期中复习（压轴特训72题26大类型）高一物理下学期人教版

高一下学期物理期中复习（压轴特训75题25大类型）（原卷版） 训练范围：人教版2024：必修二全一册。 目录 【压轴特训1 实验：探究平抛运动的规律】 2 【压轴特训2 实验：探究向心力与质量、半径和角速度的关系】 3 【压轴特训3 实验：验证机械能守恒定律】 3 【压轴特训4 平抛运动的规律】 4 【压轴特训5 平抛运动与斜面相结合】 6 【压轴特训6 斜抛运动】 6 【压轴特训7 类平抛运动】 7 【压轴特训8 水平面内圆周运动（转盘模型）】 8 【压轴特训9 斜面上的圆周运动】 9 【压轴特训10 竖直平面内的圆周运动—轻绳小球（轨道）模型】 10 【压轴特训11 竖直平面内的圆周运动—轻杆小球（管道）模型】 10 【压轴特训12 圆周运动中的脱轨问题】 11 【压轴特训13 天体质量和密度的计算】 12 【压轴特训14 宇宙速度和重力加速度的计算】 13 【压轴特训15 双星模型和多星模型】 13 【压轴特训16 卫星的追及相遇问题】 14 【压轴特训17 机车起动问题】 15 【压轴特训18 动能定理的应用】 16 【压轴特训19 动能定理解决多过程问题】 17 【压轴特训20 机械能守恒定律之弹簧问题】 18 【压轴特训21 机械能守恒定律之连接体问题】 18 【压轴特训22 机械能守恒定律之链条类问题】 20 【压轴特训23 机械能守恒定律之传送带模型】 21 【压轴特训24 机械能守恒定律之板块模型】 22 【压轴特训25 机械能守恒定律之曲线运动相结合】 23 【压轴特训1 实验：探究平抛运动的规律】 1．某小组在“研究平拋运动特点”的实验中，分别使用了图甲和图乙的实验装置。 (1)如图甲所示，小锤水平打击弹性金属片，A球水平拋出的同时B球自由下落。在不同的高度和打击力度时都发现两小球同时落地，则实验表明________。 A．平拋运动竖直方向是自由落体运动 B．平抛运动水平方向是匀速直线运动 (2)某同学利用如图乙所示的实验装置记录小球的运动轨迹，下列说法不正确的是________（多选）。 A．需要调节装置的底座螺丝，使背板竖直 B．上下移动倾斜挡板N时必须等间距下移 C．斜槽M可以不光滑，但斜槽轨道末端必须保持水平 D．为了得到小球的运动轨迹，需要用平滑的曲线把所有的点都连起来 (3)如图丙所示，实验小组记录了小球在运动过程中经过、、三个位置，每个正方形小格的边长为5.00cm，取，以点为坐标原点，水平向右和竖直向下为正方向建立直角坐标系，则该小球做平抛运动在点的速度大小________，小球抛出点的坐标为（____，____）。 【答案】(1)A (2)BD (3) 2.5 【详解】（1）在不同的高度和打击力度时都发现两小球同时落地，说明A球竖直方向上的运动与B球相同，即平拋运动竖直方向是自由落体运动。 故选A。 （2）A．平抛运动是在竖直平面内的运动，背板要竖直，否则小球在打到挡板前会撞到背板，故A正确； B．上下移动倾斜挡板N时不需要等间距移动，故B错误； C．实验需要保证小球飞出斜槽M的初速度方向为水平方向，大小一致，所以斜槽M可以不光滑，但斜槽轨道末端必须保持水平，故C正确； D．由于打出的点存在偶然误差，有个别偏离轨迹太远的点要舍弃，其余的点尽量分布在光滑曲线的两侧，以减小误差，故D错误。 本题选不正确的，故选BD。 （3）[1]根据题意，由图可知，和、和水平距离相等，则运动时间相等，设为，竖直方向上由逐差法有 代入数据解得 根据中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得，小球做平抛运动在点的竖直分速度为 水平方向上有 代入数据解得 则小球做平抛运动在点的速度为 [2][3]小球从抛出点运动的到点的时间为 则抛出点距点的水平距离为 抛出点距点的竖直距离为 根据题意，由图丙可知，点的坐标为，则抛出点坐标为。 2．(1)为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验：如图甲所示，用小锤打击弹性金属片，B球就水平飞出，同时A球被松开，做自由落体运动，两球同时落到地面；如图乙所示的实验：将两个完全相同的斜滑道固定在同一竖直面内，最下端水平。把两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度由静止同时释放，滑道2与光滑水平板连接，则将观察到的现象是球1落到水平木板上击中球2，这两个实验说明___________ A．甲实验只能说明平抛运动在竖直方向做自由落体运动 B．乙实验只能说明平抛运动在水平方向做匀速直线运动 C．不能说明上述规律中的任何一条 D．甲、乙两个实验均能同时说明平抛运动在水平、竖直方向上的运动性质 (2)关于“研究物体平抛运动”实验，下列说法正确的是___________ A．小球与斜槽之间有摩擦会增大实验误差 B．安装斜槽时其末端切线应水平 C．小球必须每次从斜槽上同一位置由静止开始释放 (3)如图丙，某同学在做平抛运动实验时得出如图丁所示的小球运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出。则：（g取10m/s2，结果均保留三位有效数字） ①小球平抛运动的初速度为___________m/s。 ②抛出点坐标x=___________cm，y=___________cm。 【答案】(1)AB (2)BC (3) 2.00 -10.0 -1.25 【详解】（1）A．用小锤打击弹性金属片，B球就水平飞出，同时A球被松开，做自由落体运动，两球同时落到地面，则知B球竖直方向上的运动规律与A球相同，甲实验只能说明平抛运动在竖直方向做自由落体运动，故A正确； BCD．把两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度由静止同时释放，滑道2与光滑水平板连接，则将观察到的现象是球1落到水平木板上击中球2，知1球在水平方向上的运动规律与2球相同，即平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，故B正确，CD错误。 故选AB。 （2）A．小球与斜槽之间有摩擦，但不会影响小球做平抛运动，故A错误； B．研究平抛运动实验的关键是要保证小球能够水平飞出，则安装实验装置时，安装斜槽时其末端切线应水平，故B正确； C．小球每次从同一位置释放，才能保证初速度相同，得到同一轨迹，方便实验描点，故C正确； 故选BC。 （3）[1]由于ab、bc间水平位移相等，而平抛运动物体在水平方向做匀速直线运动，故小球在ab、bc间运动时间相等，设为t，根据竖直方向自由落体运动规律 可得 水平方向上 可得 [2]点竖直分速度等于ac竖直方向平均速度 从抛出点到点的时间 抛出点到点的水平位移： 因此抛出点横坐标 [3]抛出点到点的竖直位移 因此抛出点纵坐标 3．用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 (1)下列实验条件必须满足的有______。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末段水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 (2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。 a.取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的________（选填“最上端”、“最下端”或者“球心”）对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时______（选填“需要”或者“不需要”）y轴与铅垂线平行。 b.若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则______（选填“大于”、“等于”或者“小于”）。可求得钢球平抛的初速度大小为________（已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示）。 (3)某同学将实验方案做了改变，如图3所示，他把桌子搬到墙的附近，调整好仪器，使从斜槽轨道固定位置P滚下的小球能够打在正对的墙上，把白纸和复写纸附着在墙上，记录小球的落点。该同学在实验中仅水平移动桌子，使固定于斜槽末端的重锤线依次处于图中1、2、3的位置进行实验，1与2的水平间距等于2与3的水平间距。通过三次实验，记录到小球在白纸上同一竖直线上的三个落点，则下列三幅图中______图可能正确。 【答案】(1)BD (2) 球心 需要 大于 (3)B 【详解】（1）本实验中要保证小球飞出斜槽末端时的速度为水平，即小球做平抛运动，且每次飞出时的速度应相同，所以只要每次将小球从斜槽上同一位置由静止释放即可。 故选BD。 （2）[1]平抛运动的起始点应为钢球静置于Q点时，钢球的球心对应纸上的位置； [2]由于平抛运动在竖直方向做自由落体运动，所以在确定y轴时需要y轴与重锤线平行； [3]由初速度为零的匀加速直线运动规律即在相等时间间隔内所通过的位移之比为可知，由于A点不是抛出点，所以； [4] 设AB、BC间所用的时间为T，竖直方向，则有 水平方向则有 联立解得 （3）1与2的水平间距等于2与3的水平间距，故1与2小球的平抛运动的时间差等于2与3的平抛运动的时间差，则在竖直方向上，根据 可知，2与3的平抛运动的竖直位移差比1与2的平抛运动的竖直位移差多。 故选B。 【压轴特训2 实验：探究向心力与质量、半径和角速度的关系】 4．小明同学在科技节的实验室开放期间，进入力学实验室自主探究，他做探究影响向心力大小因素的实验： 方案一：用如图甲所示的装置，已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为，变速塔轮自上而下按如图乙所示三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为、和。回答以下问题： (1)本实验所采用的实验探究方法与下列哪些实验是相同的______； A．探究小车速度随时间变化规律 B．探究两个互成角度的力的合成规律 C．探究平抛运动的特点 D．探究加速度与物体受力、物体质量的关系 (2)某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第______层塔轮（填“一”、“二”或“三”）； (3)现将质量相等的两小钢球分别放在A、C位置，将传送带调至第三层塔轮，则两球转动时所受向心力之比为______。 方案二：如图丙所示装置，装置中竖直转轴固定在电动机的转轴上（未画出），光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，能随竖直转轴一起转动。水平直杆的左端套上滑块P，用细线将滑块P与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细线处于水平伸直状态，当滑块随水平直杆一起匀速转动时，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。水平直杆的右端最边缘安装了宽度为d的挡光条，挡光条到竖直转轴的距离为D，光电门可以测出挡光条经过光电门所用的时间（挡光时间）。滑块P与竖直转轴间的距离可调。回答以下问题： (4)某次实验中测得挡光条的挡光时间为，则滑块P的角速度表达式______； (5)实验小组保持滑块P质量和运动半径r不变，探究向心力F与角速度的关系，作图线如图丁所示，若滑块P运动半径，细线质量和滑块与杆的摩擦可忽略，由图线可得滑块P质量______（结果保留2位有效数字）。 【答案】(1)D (2)一 (3) (4) (5)0.45/0.44 【详解】（1）在该实验中，通过控制质量、半径、角速度中两个物理量相同，探究向心力与另外一个物理量之间的关系，采用的科学方法是控制变量法。 A．探究小车速度随时间变化规律，利用极限思想计算小车的速度，故A错误； B．探究两个互成角度的力的合成规律，应用了等效替代法，故B错误； C．探究平抛运动的特点，例如两球同时落地，两球在竖直方向上的运动效果相同，应用了等效思想，故C错误； D．探究加速度与物体受力、物体质量的关系，应用了控制变量法，故D正确。 故选D。 （2）把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。 （3）现将质量相等的两小钢球分别放在A、C位置，则两球做圆周运动的半径相等；将传送带调至第三层塔轮，根据可知，左、右塔轮的角速度之比为；根据可知，两球转动时所受向心力之比为。 （4）挡光条的线速度大小为 滑块P的角速度等于挡光条的角速度，则有 （5）根据向心力表达式 可知图线的斜率为 解得滑块P质量为 5．某实验小组的同学为了探究向心力大小与角速度的关系，设计了如图甲所示的实验装置：电动机带动转轴匀速转动，改变电动机的电压可以改变转轴的转速；其中是固定在竖直转轴上的水平凹槽，端固定的压力传感器可测出小球对其压力的大小，B端固定一宽度为的挡光片，光电门可测量挡光片每一次的挡光时间。忽略小球所受的摩擦力。具体实验步骤如下： ①小钢球的球心到转轴与挡光片到转轴的距离相同，测出均为。 ②启动电动机，使凹槽绕转轴匀速转动： ③记录下此时压力传感器的示数和光电门的挡光时间； ④多次改变转速后，利用记录的数据作出了如图乙所示的图像。 (1)本实验采用的实验方法是_____________。 A．理想实验法 B．控制变量法 C．等效替代法 (2)根据上述条件，则小钢球角速度的表达式为___________（结果用表示）。 (3)在测出多组实验数据后，为了探究向心力和角速度的数学关系，可以直接探究向心力和挡光时间的关系，绘制出了如图乙所示的图像，乙图中坐标系的横轴应为___________（选填A、B或C）； A． B． C． (4)若通过上述图像得到的斜率为，则可以求出本实验中所使用的小钢球的质量_________（用题目中字母表示即可）。 【答案】(1)B (2) (3)C (4) 【详解】（1）为了探究向心力大小与角速度的关系, 应该控制小钢球质量和做匀速圆周运动的半径不变, 故本实验采用的实验方法是控制变量法 故选B。 （2）小钢球的线速度 又 故 （3）而 故 故选C。 （4）斜率为 故 6．在“探究向心力大小与轨道半径、角速度、质量的关系”的实验中，选用的向心力演示器如图所示。转动手柄，使槽内的小球随之做圆周运动。小球向外挤压横臂挡板，使横臂压缩塔轮中心的弹簧测力套筒，弹簧被压缩的格数可从标尺读出，格数比即为两小球向心力大小之比。小球放在挡板A、挡板B、挡板C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1。 (1)演示器塔轮皮带可上下拨动，目的是为了改变两小球做圆周运动的________之比； A．角速度 B．质量 C．半径 (2)演示器左、右变速塔轮最上层的半径相等，为探究向心力大小与质量的关系，现将塔轮皮带都拨到最上层，下列操作正确的是________；（C、D项中钢球和铝球的质量之比为2∶1） A．选用两个相同的钢球分别放在挡板A和挡板B处 B．选用两个相同的钢球分别放在挡板B和挡板C处 C．选用两个相同大小的钢球和铝球分别放在挡板B和挡板C处 D．选用两个相同大小的钢球和铝球分别放在挡板A和挡板C处 (3)如果（2）中操作正确，且已知向心力大小与质量成正比，则当匀速转动手柄时，应发现左边和右边标尺上露出的红白相间的等分格数之比为________； (4)用此装置做实验有较大的误差，误差产生的主要原因是________。 A．匀速转动时的速度过大 B．无法做到两小球的角速度相同 C．实验过程中难以保证小球做匀速圆周运动 D．读数时标尺露出的红白相间的等分格数不稳定 【答案】(1)A (2)D (3)2:1 (4)CD 【详解】（1）塔轮通过皮带传动，套皮带的两轮边缘线速度相等，皮带上下拨动，目的是通过改变转动半径来改变两小球做圆周运动的角速度。 故选A。 （2）探究向心力与质量的关系时，需控制角速度ω和轨道半径r相同，改变质量。皮带拨到最上层，左右塔轮半径相等，故两小球角速度ω相同。A、C处轨道半径之比为1：1（满足r相同），选用两个相同大小的钢球和铝球分别放在挡板A和挡板C处。 故选D。 （3）ω、r相同，根据可知，向心力之比等于质量之比，钢球和铝球质量比为2：1，故标尺格数之比（即向心力之比）为2：1。 （4）A．匀速转动时的速度过大，不会引起较大的误差，故A错误； B．可通过调节塔轮做到两小球的角速度相同，故B错误； C．实验过程中难以保证小球做匀速圆周运动，使得角速度发生变化引起误差，故C正确； D．读数时标尺露出的红白相间的等分格数不稳定，从而产生误差，故D正确。 故选CD。 【压轴特训3 实验：验证机械能守恒定律】 7．某实验小组利用打点计时器做“验证机械能守恒定律”的实验。 (1)以下三种测量速度的方案中，合理的是__________。 A．测量下落高度h，通过算出瞬时速度v B．测量下落时间t，通过v=gt算出瞬时速度v C．根据纸带上某点的相邻两点间的平均速度，得到该点瞬时速度v (2)按照正确的操作得到图1所示的一条纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知重物的质量为m，当地重力加速度为g，打点计时器打点周期为T。从打O点到打B点的过程中，重物重力势能的减少量为___________，动能的增加量为___________。 (3)完成上述实验后，某同学采用传感器设计了新的实验方案验证机械能守恒，装置如图2所示。他将宽度均为d的挡光片依次固定在圆弧轨道上，并测出挡光片距离最低点的高度h，摆锤上内置了光电传感器，可测出摆锤经过挡光片的时间Δt。某次实验中记录数据并绘制图像，以h为横坐标，若要得到线性图像，应以___________为纵坐标，并分析说明如何通过该图像验证机械能守恒___________。 【答案】(1)C (2) mghB (3) 或 见解析 【详解】（1）AB．不可以用和计算出瞬时速度v，因为这样就默认重物做自由落体运动，失去了验证的意义，故AB错误； C．测出物体下落的高度h，根据纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v，故C正确。 故选C。 （2）[1]从打O点到打B点的过程中，重物重力势能的减少量为； [2]根据纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，打下B点时重物的速度大小为 从打下O点到打下B点的过程中，重物的动能变化量为 （3）设摆锤释放时高度为h0，若机械能守恒则有 整理得或者 图线为不过原点的一条直线，斜率大小为（或），可验证机械能守恒。 8．某兴趣小组用如图所示的装置验证动能定理。 (1)有两种工作频率均为的打点计时器供使用 A．电磁打点计时器 B.电火花打点计时器 为使纸带在运动时受到的阻力较小，应选择______________（选填“A”或“B”）。 (2)保持长木板水平，将纸带固定在小车后端，纸带穿过打点计时器的限位孔。实验中，为消除摩擦力的影响，在砝码盘中慢慢加入沙子，直到小车开始运动。同学甲认为此时摩擦力的影响已得到消除。同学乙认为还应从盘中取出适量沙子，直至轻推小车观察到小车做匀速运动。看法正确的同学是______________（选填“甲”或“乙”）。 (3)消除摩擦力的影响后，在砝码盘中加入砝码，接通打点计时器电源，松开小车，小车运动。纸带被打出一系列点，其中的一段如图所示。图中纸带按实际尺寸画出，纸带上A点的速度______________。（结果保留2位有效数字） (4)测出小车的质量为M，再测出纸带上起点到A点的距离为L。小车动能的变化量可用算出。砝码盘中砝码的质量为m，重力加速度为g。实验中，小车的质量应______________（选填“远大于”“远小于”或“接近”）砝码、砝码盘和沙子的总质量，请说出你的理由______________________________________。小车所受合力做的功可用算出，多次测量，若W与均基本相等则验证了动能定理。 【答案】(1)B (2)乙 (3)0.63 (4) 远大于 见解析 【详解】（1）电磁打点计时器工作时振针与纸带接触，存在摩擦阻力，阻力较大；电火花打点计时器利用火花放电在纸带上打出点，没有振针与纸带的摩擦，纸带运动阻力较小。 故选B。 （2）平衡摩擦力时，应使小车在不受拉力的情况下做匀速直线运动。甲同学仅让小车开始运动，此时静摩擦力刚被突破，且最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，不能保证运动过程中摩擦力被完全平衡。乙同学轻推小车观察到小车做匀速运动，说明小车所受合力为零，摩擦力影响已消除，故乙正确。 （3）打点计时器工作频率，打点周期 A点的瞬时速度等于其前后相邻两点间的平均速度。测量纸带上A点前后相邻两点间的距离（约为），则 （4）[1][2]实验中用砝码的重力近似代替小车受到的合力。对整体分析，加速度 绳子拉力 只有当时， 此时合力做功 9．参考案例 案例1  研究自由下落物体的机械能 （1）实验器材 铁架台（带铁夹）、_____________、重物（带夹子）、________、复写纸（或墨粉盘）、导线、毫米刻度尺、交流电源。 （2）实验步骤 ①安装装置：按图甲所示把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好。 ②打纸带：在纸带的一端把重物用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近。先接通电源后释放纸带，让重物拉着纸带自由下落。重复几次，得到3~5条打好点的纸带。 ③选纸带并测量：选择一条点迹清晰的纸带，确定要研究的开始和结束的位置，测量并计算出两位置之间的距离Δh及两位置时纸带的速度，代入表达式进行验证。 （3）数据处理 ①计算各点对应的瞬时速度：如图乙所示，根据公式vn＝，计算出某一点的瞬时速度vn。 ②验证方法 方法一：利用起始点和第n点。 选择开始的两点间距接近2 mm的一条纸带，打的第一个点为起始点，如果在实验误差允许范围内，则机械能守恒定律得到验证。 方法二：任取两点A、B。 如果在实验误差允许范围内，则机械能守恒定律得到验证。 方法三：图像法（如图所示）。 若在实验误差允许范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则机械能守恒定律得到验证。 （4）误差分析 本实验的误差主要是纸带测量产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差。 （5）注意事项 ①安装打点计时器时，要使两限位孔的中线在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。 ②应选用质量和密度较大的重物。 ③实验时，应先接通电源，让打点计时器正常工作后再松开纸带让重物下落。 ④本实验中的几种验证方法均不需要测重物的质量m。 ⑤速度不能用v＝gt或v＝计算，应根据纸带上测得的数据，利用vn＝计算瞬时速度。 案例2  研究沿斜面下滑物体的机械能 （6）实验器材 气垫导轨、数字计时器、带有遮光条的滑块。 （7）实验步骤 如图所示，把气垫导轨调成倾斜状态，滑块沿倾斜的气垫导轨下滑时，忽略空气阻力，重力势能减小，动能增大。 测量两光电门之间高度差Δh和滑块通过两个光电门时的速度v1、v2，代入表达式验证。 （8）物理量的测量及数据处理 ①测量两光电门之间的高度差Δh； ②根据滑块经过两光电门时遮光条的遮光时间Δt1和Δt2，计算滑块经过两光电门时的瞬时速度。 若遮光条的宽度为ΔL，则滑块经过两光电门时的速度分别为v1＝，v2＝； ③若在实验误差允许范围内满足，则验证了机械能守恒定律。 （9）误差分析 两光电门之间的距离稍大一些，可以减小误差；遮光条的宽度越小，误差越小。 【答案】 打点计时器 纸带 【详解】[1][2]完成实验还需要的器材为打点计时器和纸带。 【压轴特训4 平抛运动的规律】 10．一同学在操场练习定点投篮，他将篮球以的速度以一定投射角从离地高度处投出，篮球从篮筐上方斜向下直接经过篮筐的中心点无碰撞进入篮筐。篮球从投出到进入篮筐的过程中，上升时间与下降时间之比为，篮筐距离地面的高度为。重力加速度，忽略空气阻力，则（　　） A．篮球从投出到进入篮筐的时间为 B．篮球最高点速度大小为 C．篮球抛出点到篮筐中心的水平距离 D．投射角的正切值 【答案】C 【详解】A．设篮球投出到进筐过程中，上升时间为，下降时间为，由题意可得 其中 解得， 则篮球投出到进筐过程总时间故A错误； BD．抛出瞬间篮球速度的水平分量为 篮球速度的竖直分量为 解得，，， 篮球在水平方向做匀速运动，因此篮球最高点速度大小为，故BD错误； C．篮球抛出点到篮筐中心的水平距离满足，故C正确。 故选C。 11．如图所示，某鱼塘养殖区沿水平方向依次排列着4个方形网箱（编号1至4）。所有网箱宽度均为，养殖区左岸的自动投料机的投料口位于网箱1左边沿正上方，离网箱的高度。鱼饵（视为质点）从投料口以初速度水平射出，忽略空气阻力，g取，求： (1)要使鱼饵从2号网箱的正中央进入网箱中，求的大小； (2)若，为使鱼饵落入网箱4中，求所有网箱需同步下移的高度的范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于平抛运动竖直方向做的是自由落体运动，则由 解得鱼饵下落的时间为 又因为平抛运动水平方向做的是匀速直线运动，则有 解得要使鱼饵从2号网箱的正中央进入网箱中，初速度的大小为 （2）当时，若鱼饵从4号网箱的最左侧进入网箱，则水平位移为 解得 由 解得鱼饵下落的高度为 则此时所有网箱需同步下移的高度为 同理若鱼饵从4号网箱最右侧进入网箱时，其水平位移为 解得 由 解得鱼饵下落的高度为 则此时所有网箱需同步下移的高度为 所以若，为使鱼饵落入网箱4中，所有网箱需同步下移的高度的范围为。 12．如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，发射器出口距桌面的高度为h，发射器长度也为h，打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度水平发射出去，其中（g为重力加速度大小），设发球器发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计，若使该发球器绕转轴在角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰的区域的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】竖直方向 水平位移为 则当以最大速度射出时，落点区域的最大半径为 则当以最小速度射出时，落点区域的最小半径为 则乒乓球第一次与桌面相碰的区域的最大面积为 故选B。 【压轴特训5 平抛运动与斜面相结合】 13．如图所示，以3m/s的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为的斜面上，g取，物体可视作质点，不计空气阻力。以下结论正确的是（　　） A．物体的飞行时间是0.4s B．物体的飞行时间是 C．物体下降的距离是1m D．物体撞击斜面时的速度大小为5m/s 【答案】AD 【详解】AB．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，物体垂直撞在斜面上，说明末速度方向垂直斜面。斜面倾角，因此末速度与竖直方向夹角为，对速度分解得 解得竖直分速度 由自由落体规律，得 解得飞行时间，故A正确，B错误； C．竖直方向下落距离，故C错误； D．物体撞击斜面时的速度大小为水平分速度与竖直分速度的合速度，故D正确。 故选AD。 14．下雨天，私家车刹车停止时，车内小梁同学发现车前挡风玻璃上同一位置有两颗水珠A和B，水珠A水平飞出，水珠B沿玻璃匀加速下滑，A水珠落回玻璃时，恰好与B相遇。示意图如图所示。已知水珠A和B的质量均为m=3.0×10-6kg，初速度大小均为v0=2.0m/s，车前挡风玻璃与水平夹角，水珠B下滑时质量保持不变，不计空气阻力，水珠均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（　　） A．水珠A在空中运动的时间为0.15s B．下滑过程中，水珠B受到阻力为8×10-5N C．水珠A在空中运动的过程中距前挡风玻璃的最远距离为0.6m D．若水珠B在斜面所受的阻力不变，水珠A和B的初速度v0未知，则水珠A落回玻璃时一定会与水珠B相遇 【答案】D 【详解】A．根据A在空中做平抛运动，可知水平方向 竖直方向 解得其在空中运动的时间t=0.3s；位移L=0.75m，A错误； B．根据即 解得 由牛顿第二定律 解得，B错误； C．水珠A在空中运动的过程中距前挡风玻璃的最远距离为，C错误； D．由A的分析可知， 水珠B在斜面所受的阻力不变，则加速度a不变，则在时间t内B的位移 可知即使水珠A和B的初速度v0未知，水珠A落回玻璃时也一定会与水珠B相遇，D正确。 故选D。 15．结合本期所学物理知识，完成下列问题： (1)某汽车刹车前速度为108km/h，刹车时做匀减速直线运动，加速度大小为6m/s2，求汽车刹车开始后8s内滑行的距离x； (2)高空抛物是一种不文明行为，而且会带来很大的社会危害。一个从高处静止开始下落的物体，在空中运动的时间为3s，不计空气阻力，取g = 9.8m/s2，求：物体下落的高度h； (3)某次捶丸游戏中游戏者将可视为质点的小球从斜面顶端A点以水平初速度击出，小球落到斜面上某点。已知斜面倾角，不计空气阻力，取，求小球在空中运动的时间t。 【答案】(1)75m (2)44.1m (3)1s 【详解】（1）首先统一单位：初速度 汽车刹车后会停止运动，先计算汽车从刹车到静止的时间：由 得 说明汽车5s后已经停止，8s内的位移等于5s内的位移。 由匀减速直线运动公式 代入得： （2）物体从静止开始下落，不计空气阻力，做自由落体运动，由自由落体位移公式 代入数据得： （3）小球做平抛运动，水平方向匀速运动：，竖直方向自由落体： 小球落到斜面上时，位移偏角等于斜面倾角 ，满足几何关系 代入位移公式整理得： 代入、、 得： 【压轴特训6 斜抛运动】 16．如图所示，建筑工人向房顶抛投建筑材料，初速度大小为，与水平方向的夹角为，抛出点和落点的连线与水平方向夹角为，重力加速度大小为，忽略空气阻力。则点到点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建筑工人向房顶抛投建筑材料，将斜抛运动分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向匀变速直线运动。设到的距离为，运动时间为。将初速度沿水平和竖直方向分别分解为， 将位移沿水平和竖直方向分别分解为， 水平方向做匀速直线运动，有 整理得 竖直方向做匀变速直线运动，有 将​、代入竖直位移方程，得 化简得 解得 故选C。 17．将物体（视为质点）沿与水平方向成45°角的方向斜向上抛出，物体在空中的射高为11.25m，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．物体从抛出到最高点的过程用时1.5s B．抛出时物体在竖直方向的分速度大小为 C．物体在最高点速度的大小为 D．物体到抛出点等高处的水平射程为45m 【答案】AD 【详解】A．物体抛出后做的是斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，根据 代入数据解得从抛出到最高点的过程用时，故A正确； B．抛出时物体在竖直方向的分速度大小，故B错误； C．物体在水平方向做匀速直线运动，在水平方向的分速度大小 物体在最高点时竖直方向的分速度变为0，只有水平方向的分速度，故C错误； D．根据斜抛运动的对称性可知，到达抛出点等高处时，物体在空中的运动时间为，所以水平射程为，故D正确。 故选AD。 18．将一物体以某一初速度沿与水平方向成角从点斜向上抛出，经过点时速度与水平方向的夹角为。已知之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．从点抛出时的速度大小为 B．从到过程中速度的最大值为 C．从到的时间 D．之间的高度差为 【答案】C 【详解】AC．设抛出初速度为，水平分速度保持不变 A点竖直初速度 B点速度方向与水平成，则B点竖直分速度大小满足 B点竖直速度向下，由竖直速度公式 水平距离 解得，，故A错误，C正确； B．斜抛运动中，B点位置低于A点，B点速度最大。B点速度，故B错误； D． AB高度差 解得 ，故D错误。 故选C。 【压轴特训7 类平抛运动】 19．如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 【答案】ABC 【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，大小不变，方向与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确； B．根据牛顿第二定律知，小球的加速度，故B正确； C．小球沿加速度方向上的位移为，根据 解得，故C正确； D．小球沿初速度方向的位移 小球沿加速度方向的位移 则小球水平方向的总位移＞v0，故D错误。 故选ABC。 20．如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，，，则初速度的大小和恒力F的大小分别为（　　） A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N 【答案】D 【详解】小球做类平抛运动，运动的加速度为 小球沿初速度方向的位移为 沿恒力方向的位移为 根据几何关系有， 其中，联立解得， 故选D。 21．如图所示，质量均为的两小球、在点以的速度向左、向右水平抛出，经过进入下方的水平风洞区域。风洞的竖直宽度，长度足够长。球在风洞中受到恒定的水平向左的风力，大小，重力加速度大小。求： (1)球进入风洞时的速度大小； (2)球、离开风洞时位置间的距离。 【答案】(1)5m/s (2)3.6m 【详解】（1）设球进入风洞时的竖直分速度为 竖直方向小球做自由落体运动，则 球进入风洞时的速度大小 解得v=5m/s （2）设球在风洞中运动的时间为，球在风洞中的水平加速度大小为a，A、B两球在风洞中的水平位移分别为、 在风洞中竖直方向有 由牛顿第二定律得 由水平方向的运动规律得 两球离开风洞时的距离x=x1+x2+2v0t 解得x=3.6m 【压轴特训8 水平面内圆周运动（转盘模型）】 22．摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比，且在正常工作时两轮盘不打滑，今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、的间距分别为、，且，若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（　　） A．转速增加后，滑块B先发生滑动 B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，线速度之比 C．两个轮盘的角速度之比为1：1 D．转速增加后，两滑块一起发生滑动 【答案】A 【详解】ACD．两轮边缘的线速度相等，根据 可知滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为 因此 转速增加后，假设B滑块先发生滑动，对B有 此时对A有 可知此时滑块A还没有产生滑动，故假设正确，故A正确，CD错误； B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，线速度之比，故B错误。 故选A。 23．如图所示，餐桌中心有一个圆盘，可绕其中心轴转动，现在圆盘上放相同的茶杯，茶杯可看作质点，茶杯与圆盘间动摩擦因数为µ。现使圆盘匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．每个茶杯均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用 B．如果茶杯相对圆盘静止，茶杯受到圆盘的摩擦力沿半径指向圆心 C．若缓慢增大圆盘转速，离中心轴近的空茶杯相对圆盘先滑动 D．若缓慢增大圆盘转速，到中心轴距离相同的空茶杯比有茶水茶杯相对圆盘先滑动 【答案】B 【详解】A．合力充当向心力，茶杯受重力、支持力、静摩擦力三个力作用，A错误； B．如果茶杯相对圆盘静止，茶杯受到圆盘的摩擦力是静摩擦力，沿半径指向圆心，充当向心力，B正确； CD．根据牛顿第二定律 解得 若缓慢增大圆盘转速，离中心轴远的茶杯先滑动，与质量无关，CD错误。 故选B。 24．如图所示，水平圆盘可绕通过其中心O的竖直轴转动，圆盘半径，离水平地面高度，在圆盘边缘放置一质量的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知重力加速度大小g取，空气阻力不计，圆盘从静止开始缓慢加速转动，求： (1)物块恰与圆盘发生相对滑动时圆盘角速度的大小； (2)物块滑离圆盘后在空中运动的时间； (3)物块落地点与O点正下方地面上点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块与圆盘刚好相对滑动时，有 解得 （2）物块在空中平抛运动，满足 解得 （3）平抛速度 水平位移 落地点与距离 联立解得 【压轴特训9 斜面上的圆周运动】 25．如图所示，在倾角为且足够大的光滑斜面上，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，下列判定正确的是（　　） A．小球在斜面上做匀速圆周运动 B．在最高点A点时速度为 C．小球在最高点时的加速度为g D．小球从B运动到A过程中，线拉力一直在减小 【答案】D 【详解】A．根据机械能守恒定律，小球在斜面上做圆周运动速率变化，不是做匀速圆周运动，故A错误； B．据牛顿第二定律得 所以 故B错误； C．小球在最高点时的加速度为 解得 故C错误； D．小球从最低位置转过角度，根据圆周运动和牛顿第二定律有 小球从B运动到A过程中，v减小，减小，线拉力一直在减小，故D正确。 故选D。 26．如图所示，倾角的斜面ABC固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴上。转台以角速度匀速转动时，将质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，经过一段时间后小物块与斜面一起转动且相对静止在AB线上，此时小物块到A点的距离为L。已知小物块与斜面之间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，若最大静摩擦等于滑动摩擦力，，。则物块相对斜面静止时（　　） A．小物块受到的摩擦力方向可能沿斜面向下 B．小物块对斜面的压力大小可能小于mg C．水平转台转动角速度应不小于 D．水平转台转动角速度应不大于 【答案】AD 【详解】A．当角速度较小时，物块有沿斜面向下滑动的趋势，摩擦力沿斜面向上；当较大时，物块有沿斜面向上滑动的趋势，摩擦力沿斜面向下。因此摩擦力方向可能沿斜面向下，故A正确； BCD．当角速度最小时，物块恰好不下滑，受力分析如图1所示 y轴方向根据平衡条件，有 其中 x轴方向，由合力提供向心力，有 联立解得， 当角速度最大时，物块恰好不上滑，受力分析如图2所示 y轴方向根据平衡条件，有 其中 x轴方向，由合力提供向心力，有 联立解得， 综上分析可知，角速度取值范围为 小物块对斜面的压力大小 取值范围为 故D正确，BC错误。 故选AD。 27．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与陶罐球心的对径轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为的小物块的小滑块，在陶罐内随陶罐一起转动且相对罐壁静止，物块和点的连线与之间的夹角。已知小物块与陶罐间的动摩擦因数，可认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力，，重力加速度为取。求： (1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求转台转动的角速度； (2)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求小物块的线速度大小； (3)小物块与转台不发生滑动时转台转动的角速度范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当摩擦力为零时，重力与支持力的合力提供向心力 （2）由几何关系得 线速度m/s （3）分两种临界情况： 角速度较小（下滑趋势，摩擦力向上）： 竖直方向： 水平方向： 且 联立解得 角速度较大（上滑趋势，摩擦力向下）： 竖直方向： 水平方向： 且，联立解得 故角速度范围 【压轴特训10 竖直平面内的圆周运动—轻绳小球（轨道）模型】 28．如图甲所示，一长为L的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　） A．图像函数表达式为 B．重力加速度 C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小 D．绳长不变，用质量较大的球做实验，图像上b点的位置不变 【答案】BCD 【详解】A．在最高点，对小球由牛顿第二定律得 可得图像函数表达式为，故A错误； B．根据上述，结合图像可知，将（b，0）代入函数表达式中有 解得重力加速度大小为，故B正确； C．根据 可知图像的斜率为 可知绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小，故C正确； D．根据 结合图像有 解得 可知绳长不变，用质量较大的球做实验，图像上b点的位置不变，故D正确。 故选BCD。 29．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是（重力加速度为g）（　　） A．小球对圆环的压力大小等于mg B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力 C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度大小等于g 【答案】BCD 【详解】A．因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，故A错误； BCD．此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有 即，a=g，故BCD正确。 故选BCD。 30．如图所示，一质量为m=0.5kg的小球（可视为质点），用长为L=0.9m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g取10m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为6m/s时，轻绳对小球的拉力多大？ (3)若轻绳能承受的最大张力为50N，小球的速度不能超过多大？ (4)若轻绳改成轻杆，当小球在最高点的速度为1m/s时，求小球对轻杆的作用力？ 【答案】(1) (2) (3) (4)，方向向下 【详解】（1）轻绳模型的临界条件：最高点重力恰好提供向心力，此时拉力为0，速度最小。 由牛顿第二定律： 代入数据得： （2）最高点拉力与重力的合力提供向心力： 整理代入数据： （3）竖直圆周运动中，轻绳张力在最低点最大，最大张力对应最低点最大速度： 代入： 即小球速度不能超过 （4）设杆对小球的作用力向下（指向圆心）为正，合力提供向心力： 代入数据得： 负号说明杆对小球是向上的支持力，大小约4.4N，根据牛顿第三定律： 小球对轻杆的作用力大小约，方向向下，是压力。 【压轴特训11 竖直平面内的圆周运动—轻杆小球（管道）模型】 31．如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心O点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小设为v，圆管与小球间弹力的大小设为F，改变速度v得到F-v2图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则下列说法错误的是（　　） A．小球的质量为4kg B．固定圆管的半径为1m C．小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 【答案】C 【详解】AB．小球在圆管最高点时，受力分两种情况：当时，圆管内壁对小球有向上的弹力，合力提供向心力 得 当时，圆管外壁对小球有向下的弹力，合力提供向心力： 得 从图乙可知当时，，代入，得 当时，，此时，约去得 故AB正确； C．当时，，代入 得 此时弹力方向向上（圆管内壁托住小球），故C错误； D．当时，，代入 得，此时弹力方向向下（圆管外壁压住小球），D正确。 由于本题选择错误的，故选C。 32．如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心点做半径为的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，取，则（　　）（不计空气阻力） A．小球的质量，圆环的半径 B．小球在最高点速度为时，小球与圆环间无作用力 C．小球在最高点受到的弹力是重力大小的时，速度大小可能为 D．当在最高点小球速度为时，在其后的运动过程中始终受到远离圆心的弹力 【答案】C 【详解】A．对小球在最高点时受力分析，受到竖直向下的重力和圆环的弹力，速度较小时，圆环对小球的弹力竖直向上，根据牛顿第二定律 由图乙可知，当速度为零时，则有 解得 由图乙可知，当外力为零时，则有 解得，故A错误； B．当时，根据牛顿第二定律 解得 小球与圆环间有作用力，方向竖直向下； 当时，根据牛顿第二定律 解得，即小球与圆环间没有作用力，故B错误； C．在最高点受到的弹力是重力大小的，方向可能背离圆心，也可能指向圆心，根据牛顿第二定律或 又 解得或，故C正确； D．当在最高点小球速度为时，根据牛顿第二定律有 解得， 方向指向圆心，在其后的运动过程中始终受到指向圆心的弹力，故D错误。 故选C。 33．如图所示，质量为1.2kg、半径为的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量均为。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且B的速度大小为，取。求： (1)B球对轨道的弹力大小和方向； (2)若此时杆对圆管有竖直向下的弹力，大小为10N，则A球的速度大小vA为多少？ 【答案】(1)40N，方向竖直向上 (2)2m/s 【详解】（1）设轨道对B球的弹力大小为，方向竖直向下，由牛顿第二定律 解得 由牛顿第三定律得B球对轨道的弹力大小 方向竖直向上。 （2）设光滑细圆管质量为 杆对圆管有竖直向下的弹力 设A球对圆管的弹力大小为，方向竖直向下。对圆管受力分析，由平衡条件得 解得 由牛顿第三定律得圆管对A球的弹力大小，方向竖直向上。对A球由牛顿第二定律得 解得 【压轴特训12 圆周运动中的脱轨问题】 34．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱．其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点．铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是（    ） A．铁球不可能做匀速圆周运动 B．铁球在A点的向心力由重力和支持力共同提供 C．球在A点的最小速度为零 D．要使铁球不脱轨，铁球在A点的最大速度为 【答案】AC 【详解】A．铁球从最高点到最低点重力要做功，动能增加，速度增加，则铁球不可能做匀速圆周运动，选项A正确； B．铁球在A点的向心力由重力、支持力以及磁力共同提供，选项B错误； C．球在A点时由于有原轨道的支持力作用，则在该位置的最小速度可以为零，选项C正确； D．球恰好能经过最低点B点与轨道间的弹力N=0，恰好重力和磁性引力的合力提供向心力，由牛顿第二定律 从A到B对小铁球运用动能定理 解得 故选项D错误。 故选AC。 35．如图所示，汽车以恒定速率先后经过某凹形桥面和拱形桥面，凹形桥面最低点为A点，拱形桥面最高点为B点。下列说法正确的是（　　） A．过B点时，汽车对桥面压力小于自身重力 B．过A点时，汽车对桥面压力小于自身重力 C．拱形桥的B点汽车容易爆胎 D．凹形桥的A点容易脱轨 【答案】A 【详解】AC．汽车过B点时根据牛顿第二定律得 可知 故汽车对桥面压力小于自身重力，汽车过拱形桥的B点时不容易爆胎，故A正确，C错误； BD． 汽车过A点时根据牛顿第二定律得 可知 故汽车对桥面压力大于自身重力，则汽车过凹形桥的A点不容易脱轨，故BD错误。 故选A。 36．如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨道组成。在直轨道上放置一质量的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截面的圆心O连线的夹角，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A点。现使之获得沿直轨道AB方向的初速度，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不计，两端半圆形轨道半径，g取。 （1）当时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，内侧轨道对小圆柱体的支持力、的大小； （2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过多少?（结果可以保留根式）    【答案】（1），；（2） 【详解】（1）小圆柱体在直轨道上做匀速直线运动，所受合力为零，则根据平衡条件可得 解得 当小圆柱体在半圆形轨道上运动时，其受力分析如所示    竖直方向根据平衡条件有 水平方向由牛顿第二定律有 联立解得 （2）设小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨的最大速度为，分析可知，小圆柱体恰好不脱轨时小圆柱体的重力与外侧导轨对小圆柱体的支持力恰好提供小圆柱体做圆周运动的向心力，对小圆柱体受力分析如图所示    则有 解得 即为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过。 【压轴特训13 天体质量和密度的计算】 37．探测器进入环绕某行星的圆轨道运行，周期为，轨道距行星表面的高度与行星半径之比为，引力常量为，则行星的平均密度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设探测器的质量为，行星的质量为，半径为，探测器环绕行星做匀速圆周运动的轨道距行星表面的高度为，且，则探测器的轨道半径为 探测器环绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 解得 则行星的平均密度 解得 故选A。 38．在天文学中，通常要测量恒星和星系的体积、直径、质量、运动速度等参数，其中引力计算法是常用方法之一。现已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，地球绕太阳公转的周期为，日地中心间距为r，近地卫星绕地球表面做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。下列天体参数的计算正确的是（　　） A．地球的质量 B．太阳的质量 C．地球的平均密度 D．地球的平均密度 【答案】C 【详解】AD．根据万有引力与重力关系有 解得 密度为，故AD错误； B．根据万有引力提供向心力有 解得，故B错误； C．近地卫星满足 解得 地球平均密度，故C正确； 故选C。 39．按照计划，我们将会在2026年发射“嫦娥七号”探测器，目标是月球南极，着陆点选择在月球南纬85°以上的南极—艾特肯盆地区域，主要的任务之一是在月球南极寻找水冰物质。假设“嫦娥七号”探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知“嫦娥七号”的运行周期为，轨道半径约等于月球球体半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，轨道半径为月球球体半径的倍，引力常量为。据此，请估算出： (1)月球的平均密度； (2)若不考虑月球自转，月球表面重力加速度与月球绕地球公转的向心加速度之比； (3)“嫦娥七号”与月球球心连线、月球与地球球心连线相同时间内扫过的面积之比是不是1∶1？若是，请说明理由；若不是，请求出二者之比。 【答案】(1) (2) (3)不是， 【详解】（1）嫦娥七号绕月球表面做圆周运动，则有，解得 月球的密度为 （2）若忽略月球自转，月球表面附近嫦娥七号所受万有引力等于月球表面附近的重力，有 月球绕地球公转的向心加速度大小为 故月球表面重力加速度与月球绕地球公转的向心加速度之比 （3）不是。“嫦娥七号”与月球球心连线在一个周期时间内扫过的面积为，月球与地球球心连线在一个周期内扫过的面积为，其中；故二者在相同时间内扫过的面积分别为， “嫦娥七号”与月球球心连线、月球与地球球心连线相同时间内扫过的面积之比 【压轴特训14 宇宙速度和重力加速度的计算】 40．我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A在极点，自转向心力为0，万有引力全部等于重力。设星球质量为，半径为，自转角速度为，对A处质量为的物体，有 整理得 D在赤道，万有引力等于重力与自转向心力之和，D处重力加速度为，因此 代入，化简得 整理得 E点做圆周运动的轨道半径是E到自转轴AB的垂直距离，已知OE与赤道平面夹角为，，根据几何关系，可得 向心加速度 代入和，得 因此E位置的向心加速度为。 故选B。 41．已知地球半径约为火星半径的2倍，地球质量约为火星质量的9倍，火星、地球均绕太阳做圆周运动，火星公转半径约为地球公转半径的1.5倍，不计火星和地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的第一宇宙速度约为火星第一宇宙速度的倍 B．地球表面重力加速度约为火星表面重力加速度的倍 C．火星的公转周期约为地球的公转周期的倍 D．相同时间内火星与太阳的连线扫过的面积与地球与太阳的连线扫过的面积的相等 【答案】BC 【详解】A．根据万有引力提供向心力 可得第一宇宙速度为 其中为星球的质量，地球半径约为火星半径的2倍，地球质量约为火星质量的9倍，可得地球的第一宇宙速度约为火星第一宇宙速度的倍，故A错误； B．根据 可得表面重力加速度 其中为星球的质量，可得地球表面重力加速度约为火星表面重力加速度的倍，故B正确； C．根据万有引力提供向心力 可得公转周期 火星公转半径约为地球公转半径的1.5倍，可得火星的公转周期约为地球的公转周期的倍，故C正确； D．开普勒第二定律适用的是某一个行星，可知相同时间内火星与太阳的连线扫过的面积与地球与太阳的连线扫过的面积不相等，故D错误。 故选BC。 42．如图所示，宇航员在某质量分布均匀的星球表面，从一斜坡上的P点沿水平方向以初速度v0抛出一小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求： (1)该星球表面的重力加速度大小； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据小球做平抛运动的规律可得x＝v0t， 且 解得g＝ （2）根据 解得 解得密度 （3）根据星球表面附近万有引力近似等于重力，该力提供向心力，可得 解得 【压轴特训15 双星模型和多星模型】 43．中国科学家利用“中国天眼”在银河系发现一颗毫秒脉冲星PSRJ1928+1815，这颗脉冲星与伴星以3.6小时的极短周期相互绕转，这一发现由中国科学院国家天文台研究员韩金林团队完成，成果论文于2025年5月23日凌晨在国际学术期刊《科学》上在线发表。如图所示，质量分别为、的星体A、B在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点O旋转，测得两者之间的距离为L，已知引力常量为G。则（　　） A．A、B做圆周运动的角速度之比为 B．A、B做圆周运动的轨道半径之比为 C．A、B做圆周运动的线速度大小之比为 D．B做圆周运动的周期为 【答案】BD 【详解】A．两颗星体绕同一点O旋转，A、B做圆周运动的周期相同，角速度相同，故角速度之比为，故A错误； B．设A的轨道半径为，B的轨道半径为，两颗星体角速度相同，由万有引力提供向心力做圆周运动，有 化简得，故B正确； C．设A的线速度为，B的线速度为，由，可知线速度之比等于轨道半径之比，即，故C错误； D．B星体做圆周运动，由万有引力提供向心力，有 两颗星体间距离 两颗星体轨道半径之比为 解得， B做圆周运动的周期为，故D正确。 故选BD。 44．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。如图所示，三颗星始终位于同一直线上，两颗环绕星（质量相等）围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，中央星的质量是每颗环绕星质量的2倍。引力常量为G，环绕星绕中央星做匀速圆周运动的周期为T，则每颗环绕星的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设每颗环绕星的质量为m，则中央星的质量为2m，对任一环绕星，有 解得每颗环绕星的质量 故选D。 45．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1发射一探测器，使其与月球同周期绕地球运动。地球和月球对在拉格朗日点L1上的探测器的万有引力不可忽略，而在拉格朗日点L1上的空探测器对地球和月球的万有引力可忽略不计。在拉格朗日点L1上的探测器可看作质点，地球和月球均可视作均匀的球体。 (1)若已知引力常量G、地球质量M1、月球质量未知、地心到月心的距离r、拉格朗日点到月心的距离d。求该探测器绕地球做圆周运动的线速度大小？ (2)若，求月球质量M2与地球质量M1的比值？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小问探测器绕地球做圆周运动的轨道半径为地心到拉格朗日点的距离，即 探测器与月球绕地球运动的周期相同，故二者角速度相等。对月球，地球对月球的引力提供其做圆周运动的向心力，有 化简得探测器的角速度 探测器的线速度 代入数据得 （2）已知 则探测器轨道半径 探测器所受地球引力与月球引力的合力提供向心力，设探测器质量为，有 得 整理得 解得月球质量与地球质量的比值 【压轴特训16 卫星的追及相遇问题】 46．2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”，火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 C．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最小 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律可得 火星与地球的公转轨道半径之比约为，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为，故A错误； B．物体在星球表面时，万有引力表现为物体受到的重力，满足 解得星球表面重力加速度 根据题中条件无法求解火星与地球表面的自由落体加速度大小之比，故B错误； C．当火星与地球相距最远时，二者的速度方向相反，所以两者的相对速度最大，故C错误； D．根据火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 已知地球的公转周期为1年，则可知火星的公转周期约为1.8年，设经过时间出现下一次“火星冲日”，则有 解得 所以下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后，故D正确。 故选D。 47．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅱ的周期为 C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 D．卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星发出电磁波信号的时间 【答案】B 【详解】AB．设地球质量为，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为和，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为，近地卫星Ⅱ的周期为。根据开普勒第三定律则有 由题图可得 可得卫星Ⅱ的周期为 对于卫星Ⅱ，根据牛顿第二定律可得 地球的密度为 联立以上各式，可得地球的平均密度为，故A错误，B正确； C．对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律可得 解得 所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为，故C错误； D．当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内，其对应圆心角为时，卫星II无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号，设这段时间为。若两卫星同向运行，则有 其中， 解得 若两卫星相向运行，则有，， 解得，故D错误。 故选B。 48．A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示。已知卫星A的线速度大于卫星B的线速度，引力常量为G。不考虑A、B间的相互作用。求： (1)卫星A、B的周期之比； (2)卫星A的周期； (3)地球的质量。 【答案】(1)1:8 (2) (3) 【详解】（1）由及可知。由题图可知，两卫星距离最大值 最小值 联立解得， 根据开普勒第三定律 可得 （2）由题图可知，两卫星距离变化的周期为，即每隔时间，两卫星再次相距最远，说明在时间内，转得快的卫星A比卫星B多转了一圈，即 将代入，得 解得 （3）对卫星A，万有引力提供向心力，有 解得地球质量 将和代入 得 【压轴特训17 机车起动问题】 49．一辆汽车在平直公路上从静止开始启动，该汽车加速度随时间的变化规律如图所示，时刻汽车达到额定功率且功率不再变化，时刻图像与时间轴相切。已知汽车质量为，运动过程中受到的阻力恒为，则有（　　） A．汽车的额定功率为 B．汽车的额定功率为 C．和时间内汽车牵引力做功之比为 D．和时间内汽车牵引力做功之比为 【答案】BD 【详解】AB．汽车从静止开始运动，因此时刻的速度等于内图像的面积 时刻加速度为，由牛顿第二定律 得牵引力，此时汽车达到额定功率，额定功率，故A错误，B正确； CD．加速度恒定，做匀加速直线运动，位移 牵引力恒定，做功 功率保持额定功率不变，牵引力做功 做功之比化简，故C错误，D正确。 故选BD。 50．某建筑工地用起重机将质量为m=300kg的重物运送到一定高度处，重物从地面启动瞬间开始计时，前10s内重物的加速度a随时间t的变化规律如图所示。已知0~4s内的图线为过原点的倾斜直线，4~10s的图线为曲线，且4~10s的时间内起重机的输出功率保持不变，4s时重物上升的高度为，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。则（　　） A．4s末重物的速度达到最大 B．0~4s内重物所受拉力随位移均匀变化 C．0~10s内重物机械能的增加量为4.82×104J D．6~10s内重物机械能的增加量为3.6×104J 【答案】C 【详解】A．内重物加速度始终大于0，速度持续增大，末加速度减为0时速度才达到最大，故A错误； B．内，由图像可得重物的加速度与时间的关系 由牛顿第二定律，得 联立解得 可知拉力与时间呈线性关系，但重物做变加速运动，位移与时间不是线性关系，因此拉力与位移不是线性关系，则拉力不随位移均匀变化，故B错误； C．图线与时间轴所围图形的面积表示速度变化量的大小，末的速度 已知末上升高度 内机械能增加量 由牛顿第二定律，可得末拉力 功率为 经过了 功率不变，拉力做功 即该段机械能增加量 总机械能增加量，故C正确； D．共经过，拉力做功 即机械能增加量为，不是，故D错误。 故选C。 51．新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题。2025年2月27日晚，小米SU7Ultra上市，创始人雷军宣布 SU7Ultra目标：“性能比肩保时捷，科技紧追特斯拉，豪华媲美 BBA”。性能方面，零百加速秒，最高时速可达350公里每小时。一辆测试用的电动汽车质量，在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到960kW后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度g取，求： (1)该车在运动过程中所受阻力大小； (2)该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小； (3)从静止开始到末，该车所受牵引力所做的功结果保留三位有效数字 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，则有 可得该车在运动过程中所受阻力大小为 （2）根据图像可知，匀加速阶段加速度大小为 根据牛顿第二定律有 时刻功率达到最大功率 则该车在匀加速运动过程中加速度 所受牵引力的大小 （3）内汽车匀加速运动的加速度为 内汽车匀加速运动的位移为 牵引力做的功为 变加速过程中，即内，汽车牵引力的功率恒为960 kW，所以该过程中牵引力做的功为， 则从静止开始到31.6s末该车所受牵引力所做的功 【压轴特训18 动能定理的应用】 52．两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝1∶2，二者初动能相同，它们和水平桌面的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为（　　） A．xA∶xB＝2∶1 B．xA∶xB＝1∶2 C．xA∶xB＝4∶1 D．xA∶xB＝1∶4 【答案】A 【详解】物体滑行过程仅受滑动摩擦力做功，根据动能定理可得 整理得滑行距离表达式 已知A、B初动能、动摩擦因数均相同，因此滑行距离与质量成反比，即 故选A。 53．某游乐场的滑梯可以简化为如图所示的竖直面内半径为的四分之一固定圆弧轨道，轨道粗糙程度不均匀，质量为的小球从最高点以某一初速度滑行到最低点的过程中速率不变，不计空气阻力，重力加速度为，则此过程中（　　） A．摩擦力做功为 B．摩擦力大小不变 C．摩擦力做功的功率逐渐减小 D．重力做功功率先增大后减小 【答案】AC 【详解】A．根据动能定理有 解得，故A正确； B．设小球与O点的连线与竖直方向的夹角为，因速率不变，故沿切线方向有 减小，故摩擦力变小，故B错误； D． 由 减小，故重力做功的功率逐渐减小，故D错误。 C．小球速率不变，动能不变，故 重力做功的功率逐渐减小，故摩擦力的功率逐渐减小，故C正确； 故选AC。 54．如图，质量为m的小球用长为L的轻绳吊挂于O点的钉子上，小球静止时位于A点。现给小球施加一个方向始终水平向右的拉力，使小球缓慢运动到B点，OB与竖直方向的夹角为，不计小球的大小，重力加速度大小为g，求： (1)小球运动到B点时，水平拉力的大小及小球从A运动到B过程中拉力对小球做功的大小； (2)若小球在A点时，给小球施加一个方向始终水平向右、大小恒定等于2mg的拉力，则小球运动到B点时速度多大。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）小球缓慢运动到B点时处于平衡状态，对小球受力分析，由共点力平衡条件 解得 小球缓慢运动，动能变化为0，绳子拉力不做功，从A到B由动能定理 解得拉力做功 （2）恒定拉力，拉力方向的水平位移为。初速度为0，从A到B由动能定理 解得B点速度 【压轴特训19 动能定理解决多过程问题】 55．如图是倾角、长为的固定斜面，为中点，斜面上段各点动摩擦因数随距点的距离变化规律为，段光滑。质量为的物块从点以大小为的初速度冲上斜面，恰好能运动到，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．小物体上滑过程重力做功为 B．物体回到点时速度大小 C． D． 【答案】BD 【详解】A．小物体上滑过程中重力做负功，故A错误； BCD．因为小物体与斜面间的动摩擦因数与物块距点距离为线性关系，故可用平均值法求摩擦力所做的功。物体从点运动到点，由动能定理可知 物体从点出发回到点，由动能定理可知 解得，，故BD正确，C错误。 故选BD。 56．如图所示，一小物块由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平地面上，斜面和地面平滑连接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数。该过程中，物块速度的平方与水平位移x关系图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设斜面的倾角为，物块与斜面的动摩擦因数为，物块与水平面的动摩擦因数为，释放点到斜面与水平面交点的水平位移为，小物块滑至斜面某处(发生的水平位移为x)时的末动能为Ek，由动能定理可得 解得 可知小物块沿斜面下滑时Ek与x成正比；当小物块在水平地面上运动时，由动能定理可得 解得 可知与x为线性关系。 故选A。 57．如图所示，竖直线为竖直光滑半圆弧轨道的直径，其半径，端切线水平，水平轨道与半径的光滑竖直圆弧轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点。一质量为的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，点与点的距离，重力加速度。求： (1)小球在点对圆弧轨道的压力大小； (2)小球在圆弧上点受到的支持力大小； (3)小球在B点的速度。 【答案】(1)12.5N (2)131N (3)5m/s 【详解】（1）根据题意可知，小球从A运动到C做平抛运动，竖直方向有 解得 水平方向上有 解得 在A点，由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律得压力 （2）在C处，小球的竖直速度 则小球在C处速度 设速度与水平夹角为θ，则有 小球在C处，由牛顿第二定律有 联立解得 （3）由B到A由动能定理 解得vB=5m/s 【压轴特训20 机械能守恒定律之弹簧问题】 58．如图所示，倾角为的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为的物块A与物块（质量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放在斜面体上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为，最终物块A把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点点（d未画出），物块A在c点的加速度大小为，，弹性势能表达式为，为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为，。下列说法正确的是（　　） A．物块A与ab段的动摩擦因数为 B．轻弹簧的劲度系数为 C．物块A下滑的最大速度为 D．物块B的质量为 【答案】AD 【详解】AD．物块A在ab段做匀加速直线运动，根据 代入数据解得： 在ab段运动时，根据牛顿第二定律有 代入数据解得： 剪断轻绳前，物块A处于静止状态且刚好不下滑，说明此时静摩擦力达到最大且沿斜面向上，由平衡条件得 其中，代入数据解得：，故AD正确； B．物块A压缩弹簧至最低点c时速度为零，根据牛顿第二定律 解得弹簧弹力 物块从b到c过程机械能守恒，由 可知 解得形变量，则劲度系数，故B错误； C．物块A下滑至合力为零时速度达到最大值，此时 解得 从b到平衡位置过程机械能守恒，由 代入数据解得，故C错误。 故选AD。 59．如图所示，、两小球由绕过定滑轮的轻质细线相连，、两小球通过劲度系数为的轻质弹簧相连，放在倾角为带有挡板的固定光滑斜面上，斜面足够长。初始时用手控制住，使细线伸直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线与斜面平行，此时整个系统处于静止状态。现释放球（球下落过程中不会触地）。已知、的质量均为，的质量为，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量），不计一切摩擦，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．初始时，弹簧形变量大小为 B．下落过程中其重力的最大功率为 C．下落的最大位移为 D．下落到最低点时挡板与球之间的弹力为 【答案】B 【详解】A．初始时细线无拉力，对B沿斜面方向受力平衡 初始时，弹簧形变量大小，故A错误； B．A速度最大时重力功率最大，此时加速度为0、合力为0。对A、B整体受力分析，设此时弹簧伸长量为， ，解得 从初始到速度最大，B沿斜面上移距离，A下落距离也为；且初始和末态弹簧形变量大小相等，弹性势能变化为0。 由动能定理 解得， 重力功率，故B正确； C．设A下落最大位移为（此时速度为0），此时弹簧伸长量 由能量守恒 下落的最大位移为，故C错误； D．A下落到最低点时，弹簧伸长量，弹簧弹力 对C沿斜面受力分析，C重力分力，因此挡板对C的弹力，故D错误。 故选B。 60．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时（加速度为零），C恰好离开地面，在此过程中，求： (1)A速度最大时绳子拉力F和斜面的倾角α； (2)弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0； (3)A沿斜面下滑的速度最大值vm。 【答案】(1)F = 2mg，α= 30° (2)mg (3) 【详解】（1）A速度最大时，加速度为零 研究A小球，根据平衡关系 此时B的加速度也为零，C恰好离开地面，对B、C整体有 解得 ，即 （2）设当弹簧恢复原长时，A沿斜面向下运动的加速度大小为a， 对A应用牛顿第二定律         对B应用牛顿第二定律 解得 （3）一开始弹簧处于压缩状态，有 C恰好离开地面时，弹簧处于伸长状态，有 伸长量 因而初末状态弹簧的弹性势能相等，对整个系统从释放A球至C恰好离开地面的过程，根据机械能守恒定律   解得 【压轴特训21 机械能守恒定律之连接体问题】 61．如图，可视为质点的物块A、B用一不可伸长的轻绳连接，A穿在光滑竖直细杆上，细杆底部固定。轻绳跨过轻质光滑定滑轮。A、B的质量分别为，，定滑轮到杆的距离为，细绳长为。现让A从与定滑轮等高处由静止释放，不计一切摩擦、空气阻力及定滑轮大小，重力加速度为。关于A下落过程中的说法正确的是（　　） A．物块A的机械能一直增大 B．物块A的速度始终小于物块B的速度 C．物块A下落的最大距离为 D．物块A、B等高时物块B的速度大小为 【答案】C 【详解】A．由静止释放物块A，物块A向下运动的过程中，重力做正功，绳子的拉力做负功，物块A的机械能减小，故A错误； B．设物块A下滑的过程中绳与竖直方向的夹角为，则 所以，物块A的速度大于物块B的速度，当物块A的速度为零时，物块B的速度也为零，故B错误； C．当物块A的速度为零时，物块A的下落高度最大，此时物块B的速度也为0，设物块A下落的最大高度为，根据机械能守恒定律有 解得，故C正确； D．设物块A、B处于同一高度时定滑轮左侧细绳与水平方向所成的角为，根据几何关系有 又知， 联立解得 根据动能定理有 又知 联立解得，物块A、B等高时物块B的速度大小为，故D错误。 故选C。 62．如图所示，两个相同小球、（可视为质点）通过铰链用长为的刚性轻杆连接，球套在竖直杆上，球套在水平杆上，杆、不接触（即球可通过），但两杆间距忽略不计。最初刚性轻杆与水平杆的夹角为，不计一切摩擦，重力加速度为。现由静止释放两小球，在此后的运动过程中，下列说法中正确的是（　　） A．球到达与球等高位置时速度大小为 B．球下降到最低点的过程中，刚性轻杆对球先做负功，后做正功 C．球的最大速度为 D．球有四个速度为零的位置 【答案】ACD 【详解】A．当球到达与球等高位置时，球运动到点，此时杆水平，球运动到最右端，速度。根据系统机械能守恒 解得，故A正确； B．球从初始位置运动到点的过程中，球速度先增大后减小到 0，动能先增后减，杆对球先做正功后做负功，则杆对球先做负功后做正功；球从点运动到最低点的过程中，球从最右端向左加速运动，动能增加，杆对球做正功，则杆对球做负功。综上，全过程中杆对球先做负功，后做正功，再做负功，故B错误； C．当球运动到最低点时，球运动到点，此时球速度，球速度最大。根据系统机械能守恒 解得，故C正确； D．a球和b球所组成的系统只有重力做功，则机械能守恒，初始位置，b球速度为零，当a球向下运动到达O点时，b球速度为零，然后a球继续向下运动，当a球到达最低点时，b球速度最大，其后b球继续向左运动，a球继续向上运动，当a球到达O点时，b球速度为零，a球继续向上运动到达最高点时，b球速度为零，所以有四个速度为零的位置，故D正确。 故选 ACD。 63．如图所示，质量分别为m和的两个物块用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮连接，其中质量为m的物块穿过固定竖直杆并可沿杆无摩擦地滑动。已知杆与定滑轮间的距离为，A点与定滑轮等高，不计滑轮质量、大小及任何摩擦。轻绳足够长，重力加速度g取。（，） (1)当m在竖直杆B位置时，两物块恰好能静止，此时绳与杆的夹角α； (2)将m由A点静止释放，m下降的最大高度； (3)将m由A点静止释放，m获得的最大速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对，由平衡条件有 对，由平衡条件有 联立解得 （2）当到达最低点时速度为零，对和组成的系统由机械能守恒有 解得 （3）在该系统下降的过程中，当m获得最大速度时，即合外力等于零时，可知此时恰好在B位置处，由动能定理有 解得 【压轴特训22 机械能守恒定律之链条类问题】 64．如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 【答案】AC 【详解】AB．若要把链条全部拉回桌面上，只要克服垂于桌面外的部分的重力做功即可，至少要克服重力做的功，A正确，B错误； CD．若自由释放链条，只有重力做功整个链条的机械能守恒，取桌面为参考平面，则有 解得，C正确，D错误。 故选AC。 65．如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为 然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为 设链条运动至底端的速度为v，有 解得 故选B。 66．如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3m/s。已知∠AOB＝60°，以OC所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒 B．铁链在初始位置时其重心高度m C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为6m/s 【答案】C 【详解】A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边拉链的拉力，该拉力做负功，故机械能不守恒，故A错误； B．根据几何关系可知，铁链长度为 L＝＝2m 铁链全部贴在球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在∠AOB的角平分线上，故铁链在初始位置时其重心与圆心连线长度等于端点B滑至C处时其重心与圆心连线长度，均设为h0，根据机械能守恒定律有 mgh0－mgh0sin30°＝ 代入数据解得 h0＝1.8m 故B错误； C．铁链的端点A滑至C点时，其重心在参考平面下方处，则铁链的端点A滑至C点时其重心下降 Δh＝h0＋＝2.8m 故C正确； D．铁链的端点A滑至C处过程，根据机械能守恒定律有 解得 故D错误。 故选C。 【压轴特训23 机械能守恒定律之传送带模型】 67．如图甲所示，倾角为的传送带以恒定速率逆时针运行，现将一质量为的包裹轻轻放在最上端的点，包裹从点运动到最下端点的过程中，其加速度随位移变化的图像如图乙所示。取重力加速度大小，则下列说法正确的是（　　） A．，且包裹与传送带间的动摩擦因数为0.5 B．传送带运行的速度大小为 C．包裹与传送带间因摩擦而产生的热量为 D．包裹从点运动到最下端点所用的时间为 【答案】D 【详解】A．包裹放上传送带后瞬间，包裹相对传送带向上滑动，则包裹所受摩擦力沿传送带向下。 在0到内，根据牛顿第二定律得 包裹运动到与传送带共速后，根据牛顿第二定律得 其中，，联立解得，，故A错误； B．由题图乙可知，包裹的位移为时包裹与传送带共速，则传送带速度，故B错误； C．包裹在0到内，有 包裹在到过程中，有 解得 则有 故，故C错误； D．包裹从点运动到最下端点所用的时间，故D正确。 故选D。 68．倾角的传送带以大小为的速度顺时针转动，一质量的煤块（视为质点）无初速度地从传送带底端滑至的顶端，煤块与传送带间的动摩擦因数，取重力加速度大小，传送轮的大小不计，不考虑传送带的电机发热消耗的能量，则（　　） A．煤块加速阶段的加速度大小为 B．煤块在传送带上留下的痕迹长度为 C．煤块到达传送带顶端时的速度大小为 D．传送带因传送煤块而多消耗的电能约为 【答案】B 【详解】A．煤块加速阶段对其进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得，故A错误； BC．由几何关系可知，传送带到顶端的距离为 假设煤块在传送带上一直加速，设其到达传送带顶端时的速度大小为，则有 解得 即满足提出的假设，设煤块在传送带上加速的时间为，则有 解得 设该段时间内，传送带运动的距离为，则有 则煤块在传送带上的痕迹为，故B正确，C错误； D．由功能关系可知，传送带多消耗的电能转化为煤块的动能、煤块增加的重力势能以及因摩擦而产生的内能，有，故D错误。 故选B。 69．如图甲所示，机场使用倾角的传送带，将每个质量的行李箱从地面运送到高的出发平台。机械手每隔就将一个行李箱轻放到传送带底端，传送带以的速度顺时针匀速转动。已知各行李箱与传送带间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。求： (1)行李箱刚放上传送带时的加速度大小； (2)传送带上最多同时输送的行李箱数量； (3)在机械手放置第一个行李箱开始计时的1分钟内，电动机因运送行李箱需多做的功。 【答案】(1) (2)2个 (3) 【详解】（1）行李箱刚放上传送带时，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）根据几何关系，可得传送带总长 对一个行李箱分析，设达到共速所用时间为，则 物块的对地位移为 因，故行李箱与传送带共速后行李箱相对传送带静止，一起斜向上做匀速直线运动，时间为 一个行李箱从底端输送到顶端需要的总时间为 每隔7s放一个，则传送带上最多输送2个行李箱。 （3）对一个行李箱而言，加速阶段 匀速阶段 即每输送一个到顶部需要 以内有8个已完全到达顶端，还有一个只加速了，则电动机多做的功为 【压轴特训24 机械能守恒定律之板块模型】 70．质量为M的长木板放在光滑的水平面上，如图，一质量为m的滑块，以某一速度v沿长木板表面从A点滑到B点，在木板上前进了L，而长木板前进了l，若滑块与木板间动摩擦因数为，则（　　）     A．摩擦力对M做的正功大小等于摩擦力对m做的负功 B．摩擦产生的热量为 C．摩擦力对m做的功为 D．摩擦产生的热量为 【答案】BC 【详解】A．M、m之间的摩擦力大小相等，但m的位移比M的位移大，根据，摩擦力对M做的正功小于摩擦力对m做的负功，故A错误； BD．根据 摩擦产生的热量为，故B正确，D错误； C．摩擦力对m做的功为，故C正确。 故选BC。 71．如图所示，光滑斜面固定在桌面上，斜面倾角，在斜面底端固定一个与斜面垂直的挡板，在斜面顶端安装一个定滑轮，物块和用劲度系数为的轻弹簧连接，将放置在挡板上，物块在斜面上处于静止状态。与斜面平行的轻绳一端连接物块，跨过定滑轮后另一端连接物块，轻绳恰好伸直且无拉力时，由静止释放物块。已知物块的质量为，的质量为，的质量为，斜面足够长，重力加速度为，，下列说法正确的是（    ） A．释放物块的瞬间，物块的加速度大小为 B．释放物块的瞬间，物块的加速度大小为 C．物块刚离开挡板时，物块的速度大小为 D．物块刚离开挡板时，物块的速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．释放瞬间，对、整体由牛二律： 解得，故A错误，B正确； CD．未释放时，物体有；物体刚要离开挡板时，有，所以物体B沿斜面位移 ，此过程弹性势能变化为0，由能量守恒： 解得，故C正确，D错误。 故选BC。 72．如图所示，一倾角θ=30°、足够长的固定斜面上静置有一质量为m=4kg的长木板B，长木板B右上端有一质量也为m=4kg的小物块A。一挡板垂直固定在斜面底端，并连接有处于原长状态的轻质弹簧。长木板B与斜面间的动摩擦因数，小物块A与长木板B间的动摩擦因数。初始时给小物块A沿斜面向下的初速度v0=4.5m/s，整个运动过程中小物块A始终未滑离长木板B。小物块A可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求小物块A、长木板B第一次共速时的速度大小； (2)若弹簧的劲度系数k=50N/m，试通过计算判断在弹簧被长木板B压缩的过程中小物块A与长木板B是否会发生相对滑动？（弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能为，其中：k为劲度系数，x为弹簧形变量） (3)若撤去弹簧，长木板B与底端挡板发生碰撞时不损失机械能，求长木板B第1次碰撞后到第2次与挡板发生碰撞前的这段过程中，小物块A与长木板B的相对位移。 【答案】(1) (2)会发生相对滑动 (3) 【详解】（1）设小物块A下滑的加速度为，对小物块A进行受力分析，沿斜面方向列牛顿第二定律方程为 解得 故小物块A以的加速度向下做匀减速直线运动；设长木板B下滑的加速度为，对长木板B进行受力分析，沿斜面方向列牛顿第二定律方程为 解得 故长木板B以的加速度向下做匀加速直线运动。设小物块A、长木板B经过时间第一次达到共速，根据运动学公式有 代入数据解得 所以小物块A、长木板B第一次共速时的速度大小为 （2）假设弹簧被长木板B压缩的过程中小物块A与长木板B未发生相对滑动，设弹簧的最大压缩量为，则对小物块A和长木板B整体列能量守恒定律方程有 代入数据解得 对小物块A和长木板B整体列牛顿第二定律方程有 当时解得 由于小物块A与长木板B间达到最大静摩擦力时小物块A的加速度大小为，小于，所以假设不成立，即在弹簧被长木板B压缩的过程中小物块A与长木板B会发生相对滑动。 （3）由分析可知，长木板B第1次与挡板发生碰撞后将以的速度向上做匀减速直线运动，设其加速度为，对其列牛顿第二定律方程有 代入数据解得 而小物块A以的初速度向下做匀减速直线运动，由前面分析可知小物块A的加速度大小为。设经过时间长木板B的速度减为零，则根据运动学公式有 解得 该过程小物块A下滑的位移为 长木板B上滑的位移为 所以该过程小物块A与长木板B的相对位移为 之后长木板B将以的加速度向下做匀加速直线运动，设再经过时间长木板B与挡板第2次相撞，则有 代入数据解得 该过程小物块A下滑的位移为 该过程小物块A与长木板B的相对位移为 所以从长木板B第1次碰撞后到第2次与挡板发生碰撞前的这段过程中，小物块A与长木板B的相对位移为 【压轴特训25 机械能守恒定律之曲线运动相结合】 73．长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端可绕固定光滑水平转轴O转动，现使小球在竖直平面内做圆周运动，若小球通过圆周最低点A的速度大小为，运动到最高的时候速度大小为，则下列判断正确的是（　　） A．小球在上升的过程中动能和重力势能的总和保持不变 B．小球运动到最高点时对轻杆的作用力方向竖直向上 C．小球在最低点时对轻杆拉力为6mg D．小球从最低点到最高点的过程中克服阻力做功为mgL 【答案】D 【详解】A．设最低点小球的重力势能为零，最低点小球动能和重力势能的总和 最高点小球动能和重力势能的总和 ，故A错误； B．小球运动到最高点时，轻杆对小球的作用力与小球重力合力充当向心力，求向心力得 所以此时轻杆对小球的作用力为零，根据牛顿第三定律得小球对轻杆的作用力也为零，故B错误； C．小球运动到最低点时，轻杆对小球的作用力与小球重力合力充当向心力，求向心力得 由于方向竖直向上，所以轻杆对小球的作用力竖直向上，大小为 根据牛顿第三定律得小球对轻杆的作用力，故C错误； D．小球从最低点到最高点的过程中能量守恒得 解得转化的内能为 克服阻力做功，故D正确。 故选D。 74．如图所示，在竖直平面内固定一个半径为R的粗糙圆轨道BC，与粗糙的水平轨道AB相切于B点。小滑块（视为质点）质量为m，以大小为（g为重力加速度的大小）的初速度从水平轨道上A点沿直线AB运动，恰好能到达C点，而后沿圆轨道BC下滑，最终停在水平轨道上。已知A、B两点间的距离为R，滑块与水平轨道AB间的动摩擦因数为0.2，则（　　） A．滑块第一次通过B点时对轨道BC的压力大小为2.6mg B．滑块第一次通过轨道BC所用的时间比第二次的少 C．滑块第二次通过轨道BC因摩擦产生的热量小于0.3mgR D．滑块最终停在B点左侧水平轨道且与B点间的距离等于3.5R 【答案】BC 【详解】A．滑块从A到B，由动能定理 有 滑块第一次通过B点时，由牛顿第二定律 有 由牛顿第三定律可知 解得，A错误； B．由于摩擦生热，通过轨道BC上的同一位置时，第二次的速率总是小于第一次的速率，故滑块下滑过程的平均速率小于上滑过程的平均速率，所以滑块第一次通过轨道BC所用的时间比第二次的少，B正确； C．滑块从A到C，设滑块第一次通过水平轨道AB因摩擦产生热量为，通过轨道BC的过程中因摩擦产生的热量为，以AB所在水平面为零重力势能参考平面，由能量守恒定律 有 其中 得 由前面分析知，滑块通过轨道BC，下滑过程的平均速率小于上滑过程的平均速率 由，知滑块通过轨道BC的过程中，第二次对轨道的压力较小 由，知平均摩擦力也较小 解得第二次通过轨道BC摩擦产生的热量，C正确； D．滑块从C点开始到在水平轨道上停下的过程中，根据能量守恒定律 有 其中 解得，D错误。 故选BC。 75．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面与长为的水平面平滑连接于点，右端连接内壁光滑、半径的四分之一细圆管，管口端正下方直立一根劲度系数的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口端平齐。一个质量为的小球放在曲面上，现从距的高度处静止释放小球，它与间的动摩擦因数，小球进入管口端时，它对上管壁有的作用力，通过后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能。重力加速度取。求： (1)小球第一次进入管口端时的速度大小； (2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能； (3)小球最终停止的位置到B点的距离。 【答案】(1) (2) (3)0.2m 【详解】（1）小球进入管口C端时，它对上管壁有的作用力，对小球由牛顿第二定律有 解得 （2）在压缩弹簧过程中，合力为零时，速度最大，此时小球动能也是最大值，设该位置为零势能面，弹簧的压缩量为x，由平衡条件 由能量守恒有 解得 （3）设BC段克服摩擦力做功为，对整个过程分析可知，设共经过N次BC段，有 又 解得 即小球最后从B位置向C位置运动最终停下，设小球最终停在距离B位置为s，有 解得 1 / 123 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期物理期中复习（压轴特训75题25大类型）（原卷版） 训练范围：人教版2024：必修二全一册。 目录 【压轴特训1 实验：探究平抛运动的规律】 2 【压轴特训2 实验：探究向心力与质量、半径和角速度的关系】 3 【压轴特训3 实验：验证机械能守恒定律】 3 【压轴特训4 平抛运动的规律】 4 【压轴特训5 平抛运动与斜面相结合】 6 【压轴特训6 斜抛运动】 6 【压轴特训7 类平抛运动】 7 【压轴特训8 水平面内圆周运动（转盘模型）】 8 【压轴特训9 斜面上的圆周运动】 9 【压轴特训10 竖直平面内的圆周运动—轻绳小球（轨道）模型】 10 【压轴特训11 竖直平面内的圆周运动—轻杆小球（管道）模型】 10 【压轴特训12 圆周运动中的脱轨问题】 11 【压轴特训13 天体质量和密度的计算】 12 【压轴特训14 宇宙速度和重力加速度的计算】 13 【压轴特训15 双星模型和多星模型】 13 【压轴特训16 卫星的追及相遇问题】 14 【压轴特训17 机车起动问题】 15 【压轴特训18 动能定理的应用】 16 【压轴特训19 动能定理解决多过程问题】 17 【压轴特训20 机械能守恒定律之弹簧问题】 18 【压轴特训21 机械能守恒定律之连接体问题】 18 【压轴特训22 机械能守恒定律之链条类问题】 20 【压轴特训23 机械能守恒定律之传送带模型】 21 【压轴特训24 机械能守恒定律之板块模型】 22 【压轴特训25 机械能守恒定律之曲线运动相结合】 23 【压轴特训1 实验：探究平抛运动的规律】 1．某小组在“研究平拋运动特点”的实验中，分别使用了图甲和图乙的实验装置。 (1)如图甲所示，小锤水平打击弹性金属片，A球水平拋出的同时B球自由下落。在不同的高度和打击力度时都发现两小球同时落地，则实验表明________。 A．平拋运动竖直方向是自由落体运动 B．平抛运动水平方向是匀速直线运动 (2)某同学利用如图乙所示的实验装置记录小球的运动轨迹，下列说法不正确的是________（多选）。 A．需要调节装置的底座螺丝，使背板竖直 B．上下移动倾斜挡板N时必须等间距下移 C．斜槽M可以不光滑，但斜槽轨道末端必须保持水平 D．为了得到小球的运动轨迹，需要用平滑的曲线把所有的点都连起来 (3)如图丙所示，实验小组记录了小球在运动过程中经过、、三个位置，每个正方形小格的边长为5.00cm，取，以点为坐标原点，水平向右和竖直向下为正方向建立直角坐标系，则该小球做平抛运动在点的速度大小________，小球抛出点的坐标为（____，____）。 2．(1)为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验：如图甲所示，用小锤打击弹性金属片，B球就水平飞出，同时A球被松开，做自由落体运动，两球同时落到地面；如图乙所示的实验：将两个完全相同的斜滑道固定在同一竖直面内，最下端水平。把两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度由静止同时释放，滑道2与光滑水平板连接，则将观察到的现象是球1落到水平木板上击中球2，这两个实验说明___________ A．甲实验只能说明平抛运动在竖直方向做自由落体运动 B．乙实验只能说明平抛运动在水平方向做匀速直线运动 C．不能说明上述规律中的任何一条 D．甲、乙两个实验均能同时说明平抛运动在水平、竖直方向上的运动性质 (2)关于“研究物体平抛运动”实验，下列说法正确的是___________ A．小球与斜槽之间有摩擦会增大实验误差 B．安装斜槽时其末端切线应水平 C．小球必须每次从斜槽上同一位置由静止开始释放 (3)如图丙，某同学在做平抛运动实验时得出如图丁所示的小球运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出。则：（g取10m/s2，结果均保留三位有效数字） ①小球平抛运动的初速度为___________m/s。 ②抛出点坐标x=___________cm，y=___________cm。 3．用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 (1)下列实验条件必须满足的有______。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末段水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 (2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。 a.取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的________（选填“最上端”、“最下端”或者“球心”）对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时______（选填“需要”或者“不需要”）y轴与铅垂线平行。 b.若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则______（选填“大于”、“等于”或者“小于”）。可求得钢球平抛的初速度大小为________（已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示）。 (3)某同学将实验方案做了改变，如图3所示，他把桌子搬到墙的附近，调整好仪器，使从斜槽轨道固定位置P滚下的小球能够打在正对的墙上，把白纸和复写纸附着在墙上，记录小球的落点。该同学在实验中仅水平移动桌子，使固定于斜槽末端的重锤线依次处于图中1、2、3的位置进行实验，1与2的水平间距等于2与3的水平间距。通过三次实验，记录到小球在白纸上同一竖直线上的三个落点，则下列三幅图中______图可能正确。 【压轴特训2 实验：探究向心力与质量、半径和角速度的关系】 4．小明同学在科技节的实验室开放期间，进入力学实验室自主探究，他做探究影响向心力大小因素的实验： 方案一：用如图甲所示的装置，已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为，变速塔轮自上而下按如图乙所示三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为、和。回答以下问题： (1)本实验所采用的实验探究方法与下列哪些实验是相同的______； A．探究小车速度随时间变化规律 B．探究两个互成角度的力的合成规律 C．探究平抛运动的特点 D．探究加速度与物体受力、物体质量的关系 (2)某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第______层塔轮（填“一”、“二”或“三”）； (3)现将质量相等的两小钢球分别放在A、C位置，将传送带调至第三层塔轮，则两球转动时所受向心力之比为______。 方案二：如图丙所示装置，装置中竖直转轴固定在电动机的转轴上（未画出），光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，能随竖直转轴一起转动。水平直杆的左端套上滑块P，用细线将滑块P与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细线处于水平伸直状态，当滑块随水平直杆一起匀速转动时，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。水平直杆的右端最边缘安装了宽度为d的挡光条，挡光条到竖直转轴的距离为D，光电门可以测出挡光条经过光电门所用的时间（挡光时间）。滑块P与竖直转轴间的距离可调。回答以下问题： (4)某次实验中测得挡光条的挡光时间为，则滑块P的角速度表达式______； (5)实验小组保持滑块P质量和运动半径r不变，探究向心力F与角速度的关系，作图线如图丁所示，若滑块P运动半径，细线质量和滑块与杆的摩擦可忽略，由图线可得滑块P质量______（结果保留2位有效数字）。 5．某实验小组的同学为了探究向心力大小与角速度的关系，设计了如图甲所示的实验装置：电动机带动转轴匀速转动，改变电动机的电压可以改变转轴的转速；其中是固定在竖直转轴上的水平凹槽，端固定的压力传感器可测出小球对其压力的大小，B端固定一宽度为的挡光片，光电门可测量挡光片每一次的挡光时间。忽略小球所受的摩擦力。具体实验步骤如下： ①小钢球的球心到转轴与挡光片到转轴的距离相同，测出均为。 ②启动电动机，使凹槽绕转轴匀速转动： ③记录下此时压力传感器的示数和光电门的挡光时间； ④多次改变转速后，利用记录的数据作出了如图乙所示的图像。 (1)本实验采用的实验方法是_____________。 A．理想实验法 B．控制变量法 C．等效替代法 (2)根据上述条件，则小钢球角速度的表达式为___________（结果用表示）。 (3)在测出多组实验数据后，为了探究向心力和角速度的数学关系，可以直接探究向心力和挡光时间的关系，绘制出了如图乙所示的图像，乙图中坐标系的横轴应为___________（选填A、B或C）； A． B． C． (4)若通过上述图像得到的斜率为，则可以求出本实验中所使用的小钢球的质量_________（用题目中字母表示即可）。 6．在“探究向心力大小与轨道半径、角速度、质量的关系”的实验中，选用的向心力演示器如图所示。转动手柄，使槽内的小球随之做圆周运动。小球向外挤压横臂挡板，使横臂压缩塔轮中心的弹簧测力套筒，弹簧被压缩的格数可从标尺读出，格数比即为两小球向心力大小之比。小球放在挡板A、挡板B、挡板C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1。 (1)演示器塔轮皮带可上下拨动，目的是为了改变两小球做圆周运动的________之比； A．角速度 B．质量 C．半径 (2)演示器左、右变速塔轮最上层的半径相等，为探究向心力大小与质量的关系，现将塔轮皮带都拨到最上层，下列操作正确的是________；（C、D项中钢球和铝球的质量之比为2∶1） A．选用两个相同的钢球分别放在挡板A和挡板B处 B．选用两个相同的钢球分别放在挡板B和挡板C处 C．选用两个相同大小的钢球和铝球分别放在挡板B和挡板C处 D．选用两个相同大小的钢球和铝球分别放在挡板A和挡板C处 (3)如果（2）中操作正确，且已知向心力大小与质量成正比，则当匀速转动手柄时，应发现左边和右边标尺上露出的红白相间的等分格数之比为________； (4)用此装置做实验有较大的误差，误差产生的主要原因是________。 A．匀速转动时的速度过大 B．无法做到两小球的角速度相同 C．实验过程中难以保证小球做匀速圆周运动 D．读数时标尺露出的红白相间的等分格数不稳定 【压轴特训3 实验：验证机械能守恒定律】 7．某实验小组利用打点计时器做“验证机械能守恒定律”的实验。 (1)以下三种测量速度的方案中，合理的是__________。 A．测量下落高度h，通过算出瞬时速度v B．测量下落时间t，通过v=gt算出瞬时速度v C．根据纸带上某点的相邻两点间的平均速度，得到该点瞬时速度v (2)按照正确的操作得到图1所示的一条纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知重物的质量为m，当地重力加速度为g，打点计时器打点周期为T。从打O点到打B点的过程中，重物重力势能的减少量为___________，动能的增加量为___________。 (3)完成上述实验后，某同学采用传感器设计了新的实验方案验证机械能守恒，装置如图2所示。他将宽度均为d的挡光片依次固定在圆弧轨道上，并测出挡光片距离最低点的高度h，摆锤上内置了光电传感器，可测出摆锤经过挡光片的时间Δt。某次实验中记录数据并绘制图像，以h为横坐标，若要得到线性图像，应以___________为纵坐标，并分析说明如何通过该图像验证机械能守恒___________。 8．某兴趣小组用如图所示的装置验证动能定理。 (1)有两种工作频率均为的打点计时器供使用 A．电磁打点计时器 B.电火花打点计时器 为使纸带在运动时受到的阻力较小，应选择______________（选填“A”或“B”）。 (2)保持长木板水平，将纸带固定在小车后端，纸带穿过打点计时器的限位孔。实验中，为消除摩擦力的影响，在砝码盘中慢慢加入沙子，直到小车开始运动。同学甲认为此时摩擦力的影响已得到消除。同学乙认为还应从盘中取出适量沙子，直至轻推小车观察到小车做匀速运动。看法正确的同学是______________（选填“甲”或“乙”）。 (3)消除摩擦力的影响后，在砝码盘中加入砝码，接通打点计时器电源，松开小车，小车运动。纸带被打出一系列点，其中的一段如图所示。图中纸带按实际尺寸画出，纸带上A点的速度______________。（结果保留2位有效数字） (4)测出小车的质量为M，再测出纸带上起点到A点的距离为L。小车动能的变化量可用算出。砝码盘中砝码的质量为m，重力加速度为g。实验中，小车的质量应______________（选填“远大于”“远小于”或“接近”）砝码、砝码盘和沙子的总质量，请说出你的理由______________________________________。小车所受合力做的功可用算出，多次测量，若W与均基本相等则验证了动能定理。 9．参考案例 案例1  研究自由下落物体的机械能 （1）实验器材 铁架台（带铁夹）、_____________、重物（带夹子）、________、复写纸（或墨粉盘）、导线、毫米刻度尺、交流电源。 （2）实验步骤 ①安装装置：按图甲所示把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好。 ②打纸带：在纸带的一端把重物用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近。先接通电源后释放纸带，让重物拉着纸带自由下落。重复几次，得到3~5条打好点的纸带。 ③选纸带并测量：选择一条点迹清晰的纸带，确定要研究的开始和结束的位置，测量并计算出两位置之间的距离Δh及两位置时纸带的速度，代入表达式进行验证。 （3）数据处理 ①计算各点对应的瞬时速度：如图乙所示，根据公式vn＝，计算出某一点的瞬时速度vn。 ②验证方法 方法一：利用起始点和第n点。 选择开始的两点间距接近2 mm的一条纸带，打的第一个点为起始点，如果在实验误差允许范围内，则机械能守恒定律得到验证。 方法二：任取两点A、B。 如果在实验误差允许范围内，则机械能守恒定律得到验证。 方法三：图像法（如图所示）。 若在实验误差允许范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则机械能守恒定律得到验证。 （4）误差分析 本实验的误差主要是纸带测量产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差。 （5）注意事项 ①安装打点计时器时，要使两限位孔的中线在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。 ②应选用质量和密度较大的重物。 ③实验时，应先接通电源，让打点计时器正常工作后再松开纸带让重物下落。 ④本实验中的几种验证方法均不需要测重物的质量m。 ⑤速度不能用v＝gt或v＝计算，应根据纸带上测得的数据，利用vn＝计算瞬时速度。 案例2  研究沿斜面下滑物体的机械能 （6）实验器材 气垫导轨、数字计时器、带有遮光条的滑块。 （7）实验步骤 如图所示，把气垫导轨调成倾斜状态，滑块沿倾斜的气垫导轨下滑时，忽略空气阻力，重力势能减小，动能增大。 测量两光电门之间高度差Δh和滑块通过两个光电门时的速度v1、v2，代入表达式验证。 （8）物理量的测量及数据处理 ①测量两光电门之间的高度差Δh； ②根据滑块经过两光电门时遮光条的遮光时间Δt1和Δt2，计算滑块经过两光电门时的瞬时速度。 若遮光条的宽度为ΔL，则滑块经过两光电门时的速度分别为v1＝，v2＝； ③若在实验误差允许范围内满足，则验证了机械能守恒定律。 （9）误差分析 两光电门之间的距离稍大一些，可以减小误差；遮光条的宽度越小，误差越小。 【压轴特训4 平抛运动的规律】 10．一同学在操场练习定点投篮，他将篮球以的速度以一定投射角从离地高度处投出，篮球从篮筐上方斜向下直接经过篮筐的中心点无碰撞进入篮筐。篮球从投出到进入篮筐的过程中，上升时间与下降时间之比为，篮筐距离地面的高度为。重力加速度，忽略空气阻力，则（　　） A．篮球从投出到进入篮筐的时间为 B．篮球最高点速度大小为 C．篮球抛出点到篮筐中心的水平距离 D．投射角的正切值 11．如图所示，某鱼塘养殖区沿水平方向依次排列着4个方形网箱（编号1至4）。所有网箱宽度均为，养殖区左岸的自动投料机的投料口位于网箱1左边沿正上方，离网箱的高度。鱼饵（视为质点）从投料口以初速度水平射出，忽略空气阻力，g取，求： (1)要使鱼饵从2号网箱的正中央进入网箱中，求的大小； (2)若，为使鱼饵落入网箱4中，求所有网箱需同步下移的高度的范围； 12．如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，发射器出口距桌面的高度为h，发射器长度也为h，打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度水平发射出去，其中（g为重力加速度大小），设发球器发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计，若使该发球器绕转轴在角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰的区域的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【压轴特训5 平抛运动与斜面相结合】 13．如图所示，以3m/s的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为的斜面上，g取，物体可视作质点，不计空气阻力。以下结论正确的是（　　） A．物体的飞行时间是0.4s B．物体的飞行时间是 C．物体下降的距离是1m D．物体撞击斜面时的速度大小为5m/s 14．下雨天，私家车刹车停止时，车内小梁同学发现车前挡风玻璃上同一位置有两颗水珠A和B，水珠A水平飞出，水珠B沿玻璃匀加速下滑，A水珠落回玻璃时，恰好与B相遇。示意图如图所示。已知水珠A和B的质量均为m=3.0×10-6kg，初速度大小均为v0=2.0m/s，车前挡风玻璃与水平夹角，水珠B下滑时质量保持不变，不计空气阻力，水珠均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（　　） A．水珠A在空中运动的时间为0.15s B．下滑过程中，水珠B受到阻力为8×10-5N C．水珠A在空中运动的过程中距前挡风玻璃的最远距离为0.6m D．若水珠B在斜面所受的阻力不变，水珠A和B的初速度v0未知，则水珠A落回玻璃时一定会与水珠B相遇 15．结合本期所学物理知识，完成下列问题： (1)某汽车刹车前速度为108km/h，刹车时做匀减速直线运动，加速度大小为6m/s2，求汽车刹车开始后8s内滑行的距离x； (2)高空抛物是一种不文明行为，而且会带来很大的社会危害。一个从高处静止开始下落的物体，在空中运动的时间为3s，不计空气阻力，取g = 9.8m/s2，求：物体下落的高度h； (3)某次捶丸游戏中游戏者将可视为质点的小球从斜面顶端A点以水平初速度击出，小球落到斜面上某点。已知斜面倾角，不计空气阻力，取，求小球在空中运动的时间t。 【压轴特训6 斜抛运动】 16．如图所示，建筑工人向房顶抛投建筑材料，初速度大小为，与水平方向的夹角为，抛出点和落点的连线与水平方向夹角为，重力加速度大小为，忽略空气阻力。则点到点的距离是（　　） A． B． C． D． 17．将物体（视为质点）沿与水平方向成45°角的方向斜向上抛出，物体在空中的射高为11.25m，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．物体从抛出到最高点的过程用时1.5s B．抛出时物体在竖直方向的分速度大小为 C．物体在最高点速度的大小为 D．物体到抛出点等高处的水平射程为45m 18．将一物体以某一初速度沿与水平方向成角从点斜向上抛出，经过点时速度与水平方向的夹角为。已知之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．从点抛出时的速度大小为 B．从到过程中速度的最大值为 C．从到的时间 D．之间的高度差为 【压轴特训7 类平抛运动】 19．如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 20．如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，，，则初速度的大小和恒力F的大小分别为（　　） A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N 21．如图所示，质量均为的两小球、在点以的速度向左、向右水平抛出，经过进入下方的水平风洞区域。风洞的竖直宽度，长度足够长。球在风洞中受到恒定的水平向左的风力，大小，重力加速度大小。求： (1)球进入风洞时的速度大小； (2)球、离开风洞时位置间的距离。 【压轴特训8 水平面内圆周运动（转盘模型）】 22．摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比，且在正常工作时两轮盘不打滑，今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、的间距分别为、，且，若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（　　） A．转速增加后，滑块B先发生滑动 B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，线速度之比 C．两个轮盘的角速度之比为1：1 D．转速增加后，两滑块一起发生滑动 23．如图所示，餐桌中心有一个圆盘，可绕其中心轴转动，现在圆盘上放相同的茶杯，茶杯可看作质点，茶杯与圆盘间动摩擦因数为µ。现使圆盘匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．每个茶杯均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用 B．如果茶杯相对圆盘静止，茶杯受到圆盘的摩擦力沿半径指向圆心 C．若缓慢增大圆盘转速，离中心轴近的空茶杯相对圆盘先滑动 D．若缓慢增大圆盘转速，到中心轴距离相同的空茶杯比有茶水茶杯相对圆盘先滑动 24．如图所示，水平圆盘可绕通过其中心O的竖直轴转动，圆盘半径，离水平地面高度，在圆盘边缘放置一质量的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知重力加速度大小g取，空气阻力不计，圆盘从静止开始缓慢加速转动，求： (1)物块恰与圆盘发生相对滑动时圆盘角速度的大小； (2)物块滑离圆盘后在空中运动的时间； (3)物块落地点与O点正下方地面上点的距离。 【压轴特训9 斜面上的圆周运动】 25．如图所示，在倾角为且足够大的光滑斜面上，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，下列判定正确的是（　　） A．小球在斜面上做匀速圆周运动 B．在最高点A点时速度为 C．小球在最高点时的加速度为g D．小球从B运动到A过程中，线拉力一直在减小 26．如图所示，倾角的斜面ABC固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴上。转台以角速度匀速转动时，将质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，经过一段时间后小物块与斜面一起转动且相对静止在AB线上，此时小物块到A点的距离为L。已知小物块与斜面之间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，若最大静摩擦等于滑动摩擦力，，。则物块相对斜面静止时（　　） A．小物块受到的摩擦力方向可能沿斜面向下 B．小物块对斜面的压力大小可能小于mg C．水平转台转动角速度应不小于 D．水平转台转动角速度应不大于 27．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与陶罐球心的对径轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为的小物块的小滑块，在陶罐内随陶罐一起转动且相对罐壁静止，物块和点的连线与之间的夹角。已知小物块与陶罐间的动摩擦因数，可认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力，，重力加速度为取。求： (1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求转台转动的角速度； (2)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求小物块的线速度大小； (3)小物块与转台不发生滑动时转台转动的角速度范围。 【压轴特训10 竖直平面内的圆周运动—轻绳小球（轨道）模型】 28．如图甲所示，一长为L的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　） A．图像函数表达式为 B．重力加速度 C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小 D．绳长不变，用质量较大的球做实验，图像上b点的位置不变 29．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是（重力加速度为g）（　　） A．小球对圆环的压力大小等于mg B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力 C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度大小等于g 30．如图所示，一质量为m=0.5kg的小球（可视为质点），用长为L=0.9m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g取10m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为6m/s时，轻绳对小球的拉力多大？ (3)若轻绳能承受的最大张力为50N，小球的速度不能超过多大？ (4)若轻绳改成轻杆，当小球在最高点的速度为1m/s时，求小球对轻杆的作用力？ 【压轴特训11 竖直平面内的圆周运动—轻杆小球（管道）模型】 31．如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心O点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小设为v，圆管与小球间弹力的大小设为F，改变速度v得到F-v2图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则下列说法错误的是（　　） A．小球的质量为4kg B．固定圆管的半径为1m C．小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 32．如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心点做半径为的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，取，则（　　）（不计空气阻力） A．小球的质量，圆环的半径 B．小球在最高点速度为时，小球与圆环间无作用力 C．小球在最高点受到的弹力是重力大小的时，速度大小可能为 D．当在最高点小球速度为时，在其后的运动过程中始终受到远离圆心的弹力 33．如图所示，质量为1.2kg、半径为的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量均为。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且B的速度大小为，取。求： (1)B球对轨道的弹力大小和方向； (2)若此时杆对圆管有竖直向下的弹力，大小为10N，则A球的速度大小vA为多少？ 【压轴特训12 圆周运动中的脱轨问题】 34．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱．其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点．铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是（    ） A．铁球不可能做匀速圆周运动 B．铁球在A点的向心力由重力和支持力共同提供 C．球在A点的最小速度为零 D．要使铁球不脱轨，铁球在A点的最大速度为 35．如图所示，汽车以恒定速率先后经过某凹形桥面和拱形桥面，凹形桥面最低点为A点，拱形桥面最高点为B点。下列说法正确的是（　　） A．过B点时，汽车对桥面压力小于自身重力 B．过A点时，汽车对桥面压力小于自身重力 C．拱形桥的B点汽车容易爆胎 D．凹形桥的A点容易脱轨 36．如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨道组成。在直轨道上放置一质量的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截面的圆心O连线的夹角，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A点。现使之获得沿直轨道AB方向的初速度，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不计，两端半圆形轨道半径，g取。 （1）当时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，内侧轨道对小圆柱体的支持力、的大小； （2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过多少?（结果可以保留根式）    【压轴特训13 天体质量和密度的计算】 37．探测器进入环绕某行星的圆轨道运行，周期为，轨道距行星表面的高度与行星半径之比为，引力常量为，则行星的平均密度为（    ） A． B． C． D． 38．在天文学中，通常要测量恒星和星系的体积、直径、质量、运动速度等参数，其中引力计算法是常用方法之一。现已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，地球绕太阳公转的周期为，日地中心间距为r，近地卫星绕地球表面做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。下列天体参数的计算正确的是（　　） A．地球的质量 B．太阳的质量 C．地球的平均密度 D．地球的平均密度 39．按照计划，我们将会在2026年发射“嫦娥七号”探测器，目标是月球南极，着陆点选择在月球南纬85°以上的南极—艾特肯盆地区域，主要的任务之一是在月球南极寻找水冰物质。假设“嫦娥七号”探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知“嫦娥七号”的运行周期为，轨道半径约等于月球球体半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，轨道半径为月球球体半径的倍，引力常量为。据此，请估算出： (1)月球的平均密度； (2)若不考虑月球自转，月球表面重力加速度与月球绕地球公转的向心加速度之比； (3)“嫦娥七号”与月球球心连线、月球与地球球心连线相同时间内扫过的面积之比是不是1∶1？若是，请说明理由；若不是，请求出二者之比。 【压轴特训14 宇宙速度和重力加速度的计算】 40．我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 41．已知地球半径约为火星半径的2倍，地球质量约为火星质量的9倍，火星、地球均绕太阳做圆周运动，火星公转半径约为地球公转半径的1.5倍，不计火星和地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的第一宇宙速度约为火星第一宇宙速度的倍 B．地球表面重力加速度约为火星表面重力加速度的倍 C．火星的公转周期约为地球的公转周期的倍 D．相同时间内火星与太阳的连线扫过的面积与地球与太阳的连线扫过的面积的相等 42．如图所示，宇航员在某质量分布均匀的星球表面，从一斜坡上的P点沿水平方向以初速度v0抛出一小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求： (1)该星球表面的重力加速度大小； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度。 【压轴特训15 双星模型和多星模型】 43．中国科学家利用“中国天眼”在银河系发现一颗毫秒脉冲星PSRJ1928+1815，这颗脉冲星与伴星以3.6小时的极短周期相互绕转，这一发现由中国科学院国家天文台研究员韩金林团队完成，成果论文于2025年5月23日凌晨在国际学术期刊《科学》上在线发表。如图所示，质量分别为、的星体A、B在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点O旋转，测得两者之间的距离为L，已知引力常量为G。则（　　） A．A、B做圆周运动的角速度之比为 B．A、B做圆周运动的轨道半径之比为 C．A、B做圆周运动的线速度大小之比为 D．B做圆周运动的周期为 44．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。如图所示，三颗星始终位于同一直线上，两颗环绕星（质量相等）围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，中央星的质量是每颗环绕星质量的2倍。引力常量为G，环绕星绕中央星做匀速圆周运动的周期为T，则每颗环绕星的质量为（　　） A． B． C． D． 45．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1发射一探测器，使其与月球同周期绕地球运动。地球和月球对在拉格朗日点L1上的探测器的万有引力不可忽略，而在拉格朗日点L1上的空探测器对地球和月球的万有引力可忽略不计。在拉格朗日点L1上的探测器可看作质点，地球和月球均可视作均匀的球体。 (1)若已知引力常量G、地球质量M1、月球质量未知、地心到月心的距离r、拉格朗日点到月心的距离d。求该探测器绕地球做圆周运动的线速度大小？ (2)若，求月球质量M2与地球质量M1的比值？ 【压轴特训16 卫星的追及相遇问题】 46．2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”，火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 C．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最小 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后 47．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅱ的周期为 C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 D．卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星发出电磁波信号的时间 48．A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示。已知卫星A的线速度大于卫星B的线速度，引力常量为G。不考虑A、B间的相互作用。求： (1)卫星A、B的周期之比； (2)卫星A的周期； (3)地球的质量。 【压轴特训17 机车起动问题】 49．一辆汽车在平直公路上从静止开始启动，该汽车加速度随时间的变化规律如图所示，时刻汽车达到额定功率且功率不再变化，时刻图像与时间轴相切。已知汽车质量为，运动过程中受到的阻力恒为，则有（　　） A．汽车的额定功率为 B．汽车的额定功率为 C．和时间内汽车牵引力做功之比为 D．和时间内汽车牵引力做功之比为 50．某建筑工地用起重机将质量为m=300kg的重物运送到一定高度处，重物从地面启动瞬间开始计时，前10s内重物的加速度a随时间t的变化规律如图所示。已知0~4s内的图线为过原点的倾斜直线，4~10s的图线为曲线，且4~10s的时间内起重机的输出功率保持不变，4s时重物上升的高度为，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。则（　　） A．4s末重物的速度达到最大 B．0~4s内重物所受拉力随位移均匀变化 C．0~10s内重物机械能的增加量为4.82×104J D．6~10s内重物机械能的增加量为3.6×104J 51．新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题。2025年2月27日晚，小米SU7Ultra上市，创始人雷军宣布 SU7Ultra目标：“性能比肩保时捷，科技紧追特斯拉，豪华媲美 BBA”。性能方面，零百加速秒，最高时速可达350公里每小时。一辆测试用的电动汽车质量，在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到960kW后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度g取，求： (1)该车在运动过程中所受阻力大小； (2)该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小； (3)从静止开始到末，该车所受牵引力所做的功结果保留三位有效数字 【压轴特训18 动能定理的应用】 52．两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝1∶2，二者初动能相同，它们和水平桌面的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为（　　） A．xA∶xB＝2∶1 B．xA∶xB＝1∶2 C．xA∶xB＝4∶1 D．xA∶xB＝1∶4 53．某游乐场的滑梯可以简化为如图所示的竖直面内半径为的四分之一固定圆弧轨道，轨道粗糙程度不均匀，质量为的小球从最高点以某一初速度滑行到最低点的过程中速率不变，不计空气阻力，重力加速度为，则此过程中（　　） A．摩擦力做功为 B．摩擦力大小不变 C．摩擦力做功的功率逐渐减小 D．重力做功功率先增大后减小 54．如图，质量为m的小球用长为L的轻绳吊挂于O点的钉子上，小球静止时位于A点。现给小球施加一个方向始终水平向右的拉力，使小球缓慢运动到B点，OB与竖直方向的夹角为，不计小球的大小，重力加速度大小为g，求： (1)小球运动到B点时，水平拉力的大小及小球从A运动到B过程中拉力对小球做功的大小； (2)若小球在A点时，给小球施加一个方向始终水平向右、大小恒定等于2mg的拉力，则小球运动到B点时速度多大。 【压轴特训19 动能定理解决多过程问题】 55．如图是倾角、长为的固定斜面，为中点，斜面上段各点动摩擦因数随距点的距离变化规律为，段光滑。质量为的物块从点以大小为的初速度冲上斜面，恰好能运动到，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．小物体上滑过程重力做功为 B．物体回到点时速度大小 C． D． 56．如图所示，一小物块由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平地面上，斜面和地面平滑连接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数。该过程中，物块速度的平方与水平位移x关系图像是（   ） A． B． C． D． 57．如图所示，竖直线为竖直光滑半圆弧轨道的直径，其半径，端切线水平，水平轨道与半径的光滑竖直圆弧轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点。一质量为的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，点与点的距离，重力加速度。求： (1)小球在点对圆弧轨道的压力大小； (2)小球在圆弧上点受到的支持力大小； (3)小球在B点的速度。 【压轴特训20 机械能守恒定律之弹簧问题】 58．如图所示，倾角为的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为的物块A与物块（质量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放在斜面体上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为，最终物块A把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点点（d未画出），物块A在c点的加速度大小为，，弹性势能表达式为，为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为，。下列说法正确的是（　　） A．物块A与ab段的动摩擦因数为 B．轻弹簧的劲度系数为 C．物块A下滑的最大速度为 D．物块B的质量为 59．如图所示，、两小球由绕过定滑轮的轻质细线相连，、两小球通过劲度系数为的轻质弹簧相连，放在倾角为带有挡板的固定光滑斜面上，斜面足够长。初始时用手控制住，使细线伸直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线与斜面平行，此时整个系统处于静止状态。现释放球（球下落过程中不会触地）。已知、的质量均为，的质量为，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量），不计一切摩擦，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．初始时，弹簧形变量大小为 B．下落过程中其重力的最大功率为 C．下落的最大位移为 D．下落到最低点时挡板与球之间的弹力为 60．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时（加速度为零），C恰好离开地面，在此过程中，求： (1)A速度最大时绳子拉力F和斜面的倾角α； (2)弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0； (3)A沿斜面下滑的速度最大值vm。 【压轴特训21 机械能守恒定律之连接体问题】 61．如图，可视为质点的物块A、B用一不可伸长的轻绳连接，A穿在光滑竖直细杆上，细杆底部固定。轻绳跨过轻质光滑定滑轮。A、B的质量分别为，，定滑轮到杆的距离为，细绳长为。现让A从与定滑轮等高处由静止释放，不计一切摩擦、空气阻力及定滑轮大小，重力加速度为。关于A下落过程中的说法正确的是（　　） A．物块A的机械能一直增大 B．物块A的速度始终小于物块B的速度 C．物块A下落的最大距离为 D．物块A、B等高时物块B的速度大小为 62．如图所示，两个相同小球、（可视为质点）通过铰链用长为的刚性轻杆连接，球套在竖直杆上，球套在水平杆上，杆、不接触（即球可通过），但两杆间距忽略不计。最初刚性轻杆与水平杆的夹角为，不计一切摩擦，重力加速度为。现由静止释放两小球，在此后的运动过程中，下列说法中正确的是（　　） A．球到达与球等高位置时速度大小为 B．球下降到最低点的过程中，刚性轻杆对球先做负功，后做正功 C．球的最大速度为 D．球有四个速度为零的位置 63．如图所示，质量分别为m和的两个物块用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮连接，其中质量为m的物块穿过固定竖直杆并可沿杆无摩擦地滑动。已知杆与定滑轮间的距离为，A点与定滑轮等高，不计滑轮质量、大小及任何摩擦。轻绳足够长，重力加速度g取。（，） (1)当m在竖直杆B位置时，两物块恰好能静止，此时绳与杆的夹角α； (2)将m由A点静止释放，m下降的最大高度； (3)将m由A点静止释放，m获得的最大速度。 【压轴特训22 机械能守恒定律之链条类问题】 64．如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 65．如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 66．如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3m/s。已知∠AOB＝60°，以OC所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒 B．铁链在初始位置时其重心高度m C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为6m/s 【压轴特训23 机械能守恒定律之传送带模型】 67．如图甲所示，倾角为的传送带以恒定速率逆时针运行，现将一质量为的包裹轻轻放在最上端的点，包裹从点运动到最下端点的过程中，其加速度随位移变化的图像如图乙所示。取重力加速度大小，则下列说法正确的是（　　） A．，且包裹与传送带间的动摩擦因数为0.5 B．传送带运行的速度大小为 C．包裹与传送带间因摩擦而产生的热量为 D．包裹从点运动到最下端点所用的时间为 68．倾角的传送带以大小为的速度顺时针转动，一质量的煤块（视为质点）无初速度地从传送带底端滑至的顶端，煤块与传送带间的动摩擦因数，取重力加速度大小，传送轮的大小不计，不考虑传送带的电机发热消耗的能量，则（　　） A．煤块加速阶段的加速度大小为 B．煤块在传送带上留下的痕迹长度为 C．煤块到达传送带顶端时的速度大小为 D．传送带因传送煤块而多消耗的电能约为 69．如图甲所示，机场使用倾角的传送带，将每个质量的行李箱从地面运送到高的出发平台。机械手每隔就将一个行李箱轻放到传送带底端，传送带以的速度顺时针匀速转动。已知各行李箱与传送带间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。求： (1)行李箱刚放上传送带时的加速度大小； (2)传送带上最多同时输送的行李箱数量； (3)在机械手放置第一个行李箱开始计时的1分钟内，电动机因运送行李箱需多做的功。 【压轴特训24 机械能守恒定律之板块模型】 70．质量为M的长木板放在光滑的水平面上，如图，一质量为m的滑块，以某一速度v沿长木板表面从A点滑到B点，在木板上前进了L，而长木板前进了l，若滑块与木板间动摩擦因数为，则（　　）     A．摩擦力对M做的正功大小等于摩擦力对m做的负功 B．摩擦产生的热量为 C．摩擦力对m做的功为 D．摩擦产生的热量为 71．如图所示，光滑斜面固定在桌面上，斜面倾角，在斜面底端固定一个与斜面垂直的挡板，在斜面顶端安装一个定滑轮，物块和用劲度系数为的轻弹簧连接，将放置在挡板上，物块在斜面上处于静止状态。与斜面平行的轻绳一端连接物块，跨过定滑轮后另一端连接物块，轻绳恰好伸直且无拉力时，由静止释放物块。已知物块的质量为，的质量为，的质量为，斜面足够长，重力加速度为，，下列说法正确的是（    ） A．释放物块的瞬间，物块的加速度大小为 B．释放物块的瞬间，物块的加速度大小为 C．物块刚离开挡板时，物块的速度大小为 D．物块刚离开挡板时，物块的速度大小为 72．如图所示，一倾角θ=30°、足够长的固定斜面上静置有一质量为m=4kg的长木板B，长木板B右上端有一质量也为m=4kg的小物块A。一挡板垂直固定在斜面底端，并连接有处于原长状态的轻质弹簧。长木板B与斜面间的动摩擦因数，小物块A与长木板B间的动摩擦因数。初始时给小物块A沿斜面向下的初速度v0=4.5m/s，整个运动过程中小物块A始终未滑离长木板B。小物块A可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求小物块A、长木板B第一次共速时的速度大小； (2)若弹簧的劲度系数k=50N/m，试通过计算判断在弹簧被长木板B压缩的过程中小物块A与长木板B是否会发生相对滑动？（弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能为，其中：k为劲度系数，x为弹簧形变量） (3)若撤去弹簧，长木板B与底端挡板发生碰撞时不损失机械能，求长木板B第1次碰撞后到第2次与挡板发生碰撞前的这段过程中，小物块A与长木板B的相对位移。 【压轴特训25 机械能守恒定律之曲线运动相结合】 73．长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端可绕固定光滑水平转轴O转动，现使小球在竖直平面内做圆周运动，若小球通过圆周最低点A的速度大小为，运动到最高的时候速度大小为，则下列判断正确的是（　　） A．小球在上升的过程中动能和重力势能的总和保持不变 B．小球运动到最高点时对轻杆的作用力方向竖直向上 C．小球在最低点时对轻杆拉力为6mg D．小球从最低点到最高点的过程中克服阻力做功为mgL 74．如图所示，在竖直平面内固定一个半径为R的粗糙圆轨道BC，与粗糙的水平轨道AB相切于B点。小滑块（视为质点）质量为m，以大小为（g为重力加速度的大小）的初速度从水平轨道上A点沿直线AB运动，恰好能到达C点，而后沿圆轨道BC下滑，最终停在水平轨道上。已知A、B两点间的距离为R，滑块与水平轨道AB间的动摩擦因数为0.2，则（　　） A．滑块第一次通过B点时对轨道BC的压力大小为2.6mg B．滑块第一次通过轨道BC所用的时间比第二次的少 C．滑块第二次通过轨道BC因摩擦产生的热量小于0.3mgR D．滑块最终停在B点左侧水平轨道且与B点间的距离等于3.5R 75．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面与长为的水平面平滑连接于点，右端连接内壁光滑、半径的四分之一细圆管，管口端正下方直立一根劲度系数的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口端平齐。一个质量为的小球放在曲面上，现从距的高度处静止释放小球，它与间的动摩擦因数，小球进入管口端时，它对上管壁有的作用力，通过后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能。重力加速度取。求： (1)小球第一次进入管口端时的速度大小； (2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能； (3)小球最终停止的位置到B点的距离。 1 / 123 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $