专题9 几种常见的函数及性质（练习）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过分层训练构建函数性质从概念理解到综合应用的完整进阶路径，发展数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|选择1-5、填空6-9|聚焦单调性、图像象限等基础性质判断|从一次函数到反比例函数，构建函数性质认知框架| |综合应用|解答10-12、选择13-17、填空18-21|结合实际问题（面积最值、利润计算）考查性质应用|二次函数与实际情境结合，体现模型意识| |真题再现|3道高考题|覆盖奇偶性、图像综合分析等高频考点|衔接考情，强化知识迁移能力|

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9 几种常见的函数及性质 一、选择题 1．函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 2．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 3．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 4．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x的增大而增大，则一次函数y＝x+k的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 5．设函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6．函数的图象与轴、轴围成的三角形面积为 . 7．原正方形的边长为2，若边长减少，则所得正方形面积与的函数关系是 ． 8．在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象经过点和点，则的值为 . 9．一个电灯泡的使用寿命（小时）与使用功率（瓦）之间的函数关系为，当使用功率为瓦时，电灯泡的使用寿命为 小时. 三、解答题 10．已知关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，求m的值． 11．园林工人计划用长的竹篱笆靠墙围一个矩形苗圃．问苗圃长宽各为多少时，苗圃面积最大，并求出最大值． 12．已知二次函数的顶点坐标为，且图像过点求 （1）二次函数的解析式 （2）二次函数的图像与x轴的交点个数 一、选择题 13．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 14．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（ ） A．1 B．-1 C．-6 D．6 15．已知二次函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 16．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D． 17．某过程收益函数为，成本函数，利润最大时产量为 （    ） A．100 B．120 C．140 D．160 二、填空题 18．在平面直角坐标系中，函数的图像与函数交于点，则 . 19．在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为 . 20．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 . 21．已知二次函数的图像与x轴相交于和，则这个二次函数的对称轴是 . 三、解答题 22．已知函数，关于成正比，关于成反比，且，.求： （1）函数的解析式及其定义域； （2）的值. 23．已知函数． (1)若函数有最小值0，求的解析式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 24．如图所示，某游乐园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，现可供建造围墙的材料总长为米，若使得每间熊猫居室的面积最大. (1)求的长； (2)求每间熊猫居室的最大面积是多少？ 1．（2026年·河南对口升学高考第24题）在矩形ABCD中，米, BC=5米,E、F分别是AB、DC的中点，过A、B、F作圆弧，把线段 AB 与圆弧 AFB 所形成的图形成为圆拱形。 (1)求改圆拱形的面积 (2)根据要求，在圆拱形中画出一个正方形，正方形的一边在 AB上，内接于圆拱形，求正方形面积。 2．（2024年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 3．（2022年·河南对口升学高考第20题）已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9 几种常见的函数及性质 一、选择题 1．函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的性质即可得解. 【解析】因为函数在上是减函数， 则有，解得. 故选：B． 2．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性依次判断各选项即可. 【解析】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 3．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 【答案】A 【解析】，∵，∴图象过二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大； ∵，∴反比例函数图象与坐标轴无交点； ∵，∴图象经过点； 综上，选项B、C、D正确，不符合题意；选项A错误，符合题意； 故选：A． 4．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x的增大而增大，则一次函数y＝x+k的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【解析】∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0， ∵b＝k＞0，∴一次函数y＝x+k的图象经过一、二、三象限， 故选：A． 5．设函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数是一个开口向上，对称轴为的抛物线， 做出函数在范围内的图像可知，函数在处取得最大值，， 在处取得最小值，，所以的取值范围是， 故选：C. 二、填空题 6．函数的图象与轴、轴围成的三角形面积为 . 【答案】6 【解析】∵当时，，解得，∴函数图象与x轴的交点坐标为； 当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为； ∴函数图象与两坐标轴围成的图形的面积为， 故答案为：6． 7．原正方形的边长为2，若边长减少，则所得正方形面积与的函数关系是 ． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式列出函数解析式即可解得. 【详解】由于原来的边长为，故减少后的边长为， 故面积， 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象经过点和点，则的值为 . 【答案】 【解析】设反比例函数的解析式是， ∵反比例函数经过点，∴，即， ∵反比例函数经过点，∴， 故答案为： 9．一个电灯泡的使用寿命（小时）与使用功率（瓦）之间的函数关系为，当使用功率为瓦时，电灯泡的使用寿命为 小时. 【答案】 【分析】将自变量代入函数解析式中即可得解. 【详解】电灯泡的使用寿命（小时）与使用功率（瓦）之间的函数关系为， 将代入，得（小时）， 故答案为：. 三、解答题 10．已知关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，求m的值． 【答案】2 【解析】解：∵关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大， ∴，解得． 11．园林工人计划用长的竹篱笆靠墙围一个矩形苗圃．问苗圃长宽各为多少时，苗圃面积最大，并求出最大值． 【答案】宽为，长为时，苗圃面积最大，最大值为 【分析】根据矩形面积公式，设苗圃宽为，建立二次函数模型，运用顶点式求最值即可. 【详解】设苗圃宽为，则长为，设苗圃面积为， 则， 因为，抛物线开口向下，所以当时，， 所以当宽为，长为时，苗圃面积最大，最大值为. 12．已知二次函数的顶点坐标为，且图像过点求 （1）二次函数的解析式 （2）二次函数的图像与x轴的交点个数 【答案】（1） （2）0 【分析】（1）设二次函数，将点代入函数中求出a的值即可求解. （2）令，根据判别式的结果即可判断. 【解析】解：（1）因为二次函数的顶点坐标为，所以设二次函数， 将点代入函数中为，解得， 所以二次函数的解析式为. （2）因为在方程中，， 所以函数的图像与x轴的交点个数为0. 一、选择题 13．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，代入，判断奇偶性；然后根据函数的形式，判断得出单调性，即可得出答案. 【解析】对于A项，设，定义域为R， 且，所以为奇函数. 当时，在上单调递增，且； 当时，在上单调递增，且. 所以，在定义域上为增函数.故A项正确； 对于B项，设，定义域为R， 且，所以，不是奇函数.故B项错误； 对于C项，设，定义域为R， 且，所以，为偶函数，不是奇函数.故C项错误； 对于D项，设，定义域为， 且，所以为奇函数. 又在上单调递减，上单调递减，故D项错误. 故选：A. 14．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（ ） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【答案】B 【解析】在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为，在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ，解得， 故选：． 15．已知二次函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性与单调性比较大小即可. 【解析】由二次函数， 可知，图像开口向上，有最小值. 且，对称轴为， 所以有当时，为最小值. 又有与关于对称， 所以. 且在为单调递增函数. 所以. 即. 故选：A. 16．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵汽车行驶的路程为：， ∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：， ∵，∴自变量t的取值范围是， 故选：A． 17．某过程收益函数为，成本函数，利润最大时产量为 （    ） A．100 B．120 C．140 D．160 【答案】B 【分析】根据利润=收益-成本，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】收益函数为，成本函数， 设利润为L， 则，为二次函数，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为， 所以当时，利润最大， 故选：. 二、填空题 18．在平面直角坐标系中，函数的图像与函数交于点，则 . 【答案】 【分析】把点代入函数中，求出点A，再把A点带入中，即可求出. 【解析】把点代入函数中，得，故点A为）， 把A点带入中，得，解得，故. 故答案为：. 19．在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为 . 【答案】 【解析】有表格可知：直线过点，则：， 解得：，∴， 当时，， ∴“”表示的数为：， 故答案为：． 20．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论，分别由一次函数和二次函数的单调性分析即可. 【解析】函数在区间上为减函数， 当时，满足题意； 当时，由题可得，解得， 综上， 故答案为： 21．已知二次函数的图像与x轴相交于和，则这个二次函数的对称轴是 . 【答案】 【分析】利用二次函数图像关于对称轴对称的性质即可求解. 【解析】二次函数的图像关于对称轴对称， 即对称轴经过和的中点， 则对称轴为:. 故答案为：. 三、解答题 22．已知函数，关于成正比，关于成反比，且，.求： （1）函数的解析式及其定义域； （2）的值. 【答案】（1），定义域是； （2） 【解析】解：（1）设（，且）， （，且）， 由于，， 所以，， 所以，定义域为 （2）由（1）得，. 23．已知函数． (1)若函数有最小值0，求的解析式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断当时是否符合题意，当时，对称轴为，最小值为，代入中即可求出. （2）首先判断当时是否符合题意，当时，有求解不等式即可. 【解析】（1）已知， 当时，不符合题意，所以，函数为二次函数， 的对称轴为，故当时，有最小值0， 所以，解得， 所以． （2）当时，，此时成立， 当时，要使恒成立， 则，解得， 综上，a的取值范围是． 24．如图所示，某游乐园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，现可供建造围墙的材料总长为米，若使得每间熊猫居室的面积最大. (1)求的长； (2)求每间熊猫居室的最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形的面积为，的长为，则，根据矩形面积公式列式即可求解. （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设矩形的面积为，的长为，则， 所以矩形的面积为， 所以当时，面积最大. （2）由（1）可知矩形的面积为， 所以矩形的最大面积为， 所以每间熊猫居室的最大面积为. 1．（2026年·河南对口升学高考第24题）在矩形ABCD中，米, BC=5米,E、F分别是AB、DC的中点，过A、B、F作圆弧，把线段 AB 与圆弧 AFB 所形成的图形成为圆拱形。 (1)求改圆拱形的面积 (2)根据要求，在圆拱形中画出一个正方形，正方形的一边在 AB上，内接于圆拱形，求正方形面积。 【答案】（1）；(2) 【解析】解：（1）圆弧 AFB 所在圆的半径 R： 圆心在 AB的垂直平分线上，设圆心为O，OE=h，则OF=R，OA=R。 故 圆心角 故 扇形 AOB 面积: 面积： 圆拱形面积： ． (2)内接正方形面积 设正方形边长为x，正方形一边在 AB上，顶点 P，Q在 AB上，R，S在圆弧上。 圆心O到 AB距离为5，故O到 RS距离为5-x，RS=x，半长为 由勾股定理： 解得=16(x=0舍去)，故正方形面积 ． 2．（2024年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D 3．（2022年·河南对口升学高考第20题）已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 【答案】 【解析】解：由是奇函数，故有， 即 得，得； 由得，解得， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $