专题35 三角形（思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练）-2026年小升初数学复习讲义人教版

专题35 三角形 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、三角形的概念及表示方法 1. 定义 (1)由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 (2)关键词解析：“围成”意味着三条线段首尾相接，封闭且无缺口；“线段”强调必须是直的，不能是曲线。 2. 基本要素 三角形有3条边、3个角、3个顶点。 (1)边：组成三角形的三条线段。 (2)角：每两条边所组成的角。 (3)顶点：每两条边的公共端点。 3. 表示方法 (1)字母表示：通常用大写字母A、B、C表示三角形的三个顶点。 (2)符号表示：三角形ABC记作 。 (3)对应关系：顶点A的对边是边BC（也可记为 ），顶点B的对边是边AC（也可记为 ），顶点C的对边是边AB（也可记为 ）。 考点二、三角形的高及画法 1. 定义 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2. 高的特征 (1)高是一条线段，不是直线或射线。 (2)高与对应的底互相垂直。 (3)任意一个三角形都有3条高。 3. 不同类型三角形高的位置 (1)锐角三角形：3条高都在三角形内部。 (2)直角三角形：两条高分别是两条直角边，另一条高在三角形内部。 (3)钝角三角形：夹钝角的两条边上的高在三角形外部（需延长底边画出），钝角对边上的高在三角形内部。 4. 画法步骤（以锐角三角形为例） (1)找：确定一个顶点和它的对边（底）。 (2)靠：将三角尺的一条直角边与底边重合。 (3)移：沿底边平移三角尺，直到另一条直角边经过该顶点。 (4)画：从顶点向底边画垂线段，标出垂足。 (5)标：画上垂直符号，标明“高”和“底”。 考点三、三角形的稳定性及应用 1. 特性 (1)三角形具有稳定性。即当三角形三条边的长度确定后，其形状和大小就完全确定了，不会发生改变。 (2)对比：四边形具有不稳定性（易变形）。 2. 实际应用 利用三角形的稳定性，可以加固结构，防止变形。 (1)生活实例：自行车的车架、篮球架的支架、电线杆的拉线、屋顶的人字梁、桥梁的桁架结构等。 (2)加固方法：对于不稳定的多边形框架，可以通过添加对角线将其分割成若干个三角形，从而获得稳定性。 考点四、三角形三边关系 1. 基本定理 (1)两边之和大于第三边：三角形任意两边的和大于第三边。 (2)两边之差小于第三边：三角形任意两边的差小于第三边。 2. 判定方法 判断三条线段能否围成三角形，只需检验较短的两条线段之和是否大于最长的那条线段。 (1)若 ，则能围成三角形。 (2)若 ，则不能围成三角形。 3. 取值范围 已知三角形两边长分别为 和 ( )，则第三边 的取值范围为： 考点五、三角形的分类 1. 按角分类 (1)锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 (2)直角三角形：有一个角是直角的三角形。 (3)钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 (4)注意：一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个直角或一个钝角。 2. 按边分类 (1)不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 (2)等腰三角形：有两条边相等的三角形。 ①　包含底和腰不等的等腰三角形。 ②　包含特殊的等腰三角形——等边三角形。 (3)等边三角形：三条边都相等的三角形（是特殊的等腰三角形）。 考点六、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 1. 等腰三角形 (1)名称：相等的两条边叫腰，另一条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰和底的夹角叫底角。 (2)特征： ①　两条腰相等。 ②　两个底角相等（“等边对等角”）。 ③　是轴对称图形，只有1条对称轴（顶角平分线所在的直线，也是底边上的高和中线所在直线，“三线合一”）。 2. 等边三角形（正三角形） (1)特征： ①　三条边都相等。 ②　三个角都相等，且每个角都是 。 ③　是轴对称图形，有 3条 对称轴。 (2)关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 考点七、三角形的内角和 1. 定理 三角形的内角和是 。 2. 验证方法 (1)量一量：用量角器分别测量三个角的度数，相加求和。 (2)拼一拼：将三角形的三个角剪下来，拼在一起，形成一个平角（ ）。 (3)折一折：通过折叠将三个角汇聚于一点，形成平角。 3. 应用推论 (1)直角三角形：两个锐角的和是 （互余）。 (2)已知两角求第三角： 。 (3)多边形内角和基础：任意 边形可以分割成 个三角形，内角和为 。 考点八、三角形的面积 1. 计算公式 (1)字母公式： 或 ①　 表示面积 ②　 表示底 ③　 表示底对应的高 2. 公式推导 利用转化法：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 (1)平行四边形的底 = 三角形的底 (2)平行四边形的高 = 三角形的高 (3)平行四边形的面积 = 底 高 (4)因为三角形面积是平行四边形面积的一半，所以 。 3. 关键注意事项 (1)对应关系：计算时，底和高必须是相互对应的（即高必须是这条底边上的高）。 (2)单位统一：计算前需确保底和高的长度单位一致。 (3)除以2：千万不要忘记除以2，这是三角形面积与平行四边形面积计算的最大区别。 (4)逆运算： ①　已知面积和底，求高： ②　已知面积和高，求底： 例题讲解 题型一、三角形的概念及表示方法 【例题1】任意一个三角形都有( )条高，( )个顶点，( )个角。 【练习1】三角形中，关于相邻两条边的位置关系，下面说法错误的是（    ）。 A．可能互相垂直 B．可能相交成120度角 C．可能相交成5度角 D．可能互相平行 题型二、三角形的高及画法 【例题2】请画出三角形指定底边上的高。 【练习2】一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，那么斜边上的高是( )cm。 题型三、三角形的稳定性及应用 【例题3】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的( )性。 【练习3】照相机的支架设计成三条腿，主要是为了利用三角形的( )，起到固定作用。 题型四、三角形三边关系 【例题4】下列4组小棒中，（    ）组小棒可以拼成一个三角形。 A．4cm；5cm；10cm B．7cm；8cm；12cm C．13cm；6cm；6cm D．8cm；9cm；17cm 【练习4】一个三角形的边长均为整厘米数，其中两条边分别是6cm和4cm，第三条边的长度最长是( )cm，最短是( )cm。 题型五、三角形的分类 【例题5】一个三角形三个内角的度数之比是2∶2∶5，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【练习5】如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝( )°，三角形ABC按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 题型六、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【例题6】一个等腰三角形，它的一个底角为45°，它的顶角是( )，它还可以被称为( )三角形。 【练习6】准备在开营广场周围用竹编围栏围出一个长90dm、宽75dm的长方形花坛，由于地形限制，现需改成等边三角形，那么它一条边的长度是( )dm。 题型七、三角形的内角和 【例题7】纸店镇三角梨园的三角形支架，两个角为45°和65°，第三个角是( )，这是( )三角形。 【练习7】一个等腰三角形的底角与顶角的度数比是1∶4，这个三角形的底角是多少度？顶角是多少度？ 题型八、三角形的面积 【例题8】农场内有一块三角形的指示牌，底是12.5分米，高是8分米，面积是（    ）平方分米。 A．100 B．20.5 C．50 D．200 【练习8】一块三角形的玻璃，底是12.5分米，高是7.2分米，它的面积是( )平方分米，每平方分米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要花( )元。 真题演练 1．（2025·甘肃兰州·毕业考真题）下面四组长度的线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．0.5cm、1cm、1.8cm B．1cm、2.5cm、3cm C．2cm、2cm、4cm D．2.5cm、3.5cm、6cm 2．（2025·浙江杭州·毕业考真题）亮亮说：“三角形的3个内角最多有两个角是锐角。”下面（    ）图形可以说明亮亮的说法是错误的。 A． B． C． D． 3．（2025·广东湛江·毕业考真题）两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（    ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 4．（2025·四川成都·毕业考真题）如下图，在池塘的一侧选取一点O，测得OA长6米，OB长12米。那么A、B两点之间的距离可能是（    ）。 A．6米 B．15米 C．20米 D．25米 5．（2025·内蒙古通辽·毕业考真题）一个直角三角形两个锐角的和是（    ）。 A．90° B．小于90° C．大于90° D．不能确定 6．（2025·河南开封·毕业考真题）一个三角形的最小的内角是46°，那么这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 7．（2025·重庆綦江·毕业考真题）用长度分别为11cm，6cm和( )cm的小棒一定能围成一个三角形。 8．（2024·甘肃定西·毕业考真题）一个等腰三角形的两条边的长度分别是14.5厘米和29厘米，它的周长是( )厘米。 9．（2025·四川绵阳·毕业考真题）一个直角三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，这个三角形的面积是( )cm²。 10．（2024·河北承德·毕业考真题）一个等腰三角形，它的一个底角是30°，那么它的顶角是( )。 11．（2025·四川绵阳·毕业考真题）在一个三角形中，三个内角度数的比是2∶3∶5，则最大的一个内角是( )°。 12．（2024·广东韶关·毕业考真题）一个等腰三角形的一个底角是25°，它的顶角是( )°，这个等腰三角形按角分类是( )三角形。 13．（2024·重庆大渡口·毕业考真题）一个直角三角形的两条直角边之和是14厘米，它们的比是3∶4。三角形的面积为( )平方厘米。 14．（2024·北京西城·毕业考真题）有一种船的船帆是三角形的，称为“三角帆”，它可以助力船逆风行进（如图），三角形船帆的底大约是5m，高大约是12m，这个三角形船帆的面积大约是( )m2。 15．（2025·浙江温州·毕业考真题）三角形的三个内角度数比是2∶3∶5，此三角形按角分是( )三角形，最小的内角是( )度。 16．（2024·四川宜宾·毕业考真题）在方格纸上画1个三角形和1个平行四边形，使它们的面积都是8cm2。 17．（2024·四川绵阳·毕业考真题）如图，把三角形ABC的边AC延长到点D。请你说明∠2＋∠3＝∠4。 18．（2024·重庆渝北·毕业考真题）如图所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米，求三角形ABC的面积。 19．（2025·重庆渝北·毕业考真题）如图，AD＝DE＝EC，F是BC的中点，G是FC的中点。如果三角形ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题35 三角形 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、三角形的概念及表示方法 1. 定义 (1)由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 (2)关键词解析：“围成”意味着三条线段首尾相接，封闭且无缺口；“线段”强调必须是直的，不能是曲线。 2. 基本要素 三角形有3条边、3个角、3个顶点。 (1)边：组成三角形的三条线段。 (2)角：每两条边所组成的角。 (3)顶点：每两条边的公共端点。 3. 表示方法 (1)字母表示：通常用大写字母A、B、C表示三角形的三个顶点。 (2)符号表示：三角形ABC记作 。 (3)对应关系：顶点A的对边是边BC（也可记为 ），顶点B的对边是边AC（也可记为 ），顶点C的对边是边AB（也可记为 ）。 考点二、三角形的高及画法 1. 定义 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2. 高的特征 (1)高是一条线段，不是直线或射线。 (2)高与对应的底互相垂直。 (3)任意一个三角形都有3条高。 3. 不同类型三角形高的位置 (1)锐角三角形：3条高都在三角形内部。 (2)直角三角形：两条高分别是两条直角边，另一条高在三角形内部。 (3)钝角三角形：夹钝角的两条边上的高在三角形外部（需延长底边画出），钝角对边上的高在三角形内部。 4. 画法步骤（以锐角三角形为例） (1)找：确定一个顶点和它的对边（底）。 (2)靠：将三角尺的一条直角边与底边重合。 (3)移：沿底边平移三角尺，直到另一条直角边经过该顶点。 (4)画：从顶点向底边画垂线段，标出垂足。 (5)标：画上垂直符号，标明“高”和“底”。 考点三、三角形的稳定性及应用 1. 特性 (1)三角形具有稳定性。即当三角形三条边的长度确定后，其形状和大小就完全确定了，不会发生改变。 (2)对比：四边形具有不稳定性（易变形）。 2. 实际应用 利用三角形的稳定性，可以加固结构，防止变形。 (1)生活实例：自行车的车架、篮球架的支架、电线杆的拉线、屋顶的人字梁、桥梁的桁架结构等。 (2)加固方法：对于不稳定的多边形框架，可以通过添加对角线将其分割成若干个三角形，从而获得稳定性。 考点四、三角形三边关系 1. 基本定理 (1)两边之和大于第三边：三角形任意两边的和大于第三边。 (2)两边之差小于第三边：三角形任意两边的差小于第三边。 2. 判定方法 判断三条线段能否围成三角形，只需检验较短的两条线段之和是否大于最长的那条线段。 (1)若 ，则能围成三角形。 (2)若 ，则不能围成三角形。 3. 取值范围 已知三角形两边长分别为 和 ( )，则第三边 的取值范围为： 考点五、三角形的分类 1. 按角分类 (1)锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 (2)直角三角形：有一个角是直角的三角形。 (3)钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 (4)注意：一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个直角或一个钝角。 2. 按边分类 (1)不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 (2)等腰三角形：有两条边相等的三角形。 ①　包含底和腰不等的等腰三角形。 ②　包含特殊的等腰三角形——等边三角形。 (3)等边三角形：三条边都相等的三角形（是特殊的等腰三角形）。 考点六、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 1. 等腰三角形 (1)名称：相等的两条边叫腰，另一条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰和底的夹角叫底角。 (2)特征： ①　两条腰相等。 ②　两个底角相等（“等边对等角”）。 ③　是轴对称图形，只有1条对称轴（顶角平分线所在的直线，也是底边上的高和中线所在直线，“三线合一”）。 2. 等边三角形（正三角形） (1)特征： ①　三条边都相等。 ②　三个角都相等，且每个角都是 。 ③　是轴对称图形，有 3条 对称轴。 (2)关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 考点七、三角形的内角和 1. 定理 三角形的内角和是 。 2. 验证方法 (1)量一量：用量角器分别测量三个角的度数，相加求和。 (2)拼一拼：将三角形的三个角剪下来，拼在一起，形成一个平角（ ）。 (3)折一折：通过折叠将三个角汇聚于一点，形成平角。 3. 应用推论 (1)直角三角形：两个锐角的和是 （互余）。 (2)已知两角求第三角： 。 (3)多边形内角和基础：任意 边形可以分割成 个三角形，内角和为 。 考点八、三角形的面积 1. 计算公式 (1)字母公式： 或 ①　 表示面积 ②　 表示底 ③　 表示底对应的高 2. 公式推导 利用转化法：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 (1)平行四边形的底 = 三角形的底 (2)平行四边形的高 = 三角形的高 (3)平行四边形的面积 = 底 高 (4)因为三角形面积是平行四边形面积的一半，所以 。 3. 关键注意事项 (1)对应关系：计算时，底和高必须是相互对应的（即高必须是这条底边上的高）。 (2)单位统一：计算前需确保底和高的长度单位一致。 (3)除以2：千万不要忘记除以2，这是三角形面积与平行四边形面积计算的最大区别。 (4)逆运算： ①　已知面积和底，求高： ②　已知面积和高，求底： 例题讲解 题型一、三角形的概念及表示方法 【例题1】任意一个三角形都有( )条高，( )个顶点，( )个角。 【答案】 3 3 3 【分析】根据“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形”可知，任意一个三角形都有三条边，三个角；因为三角形的高是指过顶点与对边垂直的线段，任意三角形都有三个顶点，所以一定有三个高；据此判断即可。 【详解】任意一个三角形都有3条高，3个顶点，3个角。 【练习1】三角形中，关于相邻两条边的位置关系，下面说法错误的是（    ）。 A．可能互相垂直 B．可能相交成120度角 C．可能相交成5度角 D．可能互相平行 【答案】D 【分析】根据三角形的定义可知，三角形相邻的两条边有一个公共顶点，因此必然相交。根据平行线的定义，同一平面内不相交的两条直线互相平行。因此三角形相邻两边不可能平行。同时结合三角形内角的取值范围（大于度且小于度）判断其他角度情况的可能性。 【详解】A．直角三角形的两条直角边就是相邻且互相垂直的，说法正确； B、C．三角形的内角可以是120度、也可以是5度，所以相邻两边可以相交成对应角度，说法都正确。 D．三角形是三条线段首尾相接围成的封闭图形，相邻两条边一定有公共顶点，一定相交，不可能互相平行，说法错误。 题型二、三角形的高及画法 【例题2】请画出三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】画高步骤：找到底边对应顶点，将三角板的一条直角边与底重合，移动三角板直到另一条直角边与顶点重合，从顶点处沿着这条直角边向底边画一条垂线，并标上垂直符号。 【详解】如图所示： 【练习2】一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，那么斜边上的高是( )cm。 【答案】2.4 【分析】直角三角形三条边中，斜边最长，因此，直角边为3cm和4cm，并且它们互为底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，代入两条直角边数据得出三角形的面积，根据高＝三角形面积×2÷底，代入面积和斜边的数据，求出斜边上的高的长度。 【详解】3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（） 6×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（cm） 因此，一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，那么斜边上的高是2.4cm。 题型三、三角形的稳定性及应用 【例题3】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的( )性。 【答案】稳定 【分析】三角形具有不易变形的特点，这种特性被称为稳定性。 【详解】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的稳定性。 【练习3】照相机的支架设计成三条腿，主要是为了利用三角形的( )，起到固定作用。 【答案】稳定性 【分析】三角形不易变形，具有稳定性，照相机的支架是三条腿，三条腿与地面形成了几个三角形，这样支架就稳固，这是利用了三角形的稳定性，据此即可解答。 【详解】照相机的支架设计成三条腿，主要是为了利用三角形的稳定性，起到固定作用。 题型四、三角形三边关系 【例题4】下列4组小棒中，（    ）组小棒可以拼成一个三角形。 A．4cm；5cm；10cm B．7cm；8cm；12cm C．13cm；6cm；6cm D．8cm；9cm；17cm 【答案】B 【分析】三角形三边关系指的是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答。 【详解】A.  4cm＋5cm＜10cm，不符合三角形两边之和大于第三边要求，不符合题意； B.  7cm＋8cm＞12cm，12cm－7cm＜8cm，符合三角形两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，符合题意； C.  6cm＋6cm＜13cm，不符合三角形两边之和大于第三边要求，不符合题意； D.  8cm＋9cm＝17cm，不符合三角形两边之和大于第三边要求，不符合题意。 【练习4】一个三角形的边长均为整厘米数，其中两条边分别是6cm和4cm，第三条边的长度最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 9 3 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可。 【详解】6－4＝2（cm） 6＋4＝10（cm） 2cm＜第三边＜10cm 又因为三角形的三条边长均为整厘米数， 所以第三条边的长度最长为9cm，最短为3cm。 题型五、三角形的分类 【例题5】一个三角形三个内角的度数之比是2∶2∶5，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】C 【分析】三角形内角和是180°，用三角形内角和除以总份数，求出1份是多少，进而求出最大的角，进而解答。 【详解】2＋2＋5＝9（份） 180°÷9×5 ＝20°×5 ＝100° 100°＞90°，是钝角三角形。 一个三角形三个内角的度数之比是2∶2∶5，它是一个钝角三角形。 【练习5】如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝( )°，三角形ABC按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 【答案】 45 锐角 等边 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠C＝60°，AB＝BC，等腰三角形的两个底角相等，所以∠C＝∠A＝60°，三角形的另一个角就是180°减去60°，再减去60°等于60°；三个角均小于90°的三角形是锐角三角形；用180°减去75°和60°得到∠1的度数，等边三角形的三条边相等，三个角也相等。 【详解】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° ∠1＝180°－60°－75° ＝120°－75° ＝45° ∠1＝45°，三角形ABC按角分是锐角三角形，按边分是等边三角形。 题型六、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【例题6】一个等腰三角形，它的一个底角为45°，它的顶角是( )，它还可以被称为( )三角形。 【答案】 90°/90度 直角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°，用45°×2，求出两个底角的度数和，再用180°减去两个底角的度数和即可求出它的顶角度数；根据三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；结合三角形三个角的度数进行判断，即可解答。 【详解】180°－45°×2 ＝180°－90° ＝90° 90°的角是直角，它还可以被称为直角三角形。 【练习6】准备在开营广场周围用竹编围栏围出一个长90dm、宽75dm的长方形花坛，由于地形限制，现需改成等边三角形，那么它一条边的长度是( )dm。 【答案】 110 【分析】根据长方形的长和宽计算出长方形的周长，长方形的周长等于长加宽的和乘2，改成等边三角形时，周长等于长方形周长，等边三角形三边相等，所以用周长除以3得到一边的长度。 【详解】 （dm） （dm） 则等边三角形一条边的长度是110dm。 题型七、三角形的内角和 【例题7】纸店镇三角梨园的三角形支架，两个角为45°和65°，第三个角是( )，这是( )三角形。 【答案】 70°/70度 锐角 【分析】根据三角形的内角和是180°可知，用180°分别减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数。按角分类： 三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。由于等边三角形的每个角都是60°，属于锐角三角形。再根据三角形的分类判断这个三角形是什么三角形。 【详解】180°－45°－65° ＝135°－65° ＝70° 纸店镇三角梨园的三角形支架，两个角分别是45°和65°，第三个角是70°，它是锐角三角形。 【练习7】一个等腰三角形的底角与顶角的度数比是1∶4，这个三角形的底角是多少度？顶角是多少度？ 【答案】底角30度；顶角120度 【分析】等腰三角形的两个底角相等。根据底角与顶角的比，把一个底角看作1份，顶角看作4份，则两个底角共2份，顶角4份。三角形内角和是180度，对应总份数（1＋1＋4）份。用总度数除以总份数，求出一份的度数，再分别乘底角和顶角的份数，求出底角和顶角的度数。 【详解】180÷（1＋1＋4） ＝180÷6 ＝30（度） 底角的度数：30×1＝30（度） 顶角的度数：30×4＝120（度） 答：这个三角形的底角是30度，顶角是120度。 题型八、三角形的面积 【例题8】农场内有一块三角形的指示牌，底是12.5分米，高是8分米，面积是（    ）平方分米。 A．100 B．20.5 C．50 D．200 【答案】C 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算即可解答。 【详解】12.5×8÷2 ＝100÷2 ＝50（平方分米） 面积是50平方分米。 【练习8】一块三角形的玻璃，底是12.5分米，高是7.2分米，它的面积是( )平方分米：每平方分米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要花( )元。 【答案】 45 3060 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2算出三角形的面积；再用面积乘单价即可。 【详解】12.5×7.2÷2＝45（平方分米） 45×68＝3060（元） 真题演练 1．（2025·甘肃兰州·毕业考真题）下面四组长度的线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．0.5cm、1cm、1.8cm B．1cm、2.5cm、3cm C．2cm、2cm、4cm D．2.5cm、3.5cm、6cm 【答案】B 【分析】判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：任意两边之和是否大于第三边，但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较。 【详解】A．0.5＋1＝1.5，1.5＜1.8，所以三条线段不能围成三角形； B．1＋2.5＝3.5，3.5＞3，所以三条线段能围成三角形； C．2＋2＝4，4＝4，所以三条线段不能围成三角形； D．2.5＋3.5＝6，6＝6，所以三条线段不能围成三角形。 2．（2025·浙江杭州·毕业考真题）亮亮说：“三角形的3个内角最多有两个角是锐角。”下面（    ）图形可以说明亮亮的说法是错误的。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形按角分类有锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个直角和两个锐角）、钝角三角形（有一个钝角和两个锐角），通过观察每项图形中三角形角的类型来判断亮亮说法的对错。 【详解】A．三角形有一个角是90°，是直角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误。 B．三角形有一个角大于90°，是钝角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误。 C．三个角都小于90°，是锐角三角形，有三个锐角。这就表明三角形的三个内角可以有三个锐角，而亮亮说最多有两个锐角，所以亮亮的说法错误。 D．三角形有一个角大于90°，是钝角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误。 所以，选项C中的图形是锐角三角形，有三个锐角，能说明亮亮“三角形的3个内角最多有两个角是锐角”的说法是错误的。 故答案为：C 3．（2025·广东湛江·毕业考真题）两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（    ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】等腰三角形要求至少两条边长度相等。已知两根小棒长度分别为5cm和10cm，不相等，因此第三根小棒的长度必须等于5cm或10cm，才能满足等腰条件。结合三角形的任意两边之和大于第三边，分情况进行讨论即可解答。 【详解】如果选取小棒的长度是5cm： 5＋5＝10（cm） 此时不能构成三角形，所以不能选5cm的小棒。 如果选取第三边的长度是10cm： 10＋10＞5 能构成等腰三角形。 所以再选一根长10cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 故答案为：C 4．（2025·四川成都·毕业考真题）如下图，在池塘的一侧选取一点O，测得OA长6米，OB长12米。那么A、B两点之间的距离可能是（    ）。 A．6米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。本题中，如图，OA、OB与AB可构成一个三角形。已知OA米，OB米，所以AB的取值范围应满足：OBOAABOBOA，即AB，计算可得AB。据此解答。 【详解】A．米，不满足AB，所以该选项错误； B．米，，满足取值范围，所以该选项正确； C．米，，不满足AB，所以该选项错误； D．米，，不满足AB，所以该选项错误。 故答案选：B 5．（2025·内蒙古通辽·毕业考真题）一个直角三角形两个锐角的和是（    ）。 A．90° B．小于90° C．大于90° D．不能确定 【答案】A 【分析】有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，则直角三角形有一个内角是90°，一个直角三角形两个锐角的和＝三角形的内角和－90°，据此解答。 【详解】三角形的内角和是180°。 180°－90°＝90° 所以，一个直角三角形两个锐角的和是90°。 故答案为：A 6．（2025·河南开封·毕业考真题）一个三角形的最小的内角是46°，那么这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】A 【分析】已知三角形最小内角是46°，则另外两个内角都不小于46°。根据三角形内角和为180°，最大内角的最大值为：180°－46°－46°＝88°，因为最大内角88°＜90°，所以这个三角形的三个内角都是锐角，属于锐角三角形。 【详解】三角形内角和为180°。 最大内角：180°－46°－46°＝88° 88°＜90° 所以这个三角形的三个内角都是锐角，属于锐角三角形。 故答案为：A 7．（2025·重庆綦江·毕业考真题）用长度分别为11cm，6cm和( )cm的小棒一定能围成一个三角形。 【答案】10 【分析】根据三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），先计算两边之差，再计算两边之和，则第三边的长度范围是：两边之差＜第三边＜两边之和，只要是在这个范围内的数都满足。 【详解】11－6＝5（cm） 11＋6＝17（cm） 所以第三边的长度只要满足大于5cm且小于17cm即可。 所以用长度分别为11cm，6cm和10cm（答案不唯一）的小棒一定能围成一个三角形。 8．（2024·甘肃定西·毕业考真题）一个等腰三角形的两条边的长度分别是14.5厘米和29厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】72.5 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，据此确定底和腰，根据等腰三角形的周长＝底＋腰×2，列式计算即可。 【详解】因为14.5＋14.5＝29（厘米），所以这个等腰三角形的底是14.5厘米，腰是29厘米。 14.5＋29×2 ＝14.5＋58 ＝72.5（厘米） 它的周长是72.5厘米。 9．（2025·四川绵阳·毕业考真题）一个直角三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，这个三角形的面积是( )cm²。 【答案】6 【分析】在直角三角形中，斜边为最长的边，则直角三角形的直角边为3cm，4cm，再根据三角形的面积＝底×高÷2即可求出这个三角形的面积。 【详解】3×4÷2＝6（cm²） 即这个三角形的面积为6cm²。 10．（2024·河北承德·毕业考真题）一个等腰三角形，它的一个底角是30°，那么它的顶角是( )。 【答案】120° 【分析】已知等腰三角形的一个底角是30°，等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是30°；三角形的内角和是180°，最后用总和减去两个底角的和计算出顶角的度数。 【详解】180°－30°×2 ＝180°－60° ＝120° 所以它的顶角是120°。 11．（2025·四川绵阳·毕业考真题）在一个三角形中，三个内角度数的比是2∶3∶5，则最大的一个内角是( )°。 【答案】90 【分析】已知三角形的内角和是180°，三个内角度数的比是2∶3∶5，共2＋3＋5＝10份，用内角和180°除以总份数求出每份的度数，再用每份的度数乘5即可求出最大的内角度数。 【详解】2＋3＋5＝10 180°÷10×5 ＝18°×5 ＝90° 所以最大的一个内角是90°。 12．（2024·广东韶关·毕业考真题）一个等腰三角形的一个底角是25°，它的顶角是( )°，这个等腰三角形按角分类是( )三角形。 【答案】 130 钝角 【分析】在等腰三角形中，2个底角是相等的，用180°减去2个25°就是等腰三角形的顶角的度数，进而根据三角形的分类，三角形中最大的角是钝角，所以是钝角三角形。 【详解】180°－25°×2 ＝180°－50° ＝130° 所以，它的顶角是130°，130°是钝角，这个等腰三角形按角分类是钝角三角形。 13．（2024·重庆大渡口·毕业考真题）一个直角三角形的两条直角边之和是14厘米，它们的比是3∶4。三角形的面积为( )平方厘米。 【答案】24 【分析】已知直角三角形的两条直角边的比是3∶4，即可以把两条直角边的长度看作3份、4份，一共是（3＋4）份；用两条直角边之和除以总份数，求出一份数；再用一份数分别乘3、4，求出两条直角边的长度；再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出这个直角三角形的面积。 【详解】一份数： 14÷（3＋4） ＝14÷7 ＝2（厘米） 两条直角边分别长： 3×2＝6（厘米） 4×2＝8（厘米） 三角形的面积： 6×8÷2＝24（平方厘米） 所以，三角形的面积为24平方厘米。 14．（2024·北京西城·毕业考真题）有一种船的船帆是三角形的，称为“三角帆”，它可以助力船逆风行进（如图），三角形船帆的底大约是5m，高大约是12m，这个三角形船帆的面积大约是( )m2。 【答案】30 【分析】根据三角形面积计算公式：三角形面积＝底×高÷2，直接代入数据计算即可。 【详解】5×12÷2＝30（m2） 这个三角形船帆的面积大约是30m2。 15．（2025·浙江温州·毕业考真题）三角形的三个内角度数比是2∶3∶5，此三角形按角分是( )三角形，最小的内角是( )度。 【答案】 直角 36 【分析】根据三角形内角和为180度，将比例2∶3∶5的总份数求出，然后计算每个角的度数，从而判断三角形类型并找出最小内角。 【详解】2＋3＋5＝10（份） 最小内角：（度） 最大内角：（度） 由于有一个角是90度，因此三角形按角分是直角三角形，最小的内角是36度。 16．（2024·四川宜宾·毕业考真题）在方格纸上画1个三角形和1个平行四边形，使它们的面积都是8cm2。 【答案】见详解 【分析】从题意可知：三角形面积＝平行四边形面积＝8 cm2，根据平行四边形面积＝底×高，那么8＝1×8＝2×4，任意选择一组底和高画出平行四边形即可；画出的三角形与平行四边形的高相等，底是平行四边形底的2倍即可。 【详解】8＝1×8＝2×4 所以可以画底4厘米、高4厘米的三角形；底2厘米、高4厘米的平行四边形。 如图： （画法不唯一） 17．（2024·四川绵阳·毕业考真题）如图，把三角形ABC的边AC延长到点D。请你说明∠2＋∠3＝∠4。 【答案】∠1＋∠4＝180° ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1=∠1 ∠4＝∠2＋∠3 【分析】根据平角的含义，等于180°的角是平角，所以∠1和∠4拼成的是平角。三角形的三个内角的和是180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠1和∠4组成一个平角，所以∠1＋∠4＝180°，∠1没变，所以∠4＝∠2＋∠3，据此解答即可。 【详解】∠1＋∠4＝180° ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1=∠1 所以推理出∠4＝∠2＋∠3 18．（2024·重庆渝北·毕业考真题）如图所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米，求三角形ABC的面积。 【答案】22.5平方厘米 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据图可知，三角形EBD和三角形ABE的高相等，根据DE＝AE可知：三角形EBD的面积是三角形ABE面积的，据此用三角形EBD的面积除以即可求出三角形ABE的面积，再用三角形ABE的面积加三角形EBD的面积即可得到三角形ABD的面积；三角形ABD和三角形ADC的高相等，根据BD＝2DC可知：三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍，据此用三角形ABD的面积除以2即可求出三角形ADC的面积，再用三角形ABD的面积加三角形ADC的面积即可得到三角形ABC的面积。 【详解】5÷＝10（平方厘米） 5＋10＝15（平方厘米） 15÷2＝7.5（平方厘米） 15＋7.5＝22.5（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是22.5平方厘米。 19．（2025·重庆渝北·毕业考真题）如图，AD＝DE＝EC，F是BC的中点，G是FC的中点。如果三角形ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米？ 【答案】14平方厘米 【分析】已知AD＝DE＝EC，所以AD＝AC，△ABD和△ABC高相同，根据“三角形面积＝底×高÷2”，底的比等于面积的比，所以S△ABD＝S△ABC，已知△ABC的面积是24平方厘米，则△ABD的面积为24÷3＝8平方厘米，△BDC的面积为24－8＝16平方厘米； 已知F是BC的中点，所以BF＝FC，△BDF和△DFC等底等高，面积相等，所以△DFC的面积为16÷2＝8平方厘米；因为DE＝EC，△DFE和△EFC等底等高，面积相等，所以△DFE和△EFC的面积均为8÷2＝4平方厘米； 因为G是FC的中点，所以FG＝GC，△EGC和△EFG等底等高，面积相等，所以△EGC面积是4÷2＝2平方厘米； 最后将△ABD、△DFE、△EGC的面积相加，即为阴影部分的面积。 【详解】24÷3＝8（平方厘米） 24－8＝16（平方厘米） 16÷2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 4÷2＝2（平方厘米） 8＋4＋2 ＝12＋2 ＝14（平方厘米） 答：阴影部分是14平方厘米。 【点睛】本题关键在于利用“等底等高的三角形面积相等”，结合线段等分关系（AD＝DE＝EC、F是BC中点、G是FC中点），逐步拆分△ABC，通过面积比求出各阴影小三角形面积，再求和。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $