§4 平行关系（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

§4 平行关系 题型一 线面平行的性质定理的理解及应用 1.【答案】D　 【解析】由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；经过直线外一点可作一直线与已知直线平行，故可作无数个平面与已知直线平行，故③错误.故选D. 2.【答案】平行　 【解析】⇒a∥b，⇒c∥b，∴a∥c. 3.【解】因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面四边形MNPQ是平行四边形. 4.【解】因为EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC， 所以EF∥AC， 因为E是AD的中点， 所以EF＝AC＝×2＝. 题型二 线面平行的判定定理的理解及应用 5.【答案】C　 【解析】如图所示，四面体的棱中与平面EFGH平行的直线有AC与BD. 6.【答案】②③④　 【解析】①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α. 7.【证明】连接BC1（图略）， 在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点， ∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1， 又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G， ∴EF∥平面AD1G. 8.证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD， ∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1. ∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D. 题型三 线面平行的探索问题 9.【答案】 【解析】由直线与平面平行的判断定理可知，还要保证直线在平面外，即. 10.【解】当点为棱中点时，此时直线与平面平行， 证明如下：∵点分别为棱和中点， ∴，∵平面，平面， ∴平面． 11.【解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下：    取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 12.【解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    题型四 面面平行的性质定理的理解及应用 13.【答案】D 【解析】因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线，只有唯一一条. 14.【答案】D 【解析】根据面面平行的性质知，不论点A，B如何运动，动点C均在过点C且与α，β都平行的平面上. 15.【证明】因为AB与CD相交于点O，所以A，B，C，D四点共面. 如图所示，连接AC，BD.因为α∥β，且α，β与平面ACBD的交线分别为AD，BC，所以AD∥BC. 在平面ACBD中，△AOD∽△BOC， 所以＝. 16.【解】（1）证明：因为AC∩BD＝P， 所以直线AC与BD可确定平面PCD， 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， 所以AB∥CD. （2）由（1）知AB∥CD， 得＝，即＝，所以BD＝. 题型五 面面平行的判定定理的理解及应用 17.【答案】D 【解析】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的边AB上任取一点E，过E点作EF∥AD交CD于点F.由线面平行的判定定理知，EF，BC都平行于平面ADD1A1.用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都不正确；③正确，事实上，若一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别）；④是平面与平面平行的判定定理，正确. 18.【答案】D 【解析】因为a是平面α外的一条直线，所以a∥α或a与α相交，当a∥α时，β只有一个；当a与α相交时，β不存在.故选D. 19.【证明】∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 20.【证明】∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. 证明：∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 题型六 面面平行的探索问题 21.【答案】 【解析】因为一个平面内两条相交直线平行于另一个面，则这两个面平行， 所以要证，需要，，以及，共五个条件， 所以需要在条件“”之外补充条件是. 22.【解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 23.【解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 题型一 判断线段比例或点的位置 24.【答案】D 【解析】如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即.故选：D.． 25.【答案】2 【解析】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即，可得. 26.【答案】 1 2 【解析】（1）如图，设平面与直线相交于点，连接，． 因为平面，平面，平面平面， 所以． 又，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，则四边形是平行四边形． 故，所以是的中点． 故，即，即． （2）如图，设平面与直线相交于点，连接，． 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，故四边形是平行四边形， 则，且， 所以，所以， 则，即． 27.【解】如图，连接BD交AC于点，连接OM． 因为平面MEF，平面平面，平面PAC， 所以，所以． 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以． 又，所以， 故，即的值为． 题型二 空间平行关系的综合问题 28.【证明】连接AC，A1C1，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1， 所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1， 所以AC∥平面A1BC1，因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN. 因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 29.【证明】（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，故MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. （2）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD＝l， 所以BC∥l. 30.【解】（1）证明：如图所示，连接AC，CD1， 因为ABCD为正方形， 所以AC与BD互相平分，又Q为BD的中点，所以Q为AC的中点， 因为P为AD1的中点，所以PQ∥CD1， 因为CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1. （2）由（1）得，PQ是△ACD1的中位线， 所以PQ＝D1C＝a. 31.【解】存在.如图，取AB的中点O，连接OC. 作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D， 则OD∥BB1∥CC1.因为O是AB的中点，所以OD＝（AA1＋BB1）＝3＝CC1，则四边形ODC1C是平行四边形， 所以OC∥C1D. 又C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1， 所以OC∥平面A1B1C1. 即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1. 题型三 线面平行性质定理与判定定理的综合应用 32.【证明】易知BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D， 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. 33.【证明】法一　如图，取PD的中点G，连接GA，GN， 因为G是PD中点，N是PC中点，所以GN∥DC，GN＝DC， 因为M是矩形ABCD边AB的中点，所以AM∥DC，AM＝DC， 所以GN∥AM，GN＝AM，所以四边形AMNG是平行四边形， 所以MN∥AG，且MN是平面PAD外的一条直线，又AG是平面PAD内的一条直线， 所以MN∥平面PAD. 法二　如图，取CD中点H，连接HM，HN，因为H是DC的中点，N是PC的中点，所以HN∥DP， 因为M是AB的中点，H是CD的中点，所以AM＝AB，DH＝DC， 因为AB＝CD，AB∥CD， 所以AM＝DH，AM∥DH， 所以四边形AMHD为平行四边形， 所以HM∥DA， 因为HN⊄平面PAD，DP⊂平面PAD，HM⊄平面PAD，DA⊂平面PAD， 所以HN∥平面PAD，HM∥平面PAD， 因为HN∩HM＝H， 所以平面HNM∥平面PAD， 因为MN⊂平面HNM， 所以MN∥平面PAD. 34.【证明】因为F为CD的中点，H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE， 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE. 35.【证明】当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 证明如下： 如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE. 因为E，F分别为AB，BB1的中点，所以EF∥AB1. 因为AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD＝F， 所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD， 1.【答案】D 【解析】线面平行，则线面无公共点， 所以直线与平面内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确．故选：D 2.【答案】B 【解析】由题知若，由面面平行定义可知，平面内任意一条直线均与平面无交点， 则有，充分性成立； 若是平面内的直线且，能够推出或、相交， 则必要性不成立. 故选：B 3.【答案】A 【解析】因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 4.【答案】A 【解析】由，，得． 因为平面，平面，所以平面． 又，平面，所以．故选：A. 5.【答案】D 【解析】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 6.【答案】B 【解析】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以.故选：B. 7.【答案】D 【解析】  在长方体中，取，的中点，，连接，，， 由点为的中点，得，，则四边形是平行四边形， 所以， 又，，则四边形是平行四边形， 于是， 取中点E，在上取点F，使得，连接，，， 而，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 于是平面， 由为的中点，E为中点，得， 而平面，平面，则平面， 又，平面， 因此平面平面， 又由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹就是线段， 而， 所以点的轨迹长度为.故选D. 8.【答案】ACD 【解析】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，则的位置关系有：平行、相交或异面；故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则，故D正确； 故选：ACD. 9.【答案】AB 【解析】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 10.【答案】ABC 【解析】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 11.【答案】AC 【解析】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 12.【答案】 平行 【解析】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 13.【答案】平行 【解析】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 14.【答案】/ 【解析】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 15.【答案】在中点与中点连线上 【解析】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 16.【解】证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 17.【解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. 18.【解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 19.【解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 20.【解】当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC. 因为M是PE的中点，所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC. 由EM＝PE＝ED， 得E为MD的中点， 连接BM，BD，如图所示， 设BD∩AC＝O，则O为BD的中点. 连接OE，则BM∥OE. 因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， 所以BM∥平面AEC. 因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，且FM∩BM＝M， 所以平面BFM∥平面AEC. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ §4 平行关系 题型一 线面平行的性质定理的理解及应用 1.下列说法中正确的是（　　） ①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内. A.①②③④　　　　　　 B.①②③ C.②④ D.①②④ 2.若直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝c，则a与c的位置关系是平行. 3.如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 题型二 线面平行的判定定理的理解及应用 5.点E，F，G，H分别是四面体A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知直线b，平面α，有以下条件： ①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行. 其中能推出b∥α的条件有 .（把你认为正确的序号都填上） 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 8.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D. 题型三 线面平行的探索问题 9.在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 10.如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明． 11.如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    12.如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 题型四 面面平行的性质定理的理解及应用 13.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　） A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 14.设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点.当点A，B分别在α，β内运动时，所有的动点C（　　） A.不共面 B.当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论A，B如何移动都共面 15.如图所示，平面α∥平面β，直线AB，CD夹在α，β间，且两直线相交于点O，求证：＝. 16.如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8. （1）证明AB∥CD； （2）求BD的长. 题型五 面面平行的判定定理的理解及应用 17.下列说法中正确的是（　　） ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行. A.①③　　　　　　　 B.②④ C.②③④ D.③④ 18.a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（　　） A.只能作一个 B.至少可以作一个 C.不存在 D.至多可以作一个 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：（1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1∥平面BCHG. 题型六 面面平行的探索问题 21.在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件 . 22.如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 23.已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 题型一 判断线段比例或点的位置 24.在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 25.如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 26.如图，已知三棱柱中，是上的动点，是上的动点，且，平面． （1）若是的中点，则的值为 ； （2）若是上靠近的三等分点，则的值为 ． 27.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 题型二 空间平行关系的综合问题 28.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD. 29.如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN∥平面PAD； （2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC. 30.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD的中点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1； （2）求PQ的长. 31.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1？ 题型三 线面平行性质定理与判定定理的综合应用 32.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 33.已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 34.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE. 35.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 1．如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 2．已知是两个不重合的平面,是平面内的直线,则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 4．如图，已知平面，，，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 5．已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 8．已知直线m，l，平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 10．（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 11．（多选题）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 12．如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 13．如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 14．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 15．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 16．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 17．已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 18．在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 19．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 20.在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC？证明你的结论. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ §4 平行关系 题型一 线面平行的性质定理的理解及应用 1.下列说法中正确的是（　　） ①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内. A.①②③④　　　　　　 B.①②③ C.②④ D.①②④ 【答案】D　 【解析】由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；经过直线外一点可作一直线与已知直线平行，故可作无数个平面与已知直线平行，故③错误.故选D. 2.若直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝c，则a与c的位置关系是平行. 【答案】平行　 【解析】⇒a∥b，⇒c∥b，∴a∥c. 3.如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 【解】因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面四边形MNPQ是平行四边形. 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 【解】因为EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC， 所以EF∥AC， 因为E是AD的中点， 所以EF＝AC＝×2＝. 题型二 线面平行的判定定理的理解及应用 5.点E，F，G，H分别是四面体A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C　 【解析】如图所示，四面体的棱中与平面EFGH平行的直线有AC与BD. 6.已知直线b，平面α，有以下条件： ①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行. 其中能推出b∥α的条件有 .（把你认为正确的序号都填上） 【答案】②③④　 【解析】①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α. 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 【证明】连接BC1（图略）， 在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点， ∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1， 又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G， ∴EF∥平面AD1G. 8.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D. 证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD， ∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1. ∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D. 题型三 线面平行的探索问题 9.在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 【答案】 【解析】由直线与平面平行的判断定理可知，还要保证直线在平面外，即. 10.如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明． 【解】当点为棱中点时，此时直线与平面平行， 证明如下：∵点分别为棱和中点， ∴，∵平面，平面， ∴平面． 11.如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下：    取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 12.如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    题型四 面面平行的性质定理的理解及应用 13.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　） A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 【答案】D 【解析】因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线，只有唯一一条. 14.设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点.当点A，B分别在α，β内运动时，所有的动点C（　　） A.不共面 B.当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论A，B如何移动都共面 【答案】D 【解析】根据面面平行的性质知，不论点A，B如何运动，动点C均在过点C且与α，β都平行的平面上. 15.如图所示，平面α∥平面β，直线AB，CD夹在α，β间，且两直线相交于点O，求证：＝. 【证明】因为AB与CD相交于点O，所以A，B，C，D四点共面. 如图所示，连接AC，BD.因为α∥β，且α，β与平面ACBD的交线分别为AD，BC，所以AD∥BC. 在平面ACBD中，△AOD∽△BOC， 所以＝. 16.如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8. （1）证明AB∥CD； （2）求BD的长. 【解】（1）证明：因为AC∩BD＝P， 所以直线AC与BD可确定平面PCD， 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， 所以AB∥CD. （2）由（1）知AB∥CD， 得＝，即＝，所以BD＝. 题型五 面面平行的判定定理的理解及应用 17.下列说法中正确的是（　　） ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行. A.①③　　　　　　　 B.②④ C.②③④ D.③④ 【答案】D 【解析】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的边AB上任取一点E，过E点作EF∥AD交CD于点F.由线面平行的判定定理知，EF，BC都平行于平面ADD1A1.用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都不正确；③正确，事实上，若一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别）；④是平面与平面平行的判定定理，正确. 18.a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（　　） A.只能作一个 B.至少可以作一个 C.不存在 D.至多可以作一个 【答案】D 【解析】因为a是平面α外的一条直线，所以a∥α或a与α相交，当a∥α时，β只有一个；当a与α相交时，β不存在.故选D. 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 【证明】∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：（1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1∥平面BCHG. 【证明】∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. 证明：∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 题型六 面面平行的探索问题 21.在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件 . 【答案】 【解析】因为一个平面内两条相交直线平行于另一个面，则这两个面平行， 所以要证，需要，，以及，共五个条件， 所以需要在条件“”之外补充条件是. 22.如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 23.已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 题型一 判断线段比例或点的位置 24.在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即.故选：D.． 25.如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【解析】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即，可得. 26.如图，已知三棱柱中，是上的动点，是上的动点，且，平面． （1）若是的中点，则的值为 ； （2）若是上靠近的三等分点，则的值为 ． 【答案】 1 2 【解析】（1）如图，设平面与直线相交于点，连接，． 因为平面，平面，平面平面， 所以． 又，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，则四边形是平行四边形． 故，所以是的中点． 故，即，即． （2）如图，设平面与直线相交于点，连接，． 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，故四边形是平行四边形， 则，且， 所以，所以， 则，即． 27.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【解】如图，连接BD交AC于点，连接OM． 因为平面MEF，平面平面，平面PAC， 所以，所以． 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以． 又，所以， 故，即的值为． 题型二 空间平行关系的综合问题 28.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD. 【证明】连接AC，A1C1，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1， 所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1， 所以AC∥平面A1BC1，因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN. 因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 29.如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN∥平面PAD； （2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC. 【证明】（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，故MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. （2）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD＝l， 所以BC∥l. 30.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD的中点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1； （2）求PQ的长. 【解】（1）证明：如图所示，连接AC，CD1， 因为ABCD为正方形， 所以AC与BD互相平分，又Q为BD的中点，所以Q为AC的中点， 因为P为AD1的中点，所以PQ∥CD1， 因为CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1. （2）由（1）得，PQ是△ACD1的中位线， 所以PQ＝D1C＝a. 31.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1？ 【解】存在.如图，取AB的中点O，连接OC. 作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D， 则OD∥BB1∥CC1.因为O是AB的中点，所以OD＝（AA1＋BB1）＝3＝CC1，则四边形ODC1C是平行四边形， 所以OC∥C1D. 又C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1， 所以OC∥平面A1B1C1. 即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1. 题型三 线面平行性质定理与判定定理的综合应用 32.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 【证明】易知BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D， 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. 33.已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 【证明】法一　如图，取PD的中点G，连接GA，GN， 因为G是PD中点，N是PC中点，所以GN∥DC，GN＝DC， 因为M是矩形ABCD边AB的中点，所以AM∥DC，AM＝DC， 所以GN∥AM，GN＝AM，所以四边形AMNG是平行四边形， 所以MN∥AG，且MN是平面PAD外的一条直线，又AG是平面PAD内的一条直线， 所以MN∥平面PAD. 法二　如图，取CD中点H，连接HM，HN，因为H是DC的中点，N是PC的中点，所以HN∥DP， 因为M是AB的中点，H是CD的中点，所以AM＝AB，DH＝DC， 因为AB＝CD，AB∥CD， 所以AM＝DH，AM∥DH， 所以四边形AMHD为平行四边形， 所以HM∥DA， 因为HN⊄平面PAD，DP⊂平面PAD，HM⊄平面PAD，DA⊂平面PAD， 所以HN∥平面PAD，HM∥平面PAD， 因为HN∩HM＝H， 所以平面HNM∥平面PAD， 因为MN⊂平面HNM， 所以MN∥平面PAD. 34.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE. 【证明】因为F为CD的中点，H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE， 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE. 35.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 【证明】当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 证明如下： 如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE. 因为E，F分别为AB，BB1的中点，所以EF∥AB1. 因为AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD＝F， 所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD， 1．如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【答案】D 【解析】线面平行，则线面无公共点， 所以直线与平面内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确．故选：D 2．已知是两个不重合的平面,是平面内的直线,则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题知若，由面面平行定义可知，平面内任意一条直线均与平面无交点， 则有，充分性成立； 若是平面内的直线且，能够推出或、相交， 则必要性不成立. 故选：B 3．，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 【答案】A 【解析】因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 4．如图，已知平面，，，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 【答案】A 【解析】由，，得． 因为平面，平面，所以平面． 又，平面，所以．故选：A. 5．已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以.故选：B. 7．如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】  在长方体中，取，的中点，，连接，，， 由点为的中点，得，，则四边形是平行四边形， 所以， 又，，则四边形是平行四边形， 于是， 取中点E，在上取点F，使得，连接，，， 而，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 于是平面， 由为的中点，E为中点，得， 而平面，平面，则平面， 又，平面， 因此平面平面， 又由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹就是线段， 而， 所以点的轨迹长度为.故选D. 8．已知直线m，l，平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，则的位置关系有：平行、相交或异面；故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则，故D正确； 故选：ACD. 9．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AB 【解析】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 10．（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【解析】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 11．（多选题）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【解析】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 12．如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 【答案】 平行 【解析】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 13．如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【解析】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 14．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【解析】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 15．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【解析】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 16．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【解】证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 17．已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. 18．在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 19．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 20.在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC？证明你的结论. 【解】当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC. 因为M是PE的中点，所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC. 由EM＝PE＝ED， 得E为MD的中点， 连接BM，BD，如图所示， 设BD∩AC＝O，则O为BD的中点. 连接OE，则BM∥OE. 因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， 所以BM∥平面AEC. 因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，且FM∩BM＝M， 所以平面BFM∥平面AEC. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $