第七章 万有引力与航天 导学案 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

（ ），您身边的高考专家 （ ），您身边的高考专家 万有引力与航天 【基础知识回顾】 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3．开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：＝k（k与中心天体的质量有关）。 二、万有引力定律的理论成就 1．估算天体质量和密度的两种方法 （1）“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G＝mg，得天体质量M＝ ②天体密度ρ＝＝＝ （2）“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝ ②若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝＝＝ 2．宇宙速度与宇宙航行 （1）三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值（km/s） 意义 第一宇宙速度 7.9 地球卫星最小发射速度（环绕速度） 第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度（脱离速度） 第三宇宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度（逃逸速度） （2）第一宇宙速度的计算方法 ①由G＝m得v＝ ②由mg＝m得v＝ 3．物理量随轨道半径变化的规律 4．同步卫星的六个“一定” （1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。 （2）周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s。 （3）角速度一定：与地球自转的角速度相同。 （4）高度一定：据 得，卫星离地面高度（为恒量）。 （5）绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 （6）线速度一定： 难点突破 （一）万有引力定律的理解 【难点解释】 1．F=G的适用条件 （1）严格地说，万有引力定律只适用于真空中质点间的相互作用。 （2）两个质量分布均匀的球体或球壳间的相互作用，也可用万有引力定律计算，其中r是两个球体或球壳的球心间的距离。 （3）如果两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可看成质点，公式可近似适用，此时r为两物体质心间的距离。 【例1】若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为（　　） A.　　　　　　 B. C. D. 难点突破 （二） 万有引力和重力 【难点解释】 1．重力与纬度的关系（考虑星球自转的影响） 地面上物体的重力随纬度的升高而变大，故从赤道到两极重力加速度g逐渐增大。 赤道上 重力和向心力在一条直线上，F=Fn+mg，即G=mRω2+mg，所以mg=G-mRω2 地球两 极处 向心力为零，所以mg=F=G 其他 位置 重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg<G，重力的方向偏离地心 2．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小。 （1）在地面附近∶mg=G （2）距离地面h高度处∶mgh=G（R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度）。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。 【例2】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为 （　　） A.2π　　 B.2π C.2π D.2π 【例3】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零。假设地球是一半径为，质量分布均匀的球体，地球表面处重力加速度为。则关于地球引力产生的加速度随地球球心到某点距离的变化图像正确的是（  ） A. B. C. D. 难点突破 （三） 航天器变轨和对接问题 【难点解释】 1、航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。 2、当卫星由于某种原因速度v突然改变时，受到的万有引力和需要的向心力不再相等，卫星将偏离原轨道运动。当＞时，卫星做近心运动，其轨道半径r变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当＜G时，卫星做离心运动，其轨道半径r变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小。 【例4】航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 2017年1月18日，世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。如图为“墨子号”变轨示意图，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是（　　） A.“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越大 B.“墨子号”在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率 C.“墨子号”在轨道B上经过P时的向心加速度大于在轨道A上经过P点时的向心加速度 D.“墨子号”在轨道B上经过Q点时受到的地球的引力小于经过P点时受到的地球的引力 【例5】如图所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待神舟八号到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号” （　　） A.应从较低轨道上加速 B.应从较高轨道上加速 C.应在从同空间站同一轨道上加速 D.无论在什么轨道上只要加速就行 【跟踪训练】 1、（教科版必修2P44T2改编）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（　　） A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 2、（人教版必修2P43T2改编）若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R（R为地球半径）处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为（　　） A.1 B. C. D. 3、（人教版必修2P48T3改编）若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为（　　） A.2 km/s B.4 km/s C.16 km/s D.32 km/s 4、“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束。其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行。若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，月球半径为地球半径的，根据以上信息得 （　　） A.绕月与绕地飞行周期之比为∶ B.绕月与绕地飞行周期之比为∶ C.绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6 D.月球与地球质量之比为1∶96 5、冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕O点运动的（　　） A.轨道半径约为卡戎的 B.角速度大小约为卡戎的 C.线速度大小约为卡戎的7倍 D.向心力大小约为卡戎的7倍 6、一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（　　） A.向心加速度大小之比为4∶1 B.角速度大小之比为2∶1 C.周期之比为1∶8 D.轨道半径之比为1∶2 7、2013年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则等于（　　） A.　　　　　　B. C. D. 8、2013年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家。如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（　　） A.线速度大于地球的线速度 B.向心加速度大于地球的向心加速度 C.向心力仅由太阳的引力提供 D.向心力仅由地球的引力提供 9、一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（　　） A.　　　　　　　　B. C. D. 10、我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km。它们的运行轨道均视为圆周，则（　　） A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长 C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 11、“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式，则可估算月球的（ ） A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期 12、假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　） A.　 B.　 C.　 D. 13、宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（　　） A. B. C. D. 14、（多选）2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间7月28日凌晨的“月全食”，相对于2018年1月31日发生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球（　　） A.绕地球运动的线速度更大 B.距离地球更近 C.绕地球运动的线速度更小 D.距离地球更远 15、如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道。已知地球的半径R＝6400 km，该图中MEO卫星的周期约为（图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度）（　　） A.3 h B.8 h C.15 h D.20 h 16、科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得一质量为m的物体的重力为F1，在火星赤道上宇航员用同一把弹簧测力计测得该物体的重力为F2。通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，已知引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（　　） A.， B.， C.， D.， 17、如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A.b卫星转动线速度大于7.9 km/s B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta D.在b、c中，b的速度大 18、（多选）如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是（　　） A.“嫦娥三号”飞行速度一定越来越小 B.“嫦娥三号”的动能可能增大 C.“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变 D.“嫦娥三号”的动能和引力势能之和可能增大 19、（多选）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则 （　　） A.每颗星做圆周运动的线速度为 B.每颗星做圆周运动的角速度为 C.每颗星做圆周运动的周期为2π D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 20．2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”，火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 C．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最小 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后 21、中国赴南极考察船“雪龙号”，从上海港口出发一路向南，经赤道到达南极。某同学设想，在考察船“雪龙号”上做一些简单的实验来探究地球的平均密度∶当“雪龙号”停泊在赤道时，用弹簧测力计测量一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数为F1，当“雪龙号”到达南极后，仍用弹簧测力计测量同一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数为F2，设地球的自转周期为T，不考虑地球两极与赤道的半径差异。请根据探索实验的设想，写出地球平均密度的表达式（万有引力常量G、圆周率π已知）。 22、双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k（k<1），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，求： （1）两个星球A、B组成的双星系统周期理论值T0； （2）星球C的质量。 23、如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。 （1）求两星球做圆周运动的周期。 （2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数） 24、太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。彗星作为太阳系中的小天体，其运动轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。 (1)已知某彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为。 a.请比较和的大小； b.求该彗星在近日点加速度的大小和在远日点加速度的大小之比。 (2)地球及地外行星（轨道半径大于地球轨道半径的行星）绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 a.已知万有引力常量，地球公转周期，日地距离取3.14，请估算太阳的质量（保留一位有效数字）； b.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。通过计算分析说明，地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的是哪颗 试卷第2页，共2页 试卷第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 25．(1)如图所示，质量分布均匀的大球质量为、球心为、半径为，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于点，点为小球球心。将质量为的小物体（可视为质点）置于点，引力常数为。 ①求大球剩余部分对小物体的引力大小。 ②已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 (2)如图所示，、为某地区水平地面上的两点，在点正下方有一球形空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。 ①设球形空腔的体积为，球心深度为（远小于地球半径），，已知引力常量为，求空腔引起的点的重力加速度反常。 ②根据某地区的重力加速度反常，可以有哪些实际应用？展开想象的翅膀，就其中一个应用进行简要说明。 试卷第2页，共2页 试卷第13页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 【参考答案】 例1.C　【解析】设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝G，由于地球的质量为：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝＝＝πGρR。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝πGρ（R－d），所以有＝。根据万有引力提供向心力G＝＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误。 【例2】　选B　设地球的质量为M，质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有 在赤道，物体所受地球的引力等于其所受重力和向心力的合力，有 联立解得，故B正确。 例3．B【详解】若距离大于地球半径，则根据万有引力提供重力可得 可得加速度 故当距离大于地球半径时，随距离增大，加速度变小。当在地球球壳内即距离小于地球半径，此时距离地心范围内的球壳对物体没有引力，那么地球对其产生引力的就是半径为r的中心球体对它产生的引力，因此 故当在地球球壳内，距离小于地球半径时，加速度与距离成正比。 故选B。 例4、D 【解析】“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，选项A错误；“墨子号”在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据G＝m可得v＝，轨道半径越大，线速度越小，选项B错误；“墨子号”在A、B两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，选项C错误；“墨子号”在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，选项D正确。 例5、A 【详解】“神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接。 据G＝m2r，得T＝2π，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A对B错。若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C、D都错。 【跟踪训练】 1、C　【解析】太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得＝，故＝，C正确。] 2、D 3、C 4、ACD 【详解】　由G＝mg可得月球与地球质量之比：＝×＝，D正确。由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由G＝m2R，可得：＝ ＝，A正确。由G＝ma可得：＝＝，C正确。 5、A　【解析】双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B错误；双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小也相同，D错误；根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，A正确；根据v＝ωr，得＝＝，C错误。 6、C　[解析] 人造地球卫星的动能变为原来的，而质量不变，则卫星的线速度变为原来的。卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力，由G＝m可得r＝，则卫星的轨道半径变为原来的4倍，D错误；由ω＝，可得卫星的角速度变为原来的，B错误；由T＝，可得卫星的周期变为原来的8倍，C正确；由a＝，可得卫星的加速度变为原来的，A错误。 7、B　[解析] “天宫一号”变轨前后都是地球的卫星，都由地球对它的万有引力充当向心力。由G＝m得v＝，所以，＝，故B正确。 8、AB　[解析] 飞行器与地球绕太阳同步做圆周运动，它们的周期相同，角速度也相同，由v＝rω，a＝rω2，可知半径越大，线速度越大，向心加速度也越大，A、B正确；飞行器的向心力由太阳和地球的合力来提供，C、D错误。 9、B　[解析] 卫星绕行星表面做匀速圆周运动，则G＝m，在行星表面有：G＝mg，由弹簧测力计的读数可知：g＝，联立解得：M＝ 10、B [解析] 由公式G＝m＝mrω2＝m2r＝ma，得v＝，ω＝，a＝G，T＝，则v、ω、a随r的增大而减小，T随r的增大而增大，由题意可知“天宫一号”比“神舟八号”的轨道半径大，B正确。 11、【答案】选A。 【详解】由万有引力提供向心力有，由于在月球表面 轨道有r=R，由球体体积公式联立解得月球的密度，故选A。 12．A　[解析] 在地球表面，由万有引力定律有G＝mg，其中M＝πR3，在矿井底部，由万有引力定律有G＝mg0，其中M0＝πR，R＝R0＋d，联立解得＝1－，A正确。 13、【答案】B 【详解】设月球表面处的重力加速度为g0，则h＝g0t2，设飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为v，由牛顿第二定律得mg0＝m，两式联立解得v＝，选项B对。 14、CD　【解析】地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远。根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，故A、B错误，C、D正确。 15、A　【解析】根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1。地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律，＝，解得T1＝3 h，选项A正确。 16、A　【解析】在两极万有引力等于重力，G＝F1；在赤道上万有引力提供重力及向心力，G－F2＝mω2R，联立解得R＝；由G＝F1，且M＝πR3ρ，解得ρ＝，故A正确。 17、【答案】　D 【解析】b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有G＝m，解得v＝，代入数据得v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B错误；卫星c为同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝，可知b的速度比c的速度大，故D正确。 18、AC　【解析】在地月转移段“嫦娥三号”所受地球和月球的引力之和指向地球，关闭发动机后，“嫦娥三号”向月球飞行，要克服引力做功，动能一定减小，速度一定减小，选项A正确，B错误。关闭发动机后，只有万有引力做功，“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变，选项C正确，D错误。] 19、ABC　【解析】每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，选项A、B、C正确，D错误。 20．D 【详解】A．根据开普勒第三定律可得 火星与地球的公转轨道半径之比约为，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为，故A错误； B．物体在星球表面时，万有引力表现为物体受到的重力，满足 解得星球表面重力加速度 根据题中条件无法求解火星与地球表面的自由落体加速度大小之比，故B错误； C．当火星与地球相距最远时，二者的速度方向相反，所以两者的相对速度最大，故C错误； D．根据火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 已知地球的公转周期为1年，则可知火星的公转周期约为1.8年，设经过时间出现下一次“火星冲日”，则有 解得 所以下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后，故D正确。 故选D。 21、 【答案】 【详解】在地球赤道处，物体受地球的引力与弹簧的弹力作用，物体随地球自转，做圆周运动，所以 ①（4分） 在地球的两极物体受地球的引力与弹簧的弹力作用，因该处的物体不做圆周运动，处于静止状态，有 ②（3分） 又因为 ③（3分） 联立①②③解得 （3分） 22、[解析]（1）两星球的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：＝mr1ω＝mr2ω 可得：r1＝r2 ① 两星绕连线的中点转动，则有： ＝m×ω 解得ω1＝ ② 所以T0＝＝2π。 ③ （2）由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则 ＋G＝m·L·ω ④ T＝＝kT0 ⑤ 联立③④⑤式解得M＝。 [答案]（1）2π　（2） 23、【答案】⑴ ⑵1.01 【解析】 ⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有 ，，连立解得， 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得 化简得 ⑵将地月看成双星，由⑴得 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 化简得 所以两种周期的平方比值为 24．(1)， (2)，海王星 【详解】（1）a.根据开普勒第二定律，彗星与太阳的连线单位时间内扫过面积相等，近日点距离太阳更近，因此线速度更大，故 b.彗星在近日点和远日点的加速度由万有引力提供，根据万有引力定律提供向心力有 可得 因此 ， 所以加速度大小之比 （2）a.地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力 整理得 代入数据得 b.设地球周期为，地外行星周期为，相邻两次冲日时间间隔为。相邻冲日时地球比行星多转一圈，满足 可得 解得 根据开普勒第三定律可知，轨道半径越大，行星公转周期越大，结合上式可知，越大，越小， 表格中海王星的轨道半径最大，因此海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。 25．(1)①，② (2)①，②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可 【详解】（1）①大球的质量为，挖去小球的质量为， 大球对点小物体的引力为 小球单独存在时对点小物体的引力为 则剩余部分对点小物体的引力为 解得 ②由于质量分布均匀的球壳对内部的引力为零，大球对点小物体的引力相当于球心在、半径为的球体对点小物体的引力，即 由①可知 又因为质点位于挖去小球的球心处，质量分布均匀的小球对其球心处质点的引力为0，即 则 （2）①如果将空腔区域填满相同密度的岩石，则点重力加速度将回归正常值。因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算。 若在点放置一质量为的质点，则该附加引力为 根据牛顿第二定律，空腔的重力加速度变化满足，其中 则，方向沿连线向外。 因此，处重力加速度反常大小，其中 解得，方向竖直向上 ②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 21 学科网（北京）股份有限公司 $