江苏扬州中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题

江苏省扬州中学2025-2026学年第二学期期中试题 高一数学 2026.4 试卷满分:150分，考试时间:120分钟 注意事项: 1. 作答试卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码． 2. 将答案填写在答题卡的指定位置，在试卷上答题无效． 3. 考试结束后，请将答题卡交监考人员． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（     ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 4．函数 的最小正周期是（     ） A． B． C．π D．2π 5．已知分别为的三个内角的对边，若，，，则角（    ） A．或 B． C. D． 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（     ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．圆锥有无数条母线 D．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 10．下列说法中正确的是（    ） A．对任意向量，，，都有 B．已知向量与单位向量同向，且，，则 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．Q是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 11．在中，角所对的边分别为，若，，，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．使为锐角三角形的的整数值只有1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域是___________. 13．在平行四边形中，，设，，则___________.（用，表示） 14. 已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，，且与的夹角为，求 (1)； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16．(1)已知，求值： ； (2)已知，求的值. 17. 如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点. (1)设和交于点G，求∠EGB的余弦值； (2)若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围. 18．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 19．在中，对应的边分别为，. (1)求角的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式：设为非零实数，则， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 江苏省扬州中学第二学期高一数学期中参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A D C C A AC BCD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以， 所以，即. （2）， 因为向量与的夹角为钝角，所以，即； 令，可得，解得， 当时，向量与的夹角为，不是钝角， 所以的取值范围为. 16．（1）；（2） 【详解】（1）由诱导公式得. （2）因为，所以， 因为，， 所以，， 则 . 17．【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在直角梯形中，，，，，连接， 则，四边形为平行四边形，，， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，    则， 则， 所以, 所以∠EGB的余弦值的余弦值为. （2）由（1）得，由点F在边上，设， 则，，而， 因此， 所以的取值范围为. 1. (1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得,即, 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以，解得，所以 所以 （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 由（2）知，则 所以， 则， 则， 故中线CD的长度的取值范围为. 19.【答案】(1)； (2)①108；②. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 则，即， 整理得，即，又， 于是，又，所以. （2）①由正弦定理得， 由柯西不等式得 ， 当且仅当，即为正三角形时取等号， 所以的最小值为108. ②. 又， ，由三维柯西不等式 得， 当且仅当，即时等号成立， 因此， 由余弦定理，得，则， ，令，则， 由，得，当且仅当时等号成立， 则，即，函数， 则当，即时，，， 所以当时，取得最小值. 试卷第2页，共10页 试卷第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $