专题04 指数函数、对数函数及函数的应用-江苏省职教高考五年（2022-2026）《数学真题分类汇编》

专题04 指数函数、对数函数及函数的应用 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 指数函数 对数函数 函数的应用 实数指数幂 √ 指数函数 √ 对数的概念 √ 对数的运算 √ 对数函数 √ 指数函数、对数函数的实际应用 √ 考点01 指数函数、对数函数 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知向量，，且. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据平面向量垂直的性质列出方程即可得解. （）根据指数函数的单调性列出不等式，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 向量，，且， 则，解得. 【小问2详解】 因为函数，底数，所以函数在定义域内为增函数， 不等式， 则，整理得，即，解得， 所以解集为. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知直线经过点． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将点代入直线方程求实数的值； (2)利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 因为直线经过点， 将点代入直线方程中， 可得，即， 解得． 【小问2详解】 由(1)知， 则可化为． 因为对数函数在上单调递增， 当时， 有，解得． 综上可知，不等式的解集为． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限． (1)求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)利用一次函数的图象性质即可得解； (2)利用指数函数的单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 因为一次函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以在上单调递增， 而可化为， 所以，即，解得或， 所以的解集为. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）若实数满足不等式 (1)求实数的值 (2)解关于的不等式 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】对于(1)，将不等式整理为一元二次不等式的标准形式，通过判别式或因式分解求解实数的值；对于(2)，先根据对数函数的定义域确定的初步范围，再结合对数函数的单调性求解不等式。 【小问1详解】 将不等式移项整理为。 观察这个二次三项式，可发现它是一个完全平方式，即。 因为一个数的平方是非负的，所以只有当时，不等式成立，解得 【小问2详解】 因为，根据对数函数的单调性，当底数时，对数函数在定义域上单调递增。 所以原不等式等价于： ① ② < 对于不等式①，因为，所以恒成立，取全体实数。 对于不等式②，解，得。 对于不等式，整理得，因式分解为，则其解集为。 综合以上三个不等式的解，最终解集是。 5.（2022江苏省职教高考数学真题）已知函数在区间上的最大值与最小值的和为． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2)当时，不等式的解集为{} 【解析】 【分析】(1)，利用反比例函数的单调性，求出其在区间上的最大值和最小值，再根据它们的和建立方程求解； (2)，根据指数函数的单调性，结合（1）中求得的的值，将指数不等式转化为一元二次不等式求解。 【小问1详解】 函数在区间上单调递减，因为，所以在区间上单调递减。 那么在区间上的最大值为，最小值为。 已知最大值与最小值的和为，则可列方程： 移项可得，解得 【小问2详解】 由(1)知，函数在上单调递增。 所以原不等式等价于。 移项整理得，因式分解为。 则其解集为或。 考点02 函数的应用 1.（2026江苏省职教高考数学真题）为提升居民幸福指数，某市计划建设一处复合型口袋公园，主体景观为“矩形休闲区+半圆形绿植区”的组合设计，矩形区域的一条边与半圆形绿植区的直径重合，整体边界设置连续的健身步道，步道内侧总周长为120米（不含矩形与半圆重合的内部边界）.设半圆形绿植区的半径为米，矩形休闲区垂直于半圆直径的边长为米.（本题计算中） （1）求函数与自变量之间的函数关系式； （2）若矩形休闲区的面积不小于半圆形绿植区面积的2倍，求当半径为多少米时，公园主体景观的总占地面积最大？求出最大面积. 【答案】（1），. （2）当米时，总占地面积最大，最大面积为1012.5平方米. 【解析】 【分析】（）根据步道内侧总周长=半圆弧长+矩形的2个宽+矩形的1个长（不含与半圆重合的边）即可得解. （）根据题意结合矩形的面积公式及圆的面积公式列出不等式，得出，写出总占地面积的解析式，利用二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 半圆弧长为，矩形长为，宽为，因此总周长： ，整理得，即， 由得，因此定义域为. 【小问2详解】 矩形面积，半圆面积. 由得，解得，即. 总占地面积，为开口向下的二次函数，对称轴为. 因此在上单调递增，当时取得最大值： 平方米. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： （1）当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ （2）当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 【答案】（1）75元 （2）65元；72000元 【解析】 【分析】（1）我们可以根据票价和游客数的变化关系来计算当游客数为1000人时的票价． （2）需要先建立收益与票价的函数关系，再通过函数性质求出最大收益以及对应的票价. 【小问1详解】 当天的游客数为1000人时，当天的票价设为元． 所以，解得， 即当天的游客数为1000人时，当天的票价应为75元． 【小问2详解】 设票价为元，利润为元．票价相对于50元的提高量为元， 票价每提高5元，游客数减少100人， 因此游客数减少量为人， 游客数为人． 收益为票价乘以游客数：， 维护成本为游客数的5倍：成本， 利润收益减去成本： 一成本， 这是一个关于的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处．顶点的横坐标为：元， 计算最大利润： 此时，游客数人． 即当天的票价应为65元时，最大收益为72000元． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】当售价定为元时，每日获得的利润最大，最大利润为元. 【解析】 【分析】分类讨论售价提高与降低时，每日获得的利润情况，结合二次函数的性质与配方法即可得解. 【详解】依题意，设售价为元，每日获得的利润为元. 当售价每提高1元/千克时，，此时每天售出千克大米， 所以 ， 所以当时，取得最大值为； 当售价每降低1元/千克时，，此时每天售出千克大米， ， 所以当时，取得最大值为； 综上，当售价定为元时，每日获得的利润最大，最大利润为元. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）为响应国家乡村振兴战略，某地政府鼓励大学生返乡创业，启动甲、乙两个农业小微项目。甲项目的收益与投入金额成正比，乙项目的收益与投入金额的算术平方根成正比。已知甲、乙两个项目各1万元，获得的收益分别是0.2万元和0.4万元 (1)分别将甲、乙两个项目的收益表示为投入金额的函数关系式 (2)大学生小王筹集到资金3万元，全部投入到甲、乙两个项目，问如何分配投入金额，小王才能获得最大收益？并求最大收益 【答案】（1） （2）投入甲项目1万元，乙项目2万元，获得最大收益万元 【解析】 【分析】本题主要考查函数模型的建立与利用函数求最值，（1）根据已知条件建立甲、乙项目收益与投入金额的函数关系式；（2）通过建立总收益函数，利用函数性质求最大收益。 【小问1详解】 （1）设甲项目收益为，乙项目收益为， ，， ∴； 【小问2详解】 （2）设投入乙项目万元，则投入甲项目万元，总收益万元， ，， 设，则，， 对称轴，当时，最大为，此时，， 答：投入甲项目1万元，乙项目2万元，获得最大收益万元. 5.（2022江苏省职教高考数学真题）某电脑公司在甲乙两地销售同一种型号的电脑，已知在甲地的销售利润为（单位：元），在乙地的销售利润为（单位：元），其中 x为销售量（单位：台），且该公司在甲地的最大销售量为480台．若该公司在甲乙两地共销售500台该种型号的电脑，问该公司分别在甲乙两地各销售多少台电脑时，获得的利润醉大，最大利润是多少？ 【答案】该公司在甲地销售台，乙地销售台电脑时，获得的利润最大，最大利润是元。 【解析】 【分析】本题涉及二次函数的最值问题，需要先根据销售量的分配建立总利润函数，再结合二次函数的性质以及定义域来求解最大利润。 【详解】设该公司在甲地销售台电脑，则在乙地销售台电脑。已知甲地销售利润（），乙地销售利润。 总利润。 化简这个函数得： y= +40x+40000 对于二次函数（），当时，函数图象开口向下，对称轴为。 在函数中，<0，，所以对称轴为。 因为的取值范围是，而对称轴在这个区间内，所以当时，函数取得最大值。 此时在乙地销售的电脑数量为（台）。 将代入总利润函数： y= ×+40×160+40000=43200 综上，该公司在甲地销售台，乙地销售台电脑时，获得的利润最大，最大利润是元。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数、对数函数及函数的应用 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 指数函数 对数函数 函数的应用 实数指数幂 √ 指数函数 √ 对数的概念 √ 对数的运算 √ 对数函数 √ 指数函数、对数函数的实际应用 √ 考点01 指数函数、对数函数 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知向量，，且. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式：. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知直线经过点． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限． (1)求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 4.（2023江苏省职教高考数学真题）若实数满足不等式 (1)求实数的值 (2)解关于的不等式 5.（2022江苏省职教高考数学真题）已知函数在区间上的最大值与最小值的和为． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 考点02 函数的应用 1.（2026江苏省职教高考数学真题）为提升居民幸福指数，某市计划建设一处复合型口袋公园，主体景观为“矩形休闲区+半圆形绿植区”的组合设计，矩形区域的一条边与半圆形绿植区的直径重合，整体边界设置连续的健身步道，步道内侧总周长为120米（不含矩形与半圆重合的内部边界）.设半圆形绿植区的半径为米，矩形休闲区垂直于半圆直径的边长为米.（本题计算中） （1）求函数与自变量之间的函数关系式； （2）若矩形休闲区的面积不小于半圆形绿植区面积的2倍，求当半径为多少米时，公园主体景观的总占地面积最大？求出最大面积. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： （1）当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ （2）当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 32.（2024江苏省职教高考数学真题）近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）为响应国家乡村振兴战略，某地政府鼓励大学生返乡创业，启动甲、乙两个农业小微项目。甲项目的收益与投入金额成正比，乙项目的收益与投入金额的算术平方根成正比。已知甲、乙两个项目各1万元，获得的收益分别是0.2万元和0.4万元 (1)分别将甲、乙两个项目的收益表示为投入金额的函数关系式 (2)大学生小王筹集到资金3万元，全部投入到甲、乙两个项目，问如何分配投入金额，小王才能获得最大收益？并求最大收益 5.（2022江苏省职教高考数学真题）某电脑公司在甲乙两地销售同一种型号的电脑，已知在甲地的销售利润为（单位：元），在乙地的销售利润为（单位：元），其中 x为销售量（单位：台），且该公司在甲地的最大销售量为480台．若该公司在甲乙两地共销售500台该种型号的电脑，问该公司分别在甲乙两地各销售多少台电脑时，获得的利润醉大，最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $