精品解析：浙江浙里特色联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试题

2025学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题：钱塘高级中学审核：富春高级中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 4. 已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 数列满足，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 7. 某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（ ） A. 100 B. 150 C. 180 D. 540 8. 已知正四面体的棱长为，则该四面体的外接球与以点为球心，为半径的球面的交线的周长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 已知幂函数是奇函数，则实数 B. 先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D. 函数在区间内有零点 11. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.） 12. 已知，则_____. 13. 直线被圆截得的弦AB的长为________． 14. 如图，一动点P从点A出发，在正方形的各顶点上移动.每次移动时，动点P有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点P移动了步之后，停在点A的概率为.则_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的最大值为， （1）求a的值； （2）求使成立的x的取值集合 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 17. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． （1）求证：平面BDE； （2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 19. 已知动圆C与圆内切，同时与圆外切，圆心C的轨迹为曲线E，过抛物线的焦点F且斜率不为0的直线l交曲线E于点M、N，，，直线与直线交于点P． （1）求曲线E的方程； （2）记，的面积分别为，，若，求直线l的斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题：钱塘高级中学审核：富春高级中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】 解得. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 【答案】D 【解析】 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 4. 已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用渐近线方程得出，再应用计算求解. 【详解】因为直线是双曲线：的一条渐近线， 则，所以的离心率为. 5. 数列满足，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】结合递推公式依次计算即可. 【详解】由题意得，所以，，， ，故C正确. 6. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 7. 某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（ ） A. 100 B. 150 C. 180 D. 540 【答案】B 【解析】 【分析】五名学生自由选择三场比赛，再减去不符合条件的方案即可. 【详解】五名学生自由选择三场比赛：种； 若恰好有一场比赛无人观看，则有种， 若有两场比赛无人观看，则共种. 则不符合条件的方案共有种， 所以符合条件的方案有种. 8. 已知正四面体的棱长为，则该四面体的外接球与以点为球心，为半径的球面的交线的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正四面体外接球半径，利用三角函数定义求出，则得到，再利用三角函数定义和圆周长公式即可得到答案. 【详解】设该正四面体的外接球的半径为，为底面的中心，为该正四面体外接球的球心， 则，则该正四面体的高， 根据，即，解得， 则，，， 如图，在中，， 所以； 在中，， 因为交线为圆，所以周长为. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用纯虚数定义可得A；借助复数运算法则可计算出，再利用几何意义即可得B；利用共轭复数定义可得C；利用模长公式计算可得D. 【详解】对A：，为纯虚数，故A正确； 对B：，由、， 故在复平面内对应的点位于第三象限，故B正确； 对C：由，则，故C正确； 对D：，故D错误. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 已知幂函数是奇函数，则实数 B. 先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D. 函数在区间内有零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，根据奇偶性的定义，即可得判断A的正误；根据平移伸缩变换的原则，可得变化后的解析式，即可判断B的正误；分析可得当时，符合题意，即可判断C的正误；根据零点存在性定理，可判断D的正误. 【详解】选项A：由为幂函数，得，解得或， 当时，，，为偶函数，故舍去， 当时，，，为奇函数，符合题意，故A正确； 选项B：将曲线向右平移个单位长度，得， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的，得，故B错误； 选项C： 当时，恒成立，此时符合题意，故C错误； 选项D：因为与在均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 又，， 所以，则在区间内有零点，故D正确. 11. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D的正误. 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则 ，故A错误，B正确； 所以， 则，故C正确，D错误. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.） 12. 已知，则_____. 【答案】127 【解析】 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为， 令，则， 令，则， 所以. 13. 直线被圆截得的弦AB的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，结合几何法求圆的弦长. 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以弦的长为：. 14. 如图，一动点P从点A出发，在正方形的各顶点上移动.每次移动时，动点P有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点P移动了步之后，停在点A的概率为.则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出移动两步后，依旧在点的概率，则移动四步后，依旧在点的概率为，移动六步后，依旧在点的概率，代入计算即可得. 【详解】移动两步后，依旧在点的概率为， 则移动两步后，在点的概率为， 则， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的最大值为， （1）求a的值； （2）求使成立的x的取值集合 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】小问1运用正弦的和差角公式进行化简，从而计算出函数的最大值，进而解出a; 小问2通过化简转换为求解,让问题得到求解. 【小问1详解】 . 因为的最大值为，且函数的最大值为， 解得 【小问2详解】 由（1）得，， 所以，由，得，即 所以. 解得. 因此，成立的x的取值集合是. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组即可； （2）利用错位相减法求和可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由，可得，可得① 由可得，整理可得②. 联立①②可得，. 所以. 【小问2详解】 因为，则. 所以， 上式-下式得 . 因此，. 17. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． （1）求证：平面BDE； （2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） 连接, 因为为等边三角形，D是线段AC的中点，所以， 又因为平面，平面，所以, ,平面,所以平面, 平面,所以， 由题设可知，四边形为菱形，所以, 因为D，E分别是线段AC，的中点，所以, 所以， 又因为平面BDE,所以平面BDE. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明； （2）利用空间向量的坐标运算求出二面角的余弦值求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则, 设， 则所以 平面的一个法向量, 设平面的一个法向量为, 所以，设，则， 所以， 设， 所以， 因为，所以二次函数在单调递增， 所以，所以， 所以锐二面角的余弦值的取值范围． 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义结合直线垂直可得，运算求解即可； （2）整理可得，分和两种情况，根据导数的符号判断原函数单调性； （3）根据（2）中单调性可知，进而可得，利用单调性解不等式即可得结果. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得：，解得. 【小问2详解】 因为的定义域为，且， （i）若，则，可知在单调递减； （ii）若，令，解得， 当时，；当时，； 可知在单调递减，在单调递增； 综上所述：当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）可知：当时，函数在上为减函数， 则至多有一个零点，不合题意，所以， 此时函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当，，当，， 若函数两个零点，则 ， 令 ，，可知在上单调递增，且， 则不等式的解集为，所以的取值范围为. 19. 已知动圆C与圆内切，同时与圆外切，圆心C的轨迹为曲线E，过抛物线的焦点F且斜率不为0的直线l交曲线E于点M、N，，，直线与直线交于点P． （1）求曲线E的方程； （2）记，的面积分别为，，若，求直线l的斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据两圆位置关系可得，结合椭圆定义求解； （2）设，，分别表示出和的面积，利用面积比条件建立与的模长关系，设直线的方程后联立椭圆，通过韦达定理结合的条件建立关于斜率参数的方程并求解； （3）先由直线的方程与联立求出点坐标，进而得到直线的斜率，结合的斜率构建比值表达式，代入直线参数方程进行化简，最后利用韦达定理消去坐标变量，判断比值是否为常数. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以圆内切于圆， 由，可得，故切点坐标为，故， 设动圆C的半径为，则圆C与圆内切时，， 圆C与圆外切时，， 所以， 由椭圆的定义可知，曲线E的方程为. 【小问2详解】 设，，又，，， 面积， 面积. 由，得， 因为M，N在F两侧，故，异号，不妨设. 设直线，与椭圆联立得：， 则，， 代入，得：，， 消去得：， 所以，所以直线的斜率. 【小问3详解】 由题得直线，令得：， 所以，又直线BN的斜率， 于是：，代入，， 所以， 由韦达定理得：，， 可得：，． 代入上式，分子， 分母， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $