专题8 函数的奇偶性及周期性（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的奇偶性及周期性 【复习目标】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性. 2. 掌握奇偶函数的图像性质，会用其解决有关问题. 3. 理解函数周期性的概念，并会求函数的周期. 【考点1 函数的奇偶性】 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 1．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．设定义域在上的函数,则是（    ） A．增函数 B．减函数 C．既是增函数又是减函数 D．以上都不是 3．已知在上是偶函数，当时，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．在上为增函数 4．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ） A． B．2 C． D．1 5．已知定义在上的偶函数在上是减函数，则（       ） A． B． C． D． 6．已知函数为偶函数，则（       ） A． B． C． D． 7．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（       ） A．5 B． C．3 D． 8．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（       ） A．10 B．5 C．3 D．2 9．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知奇函数在定义域内是增函数，且满足求实数的取值范围. 【考点2 函数的周期性】 1．周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即时训练】 1．下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 2．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 3．若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 4．已知偶函数的定义域为R，当时，满足，当时，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=（       ） A． B． C．0 D． 6．已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 9．设是定义在上的周期为6的偶函数，且在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 10．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 1．（2026年·河南对口升学高考第5题）设函数 其图象关于（ ） A.原点对称 B.直线 y=对称 C. 轴对称 D. y轴对称 2．（2024年·河南对口升学高考第24题）函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 3．（2023年·河南对口升学高考第2题）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4．（2023年·河南对口升学高考第22题）求证函数为奇函数． 5．（2022年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的奇偶性及周期性 【复习目标】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性. 2. 掌握奇偶函数的图像性质，会用其解决有关问题. 3. 理解函数周期性的概念，并会求函数的周期. 【考点1 函数的奇偶性】 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 1．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义和函数的单调性即可求解. 【详解】函数和是上的奇函数，故A，C选项错误； 函数是上的偶函数，但在上单调递减，故B选项错误； 函数是上的偶函数，在上单调递增，故D选项正确. 故选：D. 2．设定义域在上的函数,则是（    ） A．增函数 B．减函数 C．既是增函数又是减函数 D．以上都不是 【答案】A 【分析】由函数奇偶性单调性即可得解. 【详解】的定义域为. . 所以为奇函数,图像关于原点对称. 在上任取两点且. . 所以在上为增函数. 因为为奇函数,所以在上为增函数. 故选:. 3．已知在上是偶函数，当时，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．在上为增函数 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】在上是偶函数，当时， 所以，故错误；，故正确； ，故错误； 当时，，为增函数，因为函数在上是偶函数，图像关于轴对称， 所以当时，函数为减函数，故错误， 故选：. 4．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由奇函数的性质可知   a=2， ， 故选：D. 5．已知定义在上的偶函数在上是减函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得解. 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以； 因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图像关于轴对称， 又因为在上是减函数， 所以函数在上是增函数； 因为， 所以， 即， 故选：． 6．已知函数为偶函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，当时，则，即，， ∵为偶函数，∴，即， ∴，，∴， 故选：. 7．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（       ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由得：， 因为分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以 ， 故可解得：， 故选：B. 8．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（       ） A．10 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【解析】函数是定义在上的偶函数， 所以，且，所以， 所以， 所以， 故选：B. 9．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性，即可求解． 【详解】函数是定义在上的偶函数，在上是增函数， 在上是减函数， ，在上是减函数， 当时，使得的的取值范围是， 函数是定义在上的偶函数，， ， ，在上是增函数， 当时，使得的的取值范围是， 综上可得使得的的取值范围是. 故选：C． 10．已知奇函数在定义域内是增函数，且满足求实数的取值范围. 【答案】 【分析】 依据函数的单调性与奇偶性求解. 【详解】由，即， 因为是奇函数，所以， 则 ， 又因为在定义域内是增函数， 所以， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 【考点2 函数的周期性】 1．周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即时训练】 1．下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数，不是周期函数， 故选：C. 2．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【解析】因为函数是周期为2的周期函数， 所以为的周期，即， 所以， 故选：A. 3．若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题知是上周期为的奇函数， 所以有， ， 故， 故选：D. 4．已知偶函数的定义域为R，当时，满足，当时，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的周期性和奇偶性，即可求解. 【详解】因为当时，函数满足， 所以当时，函数是周期为4的函数， ， 又函数是定义域为R的偶函数，当时，， 所以， 所以. 故选：C． 5．已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=（       ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数的周期性和奇函数的定义，结合题意即可求解. 【解析】对任意，都有， 函数为周期为6的周期函数， ， 又函数为奇函数，且， ， 故选：A． 6．已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】， ，， ， 故选：A. 7．已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足对， 所以函数的最小正周期为， 又时，， 因此， 故选：C. 8．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】函数是定义在上周期为4的奇函数, , 又, 所以， 故选：A. 9．设是定义在上的周期为6的偶函数，且在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的周期性、奇偶性、单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的周期为6的偶函数， 所以，，， 又函数在上是减函数， 所以，即. 故选：C. 10．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 【答案】, 【解析】解:由题意可知,; ． 1．（2026年·河南对口升学高考第5题）设函数 其图象关于（ ） A.原点对称 B.直线 y=对称 C. 轴对称 D. y轴对称 【答案】 D 【解析】 故函数为偶函数， 图象关于y轴对称． 故选：D． 2．（2024年·河南对口升学高考第24题）函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）由，令可得；再由得函数周期为，令可得； （2）因为时，，由函数的周期性可将转化为，再求解的解析式即可. 【解析】 【小问1详解】 函数对任意满足成立， 在中，令， 得，所以 因为 所以．即 所以函数的周期， 令得且 所以，即； 【小问2详解】 由（1）知函数的周期为2， 当时， 所以. 3．（2023年·河南对口升学高考第2题）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解析】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 4．（2023年·河南对口升学高考第22题）求证函数为奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用奇函数的定义即：定义域关于原点对称且满足，再结合指数幂的运算法则，即可证明. 【解析】证明：对于函数，由分母不为0得，解得， 即该函数的定义域为. 对于任意都有，故定义域关于原点对称. 又∵ ∴函数是奇函数 5．（2022年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $