精品解析：江苏省2026年中职职教高考文化统考数学试卷

机密★启用前 江苏省2026年中职职教高考文化统考 数学试卷 注意事项： 1.本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效. 2.作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置. 3.考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑.） 1. 已知集合，，若，则实数的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 已知函数的定义域为，则的定义域为（　　） A. B. C. D. 3. 已知圆C的标准方程为，则其圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列，则“”是“是递增数列”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知复数满足，则的模等于（　　） A. B. C. D. 1 6. 在中，是的中点，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（　　） A. B. C. D. 9. 某地油菜花海成为春日旅游的热门打卡点，两个家庭各有1名小孩共6人趁着春假到此踏青赏花.6人站成一排拍照留念，2个小孩要求站在一起且不在两端，则不同的站法种数是（　　） A. 72 B. 144 C. 240 D. 288 10. 若实数满足，其中，，则的最小值是（　　） A. B. 4 C. D. 16 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.） 11. 在等差数列中，，，则__________________. 12. 已知函数，则__________________. 13. 在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正切值为__________________. 14. 设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，__________________. 15. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分.） 16. 已知向量，，且. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式：. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若在区间上，函数与函数的图象有交点，求实数的取值范围. 18. 年“苏超”横空出世，推动了江苏“足球+文旅”的融合发展.某地推出款足球文创产品，具体如下：玩偶系列款，定价分别为元，元；手作系列款，定价分别为元，元；画册系列款，定价分别为元，元.某足球爱好者欲从款中随机购买款，同一款式不重复购买，每款产品被选购的可能性相等，求下列事件的概率： （1） {3款中恰有1款是手作系列}； （2） {3款中至少有1款定价不超过100元}； （3） {3款定价之和不超过300元，且至少有1款是玩偶系列}. 19. 在中，角所对应的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积和周长. 20. 为提升居民幸福指数，某市计划建设一处复合型口袋公园，主体景观为“矩形休闲区+半圆形绿植区”的组合设计，矩形区域的一条边与半圆形绿植区的直径重合，整体边界设置连续的健身步道，步道内侧总周长为120米（不含矩形与半圆重合的内部边界）.设半圆形绿植区的半径为米，矩形休闲区垂直于半圆直径的边长为米.（本题计算中） （1）求函数与自变量之间的函数关系式； （2）若矩形休闲区的面积不小于半圆形绿植区面积的2倍，求当半径为多少米时，公园主体景观的总占地面积最大？求出最大面积. 21. 已知为正方体，棱长为4. （1）求四棱锥的体积； （2）为上一点，求证：直线平面. 22. 已知正项数列的首项，且对一切，点在函数的图象上.记. （1）求的值； （2）证明：数列是等比数列，并求其通项公式； （3）求数列的前项和. 23. 已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，且与轴和轴分别交于两点，.①求直线的斜率；②连接，，记△的面积为.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 江苏省2026年中职职教高考文化统考 数学试卷 注意事项： 1.本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效. 2.作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置. 3.考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑.） 1. 已知集合，，若，则实数的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，可知4是集合的元素，由此求解即可. 【详解】∵集合，，且， ∴，解得. 故选：B. 2. 已知函数的定义域为，则的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴若使有意义，则，可得， 即的定义域为. 故选：A. 3. 已知圆C的标准方程为，则其圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的标准方程的定义即可求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 4. 已知数列，则“”是“是递增数列”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合递增数列的定义即可得解. 【详解】递增数列的定义是对任意，都有， 因此若是递增数列，必有，必要性成立； 但仅无法保证所有后项均大于前项（如数列），充分性不成立； 所以“”是“是递增数列”的必要而不充分条件， 故选：. 5. 已知复数满足，则的模等于（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程求复数，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】∵ ，整理得， . ∴复数的模. 故选：C. 6. 在中，是的中点，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算求解即可. 【详解】∵，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴. 故选：D. 7. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】 ， 由得，即. 故选：A. 8. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面可得圆锥底面半径与母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥底面半径，母线长； 圆锥的表面积由底面积与侧面积组成， 底面积为 ，侧面积为 ， 因此该圆锥的表面积为. 故选：C. 9. 某地油菜花海成为春日旅游的热门打卡点，两个家庭各有1名小孩共6人趁着春假到此踏青赏花.6人站成一排拍照留念，2个小孩要求站在一起且不在两端，则不同的站法种数是（　　） A. 72 B. 144 C. 240 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数与排列数计算即可. 【详解】①将2个小孩捆绑为1个整体，内部排列有种； ②先排4个大人，全排列有种， 4个大人形成3个中间空位（排除两端），将小孩整体插入空位，有种； ③总站法数：种. 故选：B. 10. 若实数满足，其中，，则的最小值是（　　） A. B. 4 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先化简指数等式，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，可得. 令，， 代入得 ，整理得， ∴. 当且仅当时，即时取等号， 因此的最小值是. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.） 11. 在等差数列中，，，则__________________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因此，代入，，得. 故答案为：14. 12. 已知函数，则__________________. 【答案】2 【解析】 【分析】将代入函数解析式中求解即可. 【详解】将代入函数： . 故答案为：2. 13. 在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正切值为__________________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先找到直线与平面所成的角，再根据边的关系求解正切值即可. 【详解】正四棱柱如图所示， 正四棱柱中，平面， 因此直线与平面所成角为. 其中，. 在中，. 故答案为：. 14. 设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到即两焦点坐标，通过双曲线定义将求周长最小值转换为求的最小值， 再根据两点之间线段最短得到，即可求解. 【详解】由双曲线方程，得，，， 故右焦点，设左焦点为. 根据双曲线定义，左支上的点满足，即. 的周长，其中为定值， 因此周长最小即最小. 根据两点之间线段最短，当三点共线时，最小， 即， 此时 . 故答案为：. 15. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的范围分类讨论，结合三角函数和一次函数的性质求解. 【详解】由题意可知， 当时，时，， 当时，，则， 所以，即，不合题意； 当时，区间即， 当时，， 所以，则， 此时函数在上的值域为，符合题意； 当时，当时，，且， 当时，为增函数，则， 要使函数在上的值域为， 需满足，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分.） 16. 已知向量，，且. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据平面向量垂直的性质列出方程即可得解. （）根据指数函数的单调性列出不等式，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 向量，，且， 则，解得. 【小问2详解】 因为函数，底数，所以函数在定义域内为增函数， 不等式， 则，整理得，即，解得， 所以解集为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若在区间上，函数与函数的图象有交点，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合奇函数的性质求出值即可得解. （）求出的解析式，利用二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 奇函数的定义域关于原点对称，因此，即. 奇函数满足，代入得，整理得，解得. 将代入，得， 验证：定义域为，为奇函数，符合条件. 【小问2详解】 将，代入，得. 与的图象有交点，即方程在上有解，整理得. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为，因此在上单调递减. ，，因此在上的值域为， 即的取值范围是. 18. 年“苏超”横空出世，推动了江苏“足球+文旅”的融合发展.某地推出款足球文创产品，具体如下：玩偶系列款，定价分别为元，元；手作系列款，定价分别为元，元；画册系列款，定价分别为元，元.某足球爱好者欲从款中随机购买款，同一款式不重复购买，每款产品被选购的可能性相等，求下列事件的概率： （1） {3款中恰有1款是手作系列}； （2） {3款中至少有1款定价不超过100元}； （3） {3款定价之和不超过300元，且至少有1款是玩偶系列}. 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. （）先算出取出3款定价均超过100元的情况数，利用间接法即可得解. （）根据题意写出基本事件数即可得解. 【小问1详解】 总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件：恰有1款手作系列.手作系列2款选1款，非手作4款选2款，共种， 因此. 【小问2详解】 总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件的对立事件为“3款定价均超过100元”，定价超过100元的共3款， 从中选3款的情况共种，因此. 【小问3详解】 总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件C：3款定价之和元，且至少1款玩偶的组合有： ， 因此. 19. 在中，角所对应的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积和周长. 【答案】（1） （2）面积为，周长为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，以及正弦的二倍角公式求解即可； （2）根据余弦定理可求解b与c的值，再根据三角形面积公式以及周长公式求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理，代入得： ，，，约去得. 由二倍角公式，得. ，，，约去得， 因此，. 【小问2详解】 由余弦定理，代入，得： ，结合即，代入得： ，整理得， 解得（舍去负根），因此. 面积； 周长. 20. 为提升居民幸福指数，某市计划建设一处复合型口袋公园，主体景观为“矩形休闲区+半圆形绿植区”的组合设计，矩形区域的一条边与半圆形绿植区的直径重合，整体边界设置连续的健身步道，步道内侧总周长为120米（不含矩形与半圆重合的内部边界）.设半圆形绿植区的半径为米，矩形休闲区垂直于半圆直径的边长为米.（本题计算中） （1）求函数与自变量之间的函数关系式； （2）若矩形休闲区的面积不小于半圆形绿植区面积的2倍，求当半径为多少米时，公园主体景观的总占地面积最大？求出最大面积. 【答案】（1），. （2）当米时，总占地面积最大，最大面积为1012.5平方米. 【解析】 【分析】（）根据步道内侧总周长=半圆弧长+矩形的2个宽+矩形的1个长（不含与半圆重合的边）即可得解. （）根据题意结合矩形的面积公式及圆的面积公式列出不等式，得出，写出总占地面积的解析式，利用二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 半圆弧长为，矩形长为，宽为，因此总周长： ，整理得，即， 由得，因此定义域为. 【小问2详解】 矩形面积，半圆面积. 由得，解得，即. 总占地面积，为开口向下的二次函数，对称轴为. 因此在上单调递增，当时取得最大值： 平方米. 21. 已知为正方体，棱长为4. （1）求四棱锥的体积； （2）为上一点，求证：直线平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过正方体性质判断出底面为矩形并求面积，通过线面垂直求出顶点到平面的距离，再代入棱锥体积公式即可求解. （2）通过线面平行证出平面平面，即可求证直线平面. 【小问1详解】 因为正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 且平面，平面， 所以，四棱锥的底面为矩形， 因为正方体棱长为4，所以，， 则矩形面积为. 连接，则， 因为正方形中，且平面，即， 平面，， 所以平面， 设点到平面的距离为，则. 因此四棱锥体积. 【小问2详解】 证明：由（1）可知：四边形为矩形，所以， 且平面，平面， 所以平面， 又因为正方体中且， 所以四边形为平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面， 因为平面，， 所以平面平面， 又在上，因此平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 22. 已知正项数列的首项，且对一切，点在函数的图象上.记. （1）求的值； （2）证明：数列是等比数列，并求其通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）代入点得到数列的递推公式，并根据的值求出，再代入与的关系式中即可求出. （2）将的递推公式两边同时取对数，并结合与的关系得到的递推公式，即可证数列是等比数列并求通项公式. （3）运用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 点在上，因此. ，则，因此. 【小问2详解】 证明：已知恒成立，故对两边取以3为底的对数可得： ，且由可得， 代入得： ，整理得. 且， 因此是首项为，公比的等比数列， 通项公式为. 【小问3详解】 数列的通项为，前项和为： ① 则② 得：， 整理得. 23. 已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，且与轴和轴分别交于两点，.①求直线的斜率；②连接，，记△的面积为.证明：. 【答案】（1）. （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）①设出直线方程求出坐标，联立方程组结合韦达定理及中点坐标公式，利用与的中点重合即可得解. ②联立方程组，利用韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式即可证明. 【小问1详解】 椭圆一个焦点为，因此，焦点在轴上， 离心率，解得，因此， 由得，因此椭圆标准方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为， 令，则，解得，则， 令，则，，所以的中点为， 联立方程组得，整理得 ， 设，，由韦达定理得， 因此的中点横坐标为，纵坐标为， 由得与的中点重合，因此纵坐标相等：， 因为，约去得，解得. 直线与椭圆在第一象限交于两点，因此斜率为负，即. ② 证明：将代入直线方程得， 联立方程组得得， 方程有两个正实根，因此，，，解得. 原点到直线的距离， 弦长， 的面积. 由基本不等式， ， 当且仅当时取等号，因，等号取不到，因此， 即，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $