精品解析：四川德阳市2026届高三年级适应性练习数学试题

高三年级适应性练习 数学 说明： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回. 2．本试卷满分150分，120分钟完卷. 第I卷（选择题58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，故. 可得. 2. 在复平面内，复数，则z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】化简复数，分子分母同乘，. 由，代入得. 的共轭复数，对应复平面内的点坐标为，该点位于第二象限. 3. 中，，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义结合余弦定理可求的值. 【详解】设所对的边分别为， 由余弦定理： 则. 故选：A 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列中，由得， 所以. 5. 德阳市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往阿坝、若尔盖、越西三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】先选1个区安排2人，剩下2个区各安排1人，据此可得答案. 【详解】由题可得某个区需安排2人，剩下2个区各安排1人. 先选1个区安排2人，情况数为：， 剩下2个区各安排1人，有2种方法，则共有种方法. 6. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过导数判断函数单调性，再代入特殊点（如 ）判断函数值符号，结合单调性确定零点所在区间，最后比较区间得出大小关系即可. 【详解】已知的零点为 ， 则 ，因为对于任意实数 ， 都有 ，所以 ， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，又因为 单调递增，且 ， 所以其零点 必定在 的左侧，即 . 已知的零点为 ， 因为函数 的定义域为 ，且 ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以函数 在定义域上是单调递增的， 则， 又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧， 又因为定义域要求 ，所以 . 已知的零点为， 则，因为对于任意实数， 都有，所以，即， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，因为 单调递增且 ， 所以 是函数 的唯一零点，故 . 由以上知，，，故 . 7. 如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，再由，求解. 【详解】由题意知：，则， ，， 则，， 所以，解得， 故选：C 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于A、B，若的内切圆面积之比为1:4，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，结合双曲线的定义可得，不妨令，，结合斜率公式可得，即可得离心率. 【详解】设的内切圆圆心分别为，半径分别为 因为的内切圆面积之比为1:4，则， 圆与边分别切于点， 则，，， 因为，则，即， 且，可得，， 则，不妨令，同理可得，且， 因为，均为的角平分线，可知点三点共线， 则，即，解得， 所以双曲线的离心率为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 对随机事件A、B，若，则 C. 已知一组不全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据的平均数还是 D. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：数据，极差为，中位数为 极差与中位数之积为，故A正确. 选项B：抛掷一枚硬币，事件正面向上，事件反面向上，则，，显然不相等，故B错误. 选项C：原数据平均数，即，加入数后新平均数， 仅时平均数不变，题干未限定，故C错误. 选项D：回归直线过样本中心点，代入，得，解得，故D正确. 10. 在棱长为1的正方体中，．则下面结论中正确的是（ ） A. 存在，使得平面平面 B. 是平面的充要条件 C. 分别是在平面，平面上的投影图形的面积，对任意，都有 D. 任意，的面积不等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量分别求出两平面的法向量后验证可得A；利用空间向量验证线面垂直可得B；结合投影坐标和三角形的面积公式可验证C；由空间向量求出和的夹角为，再利用三角形面积公式可得. 【详解】如下图所示，建立空间直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，为正方体中一点，连接，点分别为在平面中的投影，连接，点分别为在平面中的投影，连接， 因为正方体棱长为，， 所以，，，，，，，，， 选项A：存在，使得平面平面， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 因为，， ，， 所以，即， 令，解得，即， ，即，令，解得，即， 若平面平面，则， 即，解得； 选项B：是平面的充要条件， 当时，， ，即， 所以平面， 若平面，则， 即，解得； 选项C：的三个端点在平面上的投影坐标分别为，，， 则， 的三个端点在平面上的投影坐标分别为，，， 则， 令，即，解得，此时； 选项D：设和的夹角为， ，， ， ， ， 令，即，化简可得， 判别式为， 所以方程无实数解，即对任意，. 11. 已知函数是的导数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值点和极小值点个数相同 C. D. 方程有根 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，计算可得即可判断；对于B，由A可得 ，即关于对称，且 ，则有奇数个根，据此可推断极大值点和极小值点个数不同；对于C，求导计算即可；对于D，由题可得结合零点存在定理即可判断． 【详解】对于A， ，的图象关于对称，故A正确； ，，即 ， 关于对称，且 ， 则有奇数个根， 的极大值点和极小值点个数不同，故B错误； 对于C，令，其中， 则，将代入， 得，故C正确； ，令， 时，，时，， 时，有解，即方程有根，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数等于___________． 【答案】45 【解析】 【分析】利用二项式定理确定展开式的通项，从而可得展开式中的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为． 故答案为：． 13. 过点的直线交抛物线于P，Q两点，直线过点P且与C相切，则直线与直线斜率之积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，过点的直线的斜率存在，设为，则直线的方程为. 设， 由，得，所以. 由，得. 所以直线的斜率为； 又直线的斜率为， 所以直线与直线斜率之积为. 14. 在平面直角坐标内（为坐标原点），已知，将B绕O沿逆时针方向旋转到点，设，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由可得，则点都在以为原点，为半径的圆上. 设，则，. 由题意可知. 所以 . 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）填表见解析；能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，利用公式求，与临界值对比后下结论； （2）根据全概率公式求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率，再根据贝叶斯公式求该生为女生的概率. 【小问1详解】 由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下： 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联． ， ∴依据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联． 【小问2详解】 设事件A为“抽取的学生喜欢人工智能应用”， 事件B为“抽取的学生为女生”，则为“抽取的学生为男生”， 将样本的频率视为概率，则， ， 由全概率公式得， 再根据贝叶斯公式得. 所以已知该生喜欢人工智能应用，则该生为女生的概率为. 16. 已知数列中，． （1）求； （2）设，证明：数列是等比数列； （3）记，求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得答案； （2）证明为常数即可完成证明； （3）由（2）分析可得，，然后由裂项求和法可得答案. 【小问1详解】 数列中，， 则，； 【小问2详解】 由，则，则， 从而是以为首项，公比为2的等比数列； 【小问3详解】 由（2）， 则 ， 从而. 17. 如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F． （1）证明：平面ABCD； （2）求二面角的平面角的正弦值． （3）求多面体ABCDEF外接球的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形证明E为线段的中点，再利用中位线得出，即可由线面平行的判定定理得证； （2）作出二面角的平面角，利用余弦定理求解，再根据同角三角函数基本关系即可求解； （3）根据球的截面性质，判断球心位置，利用方程求出球半径即可得解. 【小问1详解】 连接，，如图， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又，所以四边形是矩形， 所以，， 又，分别为AB，CD的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又对角线，所以点E为线段的中点， 同理，点F为线段的中点， 所以，又平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD. 【小问2详解】 连接，交EF于点N，连接， 由题意知，故，所以, 同理可得，, 所以即为二面角的平面角. 又在中，， 所以，同理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以. 【小问3详解】 取中点，连接， 则由题意知平面， 由外接球的性质可知，球心在或的延长线上， 连接， 若在线段上，， ，故，不合题意； 故在线段的延长线上， 设，则, 因为，， 即，解得， 所以， 故外接球的面积. 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）根据，可知存在，使得，即，从而可得极小值为，求出，从而可得a的取值范围； （3）由（2）可知，当时，恒成立，即，令可得，，，，两边求和可证. 【小问1详解】 当时，，， 则， 故切线的方程为， 即； 【小问2详解】 由于， 当时，定义域为， 由于趋于时，趋于，而趋于， 所以不能恒成立， 因此，此时定义域为， 又， 根据函数和的图象性质， 可知存在，使得，即， 且当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以为函数的极小值点， 极小值为 设，则恒成立， 则在上单调递减，且， 所以，又因为， 则，即a的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，恒成立， 即，也就是， 所以，，，， 累加求和得， 即. 19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为A，下顶点为B，的面积为1（O为坐标原点）． （1）求椭圆的方程； （2）点P为椭圆上任意一点，以P为圆心PO为半径的圆与以椭圆焦点F为圆心半径为的圆的公共弦为MN，是否存在r，使得的面积为定值（与点P无关）？若存在，求出r及的面积；否则说明理由． （3）事实上（2）的结论对任意椭圆都成立，写出该结论（不需要证明）． 【答案】（1） （2）存在，，的面积为. （3）结论见详解. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及面积列出方程组，解即可； （2）利用两圆方程差得出公共弦所在直线方程，由点到直线距离为定值确定，据此求出面积； （3）根据（2）归纳一般结论即可. 【小问1详解】 由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则， 则以为圆心为半径的圆的方程为， 即， 以为圆心半径为的圆的方程为. 所以两圆方程作差，可得公共弦为的方程为， 到直线的距离 ， 要使得的面积为定值（与点P无关），只需与无关， 所以，即. 此时，所以， 故的面积为. 【小问3详解】 以椭圆上任意点为圆心，为半径的圆与以椭圆焦点为圆心半径为的圆的公共弦为，则的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级适应性练习 数学 说明： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回. 2．本试卷满分150分，120分钟完卷. 第I卷（选择题58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，则z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 中，，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 5. 德阳市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往阿坝、若尔盖、越西三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 81 6. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于A、B，若的内切圆面积之比为1:4，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 对随机事件A、B，若，则 C. 已知一组不全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据的平均数还是 D. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则 10. 在棱长为1的正方体中，．则下面结论中正确的是（ ） A. 存在，使得平面平面 B. 是平面的充要条件 C. 分别是在平面，平面上的投影图形的面积，对任意，都有 D. 任意，的面积不等于 11. 已知函数是的导数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值点和极小值点个数相同 C. D. 方程有根 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数等于___________． 13. 过点的直线交抛物线于P，Q两点，直线过点P且与C相切，则直线与直线斜率之积为__________． 14. 在平面直角坐标内（为坐标原点），已知，将B绕O沿逆时针方向旋转到点，设，则的值为__________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 16. 已知数列中，． （1）求； （2）设，证明：数列是等比数列； （3）记，求数列的前n项和． 17. 如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F． （1）证明：平面ABCD； （2）求二面角的平面角的正弦值． （3）求多面体ABCDEF外接球的面积． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）证明：． 19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为A，下顶点为B，的面积为1（O为坐标原点）． （1）求椭圆的方程； （2）点P为椭圆上任意一点，以P为圆心PO为半径的圆与以椭圆焦点F为圆心半径为的圆的公共弦为MN，是否存在r，使得的面积为定值（与点P无关）？若存在，求出r及的面积；否则说明理由． （3）事实上（2）的结论对任意椭圆都成立，写出该结论（不需要证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $