四川叙永第一中学校2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷

**基本信息** 该试卷聚焦高二数学核心内容，通过数列、导数、排列组合等知识的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力，解答题注重综合问题解决，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|等差等比定义（题1）、排列组合（题2）|基础概念辨析，考查数学抽象能力| |选择题（多选）|3/18|函数极值与切线（题9）、排列问题（题10）|多维度能力考查，体现逻辑推理| |填空题|3/15|导数几何意义（题12）、染色问题（题13）|情境化设计，强化数学应用意识| |解答题|5/77|数列通项与求和（题15）、导数单调性与最值（题16、17）|综合知识整合，突出数学思维与模型构建|

高2024级高二下期半期质量检测 数学参考答案及评分参考 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B D D B 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合 题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.1 13.480 14.6 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)数列S是公差d不为0的等差数列{a}的前n项和，若4=S,4,a,=S4 根据等差数列的性质，☑，=S,=5g,故4=0… 2分 根据a,a,=S4可得(a,-d)(a,+d)=(g,-2d)+(a,-d)+4+(g+), 整理得-d=-2d,可得d=2(d=0不合题意)…4分 故0.=4十(h-3)d=2n-6.6分 (2)a=2n-6,4=-4, 3.=-4n+0-D×2=-5m. 2 .8分 Sn>a,g即12-5n>21-6 10分 整理可得2-7n+6>0, 当n>6或n<1时，Sn>a.成立12分 由于n为正整数， 故n的最小正值为7.。 13分 16.解：（1)因为f(x)=x-alx+a2,所以x>0, 所以f()=1-a=-a 1分 若aK0,则f'(x)>0在(0，+o)上恒成立.… 3分 则f(x)的单调递增区间为(0，十0)，无单调递减区间.4分 若a>0,则当x∈(0，时，f(x)<0,当x∈(a+0)时，f"(x)>0.5分 则f(x)的单调递增区间为(a,+o),单调递减区间为(0，a).… 6分 (2)由(1)可知，若fx)存在最小值，则a>0… 7分 且f(x)的最小值为f(a)=a-alna+a2 9分 2 则a-a1a+a2<2,可得a-1a-二+1<0.10分 a 令g)=x-m-2+16k>0), 则gm=1-1+2=x2-t+2 x x2 x2 因为x-x+2=x-+7>0恒成立， 7 12分 2 4 所以g(x)>0恒成立，则g(x)在(0，+o)上单调递增. 13分 又g(1)=0,令8(x)<0,解得x∈(0,1)，即a∈(0,1) 14分 故a的取值范围为(0,1). 15分 17.解：(1)已知f=-0 fm=2xe-（-ae_2x-(3-0-r+2x+a e e 1分 由f)在x=2处取得极值，有f(2)=0,即-4+4+0=0→a=0.2分 e2 此时号，f=+2s2-y 3分 ex 令f(x)=0,得x=0或x=2,列表判断单调性： x [-2,0) 0 (0,2) 2 (2,3] f'(x) - 0 0 - f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 故f(x)的极小值点为0，极大值点为2,4分 又4-e,0-0,12)=4,了(3)=2 5分 因此f(x)max=4e2，f(x)mn=0. .7分 (2)不等式f(x)≤3x-4对x∈[1，+w)恒成立， 即-a≤3x-4. ex 因e*>0得： x2-a≤(3.x-4)e=a>x2-(3x-4)e,. .8分 令g(x)=x2-(3x-4)e,②l,则需心8(x)ma, g'(x)=2x-[3e+(3.x-4)e]=2x-(3x-1)e,9分 令h(x)=2x-(3x-1)e,则l(x)=-(3x+2)e+2, 再令(x)=-(3x+2)e+2,m(x)=-(3.x+5)e*, 当1时，m(x)=-(3x+5)e<0,即m(x)在[1，+o)上单调递减， 所以m(x)≤m(1)=-5e+2<0, 11分 故h(x)<0对任意x∈[1，+)恒成立， 故h(x)在[1，+o)上单调递减，所以h(x)≤h(1)=2-2e<0, 故g'(x)<0对任意x∈1，+o)恒成立， 故g(X)在1，十0)上单调递减，13分 因此g(x)在[1，+o)上的最大值为g（1)=12-(3×1-4)e=1-(-1)e=1+e.14分 所以a心l+e,即a的取值范围是[1+e,+o). 15分 18.解：(1)由4Sn1=3Sn-9可得4Sn=3S-1-9(>2) 1分 两式作差，可得：41=30。， …2分 0=3 .....113分分 44 很明显，=3 4分 所以数列a,}是以-号为首项。为公比的等比数列， 5分 其通项公式为：a=(孕x导'=-3x守0lneN 7分 2）由边+m-a=0,得6=-”；4a=0a-4原。 8分 工-3x子2x京-1x++m-原1+0m-0, =-停-2×令-1学++加-)+加-0 110分 两式作差可得： 女3子食原a -9+16 3 12分 1- 则T=-4-(白1。 .………………14分 据此可得-4n令≤20m-4孕 恒成立，即(n-4)+3心≥0恒成立. n=4时不等式成立： n<4时，衣-3加 =-3-12 n-4 n-4 由于1时3=1，故：5分 n>4时，心-3 4?而-312 7-312 <-3,故：2>-3.16分 n-4 n-4 综上可得，{2-3≤<1}. .17分 19.解：(1)当a=0时，f()=(x-2)e, 求导得f()=e+(x-2)e=(x-1)e,1分 令f(x)=0,得x=1, 当x<1时，f"(x)<0,函数f(y)单调递减；2分 当x>1时，f"(x)>0,函数f(x)单调递增，3分 所以x=1是函数f(x)的极小值点，极小值为f(1)=1-2)e=-e,无极大值..4分 (2)f'(x)=(x-1)e-a(x-1)=(x-1)(e-a, 当a≤0时，则当x∈(-n,1)时，f”(x)<0,当x∈(L,+o)时，f"(x)>0,所以f(x)在(-n,1)单 调递减，在(（1，十0)上单调递增；5分 当a>0时，由f"(x)=0,得x=1或x=1a.6分 ①若a=e,则f'(x)=(x-1)(e-e)≥0，所以f(x)在R上单调递增7分 ②若0<a<e,则lma<1, 当x∈(-n,laU1,+o)时，f"(x)>0,当x∈(a,1)时，f"(x)<0, 所以f(x)在(-n,1,,+0)上单调递增，在(1a,1)上单调递减8分 ③若a>e,则ma>1, 当xe(-p,1)La,+o)时，f'(x)>0,当xe1,lma)时，f"(x)<0, 所以f()在(-p,1),(（1a,十m)上单调递增，在1,1a上单调递减9分 综上：当a≤0，f(x)在(-o,1)上单调递减，在1，+o)上单调递增； 当0<a<e,f(x)在(-o,lma,L,+o)上单调递增，在(a,1)上单调递减： 当a=e,f(x)在R上单调递增； 当a>e,fx)在(-m,1),(a,+o)上单调递增，在A,h☑）上单调递减.l0分 (3)若存在x∈(0,1)使得f(x)>0成立， 等价于在区间(0,1)上，f(x)mx>011分 由(2)知，当x∈(0,1)时： 若a<0,函数在(0,1)上单调递减，fx)<f(0)=-2- ,要使存在x∈(0,1)使得f(x)>0, 则-2-g>0→a<-4: .13分 2 若0<a<e,函数在(0，l)上单调递增，在(a,l)上单调递减， 最大值在x=ha处取得，最大值为fh四=(ha-2a-号ha-12.l5分 要使f1>0,化简得2(lna-2)-(1a-1)2>0→-(a)2+4hna-5>0,此不等式无解： 若心，函数在(0,1)上单调递增，f(x)<f(1)=-<0,不满足条件.16分 综上，a<-4,限即a的取值范围是(-0，-4)..17分 5 高2024级高二下期半期质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列数列中是等差数列也是等比数列的是（　　） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 2．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（　　） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 3．已知为等差数列，，，则（　　） A．36 B．24 C．18 D．12 4．等比数列的前项和为，且，则公比（　　） A． B．1 C．2 D．4 5．设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是，则点横坐标的取值范围是（　　） A． B．， C．， D．， 6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　） A．24 B．48 C．60 D．72 7．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.已知函数，则　　 A．有两个极值点 B．点是曲线的对称中心 C．有三个零点 D．过点可作曲线的一条切线 10．现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是　　 A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有种 11．如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上．记为数列的前项和，则（　　） A． B．对任意的， C．数列的前项和为 D． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12．函数在点，（1）处的切线与平行，则　 　 ． 13．如图，用6种不同颜色对图中，，，四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 　 　种． 14．已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为 　 　． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值． 16．（15分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围． 17．（15分）已知． （1）若在处取得极值，求在区间，上的最值； （2）若对，恒成立，求的取值范围． 18．（17分）已知数列的前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若存在使得成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $高2024级高二下期半期质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.下列数列中是等差数列也是等比数列的是() A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5C.5,5,5,5,5D.1,2,3,5,7 2.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相 同的选法共有() A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 3.已知{a}为等差数列，4=2，a,=6,则a4,+a。=( ) A.36 B.24 C.18 D.12 4.等比数列{a}的前n项和为S,且S。=9S,则公比q=() A月 B.1 C.2 D.4 5.设P为曲线C:y=r+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0，， 则点P横坐标的取值范围是() A.【-l B.[-1,0] c.[0,1] D. 6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A.24 B.48 C.60 D.72 7.用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形 容器的容积最大时，扇形的圆心角“为() A.2π B. 3 D.26 C.v6 3 3 8.已知函数f(x)=xx-m)有两个极值点，则实数a的取值范围是() A.（-0,0) B.(0,) C.(0,1) D.(0,+0) 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合 题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 1 9.己知函数f(x)=x3-3x+2,则() A.f(x)有两个极值点 B.点(0,2)是曲线y=f(x)的对称中心 C.f(x)有三个零点 D.过点(O,2)可作曲线y=f(x)的一条切线 10.现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A,B,C三项工作，且每个同学只能参加一项 工作，则下列说法正确的是() A.不同的安排方法共有3种 B.若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有C(24-1)种 C.若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有 14种 D.若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 11.如图，有一系列正三角形，设第nn∈W)个正三角形2-，P9n的边长为a,其中，卫在 曲线y=√上，Q为坐标原点，Q,在x轴上.记Sn为数列{a}的前n项和，则() P 0Q, Q B.对任意的n∈N,a1=2a 。数列（安}的前a项和为 D. 1 n+1 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.函数f(x)=lx+e在点1，f(1))处的切线与y=ax平行，则a=」 13.如图，用6种不同颜色对图中A,B,C,D四个区域染色，要求同一区域染同一色， 相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 种 D C B 2 14.已知数列a)的通项公式为42-i3 n-2 前n项的和为S,则S取得最小值时n的值 为 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)记S,是公差不为0的等差数列{a}的前n项和，若4=S,a,4=S4· (1)求数列{a}的通项公式4； (2)求使S>a成立的n的最小值. 16.(15分)己知函数f(x)=x-alx+a2. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)存在最小值，且最小值小于2，求a的取值范围. 17.(15分)已知fw)=-4 (1)若f(x)在x=2处取得极值，求f(x)在区间[-2,3]上的最值： (2)若f(x)≤3x-4对xe[1,+o)恒成立，求a的取值范围. 18.（17分)已知数列a}的前n项和为8，g=号，且4S-38-90aEW). (1)求数列{4}的通项公式： (2)设数列{b}满足3b,+(-4)a,=0(n∈N),记{b}的前n项和为T,,若T,≤b,对任意 n∈N恒成立，求实数的取值范围. 19.(17分)已知函数f)=x-2)e-C(x-1)2. 2 (1)当a=0时，求f(x)的极值： （2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若存在x∈(0,1)使得f(x)>0成立，求a的取值范围.高2024级高二下期半期质量检测 数学参考答案及评分参考 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 2 6 P 答案 C C ◇ D D B 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合 题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 1 13.480 14.6 四、解答题：本题共5个小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)数列S是公差d不为0的等差数列{a,}的前n项和，若a=S,a,a4=S4· 根据等差数列的性质，a=S,=50,故a3=02分 根据a,a4=S4可得(a-d)(a+d)=(a-2d)+(a-d)+a,+(a+d), 整理得-d2=-2d,可得d=2(d=0不合题意)4分 故an=a3+(n-3)d=2n-6.6分 (2)an=2n-6,a1=-4, S三-4nin-2=n58a分 2 Sn>an，即n2-5n>2n-6.10分 整理可得n2-7n+6>0, 当n>6或n<1时，Sn>an成立 .12分 由于n为正整数， 故n的最小正值为7.…。 13分 16.解：(1)因为f(x)=x-alnx+a2,所以x>0, 所以f()=1-a=x-a xX 1分 若a0,则f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立 3分 则f(x)的单调递增区间为(0，+0)，无单调递减区间. 4分 若a>0,则当x∈(0，a)时，"(x)<0,当x∈(a,+o)时，f"(x)>05分 则f(x)的单调递增区间为(a,+oo),单调递减区间为(0，a). ..6分 （2)由(1)可知，若f(x)存在最小值，则a>0.7分 且f(x)的最小值为f(a)=a-alna+a29分 2 则a-alna+a2<2,可得a-lna-二+1<010分 a 令g)=x-x-2+10x>0), x 则g)=1-1+2=2-x+2 x x2 x2 因为r-x+2=(t-+不>0恒成立，… 4 12分 所以g'(x)>0恒成立，则g(x)在(0，+∞)上单调递增。 .13分 又g(1)=0,令g(x)<0,解得x∈(0，)，即a∈(0,1) 14分 故a的取值范围为(0,1). 15分 17.解：(1)已知f=-a )-2x-e-Q-a)e'-2x-(-a)_-x+2xta e2x 1分 由f)在x=2处取得极值，有f(2)=0,即4+4+a=0今a=0.…2分 e2 此时f)=,)=十2红=2二 e 3分 e 令f"(x)=0,得x=0或x=2, 列表判断单调性： x [-2,0 0 (0,2) 2 (2,3] f'(x) 0 + 0 f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 故f(x)的极小值点为0，极大值点为2，…4分 又-2言=e,f10-0,f2)立f3)-2 5分 因此f(x)m=4e2，f(x）n=0.7分 (2)不等式f(x)3x-4对x∈[1，+o)恒成立， 即-0≤3x-4. e 因e>0得： x2-a(3x-4)e*→ax2-(3x-4)e,. 8分 令g(x)=x2-(3x-4)e,x1,则需ag(x)mar, g'(x）=2x-[3e+(3x-4)e']=2x-(（3x-1)e,9分 令h(x)=2x-(3x-1)e,则h'(x)=-(3x+2)e+2, 再令m(x)=-(3x+2)e+2,m'(x)=-(3x+5)e, 当x1时，m'(x)=-(3x+5)<0,即m(x)在[1，+oo)上单调递减， 所以m(x)m(1)=-5e+2<0，… ..11分 故h(x)<0对任意x∈[1，+o)恒成立， 故h(x)在[1，+oo)上单调递减，所以h(x)h(1)=2-2e<0, 故g'(x)<0对任意x∈[1，+oo)恒成立， 故g(x)在[，+oo)上单调递减， 13分 因此g(x)在[1，+oo)上的最大值为g(1)=12-(3×1-4)e=1-(-1)e=1+e14分 所以a1+e,即a的取值范围是[1+e,十o).15分 18.解：（1)由4Sn1=3Sn-9可得4Sn=3S-1-9(n2)1分 两式作差，可得：4an1=3am，… .2分 0=3 0n4 3分 很明显， 3 ……………………4分 所以数列a}是以-号为首项，为公比的等比数列， 5分 英通项公式为：a=(骨x金=-3x孕a1aeW)。 7分 (2)由36，+(a-4a,=0,得6，=-"4 n=(n-4))” 8分 3 =-3x-2x-1x++a-xr+a-4- =-3x-2x-1x官r++a-列-原r+a-40-绿 10分 两式作差可得： =-3x++孕++--4- 9 -9+16 -1 --(n-4))+ 4 3 12分 1- 4 -9+9-4-0-4-(》=-n -44 则Tn=-4n()+. 14分 据此可得4n孕2a-4》 恒成立，即2(n-4)+3n0恒成立. n=4时不等式成立； n<4时，元-3n n-4 气3、12，由于11时(3-n二4a1,故九115分 n-4 n>4时，元-3n n-4 -4’而-3-12 -3、12 <-3,故：元-316分 n-4 综上可得，{-32}. 17分 19.解：(1)当a=0时，f(x)=(x-2)e, 求导得f'(x)=e+(x-2)e=(x-1)e, 1分 令f"(x)=0,得x=1, 当x<1时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减： 2分 当x>1时，∫'(x)>0,函数f(x)单调递增，3分 所以x=1是函数f(x)的极小值点，极小值为f(1)=(1-2)=-e,无极大值.4分 (2)f'(x)=(x-l)e-a(x-l)=(x-1)(e-a), 当a0时，则当x∈(-o,1)时，f'(x)<0,当x∈(1，+o)时，f'(x)>0,所以f(x)在(-o,1)单 调递减，在(1，+o0)上单调递增； 5分 当a>0时，由f'(x)=0,得x=1或x=lma.6分 ①若a=e,则f'(x)=(x-1)(e-e)0,所以f(x)在R上单调递增7分 ②若0<a<e,则lna<1, 当xe(-o,lma)LU1,+oo)时，f'(x)>0,当x∈(lna,l)时，f'(x)<0, 所以f(x)在(-o,lna),(L,+oo)上单调递增，在(na,1)上单调递减8分 ③若a>e,则lma>1, 当x∈(-0,1)U(lna,+oo)时，f'(x)>0,当x∈(1，lna)时，f'(x)<0, 所以f(x)在(-o,1),(lna,+0)上单调递增，在(L,lna)上单调递减9分 综上：当a0,f(x)在(-o,1)上单调递减，在(L,+o)上单调递增； 当0<a<e,f(x)在(-o,lna),L,+oo)上单调递增，在(na,)上单调递减： 当a=e,f(x)在R上单调递增； 当a>e,f()在(-o,1),(na,+o)上单调递增，在(，ma)上单调递减.l0分 (3)若存在x∈(0,1)使得f(x)>0成立， 等价于在区间(0，)上，f(x)m>0.… 11分 由(2)知，当x∈(0，)时： 若a0,函数在(0,1)上单调递减，f)<f0)=-2-g，要使存在x∈(0,1)使得f>0, 则-2->0今a<-4店 2 13分 若0<a<e,函数在(0，lna)上单调递增，在(lna,)上单调递减， 最大值在x=lma处取得，最大值为fln@)=(a-2)a-g(ma-12.l5分 要使f(lna)>0,化简得2(lma-2)-(lma-1)2>0→-(lma)2+41na-5>0,此不等式无解； 若ae,函数在(0,1)上单调递增，f(x)<f(1)=-e<0,不满足条件.16分 综上，a<-4,即a的取值范围是(-0，-4). 17分 5