专题02 平面向量与立体几何-江苏省职教高考五年（2022-2026）《数学真题分类汇编》

**基本信息** 汇集2022-2026年江苏省职教高考数学真题，聚焦平面向量与立体几何专题，覆盖核心考点与不同能力层次，适配中职高考备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|13题|平面向量加法运算、坐标表示，立体几何表面积体积|真题汇编，分层考查基础与综合能力| |填空题|3题|向量模计算、异面直线所成角|贴合高考命题趋势，注重空间想象| |解答题|2题|四棱锥体积、线面平行证明|融合空间关系论证与体积计算，体现数学思维|

专题02 平面向量与立体几何 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 平面向量 平面向量的概念 √ 平面向量的线性运算 √ 平面向量的内积 √ 平面向量的坐标表示 √ 考点01 平面向量的加法、减法和数乘运算 1.（2026江苏省职教高考数学真题）在中，是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（ ） A.3 B.4 C.6 D.12 3.（2023江苏省职教高考数学真题）已知数组，且，则的值是（ ） A. B. C.4 D.9 4.（2023江苏省职教高考数学真题）若向量满足，且则向量的模是（ ） A. B.2 C. D.8 5.（2022江苏省职教高考数学真题）已知数组，，则等于（ ） A. B. C. D. 6.（2022江苏省职教高考数学真题）已知向量，且，则的值是 . 考点02 平面向量的坐标表示 1.（2025江苏省职教高考数学真题）已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 2.（2024江苏省职教高考数学真题）已知向量，若，则实数k的值是（ ） A. B. C. D.3 内容 要求 A B C 立体几何 平面的基本性质 √ 直线与直线的位置关系 √ 直线与平面的位置关系 √ 平面与平面的位置关系 √ 考点01 简单几何体的表面积与体积 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（ ） A. B. C. D. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是（ ） A B. C. D. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）将图中所示的直角梯形绕所在的直线旋转一周，由此形成的几何体体积是（ ） A.96 B.128 C. D. 5.（2022江苏省职教高考数学真题）若圆锥和圆柱的底面半径均为R，高均为3R，则此圆锥与圆柱的侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 考点02 空间中点、线、面之间的位置关系 1.（2026江苏省职教高考数学真题）在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正切值为__________________. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知分别是正方体的边上的点，若，则异面直线与所成的角等于_____. 3.（2026江苏省职教高考数学真题）已知为正方体，棱长为4. （1）求四棱锥的体积； （2）为上一点，求证：直线平面. 4.（2025江苏省职教高考数学真题）在斜三棱柱中，底面，四边形为正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，求四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量与立体几何 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 平面向量 平面向量的概念 √ 平面向量的线性运算 √ 平面向量的内积 √ 平面向量的坐标表示 √ 考点01 平面向量的加法、减法和数乘运算 1.（2026江苏省职教高考数学真题）在中，是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算求解即可. 【详解】∵，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴. 故选：D. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（ ） A.3 B.4 C.6 D.12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的几何性质和向量运算性质，即可求出. 【详解】在平行四边形中，对角线， 又， ， 已知，则. 故选：C. 3.（2023江苏省职教高考数学真题）已知数组，且，则的值是（ ） A. B. C.4 D.9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查空间向量的数乘运算，根据向量数乘的坐标运算规则求出和的值，进而计算。 【详解】 已知，，且。 根据向量数乘的坐标运算：若，其中，则。 所以。 因为，所以，即，。则。 故选：A． 4.（2023江苏省职教高考数学真题）若向量满足，且则向量的模是（ ） A. B.2 C. D.8 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的运算律展开已知等式，再结合向量垂直的性质（若，则）和向量 模的平方公式（），求解。 【详解】首先展开： 根据向量的分配律，。 结合已知条件，由向量垂直的性质得：。 又因为，代入展开式：=2=2 已知，因此2， 因为向量的模是非负数，所以：= 故选：. 5.（2022江苏省职教高考数学真题）已知数组，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数组的运算法则即可求解. 【详解】, 又因为， 所以， 故选：A 6.（2022江苏省职教高考数学真题）已知向量，且，则的值是 . 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直的性质（若两个非零向量，则它们的数量积为0）列出方程，再结合三角恒 等变换公式（、二倍角公式）求解 【详解】已知，，且，根据向量垂直的性质： 计算数量积：×1+1×=0 整理得：=-2 结合三角恒等式，将代入： 1,51, 再用二倍角公式计算： =2×-1= 故答案为： 考点02 平面向量的坐标表示 1.（2025江苏省职教高考数学真题）已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】已知，则， 又，所以. 故选：D． 2.（2024江苏省职教高考数学真题）已知向量，若，则实数k的值是（ ） A. B. C. D.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】若，则有， 解得. 故选：C. 内容 要求 A B C 立体几何 平面的基本性质 √ 直线与直线的位置关系 √ 直线与平面的位置关系 √ 平面与平面的位置关系 √ 考点01 简单几何体的表面积与体积 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面可得圆锥底面半径与母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥底面半径，母线长； 圆锥的表面积由底面积与侧面积组成， 底面积为 ，侧面积为 ， 因此该圆锥的表面积为. 故选：C. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，底面半径为，由圆锥侧面展开图的圆心角为得出与的关系，再由侧面积为即可求解. 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为．圆锥侧面展开图圆心角为即， 其弧长等于底面圆周长，有，得． 又圆锥侧面积，将代入可得，解得. 故选：C. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用长方体的性质，结合棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】依题意，设，则正方体体积， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以四棱锥的体积. 故选：A. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）将图中所示的直角梯形绕所在的直线旋转一周，由此形成的几何体体积是（ ） A.96 B.128 C. D. 【答案】 【解析】 【分析】本题可将旋转后形成的几何体看作是圆柱与圆锥的组合体，分别计算圆柱和圆锥的体积，再将 两者体积相加即可得到该几何体的体积。 【详解】直角梯形绕所在直线旋转一周后，形成的几何体是：底面半径为，高为的圆柱， 和底面半径为，高为的圆锥的组合体。 根据圆柱体积公式（其中为底面半径，为高），已知，， 则： 根据圆锥体积公式（其中为底面半径，为高），已知，，则： 该几何体的体积， 故选： 5.（2022江苏省职教高考数学真题）若圆锥和圆柱的底面半径均为R，高均为3R，则此圆锥与圆柱的侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要解决圆锥与圆柱的侧面积之比问题，需分别利用圆锥侧面积公式和圆柱侧面积公式，代入底 面半径和高的已知条件，再计算两者的比值。 【详解】已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为。 圆锥的侧面积公式为： 因此，圆锥侧面积：== 圆柱的侧面积公式为：。代入，得：=6 圆锥与圆柱的侧面积之比为： 故选：。 考点02 空间中点、线、面之间的位置关系 1.（2026江苏省职教高考数学真题）在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正切值为__________________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先找到直线与平面所成的角，再根据边的关系求解正切值即可. 【详解】正四棱柱如图所示， 正四棱柱中，平面， 因此直线与平面所成角为. 其中，. 在中，. 故答案为：. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知分别是正方体的边上的点，若，则异面直线与所成的角等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面几何证得，再利用平行线的传递性得到，从而得到为异面直线与所成的角（或其补角），再证得是等边三角形，从而得解. 【详解】连接， 因为在正方体中，，又， 所以，故， 因为在正方体中，, 所以四边形是平行四边形，则， 所以，则为异面直线与所成的角（或其补角）， 在正方体中，为其面对角线，易得， 所以是等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为. 故答案为：. 3.（2026江苏省职教高考数学真题）已知为正方体，棱长为4. （1）求四棱锥的体积； （2）为上一点，求证：直线平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过正方体性质判断出底面为矩形并求面积，通过线面垂直求出顶点到平面的距离，再代入棱锥体积公式即可求解. （2）通过线面平行证出平面平面，即可求证直线平面. 【小问1详解】 因为正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 且平面，平面， 所以，四棱锥的底面为矩形， 因为正方体棱长为4，所以，， 则矩形面积为. 连接，则， 因为正方形中，且平面，即， 平面，， 所以平面， 设点到平面的距离为，则. 因此四棱锥体积. 【小问2详解】 证明：由（1）可知：四边形为矩形，所以， 且平面，平面， 所以平面， 又因为正方体中且， 所以四边形为平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面， 因为平面，， 所以平面平面， 又在上，因此平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 4.（2025江苏省职教高考数学真题）在斜三棱柱中，底面，四边形为正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定、面面垂直的判定证明即可； （2）根据等体积法以及棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 连接， 因为底面，所以， 因为为斜三棱柱，所以为平行四边形，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，， 所以， 所以， 则的体积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $