精品解析：2026年河北滦州市自主招生考试 数学试卷

2026年滦州市自主招生考试 数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列运算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：A、，2是正数， ∴A不符合要求； B、，1是正数， ∴B不符合要求； C、，6是正数， ∴C不符合要求； D、，是负数， ∴D符合要求． 2. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点（C为的中点），其中表示互为倒数的点是（ ） A. 点A与点D B. 点A与点C C. 点C与点D D. 点B与点D 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点A、B、C、D各点的倒数，即可求解． 【详解】解：由图可得，数轴上点A为，点B为，点C为，点D为2， ∴点A的倒数为，点B的倒数为，点C的倒数为2，点D的倒数为， ∴点C与点D互为倒数． 3. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵多项式的各项公因式为， ∴提取公因式得. 4. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图． 【详解】解：从几何体的正面看，共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为0需分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵ 分式值为0， ∴ 分子 且分母 . 解 得 . 当 时，分母 ，分式无意义； 当 时，分母 ，分式有意义. ∴ . 故选：C． 6. 如图，已知、、、、均在上，且为直径，则（ ）度． A. 30 B. 90 C. 60 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，再由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得，，进而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， 为直径， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 7. 要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 8. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 9. 如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的内角和，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．如图所示，首先求出正五边形的内角，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示， ∵是正五边形， ∴内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由甲作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 由乙作图可知：分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 综上所述：甲乙两人方法都可以． 11. 如图，在平面直角坐标系中用大小形状完全相同的长方形纸片摆成如图图案．已知点，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程的应用，有理数乘法的应用，利用数形结合的思想，正确列方程求出长方形的长和宽是解题关键．设长方形的长为，宽为，根据坐标列二元一次方程，求出长方形的长和宽，即可得到答案． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 由直角坐标系可知，，解得：， 长方形的面积， 故选：C 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形位于第二象限，点，且轴，点B在点C的正下方、双曲线经过点A，C两点，则a的值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出点和点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵边长为2的正方形位于第二象限，点，且轴， ∴且， ∵、双曲线经过点A，C两点， ∴， 解得. 二、填空题．（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可设，（），再代入分式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴可设，（）， ∴． 14. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是21，23，22，23，24，25，24，23，25．则这组数据的众数是______． 【答案】23 【解析】 【分析】根据众数的定义求解即可. 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是23， ∴这组数据的众数是23； 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，属于基础题，熟练掌握众数的定义是解题的关键. 15. 如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于______． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据得出，根据相似三角形的性质得出，从而求出，再根据求出，最后求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于16， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质． 16. 如图，已知点坐标为，B为轴正半轴上一动点，是的中点,则在点运动的过程中的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标系中的动点问题，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握三角函数知识和证明当，，三点共线时，有最小值，是解决本题的关键．过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，根据点坐标，写出和长，根据三角函数知识求出即可，证，，得到，然后在中，根据三角函数知识求出即可． 【详解】解：过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点， 点坐标为，轴， ，， 在中， ， ； ， ， ， ， ， ，关于轴对称， ，， ， 是的中点 ， 当，，三点共线时，有最小值，即长， 在中， ， 故答案为：． 三、解答题．（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 已知整式． （1）化简M； （2）若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【答案】（1）​ （2）方程无实数根 【解析】 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可； （2）利用一元二次方程的判别式解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴方程无实数根． 18. 如图点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为，例如：，，已知点P为数轴上一动点，其对应的数为x，请回答F列问题： （1）填空：________． （2）当时，直接写出对应的x的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1）6； （2）6或0； （3）10或6． 【解析】 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得结果； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）首先根据求出或6，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【小问1详解】 ∵点A对应的数为，点C对应的数为5， ∴； 【小问2详解】 ∵点B对应的数为3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x， ∴，解得或6； 【小问3详解】 ∵点C对应的数为5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，， ∴，解得或6 ∴当时，； 当时，． ∴的值为10或6． 【点睛】本题考查了数轴的问题，一元一次方程的应用，绝对值的意义，解题的关键是掌握分类讨论的思想方法． 19. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理． (满分分，所有竞赛成绩均不低于分)如下表： 组别 成绩(/分) 人数(人) 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是______； （4）若竞赛成绩分以上(含分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1），； （2） 补全条形统计图如下： （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）根据组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出的值； （）根据（）中的值补图即可； （）用乘以组人数的占比即可求解； （）用乘以分以上(含分)的人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：， 答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数大约是人． 20. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和． （1）______°； （2）求电线杆的高度（结果可保留根号）． 【答案】（1）120 （2） 【解析】 【分析】（1）地面与垂直，可通过角度关系推导的度数． （2）设，因为，，，所以可利用三角函数分别表示出相关线段的长度；然后根据，结合线段间的等量关系建立方程，进而求解的高度． 【小问1详解】 解：延长交的延长线于点， 由题意得． ∵在点测得的仰角是，的仰角是， ∴，， ∴． 在中，， ∴． ∴ ． 【小问2详解】 解：设， 在中，． 在中，， ∵， 又∵， ∴ ， 解得． 在中，。 ∴电线杆高度： ， 代入得： ． 21. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． （1）求一次函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位长度，平移后的直线过线段的中点，求的值； （3）若直线与线段有交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出线段的中点坐标，再代入平移后的解析式解答即可求解； （）分别把的坐标代入中求出的值，进而求出的取值范围即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像经过点和， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴线段的中点坐标为， 直线向上平移个单位长度后，其解析式为， ∵平移后的直线过线段的中点， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为． 22. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）6， 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义得出，结合等边对等角得出，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理计算得出的半径为6，，作于，由等面积法得出，再由角平分线的性质定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由，可得， 解得：， 即的半径为6，， 作于， 由等面积法可得：， ， 由角平分线的性质定理可得：． 23. 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点，都是“龙点”． 如图， 抛物线L： （m为常数）， 与x轴交于点A、B． （1）写出抛物线L的对称轴，并求当抛物线L与y轴的交点恰为“龙点”时，m的值； （2）我们发现，若用来表示“龙点”，则无论x怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线l上． 直接写出直线l的解析式； 当抛物线L上有两个不同的“龙点”时，求m的取值范围． 【答案】（1）抛物线L的对称轴为，； （2）①；② 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，求抛物线的对称轴，根的判别式，正确地理解“龙点”的定义是解题的关键． （1）根据“龙点”的定义即可得到结论； （2）①设这条直线的解析式为，把，代入解方程组即可得到结论； ②根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于的不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴为， 当时，， 抛物线与轴的交点为， ， ， ； 【小问2详解】 解：①设这条直线的解析式为， 把时，，时，，，代入得， 解得， 这条直线的解析式为； ②由题意得， 整理，得， 抛物线上有两个不同的“龙点”， △， 解得． 的取值范围是． 24. 如图1，在正方形中，，O是对角线的中点，P是平面内一点，且． （1）P到的最小距离______； （2）如图2，当P点落在上时，求的长； （3）如图3，连接，把绕点P顺时针旋转得到，连接，，求的最大值． 【答案】（1）1 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算O到的距离，又因为P在以O为圆心、1为半径的圆上，所以P到的最小距离为O到的距离减去圆的半径． （2）先计算的长度，再得到、的长度，又因为，所以分P在上和P在上两种情况，结合勾股定理可计算的长度． （3）先将绕点旋转得到，根据旋转的性质和平行四边形的判定证明四边形为平行四边形，进而有，可理解点在以为圆心、为半径的圆上运动．当点位于线段延长线上时，取得最大值，求出这种情况的的值即可． 【小问1详解】 解：正方形中心到边的距离为边长的一半，即． 点在以为圆心半径的圆上， 因此到的最小距离为 到的距离减去半径：． 【小问2详解】 如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵是直角三角形，，， 由勾股定理： ， 无论在的哪一侧，长度恒为， ∴． 【小问3详解】 如图，连接、． 由正方形性质知：，且，为等腰直角三角形． 将绕点旋转得到． 由旋转性质得：，，且． 在等腰中，． 由题意，将绕点顺时针旋转得到， ∴，且，即． 由旋转知． ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． 这说明无论点在何处，点到定点的距离恒为， 即点在以为圆心、为半径的圆上运动． 为定点，且正方形边长为4，故． 当点位于线段延长线上时，取得最大值：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年滦州市自主招生考试 数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列运算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点（C为的中点），其中表示互为倒数的点是（ ） A. 点A与点D B. 点A与点C C. 点C与点D D. 点B与点D 3. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 如图，已知、、、、均在上，且为直径，则（ ）度． A. 30 B. 90 C. 60 D. 45 7. 要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 9. 如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 11. 如图，在平面直角坐标系中用大小形状完全相同的长方形纸片摆成如图图案．已知点，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 7 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形位于第二象限，点，且轴，点B在点C的正下方、双曲线经过点A，C两点，则a的值为（ ） A. B. C. D. -2 二、填空题．（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若，则______． 14. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是21，23，22，23，24，25，24，23，25．则这组数据的众数是______． 15. 如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于______． 16. 如图，已知点坐标为，B为轴正半轴上一动点，是的中点,则在点运动的过程中的最小值为_____． 三、解答题．（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 已知整式． （1）化简M； （2）若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 18. 如图点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为，例如：，，已知点P为数轴上一动点，其对应的数为x，请回答F列问题： （1）填空：________． （2）当时，直接写出对应的x的值； （3）当时，求的值． 19. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理． (满分分，所有竞赛成绩均不低于分)如下表： 组别 成绩(/分) 人数(人) 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是______； （4）若竞赛成绩分以上(含分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 20. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和． （1）______°； （2）求电线杆的高度（结果可保留根号）． 21. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． （1）求一次函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位长度，平移后的直线过线段的中点，求的值； （3）若直线与线段有交点，直接写出的取值范围． 22. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 23. 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点，都是“龙点”． 如图， 抛物线L： （m为常数）， 与x轴交于点A、B． （1）写出抛物线L的对称轴，并求当抛物线L与y轴的交点恰为“龙点”时，m的值； （2）我们发现，若用来表示“龙点”，则无论x怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线l上． 直接写出直线l的解析式； 当抛物线L上有两个不同的“龙点”时，求m的取值范围． 24. 如图1，在正方形中，，O是对角线的中点，P是平面内一点，且． （1）P到的最小距离______； （2）如图2，当P点落在上时，求的长； （3）如图3，连接，把绕点P顺时针旋转得到，连接，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $