专题9 几种常见的函数及性质（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 几种常见的函数及性质 【复习目标】 1. 掌握一次函数、反比例函数和二次函数的概念、形式及图像性质. 2. 会利用一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质来解决实际问题. 【考点1 一次函数】 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【即时训练】 1．假设函数是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据一次函数的图像可知，当时，函数是增函数， 故选：A. 2．已知点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把点的坐标代入一次函数中， 得，， ， 故选：C． 3．一次函数的图象经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】C 【解析】∵，，， ∴函数图象经过一、二、四象限， 故选：C． 4．对于函数y＝4x，下列说法正确的是（ ） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】在函数y＝4x中，k＝4＞0，所以y随x的增大而增大． 故选：D． 5．一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 或 【答案】A 【解析】根据题意，一次函数的图象经过第一、二、四象限， 且，解得， 故选：A． 6．已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一次函数的图像和性质即可求解. 【解析】因为一次函数不经过第一象限， 所以函数过二、四象限或者二、三、四象限， 根据一次函数的图像和性质可得，. 故选：A. 7．一辆旅游大巴从甲地开往乙地，出发时油箱中有油 50 升，行驶过程中每千米的耗油量为 0.1 升．设大巴行驶的路程为千米，油箱中的剩余油量为升，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据剩余油量等于初始油量减去行驶路程所消耗的油量来确定函数关系. 【详解】行驶千米的耗油量升， 即剩余油量. 故选： A． 8．一个水库的水位在最近内持续上涨，水位高度与时间之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是 m． 【答案】/ 【分析】分别求出当和时对应函数值，即可得出结论. 【详解】已知， 当时，， 当时，， 每小时水位上升的高度是， 故答案为：． 【考点2 二次函数】 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【解析】由题意得，二次函数的对称轴为，开口向上. 所以在单调递减，在单调递增， 故选：D. 2．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解. 【解析】由题意得，函数的图象的对称轴是. 因为抛物线的开口向上， 要使函数在上是增函数，则. 即a的取值范围为. 故选：D. 3．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元．已知二月份和三月份利润的月增长率相同，设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分别表达出二三月的利润，再求解. 【详解】因为一月份获得利润10万元，且利润的月增长率为， 所以二月份获得利润为万元，三月份获得利润为万元， 进而． 故选：D. 4．抛物线，其中，与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为有两个不同的实根，从而利用判别式即可得解. 【解析】因为抛物线，其中，与x轴有两个交点， 所以有两个不同的实根， 则，解得或. 故选：B. 5．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴距离对称轴越远函数值越大， ∵，，到y轴的距离依次为：2，0，1， ∴． 故选：C． 6．若二次函数的单调减区间为，且函数图像经过点，则a，b的值分别是（ ） A．，16 B．16，8 C．8， D．， 【答案】A 【分析】根据单调减区间判断对称轴,过点联立方程组求出答案. 【解析】根据单调减区间判断对称轴,过点, 得出,所以,. 故选：A. 7．若二次函数的图像如图所示，则下列选项正确的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据数形结合及二次函数性质的综合运用求解即可. 【解析】因为二项函数开口向上，所以； 二次函数对称轴在轴右侧，所以，则； 因为二次函数与轴有两个交点，所以； 因为交点在轴两侧，所以，所以； 综上可知，. 故选：C. 8．如图，在一直角墙角内的点P处有一棵树，它与两墙的距离分别是3米和2米．现欲用10米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃，要求这棵树被围在花圃内或边界上．设米，则矩形花圃的面积 （单位：平方米）为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由篱笆总长10米和米，得出，由矩形面积公式表示出，再由这棵树被围在花圃内或边界上列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】因为米，篱笆总长为10米， 所以米， 所以， 又因为这棵树被围在花圃内或边界上， 所以，解得， 故选：D． 【考点3 反比例函数】 1．反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， 2．反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： 图像 经过象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 【即时训练】 1．下列属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．由原式得到，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意； B．该函数式表示与成正比例关系，故本选项不符合题意； C．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．反比例函数的图像位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例图像，判断图像位置即可. 【解析】对于反比例函数，由题意得，且， 根据反比例函数图像得：该反比例函数图像在第四象限， 故选：D. 3．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， ∵，，∴， 故选：B. 4．函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】画出函数图像，根据函数图象即可判断减区间. 【解析】   由图象可知单调减区间为，， 又因为单调区间有多个单调区间要分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接． 故选：C. 5．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中，当时，，故该选项不符合题意； B选项中，当时，，故该选项不符合题意； C选项中，当时，，故该选项符合题意； D选项中，当时，，故该选项不符合题意； 故选：C. 6．函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合一次函数与反比例函数的性质进行讨论即可求得. 【解析】当时，反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的斜率，在轴上的截距，图像经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的斜率，在轴上的截距，图像经过第一、二、四象限，故B错误，D正确. 故选：D. 7．某装置中压强与受力面积的关系为．当时，从增加到，则压强变化量为（    ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】A 【分析】分别将代入解析式，求出变化前后的压强即可得出压强变化量. 【详解】已知， 初始压强，变化后， 变化量． 所以压强变化量为减少， 故选：A. 8．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 . 【答案】 【解析】∵点、、在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴， 故答案为：. 1．（2026年·河南对口升学高考第24题）在矩形ABCD中，米, BC=5米,E、F分别是AB、DC的中点，过A、B、F作圆弧，把线段 AB 与圆弧 AFB 所形成的图形成为圆拱形。 (1)求改圆拱形的面积 (2)根据要求，在圆拱形中画出一个正方形，正方形的一边在 AB上，内接于圆拱形，求正方形面积。 【答案】（1）；(2) 【解析】解：（1）圆弧 AFB 所在圆的半径 R： 圆心在 AB的垂直平分线上，设圆心为O，OE=h，则OF=R，OA=R。 故 圆心角 故 扇形 AOB 面积: 面积： 圆拱形面积： ． (2)内接正方形面积 设正方形边长为x，正方形一边在 AB上，顶点 P，Q在 AB上，R，S在圆弧上。 圆心O到 AB距离为5，故O到 RS距离为5-x，RS=x，半长为 由勾股定理： 解得=16(x=0舍去)，故正方形面积 ． 2．（2024年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D 3．（2022年·河南对口升学高考第20题）已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 【答案】 【解析】解：由是奇函数，故有， 即 得，得； 由得，解得， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 几种常见的函数及性质 【复习目标】 1. 掌握一次函数、反比例函数和二次函数的概念、形式及图像性质. 2. 会利用一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质来解决实际问题. 【考点1 一次函数】 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做 ，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做 。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【即时训练】 1．假设函数是增函数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 4．对于函数y＝4x，下列说法正确的是（ ） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 5．一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 或 6．已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．一辆旅游大巴从甲地开往乙地，出发时油箱中有油 50 升，行驶过程中每千米的耗油量为 0.1 升．设大巴行驶的路程为千米，油箱中的剩余油量为升，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 8．一个水库的水位在最近内持续上涨，水位高度与时间之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是 m． 【考点2 二次函数】 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 2．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元．已知二月份和三月份利润的月增长率相同，设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线，其中，与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 5．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．若二次函数的单调减区间为，且函数图像经过点，则a，b的值分别是（ ） A．，16 B．16，8 C．8， D．， 7．若二次函数的图像如图所示，则下列选项正确的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 8．如图，在一直角墙角内的点P处有一棵树，它与两墙的距离分别是3米和2米．现欲用10米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃，要求这棵树被围在花圃内或边界上．设米，则矩形花圃的面积 （单位：平方米）为（ ）    A． B． C． D． 【考点3 反比例函数】 1．反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， 2．反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： 图像 经过象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 【即时训练】 1．下列属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图像位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 5．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 6．函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．D． 7．某装置中压强与受力面积的关系为．当时，从增加到，则压强变化量为（ ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 8．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 . 1．（2026年·河南对口升学高考第24题）在矩形ABCD中，米, BC=5米,E、F分别是AB、DC的中点，过A、B、F作圆弧，把线段 AB 与圆弧 AFB 所形成的图形成为圆拱形。 (1)求改圆拱形的面积 (2)根据要求，在圆拱形中画出一个正方形，正方形的一边在 AB上，内接于圆拱形，求正方形面积。 2．（2024年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 3．（2022年·河南对口升学高考第20题）已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $