第23章《一次函数》单元测试卷能力素养提优卷 2025-2026学年八年级数学下册人教版

第二十三章一次函数单元测试卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026•贵州模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025•江城区三模）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0 3．（2025春•江汉区期末）两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•沙坪坝区校级期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0 5．（2025•兴庆区校级二模）点P（x，y）在直线y＝﹣x+4上，坐标（x，y）是二元一次方程2x﹣y＝﹣7的解，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025秋•铁西区期中）一次函数y＝2x﹣3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C．（0，3） D．（0，﹣3） 7．（2025秋•宜兴市校级月考）对于一次函数y＝﹣x+3的相关性质．下列描述错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与x轴的交点坐标为（3，0） C．y随x的增大而减小 D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 8．（2024秋•潜山市期中）甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是84千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是42km/h B．自行车比摩托车早出发两小时 C．m＝2.8 D．n＝36 9．（2025•常州模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数y＝mx﹣3m的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（　　） A．﹣1 B． C． D．1 10．（2025春•曹县期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（　　） A．3 B．3 C．4 D．9 二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分） 11．（2022•武侯区模拟）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y2﹣y1＝　 　 ． 12．（2025秋•上城区期末）一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数且k≠0，b≠0）与y＝3x的图象相交于点N（m，﹣6），则关于x的方程kx﹣b＝3x的解为x＝　 　 ． 13．（2022秋•临淄区期末）把直线y＝﹣2x﹣3向上平移5个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为 　 　 ． 14．（2024•衡阳开学）鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y＝2x﹣10来表示（y表示码数，x表示厘米数）．小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是　 　 码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长　 　 厘米． 15．如图，直线y＝kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+bx的解集为　 　 ． 16．（2024春•北京期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（4，1），（2，3），若直线y＝x+b与△ABC有公共点，则b的取值范围为 　 　 ． 17．（2025秋•成都期末）定义：若实数a，b满足|2a﹣b|＝k（k为常数），则称点P（a，b）为“k倍幸福点”．如点P（2，1）为“3倍幸福点”．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，6），点B为直线l：y＝x+m上两点，其中点B为“k倍幸福点”，且△AOB的面积为3k﹣1，则k的值为 　 　 ． 三．解答题（共4小题，共42分） 18．（10分）（2024春•萧山区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△AOB的面积． 19．（10分）（2025秋•沛县期末）已知y﹣2与x+3成正比例，且x＝﹣4时，y＝0． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当﹣2＜y≤6时，求x的取值范围． 20．（10分）（2025春•双城区期末）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展跳绳活动，需购买甲、乙两种品牌的跳绳．已知购买甲种品牌跳绳10个和乙种品牌跳绳5个共需200元；购买甲种品牌跳绳15个和乙种品牌跳绳10个共需325元． （1）购买一个甲种品牌跳绳和一个乙种品牌跳绳各需要多少元？ （2）若购买甲、乙两种品牌跳绳共60个，甲种品牌跳绳数量不低于乙种品牌跳绳数量的3倍且不超过乙种品牌跳绳数量的4倍，则有几种购买方案？ 21．（12分）（2025春•鼓楼区校级期中）把一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数y＝|kx+b|的图象．例如：如图1就是函数y＝|x|的图象． （1）请在图2中画出函数y＝|x+1|的图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是 　 　 ； （2）在（1）的条件下，若直线与函数y＝|x+1|的图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； （3）函数y＝|kx﹣5k+4|（k为常数）的图象经过（﹣1，y1），（3，y2）两点，且y1＞y2，直接写出k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章一次函数单元测试卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D B A D D B B 一．选择题（共10小题） 1．（2026•贵州模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据所给函数解析式，得出一次函数图象不经过的象限即可． 【解答】解：由题知， 因为一次函数解析式为y＝﹣x﹣1， 所以y随x的增大而减小且与y轴交于负半轴， 所以一次函数的图象经过第二、三、四象限， 即不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2025•江城区三模）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大． 3．（2025春•江汉区期末）两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【解答】解：A、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意； B、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＜0，y＝bx+a经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，所以B选项符合题意； C、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意； D、对于y＝ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，若b＞0，则y＝bx+a经过第一、三象限，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 4．（2025秋•沙坪坝区校级期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围． 【解答】解：根据图象可知，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 5．（2025•兴庆区校级二模）点P（x，y）在直线y＝﹣x+4上，坐标（x，y）是二元一次方程2x﹣y＝﹣7的解，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】依据题意，由一次函数与方程的关系，列方程组求解． 【解答】解：由题意，联立方程组， ∴． ∴P（﹣1，5）． ∴P在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与方程的关系，理解一次函数与方程组的关系是解题的关键． 6．（2025秋•铁西区期中）一次函数y＝2x﹣3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C．（0，3） D．（0，﹣3） 【答案】A 【分析】利用函数关系式求出点A的坐标，再根据轴对称变换的性质解决问题． 【解答】解：对于一次函数y＝2x﹣3， 令y＝0，可得x， ∴A（，0）， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为（，0）． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标等知识，解题的关键是理解题意掌握轴对称变换的性质． 7．（2025秋•宜兴市校级月考）对于一次函数y＝﹣x+3的相关性质．下列描述错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与x轴的交点坐标为（3，0） C．y随x的增大而减小 D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：根据一次函数的性质逐项分析判断如下： A．∵k＝﹣1＜0，b＝3＞0， ∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； B．当x＝3时，y＝0， ∴函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），正确，不符合题意； C．∵k＝﹣1＜0， ∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； D．令x＝0，可得，y＝3，令y＝0，x＝3， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积，错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 8．（2024秋•潜山市期中）甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是84千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是42km/h B．自行车比摩托车早出发两小时 C．m＝2.8 D．n＝36 【答案】D 【分析】从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【解答】解：A．摩托车的速度是84÷2＝42（km/h），故此项不符合题意； B．自行车比摩托车早出发两小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为s＝kt+b， 由题意可得， 解得s＝42t﹣84， 设自行车的解析式为s＝pt， 将点（7，84）代入得p＝12， 所以自知行车的解析式为s＝12t， 当摩托车与自行车相遇时：， 解得： 则m＝2.8，故此项不符合题意； D．由上可知n＝33.6，错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键． 9．（2025•常州模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数y＝mx﹣3m的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（　　） A．﹣1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】依据题意，分两种情况：m＞0或m＜0，分别画图计算边界点可解答． 【解答】解：由题意，∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3）， ∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0）， 分两种情况： ①当m＞0时，如图1， 当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m， ∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”， ∴﹣1≤﹣2m＜0， ∴0＜m； ②当m＜0时，如图2， 由①知：点A的坐标为（1，﹣2m）， ∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”， ∴0＜﹣2m≤1， ∴m＜0； 综上，m的取值范围为：0＜m或m＜0． ∴符合题意的选项为B． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 10．（2025春•曹县期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（　　） A．3 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】由图象可知，当x＝6时，△ABP面积最大值为9，此时当点P运动到点C，得到BC＝3，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意可得，当点P运动到点C时，△ABP的面积最大， ∴，即， 解得BC＝3， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分） 11．（2022•武侯区模拟）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y2﹣y1＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】将点A和点B坐标代入解析式求得y1和y2的值，然后得到y2﹣y1的值． 【解答】解：当x＝m时，y1＝2m﹣3，当x＝m+1时，y2＝2（m+1）﹣3＝2m﹣1， ∴y2﹣y1＝2m﹣1﹣（2m﹣3）＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将x＝m和x＝m+1代入函数解析式求得y1和y2的值． 12．（2025秋•上城区期末）一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数且k≠0，b≠0）与y＝3x的图象相交于点N（m，﹣6），则关于x的方程kx﹣b＝3x的解为x＝　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【分析】把N（m，﹣6）代入y＝3x求出m，根据N点的横坐标，即可求出答案． 【解答】解：把N（m，﹣6）代入y＝3x得：3m＝﹣6， 解得m＝﹣2， ∴N（﹣2，﹣6）， ∴关于x的方程kx﹣b＝3x的解为x＝﹣2 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中． 13．（2022秋•临淄区期末）把直线y＝﹣2x﹣3向上平移5个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为 　（1，0）　 ． 【答案】（1，0）． 【分析】利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与x轴的交点． 【解答】解：∵直线y＝﹣2x﹣3沿向上平移5个单位， ∴平移后的解析式为：y＝﹣2x+2， 当y＝0时，则x＝1， ∴平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）． 故答案为：（1，0）． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键． 14．（2024•衡阳开学）鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y＝2x﹣10来表示（y表示码数，x表示厘米数）．小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是　42　 码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长　23　 厘米． 【答案】42，23． 【分析】根据题意，可知用字母y表示码数，x表示厘米数，它们之间的关系有y＝2x﹣10，进而推出x＝（y+10）÷2；据此把x＝26厘米或y＝36码分别代入关系式，计算得解． 【解答】解：当x＝26厘米时， y＝2x﹣10＝2×26﹣10＝42， 当y＝36码时， x＝（y+10）÷2＝（36+10）÷2＝23． 故答案为：42，23． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决此题关键是根据“码”或“厘米”之间的关系式y＝2x﹣10，推出x＝（y+10）÷2，进而代数计算得解． 15．如图，直线y＝kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+bx的解集为　3＜x＜6　 ． 【答案】3＜x＜6 【分析】将A（3，1）和B（6，0）分别代入y＝kx+b，求出k、b的值，再解不等式组0＜kx+bx的解集． 【解答】解：将A（3，1）和B（6，0）分别代入y＝kx+b得， ， 解得， 则函数解析式为yx+2． 可得不等式组， 解得3＜x＜6． 故答案为3＜x＜6． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 16．（2024春•北京期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（4，1），（2，3），若直线y＝x+b与△ABC有公共点，则b的取值范围为 　﹣3≤b≤1　 ． 【答案】﹣3≤b≤1． 【分析】将A（1，1），B（4，1），C（2，3）的坐标分别代入直线y＝x+b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围． 【解答】解：将A（1，1）代入直线y＝x+b中，可得1+b＝1，解得b＝0， 将B（4，1）代入直线y＝x+b中，可得4+b＝1，解得b＝﹣3， 将C（2，3）代入直线y＝x+b中，可得2+b＝3，解得b＝1， 故b的取值范围是﹣3≤b≤1． 故答案为：﹣3≤b≤1． 【点睛】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，由函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 17．（2025秋•成都期末）定义：若实数a，b满足|2a﹣b|＝k（k为常数），则称点P（a，b）为“k倍幸福点”．如点P（2，1）为“3倍幸福点”．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，6），点B为直线l：y＝x+m上两点，其中点B为“k倍幸福点”，且△AOB的面积为3k﹣1，则k的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】依据题意，由点A（3，6）在直线l：y＝x+m上，则6＝3+m，解得：m＝3，可得直线l的函数解析式为y＝x+3，又B在直线l：y＝x+3上，从而可设B（n，n+3），又B为“k倍幸福点”， |2n﹣n﹣3|＝k，即k＝|n﹣3|，故n＝3+k或n＝3﹣k．又设直线l：y＝x+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，可得OC＝3，然后分情形讨论计算可以得解． 【解答】解：∵点A（3，6）在直线l：y＝x+m上， ∴6＝3+m， 解得：m＝3， ∴直线l的函数解析式为y＝x+3． 又B在直线l：y＝x+3上， ∴可设B（n，n+3）． 又B为“k倍幸福点”， ∴|2n﹣n﹣3|＝k，即k＝|n﹣3|． ∴n＝3+k或n＝3﹣k． 设直线l：y＝x+3与y轴交于点C， 令x＝0，则y＝3． ∴C（0，3）． ∴OC＝3． ①若B在A上方， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC OC×（3+k）OC×3 k． 又S△AOB＝3k﹣1， ∴k． ②若B在A下方，在C上方， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC OC×3OC×（3﹣k） k． 又S△AOB＝3k﹣1， ∴k． ③若B在A下方，且在C下方， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC OC×3OC×（3﹣k） （6﹣k）． 又S△AOB＝3k﹣1， ∴k0（不合题意）． 综上，k． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 三．解答题（共4小题，共42分） 18．（10分）（2024春•萧山区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求点C和点D的坐标； （3）求△AOB的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）令x＝0，y＝0，代入yx即可确定C、D点坐标； （3）根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算即可． 【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得 ， 解得 ． 所以一次函数解析式为yx； （2）令y＝0，则0x，解得x， 所以C点的坐标为（，0）， 把x＝0代入yx得y， 所以D点坐标为（0，）， （3）△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD 21 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 19．（10分）（2025秋•沛县期末）已知y﹣2与x+3成正比例，且x＝﹣4时，y＝0． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当﹣2＜y≤6时，求x的取值范围． 【答案】（1）y＝2x+8； （2）﹣5＜x≤﹣1． 【分析】（1）先设解析式为y﹣2＝k（x+3），再把x＝﹣4，y＝0代入即可求解k； （2）根据一次函数的性质分析即可求解． 【解答】解：（1）由题意设y﹣2＝k（x+3），由条件可得（﹣4+3）k＝0﹣2， 解得k＝2， ∴y﹣2＝2（x+3），即y＝2x+8， ∴y与x之间的函数关系式为y＝2x+8； （2）当y＝﹣2时，2x+8＝﹣2， 解得x＝﹣5； 当y＝6时，2x+8＝6， 解得x＝﹣1， 由条件可知y随着x的增大而增大， ∴当﹣2＜y≤6时， 则x的取值范围为﹣5＜x≤﹣1． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．（10分）（2025春•双城区期末）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展跳绳活动，需购买甲、乙两种品牌的跳绳．已知购买甲种品牌跳绳10个和乙种品牌跳绳5个共需200元；购买甲种品牌跳绳15个和乙种品牌跳绳10个共需325元． （1）购买一个甲种品牌跳绳和一个乙种品牌跳绳各需要多少元？ （2）若购买甲、乙两种品牌跳绳共60个，甲种品牌跳绳数量不低于乙种品牌跳绳数量的3倍且不超过乙种品牌跳绳数量的4倍，则有几种购买方案？ 【答案】（1）购买一个甲种品牌跳绳需要15元，一个乙种品牌跳绳需要10元； （2）共有4种购买方案． 【分析】（1）设购买一个甲种品牌跳绳需要x元，一个乙种品牌跳绳需要y元，根据“购买甲种品牌跳绳10个和乙种品牌跳绳5个共需200元；购买甲种品牌跳绳15个和乙种品牌跳绳10个共需325元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个甲种品牌跳绳，则购买（60﹣m）个乙种品牌跳绳，根据购买甲种品牌跳绳数量不低于乙种品牌跳绳数量的3倍且不超过乙种品牌跳绳数量的4倍，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种购买方案． 【解答】解：（1）设购买一个甲种品牌跳绳需要x元，一个乙种品牌跳绳需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种品牌跳绳需要15元，一个乙种品牌跳绳需要10元； （2）设购买m个甲种品牌跳绳，则购买（60﹣m）个乙种品牌跳绳， 根据题意得：， 解得：45≤m≤48， 又∵m为正整数， ∴m可以为45，46，47，48． 答：共有4种购买方案． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 21．（12分）（2025春•鼓楼区校级期中）把一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数y＝|kx+b|的图象．例如：如图1就是函数y＝|x|的图象． （1）请在图2中画出函数y＝|x+1|的图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是 　（﹣1，0）　 ； （2）在（1）的条件下，若直线与函数y＝|x+1|的图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； （3）函数y＝|kx﹣5k+4|（k为常数）的图象经过（﹣1，y1），（3，y2）两点，且y1＞y2，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）（﹣1，0）；图象见解答部分； （2）2； （3）k＞1或k＜0． 【分析】（1）根据图象即可作答； （2）由直线与直线的交点求法和三角形面积公式作答； （3）对k的取值范围进行分类讨论． 【解答】解：（1）函数y＝|x+1|的图象如图： 点A的坐标是（﹣1，0）； 故答案为：（﹣1，0）； （2）由， 解得， ∴B（﹣3，2）． 由， 解得， ∴C（0，1）． 由（1）得：A（﹣1，0）． ∴△ABC的面积2． （3）∵函数y＝|kx﹣5k+4|（k为常数）的图象经过（﹣1，y1），（3，y2）两点，且y1＞y2， ∴当x＝5时，y＝4． ∴经过定点（5，4）． 当y＝0时，x， ∴该图象与x轴交点（，0）， ①当k＞0时， ∵y1＞y2，由图象可知， 解得k＞1． ∴k＞1， ②当k＜0时，由图象可知，始终有y1＞y2． 综上所述，k＞1或k＜0． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征．正确求出一次函数与x轴与y轴的交点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $