2026年中考数学冲刺复习 专题02 方程与不等式（八大题型）

专题02 方程与不等式 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】一元一次方程及应用 【题型二】二元一次方程及应用 【题型三】一元二次方程的解法 【题型四】一元二次方程的应用 【题型五】分式方程的解法 【题型六】分式方程的应用 【题型七】不等式的解法 【题型八】不等式的应用 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题 易错点二：一元二次方程中含参数易错问题 易错点三：分式方程中含参数易错问题 易错点四：不等式中含参数易错问题 ：方程和不等式是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1． 从考点频率看 1.高频核心考点：方程有一元二次方程（解法、判别式、韦达定理）、分式方程（解法及增根讨论）、二元一次方程组（解法及实际应用）每年必考，常结合利润、行程、几何等实际问题。不等式有一元一次不等式组（解集求解、参数范围讨论）及应用题（方案设计、最值问题）高频出现，常与函数、方程综合命题。 2. 易错考点： 分式方程的增根检验、一元二次方程二次项系数含参时的分类讨论、不等式组解集边界值的取舍（是否取等号）。 2． 从题型角度看： 1. 基础题型：选择题、填空题考查方程解法、不等式解集表示，占比约10%-15%。 2. 应用题：解答题中，方程与不等式常作为建模工具（如利润最大化、资源分配问题），占比约20%-25%，需结合题意列关系式。 3. 综合题：与函数（一次函数、二次函数）结合的压轴题，如利用不等式求自变量范围、方程根的分布分析，难度较高，区分度强。 1.基础巩固：熟练掌握各类方程（组）解法步骤（如分式方程验根、一元二次方程配方法/公式法），不等式组解集“数轴法”确定。 2.专题突破：针对参数问题专项训练（如含参方程的解的情况、不等式组参数范围），总结分类讨论逻辑（如二次项系数是否为0、不等号方向变化）。强化应用题建模能力，提炼“审-设-列-解-验-答”六步法，尤其注意实际问题中变量的取值范围（如正整数解）。 3.易错点攻坚：整理错题本，归纳增根遗漏、判别式忽略前提（二次项系数≠0）、不等式方向改变等高频错误。限时训练提升解题速度，确保基础题准确率达100%，综合题分步得分。 【题型一】一元一次方程及应用 【例1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区是我国重要的商品粮基地，某农场今年种植玉米120公顷，比去年增加，去年种植玉米的面积是（ ） A．144公顷 B．100公顷 C．96公顷 D．150公顷 本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．由此列式即可求解． 【例2】（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）有关幻方的最早记录，是约于公元前年在我国出现的“洛书”．在如下所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）、若处于每行、每列及每条对角线上的个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和为_____． 中 国 航 天 梦 【变式2】（2026·安徽·三模）合肥是全国综合性国家科学中心，科创文创产品深受青少年喜爱．合肥某科创文创店，用元购进、两款合肥本土科创联名文具，其中款文具的数量比款文具数量的一半多件．两款文具的进价和售价如下表： 科创联名文具 款 款 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该文创店购进、两款文具各多少件？ (2)该文创店将购进的、两款文具全部售完后，一共可获得多少利润？ 【变式3】（2026九年级下·北京西城·专题练习）某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 【题型二】二元一次方程及应用 【例1】（2026九年级下·新疆昌吉·专题练习）计算及解方程组： (1)计算：； (2)解方程组：． 本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组求解方程即可． 【例2】（2026·贵州遵义·一模）计算 (1)计算：； (2)解方程组： ①； ②． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，已知1个A部件和3个B部件总质量为．2个A部件和1个B部件的质量相等，求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克． 【变式2】（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【变式3】（2026·贵州六盘水·一模）为破解山区农产品出山“最后一公里”难题，某农村合作社巧用无人机为当地群众打通农产品出山的“空中走廊”．该合作社目前有A，B两款无人机为农户提供吊运服务，据了解2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克． (1)求A，B两款无人机每架满载可吊运农作物各多少千克？ (2)合作社现要吊运810千克的农作物，计划使用A，B两款无人机共12架进行吊运，为了次此吊运完成，则至少使用多少架B款无人机？ 【题型三】一元二次方程的解法 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次方程即可． 【例2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【变式1】（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）解下列方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【变式3】（2026·江苏徐州·一模）解方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 【题型四】一元二次方程的应用 【例1】（2026·内蒙古包头·一模）某农资店为满足春耕需求，购进甲、乙两种化肥．年甲、乙两种化肥每件的进价均为元，随着生产技术的优化，到年，甲种化肥每件的进价年平均下降元，乙种化肥每件的进价降至元． (1)经过两年调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降百分之多少； (2)年该农资店一次性购进甲、乙两种化肥共件供应农户，总资金不超过元，则至少购进甲种化肥多少件． 本题考查了由实际问题列出一元二次方程、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例2】（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【变式2】（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 【变式3】（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 【题型五】分式方程的解法 【例1】（2026·吉林·一模）解方程：． 本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验计算即可得解． 【例2】（2026·浙江嘉兴·一模）解分式方程：． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【变式2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）解方程：． 【变式3】（2026·浙江温州·一模）解分式方程：． 【题型六】分式方程的应用 【例1】（2026·辽宁沈阳·一模）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键 【例2】（2026·江苏扬州·一模）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 【变式1】（2026·辽宁沈阳·一模）某文创店在售甲、乙两款纪念册，已知每个乙款纪念册的价格是每个甲款纪念册价格的，用300元购买乙款纪念册的数量比用200元购买甲款纪念册的数量多7个． (1)求每个甲款纪念册的价格； (2)某班级计划购买甲、乙两款纪念册共25个，且总费用不超过550元，求该班级最多可以购买多少个甲款纪念册？ 【变式2】（2026·贵州遵义·一模）中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化与贸易格局．某地举办品茶促销会，某经销店购进一批A，B两款茶杯的金额分别是1200元、900元，A款茶杯单价是B款茶杯的2倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯少50个． (1)A，B两款茶杯的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共100个，A款茶杯的数量不少于25个，总金额不超过765元，问如何进货？ 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 【题型七】不等式的解法 【例1】（2026·陕西咸阳·二模）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【例2】（2026·重庆·一模）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【变式1】（2026九年级下·北京西城·专题练习）解不等式组． 【变式2】（2026·宁夏银川·一模）解不等式组： 【变式3】（2026·陕西西安·一模）解不等式组： 【题型八】不等式的应用 【例1】（2026·辽宁沈阳·一模）某商家推出、两款文旅纪念品．已知购进款文旅纪念品比购进款文旅纪念品每个进价多元；购进款文旅纪念品个和款文旅纪念品个，需花费元． (1)求、两款文旅纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款文旅纪念品共个，那么至少需要购进款文旅纪念品多少个？ 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． 【例2】（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【变式1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】一元一次方程及应用 【题型二】二元一次方程及应用 【题型三】一元二次方程的解法 【题型四】一元二次方程的应用 【题型五】分式方程的解法 【题型六】分式方程的应用 【题型七】不等式的解法 【题型八】不等式的应用 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题 易错点二：一元二次方程中含参数易错问题 易错点三：分式方程中含参数易错问题 易错点四：不等式中含参数易错问题 ：方程和不等式是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1． 从考点频率看 1.高频核心考点：方程有一元二次方程（解法、判别式、韦达定理）、分式方程（解法及增根讨论）、二元一次方程组（解法及实际应用）每年必考，常结合利润、行程、几何等实际问题。不等式有一元一次不等式组（解集求解、参数范围讨论）及应用题（方案设计、最值问题）高频出现，常与函数、方程综合命题。 2. 易错考点： 分式方程的增根检验、一元二次方程二次项系数含参时的分类讨论、不等式组解集边界值的取舍（是否取等号）。 2． 从题型角度看： 1. 基础题型：选择题、填空题考查方程解法、不等式解集表示，占比约10%-15%。 2. 应用题：解答题中，方程与不等式常作为建模工具（如利润最大化、资源分配问题），占比约20%-25%，需结合题意列关系式。 3. 综合题：与函数（一次函数、二次函数）结合的压轴题，如利用不等式求自变量范围、方程根的分布分析，难度较高，区分度强。 1.基础巩固：熟练掌握各类方程（组）解法步骤（如分式方程验根、一元二次方程配方法/公式法），不等式组解集“数轴法”确定。 2.专题突破：针对参数问题专项训练（如含参方程的解的情况、不等式组参数范围），总结分类讨论逻辑（如二次项系数是否为0、不等号方向变化）。强化应用题建模能力，提炼“审-设-列-解-验-答”六步法，尤其注意实际问题中变量的取值范围（如正整数解）。 3.易错点攻坚：整理错题本，归纳增根遗漏、判别式忽略前提（二次项系数≠0）、不等式方向改变等高频错误。限时训练提升解题速度，确保基础题准确率达100%，综合题分步得分。 【题型一】一元一次方程及应用 【例1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区是我国重要的商品粮基地，某农场今年种植玉米120公顷，比去年增加，去年种植玉米的面积是（ ） A．144公顷 B．100公顷 C．96公顷 D．150公顷 【答案】B 【分析】设去年种植玉米的面积为公顷，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设去年种植玉米的面积为公顷， 由于今年种植面积比去年增加，今年种植面积为120公顷， 则列方程得：， 化简得：， 解得：， 因此，去年种植玉米的面积是100公顷． 本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．由此列式即可求解． 【例2】（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总质量求出蛋白质和矿物质的质量和，再结合两者的数量关系整理得到方程即可． 【详解】解：营养快餐总质量为，其中脂肪质量为，碳水化合物质量为， 蛋白质与矿物质的总质量为， 又蛋白质的质量比矿物质质量的倍多，矿物质质量为， 蛋白质质量为， 因此可得方程：． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）有关幻方的最早记录，是约于公元前年在我国出现的“洛书”．在如下所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）、若处于每行、每列及每条对角线上的个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和为_____． 中 国 航 天 梦 【答案】 【分析】本题考查的是三阶幻方问题，利用每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等的性质解题是关键．首先通过已知对角线的和确定幻方的公共和，再结合每列、每行的和相等，依次求出 “中”“国”“梦” 所表示的数，进而计算它们的和． 【详解】解：由题意，左上角到右下角对角线上的三个数和为因此每行，每列，每条对角线上的三个数之和都为， 设“中”“国”“梦”表示的数分别为，，. 对第二列，由三个数的和为得解得， 对第三行，由三个数的和为得解得， 对第一行，由三个数的和为得将代入得解得， 因此“中”“国”“梦”表示的数之和为． 【变式2】（2026·安徽·三模）合肥是全国综合性国家科学中心，科创文创产品深受青少年喜爱．合肥某科创文创店，用元购进、两款合肥本土科创联名文具，其中款文具的数量比款文具数量的一半多件．两款文具的进价和售价如下表： 科创联名文具 款 款 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该文创店购进、两款文具各多少件？ (2)该文创店将购进的、两款文具全部售完后，一共可获得多少利润？ 【答案】(1)购进款文具件，款文具件 (2)全部售完后一共可获得利润元 【分析】（1）先设购进款文具的数量为未知数，根据款文具的数量比款文具数量的一半多件表示出款文具的数量，再结合总进价为元，列一元一次方程求解出两款文具的数量； （2）根据单件利润售价进价分别求出两款文具的单件利润，再结合各自的数量，计算总利润． 【详解】（1）解：设购进款文具件，则购进款文具件． 可列方程：． 解得：． 款文具数量：（件） 答：购进款文具件，款文具件． （2）解： 款单件利润：元， 款单件利润：元 总利润：元 答：全部售完后一共可获得利润元． 【变式3】（2026九年级下·北京西城·专题练习）某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 【答案】86m 【分析】利用几何图形中的边角关系，求出倾斜式停车位的水平间距以及单个倾斜车位的水平投影长度，再通过“两侧停车区总长度相等”这一条件建立方程，求出倾斜车位和垂直车位的数量，进而计算出空地的总长度，最后根据“至少”的要求进行取整． 【详解】解：如图，过点作于点T， 由，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 设倾斜车位有x个，则垂直车位有个， 由两侧停车区总长度相等，得：， 解得：， ∴垂直停车位有34个，停车区长度为：， 倾斜停车区长度为：， ∴空地长度应至少设计为． 【题型二】二元一次方程及应用 【例1】（2026九年级下·新疆昌吉·专题练习）计算及解方程组： (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据零指数幂法则，绝对值的性质，算术平方根的定义计算各项，再合并计算即可； （2）利用代入消元法求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 由①得③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组求解方程即可． 【例2】（2026·贵州遵义·一模）计算 (1)计算：； (2)解方程组： ①； ②． 【答案】(1)0 (2)①；② 【详解】（1）解：原式； （2）①解：， （1）+（2）得， 解得， 把代入（1）得， 解得， ∴原方程组的解为； ②解：， 把（1）代入（2）得， 解得， 把代入（1）得， ∴原方程组的解为． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，已知1个A部件和3个B部件总质量为．2个A部件和1个B部件的质量相等，求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克． 【答案】1个A部件的质量为，1个B部件的质量为 【分析】设1个A部件的质量是，1个B部件的质量是，根据“1个A部件和3个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等”建立二元一次方程组求解 【详解】解：设1个A部件的质量是，1个B部件的质量是，根据题意得： ， ∴， 答：1个A部件的质量为，1个B部件的质量为． 【变式2】（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【答案】(1)甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元 (2)甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副 【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可； （2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量． 【详解】（1）解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元 根据题意可得 解得， 答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元； （2）解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得： ， 解得， 因为是正整数，所以， 则， 答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副． 【变式3】（2026·贵州六盘水·一模）为破解山区农产品出山“最后一公里”难题，某农村合作社巧用无人机为当地群众打通农产品出山的“空中走廊”．该合作社目前有A，B两款无人机为农户提供吊运服务，据了解2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克． (1)求A，B两款无人机每架满载可吊运农作物各多少千克？ (2)合作社现要吊运810千克的农作物，计划使用A，B两款无人机共12架进行吊运，为了次此吊运完成，则至少使用多少架B款无人机？ 【答案】(1)A款无人机每架满载可吊运农作物50千克，B款无人机每架满载可吊运农作物80千克 (2)至少使用7架B款无人机 【分析】（1）设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克，列出方程组，解方程组即可； （2）设使用m架B款无人机，则使用架A款无人机，根据合作社现要吊运810千克的农作物，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据题意得： ， 解得：， 答：A款无人机每架满载可吊运农作物50千克，B款无人机每架满载可吊运农作物80千克； （2）解：设使用m架B款无人机，则使用架A款无人机，根据题意得： ， 解得：， 答：至少使用7架B款无人机． 【题型三】一元二次方程的解法 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次方程即可． 【例2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【答案】， 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 【变式1】（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）解下列方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）先解不等式组中的每个不等式，然后取其解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，． （2） 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是：． 【变式3】（2026·江苏徐州·一模）解方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：. 【题型四】一元二次方程的应用 【例1】（2026·内蒙古包头·一模）某农资店为满足春耕需求，购进甲、乙两种化肥．年甲、乙两种化肥每件的进价均为元，随着生产技术的优化，到年，甲种化肥每件的进价年平均下降元，乙种化肥每件的进价降至元． (1)经过两年调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降百分之多少； (2)年该农资店一次性购进甲、乙两种化肥共件供应农户，总资金不超过元，则至少购进甲种化肥多少件． 【答案】(1)乙种化肥每件的进价平均每年下降 (2)至少购进甲种化肥件 【分析】（1）设乙种化肥每件的进价平均每年下降的百分率为，根据题意可得，即可求解； （2）设购进甲种化肥件，则购进乙种化肥件，根据题意列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设乙种化肥每件的进价平均每年下降的百分率为， 根据题意可得， 解得，（舍去）， 答：乙种化肥每件的进价平均每年下降； （2）解：设购进甲种化肥件，则购进乙种化肥件， 年甲种化肥每件的进价为（元）， 根据题意可得， 解得， 答：至少购进甲种化肥件． 本题考查了由实际问题列出一元二次方程、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例2】（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； (2)不能实现目标． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【变式2】（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 【答案】(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个 (2)这个增长率为 (3)还需3天就可交货完成此订单 【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个，列出方程，解方程即可； （2）设小明每周的增长率为m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个，列出方程，解方程即可； （3）设还需n天就可交货完成此订单，根据需要完成3600个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个， 根据题意得：， 解得：， ∴（个）． 答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个． （2）解：设小明每周的增长率为m，根据题意得： ， 解得，（舍去）． 答：这个增长率为； （3）解：设还需n天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作100个，小明每天制作72个，则： ， 解得：， 答：还需3天就可交货完成此订单． 【变式3】（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据题意，根据总利润列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元， 由题意可得方程组， 解得， 故答案为：，． （2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元， 根据题意可得， ∴， 化简得， 解得（舍去）或． 当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元． 【题型五】分式方程的解法 【例1】（2026·吉林·一模）解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验计算即可得解． 【例2】（2026·浙江嘉兴·一模）解分式方程：． 【答案】 【详解】解： 经检验，原方程的解为． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】无解 【详解】解： ； 检验：当时，， 原分式方程无解． 【变式2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）解方程：． 【答案】 【分析】先对分母因式分解，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验得到原方程的解． 【详解】解：， ∴， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式3】（2026·浙江温州·一模）解分式方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的运算法则进行计算即可． 【详解】解：去分母,得, 去括号,得, 解得， 把代入原方程检验：左边,右边,左边＝右边， 是原方程的解． 【题型六】分式方程的应用 【例1】（2026·辽宁沈阳·一模）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 【答案】 【分析】设大巴车的平均速度是，根据中巴与大巴的时间差列分式方程求解即可. 【详解】解：设大巴车的平均速度是， 由题意得：， 解得：， ∴中巴车的平均速度为：， 经检验，是分式方程的解， 答：中巴车的平均速度是． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键 【例2】（2026·江苏扬州·一模）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 【答案】、两种冰箱贴的进价分别为元/件、元/件 【分析】设A种冰箱贴的进价为元/件，则B种冰箱贴的进价为元/件，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设A种冰箱贴的进价为元/件，则B种冰箱贴的进价为元/件， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 当时，， 答：、两种冰箱贴的进价分别为元/件、元/件． 【变式1】（2026·辽宁沈阳·一模）某文创店在售甲、乙两款纪念册，已知每个乙款纪念册的价格是每个甲款纪念册价格的，用300元购买乙款纪念册的数量比用200元购买甲款纪念册的数量多7个． (1)求每个甲款纪念册的价格； (2)某班级计划购买甲、乙两款纪念册共25个，且总费用不超过550元，求该班级最多可以购买多少个甲款纪念册？ 【答案】(1)元 (2)个 【分析】（1）设甲款纪念册的价格为元，则乙款纪念册的价格为，根据题意列方程即可解答； （2）设购买个甲款纪念册，则购买个乙款纪念册，计算总费用，列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设甲款纪念册的价格为元，则乙款纪念册的价格为， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：每个甲款纪念册的价格为元； （2）解：（元）， 设购买个甲款纪念册，则购买个乙款纪念册， 可得 解得， 则m的最大值为10， 答：该班级最多可以购买个甲款纪念册． 【变式2】（2026·贵州遵义·一模）中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化与贸易格局．某地举办品茶促销会，某经销店购进一批A，B两款茶杯的金额分别是1200元、900元，A款茶杯单价是B款茶杯的2倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯少50个． (1)A，B两款茶杯的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共100个，A款茶杯的数量不少于25个，总金额不超过765元，问如何进货？ 【答案】(1)A款茶杯的单价为12元，B款茶杯的单价为6元 (2)有三种进货方案：方案一：购进A款茶杯25个，B款茶杯75个；方案二：购进A款茶杯26个，B款茶杯74个；方案三：购进A款茶杯27个，B款茶杯73个 【分析】（1）设B款茶杯的单价为x元，则A款茶杯的单价为2x元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B款茶杯的单价为x元，则A款茶杯的单价为2x元． 根据题意，得：， 解得： 经检验，是原分式方程的解． ， 答：A款茶杯的单价为12元，B款茶杯的单价为6元． （2）解：设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个， 依题意得：， 解得：， 又因为A款茶杯的数量不少于25个， ， 又∵a取正整数， ∴a可取25，26，27． 即：有三种进货方案 方案一：购进A款茶杯25个，B款茶杯75个； 方案二：购进A款茶杯26个，B款茶杯74个； 方案三：购进A款茶杯27个，B款茶杯73个． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 【答案】(1)甲型号摩托车进价为5万元，乙型号摩托车进价为3万元 (2) 【分析】（1）设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型摩托车每台的进价为万元，乙型摩托车每台的进价为万元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 【题型七】不等式的解法 【例1】（2026·陕西咸阳·二模）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】；数轴见解析 【分析】根据解不等式的步骤得到不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 不等式两边同乘6得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 在数轴上表示为： ． 本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【例2】（2026·重庆·一模）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【答案】，，图见解析，，或或或或 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 整数解为或或或或． 【变式1】（2026九年级下·北京西城·专题练习）解不等式组． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，不等式组的解集为． 【变式2】（2026·宁夏银川·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，原不等式组的解为． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 【题型八】不等式的应用 【例1】（2026·辽宁沈阳·一模）某商家推出、两款文旅纪念品．已知购进款文旅纪念品比购进款文旅纪念品每个进价多元；购进款文旅纪念品个和款文旅纪念品个，需花费元． (1)求、两款文旅纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款文旅纪念品共个，那么至少需要购进款文旅纪念品多少个？ 【答案】(1)款文旅纪念品每个进价元，款文旅纪念品每个进价元； (2)至少需要购进款文旅纪念品个． 【分析】（）设款每个进价为元，款每个进价为元，根据题意可得，然后解方程组即可； （）设购进款文旅纪念品个，则购进款文旅纪念品个，根据题意得，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设款每个进价为元，款每个进价为元， 根据题意可得：， 解得， 答：款文旅纪念品每个进价元，款文旅纪念品每个进价元； （2）解：设购进款文旅纪念品个，则购进款文旅纪念品个， 根据题意得： ， 答：至少需要购进款文旅纪念品个． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． 【例2】（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 (2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 【变式1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 (2)有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱 【分析】（1）设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，根据“购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元”列方程组求解即可； （2）设购进A型设备m台，则购进B型设备台，根据“总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半”列不等式组求出m的值，得出方案；再列出总费用的函数关系，根据一次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． （2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元 (2)应购买34个篮球、66个足球 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组并求解即可得出的答案． （2）买个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得 解得 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）解：买个篮球，则购买个足球， 根据题意得， 解得． 设购买篮球和足球的总费用为元，则， 即， ， 随着的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， 解得，； ②解，即， 解得； 解，即， 解得； ∴不等式的解集为， ∵关于m的不等式组恰好有2个整数解， 即， ∴， 解得； （2）解：∵对任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 展开得， 化简得， 再整理得， 由于上式对于任意实数x，y都成立， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $