浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题

2026年高二4月题库 数学 试题 得 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 蜀 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.2026×2025×2024等于 A.C2026 B.A3026 C.C202 D.A 2.已知(x-1)4=ao十a1x十a2x2十a3x3十a4x4,则ao十a1十a2十a3十a4的值为 A.-1 B.0 C.2 D.3 3.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≥4)=0.2，则P(X≤2)的值为 n A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 4.若随机事件A,B满足P(B)=0.4,P(A|B)=0.2,则P(AB)的值为 A.0.6 B.0.5 C.0.2 D.0.08 5.某班级寒假期间安排4名优秀团员到A,B两个社区参加志愿者活动，A社区要求至少2名 志愿者，B社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动， 则不同的分配方案有 A.40种 B.20种 C.10种 D.6种 6.已知数列{an}的前n项和为S.若an十an+1=2n十3，则So的值为 A.1890 B.1980 C.2010 D.2100 7,已知双曲线C:专 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲 线左、右两支于A,B两点，若BF=3AF,∠F1BF2= 于，则双曲线的离心率为 A.22 B.√7 C.√6 D.√5 8.已知函数f(x)=x2(lnx-a- 之)十aex(其中e为自然对数的底数，e=2.71828)有2个极 值点，则实数a的取值可以是 A.2 B.1 C.2 D.e 【Q!高二数学 第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 P 1 2 a 3 则下列说法正确的是 A.P(X=0)= B.P(X≤0)=2 CE(X)=-吉 D.DX0)-器 10.如图所示，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，点M,N为A1D1, C AB的中点，则下列结论正确的是 M A.MB1⊥NC B.NC1∥平面AB1M C,点N到平面AB,M的距离为公 D.平面AB,M与底面ABCD夹角的余弦值为 6 11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋 第0行 1 数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨 第1行 11 辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的 两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题 第2行 121 中正确的是 第3行1331 A.第6行从左到右第4个数是20 第4行14641 B.第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该 第5行15101051 行中最大的数 … … C.记“杨辉三角”第n行的第i个数为a,则 2-1·an.=3 D.210在杨辉三角中出现了6次 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.不等式C>C的一个解是▲.（写出一个符合要求的答案即可） 13.随着人工智能技术的快速兴起与广泛应用，A1工具已深度融人内容创作领域，极大提升了 短视频的制作效率.一位UP主借助AI工具制作短视频，流程分为选题与文案、生成素材、 配音配乐、剪辑包装四个步骤，各步骤可选工具如下表： 步骤 可选AI工具 选题与文案 ChatGPT、豆包、Kimi、DeepSeek 生成素材 可灵AI、即梦AI 配音配乐 剪映、魔音工坊、讯飞配音 剪辑包装 剪映、Runway、Pika Labs 剪映不可单独使用（即若在配音配乐或剪辑包装中使用剪映，则两个阶段必须都使用剪映）， 每个阶段只能且必须选择1个工具.则不同的搭配方案共有▲种. 【Q高二数学第2页（共4页）】 14.甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为2,3,4的三张扑克牌.现在两人随机抽取一张扑克 牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放人甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑 克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒.每次放回牌盒后都重新洗牌， 则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 从0,1,2,3,4,5这6个数字中选取4个数字组成没有重复的四位数， (1)若组成四位数的4个数字中没有“0”，这样的四位数共有多少个？ (2)若四位数是5的倍数，这样的四位数共有多少个？（结果用具体数字作答） 16.(15分) 某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖.盒子中有5个大小、形状完全相同的小球，其 中红球3个，白球2个.顾客从中一次性抽取2个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一 份纪念品 (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭3个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的 份数为Y,求Y的分布列与数学期望. 17.(15分) 已知f(x)=(x十a)"(n∈N*). (1)当a=2时，f(x)展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍， ①求n的值； ②求f(x)展开式中系数最大的项； (2)若n=3时，f(.x)一3a(ax十3)≥a3在(0，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 【QJ高二数学第3页（共4页）】 18.(17分)》 为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目.甲、乙、丙三位 同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个 人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到.已知甲传给乙的概率 为}，甲传给丙的概率为号：乙传给甲的概率为}，乙传给丙的概率为子，丙传给甲的概率为 3,丙传给乙的概率为子.记第n次是甲、乙、丙传球的概率分别为a,b.,c (1)求a1,a2,a3的值； (2)用bn-1,c-1表示an(n≥2)，并求{an}的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率. 19.(17分) 已知直线y=kx十 5与抛物线C:y=x2十1交于A,B两点，过A,B分别作抛物线C的两 条切线，两条切线交于点P:过点P作直线AB的垂线，与椭圆C:若+y=1交于M,N两 点（点M在点N上方） (1)证明：点P在一条定直线上； (2)记△MAB,△NAB的面积分别为S1,S2,求S2一S1的最小值. 【QJ高二数学第4页（共4页）】2026年高二4月题库 数学试题参考芳答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 6 7 B B A D A B D 1.B由排列数公式可知A326=2026×2025×2024.故选B. 2.B根据赋值法，令x=1可得a。十a1十ag十a3十aa=0.故选B. 3.A根据正态分布曲线可知图象关于x=3对称，所以P(X≥4)=P(X≤2)=0.2.故选A. 4D根轻条件概率公式PAB)-,可得PAB)=PB)PAD)=0,6,放送D 5.C由题意可得A社区2名、B社区2名或者A社区3名、B社区1名，所以不同分案数为C号十C=6十4= 10.故选C. 6.A因为S=(a1+a2)+(a3十a4)+…+(a5十ao)=(2X1+3)+(2X3+3)+…+(2×59+3)= (5十121)×30=1890.故选A. 7.B设|AF,|=t,则|BF1|=3t,|AF2|=2a+t,|BF2|=3t-2a,在△ABF2中，cos∠FBF2= 4r十（31-2a)-（2a十D气t=2a.在△FB5,中，cos∠EBF,60）十（4如)-4c气化简得e 2·2t·(3t-2a) 2·6a·4a =7a,所以后=万.故选B. 8.D由f'(x)=2xlnx-2ax+ae=0台xlnx=a(x- ),所以直线y=a(x一令)与函数g(x)=xlnx图象有 两个交点.根据函数g(x)=zlnx图象可以判断，过点(，0)与函数图象相切的直线有两条.设切点(xo, yo),切线方程y一yo=(lnxo十1)(x一xo),即eln xo一2xo十e=0.可知xo=e是方程的一个解，此时的切线 方程为y=2x一e,因此a>2符合题意，故C选项错误，D选项正确.另一方面，g'(x)=nx十1=0→x= e, 所以g(x)在(0，己)递减，在（日，十∞）递增.当a=时，由g(x)=号→x=e,可得g(x)在点(e, g(e)处的切线为y=宁x一。士，与x轴交点A(2e寸，0)在点（号0）的左边，所以直线y=合(x-台)与 g(x)图像没有交点，A选项错误；同理可得B选项错误.故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 AC ACD ACD 9.AC选项A:由号十a十号=1，得a=合，所以P(X=0)=名，放A正确：选项B:P(X<0)=P(X=-1)十 PX=0)=号十言=号，故B错误：进项C,E(X)=-1X+0X+1X号=一，放C正确：选项D DX)(-1++吉0+片+宁1十-器故D错放AC 【Q高二数学卷参考答案第1页（共4页）】 10.ACD以点A为坐标原点，以AB,AD,AA1所在直线为x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系，则A(0,0, 0),B(2,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),C1(2,2,2),M(0,1,2),N(1,0,0).选项A:MB=(2,-1,0),VC= (1,2,2),因为MB·NC=2-2十0=0，所以MB1⊥NC1,故A正确；选项B:平面AB1M的法向量n1=(1, 2,-1),因为NC1·n1=1十4-2=3≠0，所以NC与平面AB:M不平行，故B错误：选项C:点N到面 AB,M的距离为d=A-后，放C正确：选项D:底面ABCD的法向量n:=（0,0,1),所以平面 n AB与底面ABCD所成夹角的余弦值为s9=amm=”h-汽放D正确，故选ACD 11.ACD选项A:第6行第4个数为C=20,故A正确；选项B:第2026行共2027项，最大项为只有一项，为 第1014个数，故B错误：选项C:a=C,所以321·a=空21·C1=2C2=(1+2=3,故C i=1 k=0 正确；选项D:设C=210,由对称性只需考虑k≤号的情况.对k=1,2,3…逐个代入验算，可得当k=1,2,4 时，C2o=C,=C1=210成立：当k≥5时，n≥2k≥10，因为C≥C≥Ci。=252>210,故没有其他组合数等 于210，综上210可以表示为C1o,Ci。,C4,C,C2o,C8共6个，故D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3(答案不唯一）13.4014号 12.3(答案不唯一)因为C。=C。,由C的单调性得x可取3,4,5,6,7. 13.40使用剪映：4×2×1×1=8种；不使用剪映：4×2×2×2=32种：共8十32=40种。 14. 5 由题意，两次比较都是乙的点数大，甲失去2张牌是2和3，分两类：①若第1次甲抽到的是2，则乙可 以是3或4，比较后甲盒中只有3,4，乙盒中为2,23,4：第2次则甲辅到3，乙抽到4，故餐率为P=号×号 ×号×}-石：②若第1次甲轴到的是3，侧乙抽到了4，比较后甲盒中只有2,4，乙盒中为2,33,4：第2次 则甲抽到2，乙可以抽到3或4，故概率为卫：=子×宁×立×-子，所以2次比较大小后，甲的降盒巾只 剩1张扑克牌的概率为P=P,+P,=36+24=2 1 1-5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)A=120.……………………………6分 (2)若个位数字为0，则有A=60(种)；…………………………9分 若个位数字为5，则有CA好=48（种），………… 12分 所以这样的四位数共有：60十48=108（种）.……13分 16.解：(1)设一位顾客抽到红球的个数为X,X=0,1,2；当X≥1时，顾客获得纪念品. P(X=1)=CC=3 5…………… P(X=2)=是=3」 Cg10’ …6分 P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=9 10 7分 (2)由已知可得：Y~B(3,号， 【Q高二数学卷参考答案第2页（共4页）】 则PY=)=C(品)广品〉 1、3- ,k=0,1,2,3. 9分 所以Y的分布列为： 0 1 2 3 1 P(Y=k) 27 243 729 1000 1000 1000 1000 13分 E0=3x品0 15分 (备注：“若第1小题概率求错，第2小题二项分布分布列期望按错的算出来，可给过程分，但不超过3分。”) 17.解：(1)①由已知得：C=4C,所以n)=4n,2分 2 解得：n=9.………… 3分 ②通项公式为：Tk+1=Cx“-2=C2x-,k=0,1,2,…,9, 5分 设a4+1=C2*(k=0,1,…,9),设a+1最大， |ak+1≥ak+2, C2≥C+12*+1, 3 则 所以 化简得 所以k=6. …8分 ak+l≥ak: C2≥C-12-1 20 3 所以当k=6时，系数最大项为T,=C82x3=5376.x3. 9分 (2)若n=3时，f(x)=(a十x)3=a3十3a2x十3ax2+x3, 则f(x)-3a(a.x十3)≥a3曰x3十3a.x2-9a≥0；… 10分 设g(x)=x3十3ax2-9a(x>0),则g(x)≥0恒成立； g'(x)=3x2+6ax=3.x(x十2a)(x>0),… 11分 当a≥0时，g'(x)>0恒成立，所以g(x)在(0，十oo)上单调递增，所以g(x)>g(0)=-9a≥0， 所以=0.…12分 当a<0时，g'(x)>0→x>-2a:g'(x)<0→0<x<-2a, 所以g(x)在(0，-2a)单调递减，在(-2a,十∞)单调递增，故g(x)≥g(-2a)=4a3-9a. 由4a-9a≥0>a≤是-号<a≤号放-号a<0. …14分 综上：-号≤a≤0. 15分 18.解：(1)a1=1,a2=0;……… ……2分 6=子=号，放a=·+·号 2 4分 …6分 又a.十6十c=1,所以a,=1-a-),故a,-=-(a1- 又a--，所以a.-}-是(-)，即a-十 ·(- (n∈N”).………11分 (3)设事件A:第5次球从甲传出；事件C:第3次球从丙传出； 则事件AC表示：第5次球从甲传出，第3次球从丙传出.其路径为：丙→乙→甲.……13分 【Q高二数学卷参考答案第3页（共4页）】 92 6：=号×0叶x=2 a+ 3 3 39a=1+3 1、4 7 4 4 2 27 15分 21 2 所以PCCIA-PC332·2.g→ … 9a9 7-21 17分 27 19.解：(1y=kx+号代人y=x2+1,得2-k红-号=0， 3 设A(x1y1),B(x2y2),则x1十x2=k,x1x2=- 2； …………2分 y=x2十1导函数为y=2x,所以在点A(x1,y1)处的切线方程为y一y1=2x1(x一x1), 化简得PA:y=2x1x-x十1，同理得PB:y=2x2x-x十1，……4分 所以两直线交点为P(白士2十1D,所以=x十1=一号 2 故点P在定直线y三一分上。…6分 (2)AB|=√/1十klx1-x2=√1十k·√k2十6，…7分 由I)得P(夸，一之，所以垂线MN:x-冬=-k十分)，即x=-,代入椭圆C:号+=1 4 2 得：y=十4因为点M在点N上方，所以M= -2 w ;………8分 w+4 Ikxw-yw+号1k+1Dw 5 2(k2+1)5 M到直线AB的距离dM= E+42 /1+k V/1十k V√1十k 2(k2+1)+5 十4 2 同理可得N到直线AB的距离d、== ,………10分 √/1十k S-S,=2|AB1·(d-dw). 2(k2+1)5 「2 当2k+1-)≥0即≥6=二2时d十4 32 W/1十 dw-dm= 十石·所以s-S=号+6≥号： 5 13分 5 2(k+1) 4(k2+1) 2 当k2<to时，dM== R十4 +4 ,dN一dM= √J1十k /1+k 所以S.-S=2+》于6，设1=+4[4,6十4， √/+4 设f0=(S-5)-4a-3+2=4r-4-3+: t ∫(0=4(21-4-)≥4)=空>0，所以f(0在t∈[4，。十4)上单调递增： 所以f(t)≥f(4)=6,故S-S1≥√6，当且仅当t=4,即k=0时取到“=”， 显然号√十66，所以S2一S的最小值为6。……17分 【Q高二数学卷参考答案第4页（共4页）】