湖北随州市曾都区第一高级中学实验班2025-2026学年高一下学期四月第二次测试数学试卷

**基本信息** 高一实验班月考数学卷，覆盖必修一及必修二第六章至第八章，以函数、几何、向量为核心，通过斜坐标系等创新题型（如19题）考查抽象能力与创新意识，解答题分层设计（如16题面积范围）体现推理思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、函数单调性、立体几何直观图|第9题复数性质判断，融合逻辑推理与运算能力| |填空题|3题/15分|解三角形多解、向量模长、圆柱外接球|14题结合内接正三角形与外接球，考查空间观念| |解答题|5题/77分|解三角形、三角函数图像、斜坐标系应用|19题斜坐标系创新情境，体现数学抽象与模型意识，16题面积范围探究培养推理能力|

学科网（北京）股份有限公司 湖北随州曾都一中25级高一实验班下学期四月第二次测试数学试卷 内容：必修一+必修二第六章至第八章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3. 在中，点在边上，.记，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（   ） A． B． C． D． 5. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（ ） A. B. 4 C. D. 8.已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（且），若，则（    ）． A．是纯虚数 B．是实数 C． D．的最大值为2 10. 下列结论正确的是（ ） A. 点在所在的平面内，若，则点为的重心 B. 若，为锐角，则实数m的取值范围是 C. 点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则 D. 点在所在的平面内，满足且，则点是且的内心 11.在中，，且，为边的中点，则（ ） A． B．若，则 C． D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 13. 已知平面向量与的夹角为，，且对任意实数，的最小值为，则____________. 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，中，，，，，为的中点，与相交于点． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 16. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 17. 如图所示，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，C点坐标为(－2，0)，平行四边形的面积为S. (1)求·＋S的最大值； (2)若，求的值． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． (1)求A； (2)若，求的周长最大值． (3)若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围． 19. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条射线，，分别为Ox，Oy同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②A，B分别在射线Ox，Oy上，，E，F为线段AB上两点，且，，求的最小值． 湖北随州曾都一中25级高一实验班下学期四月第二次测试数学试卷 参考答案 ACCD CABC 9.ABD 10. ACD 11. ABD 12. 13. 14. 15. 解：（1）易知 ， 因为三点共线，所以，解得； （2）记，则，， 又，，，故， ， ， ，     则． 16. 解:（1）因为，由正弦定理得， 又因为在锐角中，所以，又，所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以，所以 所以. 17.解：（1）由已知得，的坐标分别为，， 因为四边形是平行四边形，所以， ，又因为平行四边形的面积为， 所以+1 又因为，所以当时，的最大值为． （2）由题意知，， 因为，所以，因为，所以． 由，，得，， 所以．. 18.解：（1），即， 由正弦定理得，， 因为，所以， 又，所以，即， 因为，所以，所以，即． （2）因为，，所以， 所以周长 因为，所以 当时，周长取得最大值，此时． （3）设外接圆半径为，则， 且由正弦定理，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，，令， 则， ∵，∴． 19. 解：（1）因为，所以， 所以， 所以． （2）①因为，， 所以，， 得到， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去），则． ②依题意设，，， 如图，作出符合题意的图形， 因为为中点，则， 同理， 则 ， 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得， 所以 ， 在中，，， 由正弦定理， 设，则，， ， 因为，所以，则， 所以当时，取得最小值， 即取最小值，此时取最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $