专题11 几何探究与新定义阅读理解题（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题11 几何探究与新定义阅读理解题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 以数与式为背景的新定义阅读理解类问题 题型02 以方程与不等式为背景的新定义阅读理解类问题 题型03 以函数为背景的新定义阅读理解类问题 题型04 以几何为背景的新定义阅读理解类问题 模块三、综合实战演练 一、新定义阅读理解类问题求解的优先策略： 核心逻辑：先稳解定义，再轻推本质，后用旧知识转化求解，全程紧扣“定义无偏差、转化不超纲、验证必贴合”，优先做无容错的基础步骤，再突破延伸问。 1. 优先精读定义，圈画核心要素（最关键前置步） 先慢读题干，圈定新定义的关键词、符号规则、限定条件（如取值范围、图形特征、运算前提、特殊约定），避免漏看细节导致转化错误； 对抽象定义（如几何新图形、代数新运算），举简单例子验证理解（如代入具体数/画简易图），确认自己对定义的解读和命题意图一致，此步不省，否则后续全错。 2. 优先拆解定义，转化为已知知识（核心破题步） 将新定义“翻译”成已学的基础知识点，不纠结定义本身的陌生性，只关注其本质特征： · 代数类（数式/方程/函数）：新运算→常规四则/因式分解，新关系→等式/不等式/函数解析式； · 几何类：新图形/新关系→全等/相似、勾股定理、圆的性质等常规几何模型； · 跨模块类：先拆分定义中的代数+几何成分，再分别转化为对应模块知识，再找关联。 3. 优先解决小问/基础问，以问反推定义深层内涵 新定义题多为“阶梯式设问”，先做第1小问（多为直接套用定义的简单计算/判定），一方面通过实操巩固对定义的理解，另一方面第1小问的结论往往是后续大题的解题铺垫； 若首问卡壳，回头重新精读定义，大概率是漏看了限定条件或对规则解读有误。 4. 优先用“数形结合”辅助，简化抽象定义 遇抽象的代数新定义（如函数新特征、新距离），优先画图象/列表格，将定义的规则直观化； 遇几何新定义（如新型角/线/图形），优先画标准图，标注定义中的核心特征（如相等边、固定角、特殊位置），借助图形找到常规几何关系。 5. 优先设参列式，用“方程思想”解决含未知量问题 遇定义中涉及未知量（参数、动点坐标、未知线段/角度），优先设单一参数表示未知量，再严格按定义规则列等式/不等式，将新定义问题转化为“解方程/解不等式/求函数最值”的常规代数问题，减少思维量。 6. 优先验证结果，贴合定义所有限定条件 求解后第一时间验证结果是否符合新定义的全部要求（如取值范围、图形存在性、运算前提），排除“符合旧知识但违反新定义”的无效解； 对多解问题，逐一验证，确保每一个解都贴合定义，不遗漏、不增解。 通用避坑优先原则 · 不优先钻定义的“深层拓展”，先保证基础套用准确； · 不优先用复杂技巧，先靠“直译定义+基础公式”求解，复杂技巧仅作辅助； · 不优先跳步计算，尤其是新运算/新几何关系的套用，分步写清，避免因步骤跳脱导致规则套用错误。 题型01 以数与式为背景的新定义阅读理解类问题 1．我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题． (1)填空：已知，，则______． (2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值． 小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值．                                          图3 ③在②的结论下， 或9， 若，求的值． 【答案】(1)19 (2)①4，5，12；②或9；③ 【分析】（1）由可知，，代入已知条件，从而求得的值； （2）①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为12； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值； ③先求出，运用将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴， 即； （2）解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y， 根据每个圆圈上的三个数字之和相等， 可得：， 解得：， ∴两个空白“□”中，从左到右依次应填4，5， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， ∵每个圆圈上的三个数字之和为S， ∴， ∴得：， 即， 即， ∵所有填入的数字之和为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，S为整数， ∴或9； ③∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由②得或9， 当时，， ∴； 当时， ∴， 则是方程的两个根， ∵， ∴此情况不存在，舍去； ∴． 2．阅读下列材料：教科书中这样写到：“我们把和这样的式子叫完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫配方法，即将多项式（，为常数）写成（，为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，可以解决一些与非负数有关的问题．请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方：________． (2)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握配方法和平方的非负性． （1）直接配方即可； （2）配方得，即可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：是等边三角形，理由如下： ， ， ，，， ， 是等边三角形． 3．【课内链接】 我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有： （1）； （2）．（填空） 【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法． 例如： ∵（一个数的平方为非负数） ∴（不等式的性质2） ∴（不等式的性质1） 即：， ∴最小值为 将配方成的形式：则 ； ； ；（填空） 【拓展应用】如果，求P的最小值． 【答案】课内链接：（1）5；（2）36，6；理解新知：，，；拓展应用：P的最小值是2026 【分析】本题主要考查了完全平方公式、配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 课内链接：（1）根据完全平方公式，找出对应的项，计算的值； （2）同理，根据完全平方公式，先确定的值，再确定的值； 理解新知：按照配方法步骤，先提取二次项系数，再对括号内式子配方，转化为的形式，确定、、； 拓展应用：用配方法将式子转化为的形式，利用平方的非负性求最小值． 【详解】解：课内链接：（1）， 故答案为：5； （2）， 故答案为：36，6； 理解新知：， ∴，，， 故答案为：，，； 拓展应用：， ， ， ， 即的最小值是2026 4．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算、“相伴数对”的定义，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据“相伴数对”的定义代入计算； （2）根据“相伴数对”的定义写出一个“相伴数对”； （3）根据“相伴数对”的定义得到m、n 的关系，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算得到答案． 【详解】（1）解：∵是“相伴数对”， ∴， 解得； （2）（答案不唯一）； 满足 （3）由是“相伴数对”可得，即， 即， 则原式． 5．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴，     ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，理解“倒数求值法”，再根据分式的运算进行求解是解题的关键． （1）先求，再求，即可求解． （2）先求，再求，即可求解． （3）由（1）、（2）的方法可得，将所求式子化简，代入求值即可． 【详解】（1）解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为2的倒数，即． （2）由，得到， 即， ∴， 则； （3）根据题意得：，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 核心：把新定义的符号/运算规则，转化为常规的数、整式、分式运算。 1. 细抠定义：明确新符号/运算的规则（如新运算），标注限定条件； 2. 代入转化：将已知数/式按定义代入，转化为加减乘除、因式分解、化简求值等常规运算； 3. 关键：注意运算顺序和符号，含参数时结合整式性质求解，验证结果符合定义限定。 题型02 以方程与不等式为背景的新定义阅读理解类问题 1．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法，根据新定义运算的含义把二次不等式化为一次不等式组是解本题的关键； （1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得①或②，解不等式组即可； （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得①或②，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：， 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负” 有①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以一元二次不等式的解集是或； （2）， 由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 有①或②， 解不等式组①得：， 解不等式组②无解， 所以不等式的解集是． 2．对，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：. 已知，， (1)求，的值； (2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的值分别为1，3 (2) 【分析】（1）已知T的两对值，分别代入T中计算，求出a与b的值即可． （2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出的范围即可． 【详解】（1）解：由，， 得，， 整理得：， 解得， 故答案为：a，b的值分别为1，3． （2）解：由（1）得， 则不等式组 化为 解得. ∵不等式组恰好有3个整数解，即， ∴， 解得． 故答案为：． 3．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”； (2)若关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值； (3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) 或 ； (3) 【分析】（1）分别解出两个方程，再根据新定义，即可求解； （2）分别解出两个方程，再根据新定义，得到，再根据m为正数，即可求解； （3）分别解出两个方程，再根据新定义，得到 ，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 2x＝5x﹣12， 解得： ， 3（y﹣1）﹣y＝1， 去括号得： ， 解得： ， ∴ ， ∴关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”； （2）解：x﹣＝n﹣1， 去分母得： ， 解得： ， 2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m 去括号得： ， 解得： ， ∵关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”， ∴， 即 ， ∴ 或， 即 或 ∵m为正数， ∴ 或 ； （3）解：sx+t＝h，解得： ， s（y﹣k+1）＝h﹣t，解得： ， ∵关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”， ∴， 解得： ， 即． 4．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)已知①，②，③，试判断方程的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”； (2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当实数a、b、c满足且时，恒为方程与不等式组的“理想解”，求t、s的取值范围． 【答案】(1)方程的解是的“理想解” (2) (3)，且满足. 【分析】（1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论； （2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果； （3）先由且得出a、c的取值范围，把代入方程中，得出m的取值范围，把代入不等式组得m的不等式组，进而根据m的取值范围得出t与s的不等式组，进而用巧妙的办法解此不等式组便可得出答案． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：，即方程的解为， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； ∴方程的解是的“理想解”； （2）解：把代入得2， ∴， 把代入不等式组，得， 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）∵且， ∴，， 把代入方程中，得， 设， ∴， ∵，即， ∴， ∴ 把代入不等式组得， 解得，， ∵恒为方程与不等式组的“理想解”， ∴使恒成立， ∴， ∴，， ∴， ∴，且满足． 5．如果关于x的一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则c= （2）若方程（a≠0）是倍根方程，且相异两点M(1+t，s)，N(4-t，s)，都在抛物线上，求一元二次方程（a≠0）的根． 【答案】（1）2；（2）x1=，x2= 【分析】（1）利用韦达定理求解即可． （2）求二次函数的对称轴可得，再根据，即可求出一元二次方程（a≠0）的根． 【详解】（1）由韦达定理得 ∵一元二次方程是“倍根方程” ∴ ∴ 解得． （2）∵方程（a≠0）是倍根方程， ∴不妨设 ∵相异两点M(1+t，s)，N(4-t，s)，都在抛物线上 ∴抛物线的对称轴为 ，即 故一元二次方程（a≠0）的根为． 核心：将新定义条件转化为方程、不等式（组），用解方程、解不等式的常规方法求解。 1. 转译条件：把新定义的数量关系（如新“方程解”“不等关系”）翻译为常规等式/不等式； 2. 建模型：根据转译后的式子，建立一元一次/二次方程、不等式（组）模型； 3. 求解验证：用解方程、不等式的方法求根/解集，结合新定义的限定条件（如正整数解、唯一解）筛选有效结果。 题型03 以函数为背景的新定义阅读理解类问题 1．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2． (1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值； (3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值． 【答案】(1)②，7； (2) (3)a=2或a=-2． 【分析】（1）分别求出两个函数的函数值范围即可得解； （2）先求出函数值的范围，再由已知得到关于a，b的等式，即可得到解答； （3）把原函数配方，再根据已知得到关于a的方程，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴有上界函数为②，其上确界为7， 故答案为②，7； （2）解：由已知可得， ∴， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， ∴a=2或a=-2． 2．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 (1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ． 【深入探究】 (2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 (3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和 (2)点的坐标为 (3)①顶点为或顶点为；②存在，或或 【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可． （2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可． （3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可． ②设与对称轴的交点为，用含的式子表示出点的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含的式子分别表示出点到直线的距离和点到直线的距离，根据点到直线的距离与点到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为， 极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为． 故答案为： 和． （2）抛物线经过点， ∴ ∴ ∴， 解得 ∴点D的坐标为． （3）①设与对称轴交于点，若，则．    ∵点C的坐标为，点D的坐标为．． ∴， ∴， ∴， 解得． ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点为， ∴当时，，故顶点为； ∴当时，，故顶点为； ∴顶点为或顶点为． 存在，或或． 如图，设与对称轴的交点为．    由知，，抛物线的顶点为，∴抛物线的极限分割线：， 直线垂直平分， ∴直线：， ∴点到直线的距离为； 直线与直线关于极限分割线对称， 直线： ， ∵， ∴点到直线的距离为， 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得或或， 故或或． 3．设二次函数的图像的顶点分别为当 且开口方向相同时，则称是的“反倍顶二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”； (2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求n的值． 【答案】(1)反倍顶二次函数的解析式为 (2) 【分析】（1）先求出二次函数的顶点坐标，再根据题意写出它的反倍顶二次函数的顶点坐标，再根据开口方向相同即可写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”. （2）先写出的顶点坐标，再写出的顶点坐标，再根据反倍顶二次函数的定义列出两个顶点坐标之间的关系式，即可求出n的值. 【详解】（1）∵ ∴     ∴二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为， ∴反倍顶二次函数的解析式为； （2）    的顶点坐标为， ， 顶点坐标为， 由于函数恰是的“反倍顶二次函数”，     则， 解得：. 4．一般地，在画一个图形关于某点的中心对称图形时，首先找到对称中心，将关键点与对称中心相连，并延长至等长，最后将所得的对应点连接即可得到对称图形．若将函数C1的图象沿某一点旋转180度，与函数C2的图象重合，则称函数C1与C2关于这个点互为“中心对称函数”，这个点叫作函数C1、C2的“对称中心”，如：求函数的关于（1，0）的中心对称函数，可以在函数上取（0，0）和（1，1），两个点关于（1，0）中心对称点分别是（2，0）和（1，），这样我们就可以得到函数关于（1，0）中心对称函数． （1）求函数关于（1，0）的中心对称函数； （2）若函数C1：，对称中心是（0，），此时C1的关于（0，）的中心对称函数C2的图象与函数的图象有且只有一个交点，求b的值； （3）若函数C1：，对称中心是（1，10），当时，此时函数C1关于（1，10）的中心对称函数C2的图象与函数的图象始终有交点，求k的取值范围． 【答案】（1）y=3x-8；）（2）b=；（3）≤k≤2． 【分析】（1）由“中心对称函数”的概念解答即可； （2）在函数求出两个点关于（0，）的中心对称点，则得到函数 的解析式，再根据C2的图象与函数的图象有且只有一个交点，得△=0，求出b即可； （3）求出函数C1：关于（1，10）的中心对称函数 ，再根据C2的图象与函数的图象始终有交点，得△≥0，求出k，再根据x的取值范围对k进行检验． 【详解】解：（1）由题意得：可在上取（0，2）和（-，0）， 两个点关于（1，0）的中心对称点分别是（2，-2）和（）， 则得到函数关于（1，0）的中心对称函数y=3x-8； （2）可在函数：y=2x+b上取（0，b）和（- ）， 两个点关于（0，）的中心对称点分别是（0，-3b）和（）， 则得到函数y=2x+b关于（0，）的中心对称函数： y=2x-3b， 又∵函数C2的图象与函数的图象有且只有一个交点， ∴2x+b=- 2 △= b= （3）在函数C1：上取（0，11）、（1，12），两个点关于（1，10）的中心对称点分别是（2，9）、（1，8）， 则得到函数 的解析式：y=-， 当x=4时，y=5，∴A(4，5)， ∵函数C2的图象与函数的图象在0≤x≤4上始终有交点， ∴-=kx+3k ∴- ∵△==0 ∴=0 解得：， 把A(4，5)代入y=kx+3k得k=， ∴k的取值范围为≤k≤2． 5．（1）阅读下面的材料： 如果函数＝f（）满足：对于自变量x的取值范围内的任意，， （1）若＜，都有f（）＜f（），则称f（）是增函数； （2）若＜，都有f（）＞f（），则称f（）是减函数． 例题：证明函数f（）＝（＞0）是减函数． 证明：设0＜＜， f（）﹣f（）＝＝＝． ∵0＜＜， ∴﹣＞0，＞0． ∴＞0.即f（）﹣f（）＞0． ∴f（）＞f（）． ∴函数f（）＝（＞0）是减函数． （2）根据以上材料，解答下面的问题： 已知：函数f（）＝（＜0）， ①计算：f（﹣1）＝　 　，f（﹣2）＝　 　； ②猜想：函数f（）＝（＜0）是　 　函数（填“增”或“减”）； ③验证：请仿照例题证明你对②的猜想． 【答案】①，；②增；③见解析 【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题； （2）由（1）答案可得结论； （3）根据题目中例子的证明方法可以证明（2）中的猜想成立． 【详解】解：①∵， ∴，； ②由（1）可知，-1<-2时，有， ∴函数f（）＝（＜0）是增函数； ③证明：设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝3（x1﹣x2）＋ ， ∵x1＜x2＜0，∴x2﹣x1＞0，x1＋x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， ∴f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）＝（x＜0）是增函数． 核心：融合新定义与函数性质，将定义条件转化为函数解析式、坐标关系，结合函数图象与性质求解。 1. 结合函数：把新定义规则（如新“函数点”“距离”“对称”）代入函数解析式，转化为坐标运算、解析式变形； 2. 数形结合：画出函数草图，结合新定义标注关键点/范围，利用函数的增减性、最值、交点等性质分析； 3. 关键：含动点时设坐标，按定义列等式/不等式，求解后验证点在函数图象上。 题型04 以几何为背景的新定义阅读理解类问题 1．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形为“直等补”四边形； （2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可； （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC, 由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE ∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠F+∠BED=180°， ∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°， 故满足“直等补”四边形的定义， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）∵四边形是“直等补”四边形，AB=BC， ∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°， 如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， 则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE ∴D、C、F共线， ∴四边形EBFD是正方形， ∴BE=FD， 设BE=x，则CF=x-1， 在Rt△BFC中，BC=5， 由勾股定理得：，即， 解得：x=4或x=﹣3(舍去)， ∴BE=4 （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5, 则NP=NC，MT=MC, ∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT 当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT， 过P作PH⊥BC，交BC延长线于H， ∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH, ∴△BCF∽△PCH, ∴, 即， 解得：, 在Rt△PHT中，TH=, , ∴周长的最小值为． 2．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． 【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”． ①若，则________； ②若．且时．则_______； 【拓展提升】（2）如图，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中之间的数量关系是 ，并证明这种关系； 【类比应用】（3）如图3，在四边形中，,平分； ①求证：四边形是“对补四边形”； ②如图4，连接，当，且时，求的值． 【答案】（1）①，②；（2），理由见解析；（3）①见解析，②． 【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合，即可求得答案； ②根据“对补四边形”的定义，由，得，再利用勾股定理即可求得答案； （2）延长至点，使得，连接，根据“对补四边形”的定义，可证明，继而证明，从而可得结论； （3）①过点作于点，于点，则,可证，进而可证四边形是“对补四边形”； ②设，则根据，再运用建立方程，解方程即可求得． 【详解】（1）， 设， 根据“对补四边形”的定义， ， 即， 解得， ， ， ． 故答案为：． ②如图1，连接， ，， ， 在中 ， 在中 ， ， ， ， 故答案为：． （2），理由如下： 如图2，延长至点,使得，连接， 四边形是“对补四边形”， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， , ， ， 即， 故答案为：． （3）①证明：如图3，过点作于点，于点， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， 与互补， 四边形是“对补四边形”； ②由①可知四边形是“对补四边形”， ， ， ， 设，则 ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：． 在中，， ． 3．定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”. 理解： ⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）； ⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由； 运用： ⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（，），（，）． 【详解】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解． 试题解析： （1）如图1所示： （2）△AEF是否为“智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为4a， ∵E是DC的中点， ∴DE=CE=2a， ∵BC：FC=4：1， ∴FC=a，BF=4a﹣a=3a， 在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2， 在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2， 在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2， ∴AE2+EF2=AF2， ∴△AEF是直角三角形， ∵斜边AF上的中线等于AF的一半， ∴△AEF为“智慧三角形”； （3）如图3所示： 由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为3， 由勾股定理可得PQ=， PM=1×2÷3=， 由勾股定理可求得OM=， 故点P的坐标（﹣，），（，）． 4．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：①如图1，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由； (3)问题解决：如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、，，已知，．求的长度． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，见解析 (2)①，见解析；②四边形是矩形，见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在中，点为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，，再由（1）可得，，，从而判定四边形是矩形； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形， 连接、，如图所示： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是垂美四边形； （2）①，理由如下， 如图，已知四边形中，，垂足为， ∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴； ②四边形是矩形，理由如下， 如图，连接AF， ∵在中，点为斜边的中点， ∴， ∵和是等腰三角形， ∴，， 由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （3）连接、，如图所示： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴． 5．【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形． 【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形． 【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：． 【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）过点A作，垂足为E，则四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据和是等边三角形，可得，，即有，利用点B、D、C在同一直线，可判断与是旋转相似三角形； （2 ）根据与是旋转相似三角形，得，即有，，可证，得，可得，根据可得．可证，即可求证； （3）过点A作，垂足为E，连接，可证得，可得，，可证，可求得，，设，则，可得方程，可得，根据利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，可证四边形是矩形． 【详解】证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵点D在边上， ∴点B、D、C在同一直线， ∴与是旋转相似三角形； （2）证明：与是旋转相似三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点A作，垂足为E，则四边形是矩形， 理由：连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． 核心：拆解新定义的几何特征（如新型图形、新距离、新角），转化为三角形、四边形、圆的常规性质与定理。 1. 解构定义：明确新几何概念的核心特征（如新型线/角/图形的判定、新距离的计算规则），结合几何图形标注； 2. 转化模型：将新定义问题转化为全等/相似证明、线段/角度计算、最值求解、图形判定等常规几何问题； 3. 关键：巧用几何辅助线（如作垂线、连对角线、构全等），结合勾股定理、圆周角定理、相似性质等推导，验证图形存在性。 1．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时， 解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，， ，，或． 解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 原方程的解为或． 解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 问题：结合上面阅读材料，解下列方程： (1)解方程： (2)解方程： 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）类比解法一即可求解； （2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解． 【详解】（1）解：移项得， 合并得， 两边同时除以得， 所以， 所以或； （2）解：当时，原方程可化为，解得，符合； 当时,原方程可化为，解得，符合； 当时，原方程可化为，解得，不符合． 所以原方程的解为或． 2．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题： (1)如图1，试判断点E是否是四边形的边AB上的相似点，并说明理由． (2)如图2，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形的边AB上的强相似点． (3)如图3，将矩形沿着CM折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系． 【答案】(1)点E是四边形的边AB上的相似点，理由见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）要证明点E是四边形的边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明所以问题得解． （2）以为直径画弧，取该弧与的一个交点即为所求； （3）由点E是矩形的边上的一个强相似点，得根据相似三角形的对应角相等，可求得利用含30°角的直角三角形性质可得与，边之间的数量关系，从而可求出与边之间的数量关系． 【详解】（1）， ， ， 在和中， ∵ ∴点E是四边形的边上的相似点． （2）如图所示：点E是四边形的边上的强相似点， （3）∵点E是四边形的边上的一个强相似点， ， ， 由折叠可知： ， ， ， 在中，， ∴． 3．定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组：是：的“子集”． (1)若不等式组：：，：，则其中______不等式组是不等式组：的“子集”填或； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是______； (3)已知，，，为不互相等的整数，其中，，下列三个不等式组：：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”，求的值． 【答案】(1)A (2) (3)-4 【分析】（1）求出不等式组A与B的解集，利用题中的新定义判断即可 （2）根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （3）根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：：的解集为，：的解集为，：的解集为， 则不等式组是不等式组的子集， 故答案为：； （2）关于的不等式组是不等式组的“子集”， ， 故答案为：； （3），，，为互不相等的整数，其中，， ：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”， ，，，， 则， 4．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，雅系二元一次方程“”化为，其“完美值”为． (1)“雅系二元一次方程”的“完美值”是______； (2)是“雅系二元一次方程“”的“完美值”，求m的值； (3)“雅系二元一次方程（，k是常数）”存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)x=1 (2)m=-6 (3)当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=． 【分析】（1）由已知得到式子x=-5x+6，求出x即可； （2）由已知可得x=3x+m，将x=3代入即可求m； （3）假设存在，得到x=kx+1，所以（1-k）x=1，当k=1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=． 【详解】（1）解：由已知可得，x=-5x+6， 解得x=1， ∴“雅系二元一次方程”y=-5x+6的“完美值”为x=1； （2）解：由已知可得x=3x+m， ∵x=3， ∴m=-6； （3）解：若“雅系二元一次方程”y=kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”， 则有x=kx+1， ∴（1-k）x=1， 当k=1时，不存在“完美值”， 当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=． 5．【阅读材料】 我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 【理解应用】 （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题 ①已知，，求ab的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）；（2）①8；②2 【分析】（1）根据面积公式阴影部分面积为两个正方形的面积之和，，也可以是大正方形面积-两个丙正方形的面积，由此即可得出等式； （2）①根据（1）的结论代入，即可得到，进而得出答案；②利用完全平方公式，进行变形即可求解． 【详解】解：（1） （2）①由（1）知：， ，所以． ② 6．阅读下列材料，并完成相应任务． 黄金分割 天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”．历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆．19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为．用下面的方法（如图（1））就可以作出已知线段AB的黄金分割点H； ①以线段AB为边作正方形ABCD； ②取AD的中点E，连接EB； ③延长DA到点F，使； ④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点． 以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程． 证明：设正方形ABCD的边长为1，则． ∵点E为AD的中点，∴． 在中，，∴， ∴．…… 任务： (1)补全题中的证明过程． (2)如图（2），点C为线段AB的黄金分割点（），分别以AC，BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连线BD，BE．求证：． (3)如图（3），在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N．求证：点M是AD的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）设正方形ABCD的边长为1，则．可得．由勾股定理可得，从而得到． 即可求证； （2）设AC的长为1，可得，从而得到，再由四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，可得，∠A=∠BCD=90°，从而得到， ，即可求证； （3）证明△AEM∽△ADE，即可求证． 【详解】（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则． ∵点E为AD的中点， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵四边形AFGH为正方形， ∴， ∴， ∴点H是线段AB的黄金分割点． （2）证明∶设AC的长为1， ∵点C为线段AB的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， ∴，∠A=∠BCD=90°， ∴， ， ∴ ， ∴； （3）证明：在正五边形ABCDE中，AE=DE=AB，， ∴∠ABE=∠AEB=∠DAE=∠ADE=36°， ∴∠DEM=∠AED-∠AEB=72°，AM=EM， ∴∠DME=72°， ∴∠DME=∠DEM， ∴DM=DE=AE， 设DM=1， ∵∠AEM=∠ADE，∠EAM=∠EAD， ∴△AEM∽△ADE， ∴，即， 解得：或（舍去）． ∴， 即点M是AD的黄金分割点． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'． (1)求a，b，c的值； (2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式； (3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）． ①直接写出m的取值范围； ②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值． 【答案】(1)a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3 (2)y＝x2﹣10x+21（x≥3）；图见解析 (3)①m＞0或m＝﹣4；②5 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可； （2）由（1）得原抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，将其配成顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，则翻折后得到的抛物线的顶点为（5，﹣4），再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）； （3）①先求出K与L的公共点为B（3，0），再结合图象，确定m的取值范围是m＞0或m＝﹣4； ②按m＞0和m＝﹣4两种情况分类讨论，当m＞0时，先求出直线BM的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当m＝﹣4时，则△MNB不是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3． （2）由（1）得，L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（x≤3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， ∴将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4沿直线x＝3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，﹣4）， ∴翻折后的抛物线为y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21， ∵K与L关于直线x＝3对称， ∴“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）．   画出“部分抛物线”K的图象如图1所示： （3）由得， ∴K与L的公共点为B（3，0）， ①如图2，当直线y＝m在点B上方，由直线y＝m与图形W只有两个交点M、N， ∴m＞0； 如图3，当直线y＝m′在点B下方， 直线y＝m经过L、K的顶点M（1，﹣4）、N（5，﹣4）， 此时直线y＝m与图形W只有两个交点M、N， ∴m＝﹣4， 综上所述，m＞0或m＝﹣4． ②如图2，m＞0，△MNB为等腰直角三角形， 设BM交y轴于点D，M（x，x2﹣2x﹣3）， ∵BM＝BN，∠MBN＝90°， ∴∠BMN＝∠BNM＝45°， ∵MN∥x轴， ∴∠OBD＝∠BMN＝45°， ∵∠BOD＝90°， ∴∠OBD＝∠ODB＝45°， ∴OB＝OD＝3， ∴D（0，3）， 设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3， ∵点M在直线y＝﹣x+3上， ∴M（x，﹣x+3）， ∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3， 解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去）， ∴M（﹣2，5）， ∴m＝5； 如图3，m＝﹣4， ∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16， ∴BM2+BN2≠MN2， ∴此时△MNB不是等腰直角三角形， 综上所述，m的值是5． 8．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”. (1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 　 　； ②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 　 　； (2)E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．.线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F' ①求点E'的坐标（用含a的式子表示）； ②若⊙O的半径为2，E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值. 【答案】(1)① ② (2)① ② 【分析】（1）①按定义旋转后有，代入点坐标即可得到答案． ②按定义旋转后，代入点坐标列出方程组，解方程组即可得到答案． （2）①设出所求点坐标，根据定义旋转列出方程组，解方程组即可求得答案． ②按条件列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①∵点A在y轴上， ∴点B在x轴的正半轴上，且有， ∴点B的坐标为（2,0）， ②∵点B在第一象限， ∴点A在第四象限，且， 设点A坐标为（m，n），其中， ∵，直线OB过点O、B，直线OA过点O、A， ∴直线OB的解析式为，直线OA的解析式为， ∴ ， 解得， ∴点A的坐标为（1，-2）； （2）解：①设点坐标为（b，c）， ∵， 又∵直线EG过点E、G，直线过点、G， ∴直线EG的解析式为，直线的解析式为， ∴ ， 解得 ，， ∴点的坐标为或， 设点的坐标为（e，f）， ∵， ∵直线FG过点F、G，直线过点、G， ∴直线FG的解析式为，直线的解析式为， ∴ ， 解得 ，， ∴点的坐标为或， ∴为以点和点为端点的线段，或以点和点为端点的线段， ∵按定义为顺时针旋转，旋转90°后，点在点正上方距离为1， ∴为以点和点为端点的线段， ∴点的坐标为， ② E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，则有， 为以点和点为端点的线段，所以有， 由（1）式解得， 由（2）式解得， ∵， ∴， 此时， ∴， ∴当时，有最大值． 9．对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度． 在平面直角坐标系中，点，，． (1)过点作垂直于x轴的直线， ①当时，关于直线的对称度的值是 ： ②若关于直线的对称度为1，则m的值是 ． (2)过点作垂直于y轴的直线，求关于直线的对称度的最大值． (3)点满足，点Q的坐标为，若存在直线，使得关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值． 【答案】(1)①；②0； (2) (3)4或1或 【分析】（1）①当时，根据题意作图，结合等腰直角三角形的性质和折叠的性质，求出，再根据定义求值即可；②根据对称度为1，得到，再结合图形以及等腰三角形的性质，即可得到； （2）过点作垂直于y轴的直线，交、于点、，点关于直线的对称点为，要使得关于直线的对称度的最大值，则需要使得最大，①当时，点在上，此时；②当时，点在的延长线上，此时，利用等腰直角三角形的性质和折叠的性质，得到关于的二次函数，再利用二次函数的最值求解即可； （3）存在直线使得关于该直线的对称度为1，即转变为是等腰三角形，需要分类进行讨论，分；；，同时需要满足t的值为整数． 【详解】（1）解：①当时，根据题意作图如下，此时， ，，． ，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 根据折叠的性质，， ， 关于直线的对称度的值是：， 故答案是：； ②如图： 关于直线的对称度为1， ， ， 根据等腰三角形的性质，当时，有， 故答案是：0； （2）解：如图，过点作垂直于y轴的直线，交、于点、，点关于直线的对称点为， 要使得关于直线的对称度的最大值，则需要使得最大， ①如图，当时，点在上，此时， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ，， ， ， ，，， ，，， ， ， 当时，有最大值为， 当时，关于直线的对称度的最大值； ②如图，当时，点在的延长线上，此时， ， ， ，， 由折叠的性质可知，， ， 同理可得，，， ， ， ， 当时，有最大值为， 当时，关于直线的对称度的最大值； 综上可知，关于直线的对称度的最大值为； （3）解：若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，即为等腰三角形， ①当时，为等腰三角形，如下图： ， ； ②当时，为等腰三角形，当Q在P右侧时，如下图： ， ； 同理，当Q在P左侧时，； ③当时，为等腰三角形，如下图： 设，则， 根据勾股定理：， ， 解得：， （不是整数，舍去）， 综上：满足题意的整数的值为：4或1或-9． 10．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=n°，那么我们称这样的三角形为“准n°三角形”． （1）若△ABC是“准90°三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　 　°； （2）如图①，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=4，BC=8．D是BC上一点且△ABD是“准60°三角形”，请求出BD的长． （3）如图②，在四边形ABCD中，AB=5，CD=6，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准90°三角形”，则对角线AC= 　 【答案】（1）15；（2）BD=6或（3） 【分析】（1）根据定义列式计算即可知道答案； （2）分2∠B+∠BAD=60°或∠B+2∠BAD=60°两种情况求解，利用三角形相似判定和性质列式计算即可； （3）将沿BC翻折得到，证明A、B、F三点共线，得到，利用相似三角形判定和性质求得BF的长度，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：(1) ∵由“准n°三角形”的定义知：2α+β=n° ∴准90°三角形有： 又∵ ∴∠B=15° 故答案为：15                                          (2)∵△ABD是“准60°三角形” ∴2∠B+∠BAD=60°或∠B+2∠BAD=60° ①当2∠B+∠BAD=60°时，如下图： ∵∠ACB=120° ∴∠B+∠BAC=60° ∴∠B=∠CAD 又∵∠C=∠C ∴△CAD∽△CBA ∴= 又∵AC=4，BC=8 ∴CD=2 ∴BD=6    ②当∠B+2∠BAD=60°时，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC延长线于点F，作AH⊥BC延长线于H，如下图： ∵∠B+2∠BAD=60°，∠B+∠BAC=60° ∴∠BAD=∠CAD ∴DE=DF 设DC=2a ∵∠ACB=120° ∴在Rt△DCF中, ∠DCF=60° ∴DF=a ∵在Rt△ACH中, ∠ACH=60°，AC=4 ∴∠CAH=30° ∴CH=2 ∴AH= ∵DE⊥AB，AH⊥BC ∴∠BED=∠BHA=90° 又∵∠DBE=∠ABH ∴△BED∽△BHA ∴= 在中， ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴a= ∴BD= 综上所述，BD=6或BD= （3）将沿BC翻折得到，如下图： ∴CF=CD=6，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD ∵，∠BCD+∠CBD=90° ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180° ∴A、B、F三点共线 ∴∠FAC+∠ACF= ∴ ∴ ∴∠FCB=∠FAC 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵AF=AB+BF 设BF=x,则AF=5+x 则 化简得: 解得：（舍），，即BF=4 在中，AF=9,CF=6 由勾股定理得：AC= ∵ ∴ 11．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线为常数的反关联点为．如图，已知点，，． （1）点B的反关联直线的解析式为______； （2）求直线AC的反关联点的坐标． （3）设直线AB的反关联点为点D，直线BC的反关联点为点E，点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 或． 【分析】（1）根据反关联直线的定义，直接写出答案即可； （2）先求出直线AC的解析式，进而即可求解； （3）分别求出直线AB、BC的解析式，从而得到D、E的坐标，进而即可求解． 【详解】解：（1）根据反关联直线的定义，可知，点B的反关联直线的解析式为：， 故答案是：； （2）设直线AC的解析式为：， 把点，C代入得：，解得：， ∴直线AC的解析式为：， ∴直线AC的反关联点的坐标为：； 点，，． 设直线AB的解析式为， ，解得：， 直线AB的解析式为，                          ， 设直线BC的解析式为， ，解得：， 直线BC的解析式为，                            ， 设直线DE的解析式为， ，解得：， 直线DE的解析式为， 直线DE与x轴交于点， 设点， ， ， 解得或， 或． 12．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y那么称点T是点A，B的伴A融合点，例如：A（﹣1，1），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x3，y1时，则点T（﹣3，﹣1）是点A，B的伴A融合点． （1）已知点D（﹣1，5），E（﹣1，3），F（2，10）．请说明其中一个点是另外两个点的伴哪个点的融合点； （2）如图，点Q是直线y＝2x上且在第三象限的一动点，点P是抛物线y＝x2上一动点，点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点． ①所有的点T（x，y）中是否存在最高点？若存在，求出最高点坐标，如不存在，请说明理由． ②若当点Q运动到某个位置时，在点P的运动过程中恰好有两个点T（x，y）（T1（x1，y1），T2（x2，y2））落在抛物线y＝x2上，则记x1﹣x2为点T1，T2的水平宽度．若1＜|x1﹣x2|＜2，求在点Q运动的范围．（可用点Q的横坐标的范围表示） 【答案】（1）点E（−1，3）是点D（−1，5），F（2，10）的伴D融合点；（2）①T（1，1）；②-2＜m＜0 【分析】（1）根据融合点的定义计算即可； （2）①设Q（m，2m），P（p，p2），由点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点，可用含m和p的式子表示出x和y，整理后得到y关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；②由判别式可知：方程−＝x2有两个不相等的实数根x1，x2，根据韦达定理化简计算(x1−x2)2=，结合1＜|x1﹣x2|＜2，即可求出m的范围． 【详解】解：（1）∵，， ∴点E（−1，3）是点D（−1，5），F（2，10）的伴D融合点； （2）①存在，理由是： 由题意设Q（m，2m），P（p，p2）， ∵点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点， ∴x＝，y＝， ∴p＝mx−m， ∴y＝=， ∵＜0， ∴存在最高点T（1，1）； ②∵＝x2，即（-1）x2−mx＋+1＝0， ∴△＝m2−4（-1）（+1）＝4＞0， ∴方程＝x2有两个不相等的实数根x1，x2， ∵点Q是直线y＝2x上且在第三象限的一动点，， ∴m＜0， ∴x1＋x2＝，x1•x2＝， ∴(x1−x2)2＝(x1＋x2)2−4x1•x2＝()2−4=， ∵1＜|x1﹣x2|＜2，即：1＜(x1−x2)2＜4， ∴1＜＜4，即：， ∴-4＜＜-2，即：-2＜m＜0． 13．对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作，特别地，当图形M与图形N存在公共点时，图形M，N的“近距离”为0．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形” 若图形M为边长等于2的正方形ABCD，其对角线的交点记为正方形的中心G． （1）当正方形ABCD的顶点分别为：，，， ①如果点，，那么____________，____________． ②如果直线 与正方形ABCD互为“可及图形”，求b的取值范围； （2）将（1）中正方形沿x轴方向平移，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，如果正方形ABCD和互为“可及图形”，直接写出正方形中心G的横坐标m的取值范围． 【答案】（1）①，；②；（2）或． 【分析】（1）①根据近距离的定义，直接求解即可；②设直线与x轴、y轴的交点分别是H，K，线段HK的中点为Q，连接AQ，则AQ就是直线 与正方形ABCD的近距离，当AQ=1时，列出关于b的方程，进而即可求解； （2）分两种情况：①设在直线上存在一点P（x，-x+6）与正方形A’B’C’D’的近距离为1，即D’P=1，延长A’D’交直线于点T，过点P作PJ⊥D’T，可得x-(m+1)=-x+6-1=，从而求出m的值；②若正方形ABCD和可及的点在边ON上时，此时正方形ABCD的边长与ON的近距离为1，则点G与ON的距离为2，进而求出m的范围即可． 【详解】解：（1）①∵正方形ABCD，，，，，，， ∴AD∥x轴， ∴点与AD的最近距离为：，即 ， 如图，连接DF，由图可知：点F与正方形ABCD的最近距离就是DF的长， ∴DF=，即：． 故答案是：，； ②如图，设直线与x轴、y轴的交点分别是H，K，线段HK的中点为Q，连接AQ，则AQ就是直线 与正方形ABCD的近距离， ∵H（-b，0），K（0，b）， ∴Q（，） ∴当AQ=1时，，解得：，， 同理，当直线与y轴交于负半轴时，线 与正方形ABCD的近距离为1时，， ∴直线 与正方形ABCD互为“可及图形”，b的取值范围为：； （2）如图，设在直线上存在一点P（x，-x+6）与正方形A’B’C’D’的近距离为1，即D’P=1，延长A’D’交直线于点T，过点P作PJ⊥D’T， ∵∠PTD’=∠NMO=45°，D’P⊥MN， ∴是等腰直角三角形， ∴PJ=D’J=， ∵G（m，0）， ∴x-(m+1)=-x+6-1=，解得：m=4-，x=， 当正方形A’B’C’D’移至点M的右侧时，存在一点G’与点G关于M点对称， ∵M（6，0）， ∴G’（8+，0）， ∴当时，正方形ABCD和互为“可及图形”， 同理，若正方形ABCD和可及的点在边ON上时，此时正方形ABCD的边长与ON的近距离为1，则点G与ON的距离为2， ∴当时，正方形ABCD和互为“可及图形”， 故答案是：或． 14．阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决： （1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等； （2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值； （3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2 【分析】（1）连接AE，由两点之间线段最短即可求解； （2）在Rt△ABC中先求出AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等，根据勾股定理即可求解； （3）在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，根据旋转的性质和两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等，再根据圆的特点、菱形与勾股定理即可求出GE，故可求解． 【详解】（1）连接AE，如图， 由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值为线段AE的长 故答案为：两点之间线段最短；AE； （2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2 ∴BC=2AB=4 由勾股定理可得AC= 如图2，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，可得△CPD为等边三角形，∠BCE=60° ∴PD=PC 由旋转可得DE=PB，CE=BC=4 ∴PA+PB+PC=PA+DE+PD 由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等 ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90° ∴在Rt△ACE中，AE= 即PA+PB+PC的最小值为2； （3）存在在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小， 如图3，在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，连接PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均为等边三角形 ∴PD=PF 由旋转可得PA=GF ∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等 ∵∠BEC=90° ∴点E在以BC为直径的O上，如图3 则OB=OC==2 如图3，连接OG交O于点H，连接CG交AD于点K，连接AC，则当点E与点H重合时，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值为线段GH的长 ∵菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60° ∴AB=BC=CD=AD=4 ∴△ABC、△ACD均为等边三角形 ∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60° ∴四边形ACDG是菱形，∠ACG=∠ACD=30° ∴CG、AD互相垂直平分 ∴DK=AD=2 ∴根据勾股定理得CK= ∴CG=2CK= ∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90° ∴在Rt△OCG中，OG= ∵OH=OC=2 ∴GH=OG-OH=2-2 即PA+PD+PE的最小值为2-2． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 几何探究与新定义阅读理解题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 以数与式为背景的新定义阅读理解类问题 题型02 以方程与不等式为背景的新定义阅读理解类问题 题型03 以函数为背景的新定义阅读理解类问题 题型04 以几何为背景的新定义阅读理解类问题 模块三、综合实战演练 一、新定义阅读理解类问题求解的优先策略： 核心逻辑：先稳解定义，再轻推本质，后用旧知识转化求解，全程紧扣“定义无偏差、转化不超纲、验证必贴合”，优先做无容错的基础步骤，再突破延伸问。 1. 优先精读定义，圈画核心要素（最关键前置步） 先慢读题干，圈定新定义的关键词、符号规则、限定条件（如取值范围、图形特征、运算前提、特殊约定），避免漏看细节导致转化错误； 对抽象定义（如几何新图形、代数新运算），举简单例子验证理解（如代入具体数/画简易图），确认自己对定义的解读和命题意图一致，此步不省，否则后续全错。 2. 优先拆解定义，转化为已知知识（核心破题步） 将新定义“翻译”成已学的基础知识点，不纠结定义本身的陌生性，只关注其本质特征： · 代数类（数式/方程/函数）：新运算→常规四则/因式分解，新关系→等式/不等式/函数解析式； · 几何类：新图形/新关系→全等/相似、勾股定理、圆的性质等常规几何模型； · 跨模块类：先拆分定义中的代数+几何成分，再分别转化为对应模块知识，再找关联。 3. 优先解决小问/基础问，以问反推定义深层内涵 新定义题多为“阶梯式设问”，先做第1小问（多为直接套用定义的简单计算/判定），一方面通过实操巩固对定义的理解，另一方面第1小问的结论往往是后续大题的解题铺垫； 若首问卡壳，回头重新精读定义，大概率是漏看了限定条件或对规则解读有误。 4. 优先用“数形结合”辅助，简化抽象定义 遇抽象的代数新定义（如函数新特征、新距离），优先画图象/列表格，将定义的规则直观化； 遇几何新定义（如新型角/线/图形），优先画标准图，标注定义中的核心特征（如相等边、固定角、特殊位置），借助图形找到常规几何关系。 5. 优先设参列式，用“方程思想”解决含未知量问题 遇定义中涉及未知量（参数、动点坐标、未知线段/角度），优先设单一参数表示未知量，再严格按定义规则列等式/不等式，将新定义问题转化为“解方程/解不等式/求函数最值”的常规代数问题，减少思维量。 6. 优先验证结果，贴合定义所有限定条件 求解后第一时间验证结果是否符合新定义的全部要求（如取值范围、图形存在性、运算前提），排除“符合旧知识但违反新定义”的无效解； 对多解问题，逐一验证，确保每一个解都贴合定义，不遗漏、不增解。 通用避坑优先原则 · 不优先钻定义的“深层拓展”，先保证基础套用准确； · 不优先用复杂技巧，先靠“直译定义+基础公式”求解，复杂技巧仅作辅助； · 不优先跳步计算，尤其是新运算/新几何关系的套用，分步写清，避免因步骤跳脱导致规则套用错误。 题型01 以数与式为背景的新定义阅读理解类问题 1．我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题． (1)填空：已知，，则______． (2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值． 小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值．                                          图3 ③在②的结论下， 或9， 若，求的值． 2．阅读下列材料：教科书中这样写到：“我们把和这样的式子叫完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫配方法，即将多项式（，为常数）写成（，为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，可以解决一些与非负数有关的问题．请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方：________． (2)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 3．【课内链接】 我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有： （1）； （2）．（填空） 【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法． 例如： ∵（一个数的平方为非负数） ∴（不等式的性质2） ∴（不等式的性质1） 即：， ∴最小值为 将配方成的形式：则 ； ； ；（填空） 【拓展应用】如果，求P的最小值． 4．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 5．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴，     ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 核心：把新定义的符号/运算规则，转化为常规的数、整式、分式运算。 1. 细抠定义：明确新符号/运算的规则（如新运算），标注限定条件； 2. 代入转化：将已知数/式按定义代入，转化为加减乘除、因式分解、化简求值等常规运算； 3. 关键：注意运算顺序和符号，含参数时结合整式性质求解，验证结果符合定义限定。 题型02 以方程与不等式为背景的新定义阅读理解类问题 1．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 2．对，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：. 已知，， (1)求，的值； (2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 3．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”； (2)若关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值； (3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k． 4．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)已知①，②，③，试判断方程的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”； (2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当实数a、b、c满足且时，恒为方程与不等式组的“理想解”，求t、s的取值范围． 5．如果关于x的一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则c= （2）若方程（a≠0）是倍根方程，且相异两点M(1+t，s)，N(4-t，s)，都在抛物线上，求一元二次方程（a≠0）的根． 核心：将新定义条件转化为方程、不等式（组），用解方程、解不等式的常规方法求解。 1. 转译条件：把新定义的数量关系（如新“方程解”“不等关系”）翻译为常规等式/不等式； 2. 建模型：根据转译后的式子，建立一元一次/二次方程、不等式（组）模型； 3. 求解验证：用解方程、不等式的方法求根/解集，结合新定义的限定条件（如正整数解、唯一解）筛选有效结果。 题型03 以函数为背景的新定义阅读理解类问题 1．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2． (1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值； (3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值． 2．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 (1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ． 【深入探究】 (2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 (3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．设二次函数的图像的顶点分别为当 且开口方向相同时，则称是的“反倍顶二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”； (2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求n的值． 4．一般地，在画一个图形关于某点的中心对称图形时，首先找到对称中心，将关键点与对称中心相连，并延长至等长，最后将所得的对应点连接即可得到对称图形．若将函数C1的图象沿某一点旋转180度，与函数C2的图象重合，则称函数C1与C2关于这个点互为“中心对称函数”，这个点叫作函数C1、C2的“对称中心”，如：求函数的关于（1，0）的中心对称函数，可以在函数上取（0，0）和（1，1），两个点关于（1，0）中心对称点分别是（2，0）和（1，），这样我们就可以得到函数关于（1，0）中心对称函数． （1）求函数关于（1，0）的中心对称函数； （2）若函数C1：，对称中心是（0，），此时C1的关于（0，）的中心对称函数C2的图象与函数的图象有且只有一个交点，求b的值； （3）若函数C1：，对称中心是（1，10），当时，此时函数C1关于（1，10）的中心对称函数C2的图象与函数的图象始终有交点，求k的取值范围． 5．（1）阅读下面的材料： 如果函数＝f（）满足：对于自变量x的取值范围内的任意，， （1）若＜，都有f（）＜f（），则称f（）是增函数； （2）若＜，都有f（）＞f（），则称f（）是减函数． 例题：证明函数f（）＝（＞0）是减函数． 证明：设0＜＜， f（）﹣f（）＝＝＝． ∵0＜＜， ∴﹣＞0，＞0． ∴＞0.即f（）﹣f（）＞0． ∴f（）＞f（）． ∴函数f（）＝（＞0）是减函数． （2）根据以上材料，解答下面的问题： 已知：函数f（）＝（＜0）， ①计算：f（﹣1）＝　 　，f（﹣2）＝　 　； ②猜想：函数f（）＝（＜0）是　 　函数（填“增”或“减”）； ③验证：请仿照例题证明你对②的猜想． 核心：融合新定义与函数性质，将定义条件转化为函数解析式、坐标关系，结合函数图象与性质求解。 1. 结合函数：把新定义规则（如新“函数点”“距离”“对称”）代入函数解析式，转化为坐标运算、解析式变形； 2. 数形结合：画出函数草图，结合新定义标注关键点/范围，利用函数的增减性、最值、交点等性质分析； 3. 关键：含动点时设坐标，按定义列等式/不等式，求解后验证点在函数图象上。 题型04 以几何为背景的新定义阅读理解类问题 1．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 2．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． 【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”． ①若，则________； ②若．且时．则_______； 【拓展提升】（2）如图，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中之间的数量关系是 ，并证明这种关系； 【类比应用】（3）如图3，在四边形中，,平分； ①求证：四边形是“对补四边形”； ②如图4，连接，当，且时，求的值． 3．定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”. 理解： ⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）； ⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由； 运用： ⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标. 4．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：①如图1，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由； (3)问题解决：如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、，，已知，．求的长度． 5．【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形． 【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形． 【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：． 【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由． 核心：拆解新定义的几何特征（如新型图形、新距离、新角），转化为三角形、四边形、圆的常规性质与定理。 1. 解构定义：明确新几何概念的核心特征（如新型线/角/图形的判定、新距离的计算规则），结合几何图形标注； 2. 转化模型：将新定义问题转化为全等/相似证明、线段/角度计算、最值求解、图形判定等常规几何问题； 3. 关键：巧用几何辅助线（如作垂线、连对角线、构全等），结合勾股定理、圆周角定理、相似性质等推导，验证图形存在性。 1．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时， 解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，， ，，或． 解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 原方程的解为或． 解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 问题：结合上面阅读材料，解下列方程： (1)解方程： (2)解方程： 2．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题： (1)如图1，试判断点E是否是四边形的边AB上的相似点，并说明理由． (2)如图2，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形的边AB上的强相似点． (3)如图3，将矩形沿着CM折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系． 3．定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组：是：的“子集”． (1)若不等式组：：，：，则其中______不等式组是不等式组：的“子集”填或； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是______； (3)已知，，，为不互相等的整数，其中，，下列三个不等式组：：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”，求的值． 4．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，雅系二元一次方程“”化为，其“完美值”为． (1)“雅系二元一次方程”的“完美值”是______； (2)是“雅系二元一次方程“”的“完美值”，求m的值； (3)“雅系二元一次方程（，k是常数）”存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由． 5．【阅读材料】 我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 【理解应用】 （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题 ①已知，，求ab的值； ②已知，求的值． 6．阅读下列材料，并完成相应任务． 黄金分割 天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”．历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆．19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为．用下面的方法（如图（1））就可以作出已知线段AB的黄金分割点H； ①以线段AB为边作正方形ABCD； ②取AD的中点E，连接EB； ③延长DA到点F，使； ④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点． 以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程． 证明：设正方形ABCD的边长为1，则． ∵点E为AD的中点，∴． 在中，，∴， ∴．…… 任务： (1)补全题中的证明过程． (2)如图（2），点C为线段AB的黄金分割点（），分别以AC，BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连线BD，BE．求证：． (3)如图（3），在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N．求证：点M是AD的黄金分割点． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'． (1)求a，b，c的值； (2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式； (3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）． ①直接写出m的取值范围； ②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值． 8．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”. (1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 　 　； ②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 　 　； (2)E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．.线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F' ①求点E'的坐标（用含a的式子表示）； ②若⊙O的半径为2，E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值. 9．对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度． 在平面直角坐标系中，点，，． (1)过点作垂直于x轴的直线， ①当时，关于直线的对称度的值是 ： ②若关于直线的对称度为1，则m的值是 ． (2)过点作垂直于y轴的直线，求关于直线的对称度的最大值． (3)点满足，点Q的坐标为，若存在直线，使得关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值． 10．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=n°，那么我们称这样的三角形为“准n°三角形”． （1）若△ABC是“准90°三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　 　°； （2）如图①，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=4，BC=8．D是BC上一点且△ABD是“准60°三角形”，请求出BD的长． （3）如图②，在四边形ABCD中，AB=5，CD=6，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准90°三角形”，则对角线AC= 　 11．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线为常数的反关联点为．如图，已知点，，． （1）点B的反关联直线的解析式为______； （2）求直线AC的反关联点的坐标． （3）设直线AB的反关联点为点D，直线BC的反关联点为点E，点P在x轴上，且，求点P的坐标． 12．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y那么称点T是点A，B的伴A融合点，例如：A（﹣1，1），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x3，y1时，则点T（﹣3，﹣1）是点A，B的伴A融合点． （1）已知点D（﹣1，5），E（﹣1，3），F（2，10）．请说明其中一个点是另外两个点的伴哪个点的融合点； （2）如图，点Q是直线y＝2x上且在第三象限的一动点，点P是抛物线y＝x2上一动点，点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点． ①所有的点T（x，y）中是否存在最高点？若存在，求出最高点坐标，如不存在，请说明理由． ②若当点Q运动到某个位置时，在点P的运动过程中恰好有两个点T（x，y）（T1（x1，y1），T2（x2，y2））落在抛物线y＝x2上，则记x1﹣x2为点T1，T2的水平宽度．若1＜|x1﹣x2|＜2，求在点Q运动的范围．（可用点Q的横坐标的范围表示） 13．对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作，特别地，当图形M与图形N存在公共点时，图形M，N的“近距离”为0．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形” 若图形M为边长等于2的正方形ABCD，其对角线的交点记为正方形的中心G． （1）当正方形ABCD的顶点分别为：，，， ①如果点，，那么____________，____________． ②如果直线 与正方形ABCD互为“可及图形”，求b的取值范围； （2）将（1）中正方形沿x轴方向平移，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，如果正方形ABCD和互为“可及图形”，直接写出正方形中心G的横坐标m的取值范围． 14．阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决： （1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等； （2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值； （3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $