3.4.3 复数的三角表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

复数的三角表示 学习目标：①复数的代数形式与三角形式的互化： ②复数乘法的几何意义； 探究过程： 问题一：你了解五大常数及其关系吗？1,0，π，e,i 问题二：复数及其加、减法的几何意义 云，=5+i,2=2+2 复数z对应的点P（ ,,向量0F=(,） 复数z,对应的点卫（ ，,向量0E=(，)】 |21+22= ,|22-21= ①z,+22、z2-z的几何意义是什么？ ② z=x+i对应点Z,且|z-2+3i=V2,动点Z的轨迹是什么？ |z-i的最大值、最小值 问题三：复数除了与直角坐标系中的点、平面向量建立联系，还能与哪些知识相联系？ 与三角函数的定义有关联吗？ z=a+bila,beR) h P(a,b) |OP=r,∠POX=0 a= b= 1 z=a+bi=rcos0+isin0） rcos0+isin0叫做复数z=a+bi的三角形式 以x轴的正半轴为始边，以OP为终边的角0，叫做复数 z=a+bi的口角，记为argz=0,当0≤0<2π时，称其为复数的口角主值： 问题四：把下列复数的代数形式化为三角形式 1,V3 ①1，@-l;@i:©-i:⑤v5+i:⑥-2+21：⑦1+i,®1-i ⑨-3-i; 下列复数是三角形式吗？如果不是，化成三角形式，并指出复数的模和辐角主值 π 5 问题五：探究复数乘法的几何意义 =r(cos 0 +isin 02),z2=r(cos 02 +isin 02) 2122=? 结论：22= 简言之： 能否推广：设复数z的模为1，辐角为0，k=1,2,3,…,n, 212223…2n= 当1=53=…=1n=r,01=日2=…=0n=0,有何结论？ z”= π ne N. ②计算V3+i 回图开始给出的两个复数=5+i2,:-}+5 22 能否找到一个复数z,使得，22=21·z? ®设OP=(4,3,将向量OP绕原点按逆时针旋转60°，得到向量OP 求P'点的坐标 ④复数乘法的几何意义：z=a+bi, z:cos45°+isin45°的几何意义： zcos120°+isin120°的几何意义： 问题六：①已知卡3,22=5z,-2=7,求2 【答案】- 3+33 21 10-10 3 ②已知|z=1,求|z3+2i的最值； 【答案】最大值3，最小值1 瑞士数学家发现：e=cos0+isin0