6，则 ． 【答案】4 【解析】函数在区间上单调递增， 于是得，解得：， 故答案为：4. 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据待定系数法求解题中二次函数解析式即可； （2）根据二次函数在定区间上的单调性求解即可. 【解析】解：（1）设二次函数为，，由题意得 解得 所以函数． （2）函数，开口向下，对称轴， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以， ． 1．（2024年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D 2．（2023年·河南对口升学高考第2题）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解析】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 3．（2022年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的单调性及最值 【复习目标】 1. 理解函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性. 2. 会判断所给函数的单调性，并会求函数的单调区间. 3. 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法. 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 2．若函数是减函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．函数的单调区间为（       ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 4．下列函数在定义域内单调递减的是（       ） A． B． C． D． 5．若是定义在上的减函数，，则（       ） A． B． C． D． 6．若偶函数在区间上是增函数，则（       ） A． B． C． D． 7．已知二次函数在区间上是增函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 8．下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（       ） A． B． C． D． 9．若函数在内不单调，则实数a的取值范围是 ． 10．函数的定义域为，满足：对于任意，都有，且． (1)求的值； (2)如果，且在上是单调增函数，求的取值范围． 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 2．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 3．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 4．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 6．函数，则函数在区间内的值域为（       ） A． B． C． D． 7．如图所示为函数，的图象，下列说法正确的是（       ）    A．在上是减函数，在上是增函数 B．在上的最大值为3，最小值为 C．在上有最大值3，最小值 D．当直线与的图象有3个交点时， 8．若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 9．若函数在区间上的最大值为6，则 ． 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 1．（2024年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 2．（2023年·河南对口升学高考第2题）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3．（2022年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $