浙江杭州地区(含周边)重点中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

2025学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科试题 命题：临安中学 郭立军､吴朝炜 审校：奉化中学 周科瑜 桐庐中学 方婷华 校稿：李慧华 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 设是自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面平面 D. 平面平面 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 时，有3个零点 C. 时， D. 时，过原点可作两条不同直线与图象相切 11. 若数列满足，则称数列为项数列，所有项数列构成的集合记作，对任意数列（注：可以相同），记随机变量，则下列说法正确的是（ ） A. 中有81个元素 B. 若，则的所有可能取值的个数为7 C. 当时， D. 若的期望，则的最小值为67 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积为__________. 13. 若多项式，则__________. 14. 设抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的外接圆与轴的另一个交点为，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，数列的前项和为满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 在中，角所对的边分别是，已知，. （1）求； （2）若上一点满足，且，求的面积. 17. 如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图所示. （1）证明：平面平面； （2）设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长. 18. 设双曲线的右焦点为，已知到一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线被所截得的弦长为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）设是双曲线上一点，已知双曲线在处的切线的方程为. （i）已知分别交两条渐近线于两点，求证：（为坐标原点）面积是定值； （ii）若在第一象限，设与直线交于点，证明：平分. 19. 已知函数是自然对数的底数. （1）若，判断在区间上的单调性，并说明理由； （2）若，证明：在区间上有唯一极小值点，且； （3）若，已知在区间上恰有两个零点，设，记在上的最小值为，证明：.参考数据：. 2025学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科试题 命题：临安中学 郭立军､吴朝炜 审校：奉化中学 周科瑜 桐庐中学 方婷华 校稿：李慧华 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABC 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】10 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1） 如图，分别取的中点，的中点，连接， 显然，所以，又因为，，由勾股定理得， 由条件得，所以，即， 又，平面，平面， 又平面，故平面平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i） 如图，联立，解得， 联立，解得， 由于，所以， 所以的面积； （ii）法1： 要证明平分，即证， 只需证， 只需证，即证， 易知，当时，解得，故， ， 又，故原命题得证. 法2：易知，当时，解得，故， ， 由于， 设， 则， 要证明平分只需证与共线， 即证， 即证，显然成立， 平分.. 【19题答案】 【答案】（1） 当时， ，则 由于，于是，故在区间上递增. （2） 当时， ，， ①当时，令，所以 ，因为在上，， 已知，所以，即在上递增，且 . ∴由零点存在定理知必存在使得 ②当时，可得 所以当，，当， 所以在递减，递增，故是唯一极小值点，且有 则 （3） 当时， ①当时，因为， ，所以，即不存在零点，故不合题意； ②当时，设，， 计算  ， ， ， 为使恰有两个零点，需   且  ，即 结合条件，可得 由于 ， 由条件得，则 ， ①当时，时，恒成立； ②当时， . 在递减， 当时， ， ，综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $