专题13 椭圆的几何性质 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题13 椭圆的几何性质 一、知识梳理 椭圆的几何性质： 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 焦点坐标 焦点在x轴 F1(－c,0 、F2 (c,0 焦点在y轴 F1(0，－c 、F2(0，c 性性质 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0，A2(a,0 B1(0，－b，B2(0，b A1(0，－a，A2(0，a B1(－b,0，B2(b,0 轴 长轴A1A2的长为__2a__； 短轴B1B2的长为__2b__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 离心率 e＝ ∈(0,1 a、b、c的关系 __c2＝a2－b2__ 注意：求椭圆的标准方程时,如果椭圆的焦点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论． 二、题型精练 题型1 椭圆的几何性质 【典例1】．已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．有一个顶点为 B．短轴长为6 C．焦点在y轴上 D．离心率 【典例2】．椭圆的长轴长，短轴长，离心率依次是（    ） A．8、6、 B．8、6、 C．36、18、 D．16、9、 【典例3】．长轴长为6，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【典例4】．已知椭圆的长轴长与短轴长之比为，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【典例5】．椭圆的离心率为，则k的值为（    ） A．4或 B．或4 C． D．4 【典例6】．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A． B． C．或 D． 三、知识检测 1．椭圆的标准方程是，下列说法不正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．长轴长为10 C．短轴长为8 D．离心率 2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（   ） A． B． C． D． 3．椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆标准方程为 ，则其长半轴长和短半轴长分别是 （    ） A．3 ， 2 B．2， 3 C．， D．， 5．椭圆的短轴长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．2 6．若椭圆短轴上的两顶点与椭圆的一个焦点的连线互相垂直，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D．2 7．中国是瓷器的故乡，瓷器是古代劳动人民的一个重要的创造，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有椭圆形明代瓷盘，建立如图所示平面直角坐标系经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 8．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10． 已知椭圆，则其长轴长为__________，离心率为__________． 11． 椭圆的离心率，长轴长为6，则椭圆焦距是 _______． 12． 已知椭圆的离心率是，且焦距为4，则椭圆的标准方程为__________. 13．中国是陶瓷的故乡，陶瓷文化是中华文明的重要象征．如图所示，是一个明代的椭圆形瓷盘，呈现了数学中几何之美，该椭圆形瓷盘口的长为30cm，宽为18cm，则椭圆的离心率为_______． 13． 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于___________. 14． 已知椭圆的离心率，则_________． 16．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2． 17． 求椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标. 18．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. (1)求的值； (2)求出这个椭圆的长轴长和离心率. 19．如图所示，已知椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．    (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆经过点，求椭圆的标准方程． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 椭圆的几何性质 一、知识梳理 椭圆的几何性质： 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 焦点坐标 焦点在x轴 F1(－c,0 、F2 (c,0 焦点在y轴 F1(0，－c 、F2(0，c 性性质 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0，A2(a,0 B1(0，－b，B2(0，b A1(0，－a，A2(0，a B1(－b,0，B2(b,0 轴 长轴A1A2的长为__2a__； 短轴B1B2的长为__2b__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 离心率 e＝ ∈(0,1 a、b、c的关系 __c2＝a2－b2__ 注意：求椭圆的标准方程时,如果椭圆的焦点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论． 二、题型精练 题型1 椭圆的几何性质 【典例1】．已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．有一个顶点为 B．短轴长为6 C．焦点在y轴上 D．离心率 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程确定的值，再由椭圆的顶点，短轴，离心率等相关公式逐项分析即可. 【详解】已知椭圆， 则，焦点在y轴上，故C正确， 所以， 则顶点为，故A错误， 短轴长为，故B错误，离心率，故D错误， 故选：C. 【典例2】．椭圆的长轴长，短轴长，离心率依次是（    ） A．8、6、 B．8、6、 C．36、18、 D．16、9、 【答案】A 【分析】将椭圆方程化为标准形式，进而得到，从而得解. 【详解】将椭圆化为， 则，故，，， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为. 故选：A. 【典例3】．长轴长为6，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知椭圆的长轴长和短轴长，分别求解出和，再根据焦点在轴上，写出椭圆的标准方程. 【详解】根据题意得：，解得：， 因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为：，即. 故选：D. 【典例4】．已知椭圆的长轴长与短轴长之比为，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可设长半轴长，短半轴长，求出半焦距，由离心率公式求出答案. 【详解】∵椭圆的长轴长与短轴长之比为， ∴可设长半轴长，短半轴长， ∴半焦距， ∴离心率． 故选：A. 【典例5】．椭圆的离心率为，则k的值为（    ） A．4或 B．或4 C． D．4 【答案】B 【分析】按椭圆的焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率公式求解k的值即可. 【详解】椭圆的离心率为， 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得； 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得. 故选：B. 【典例6】．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据长轴长以及离心率，可求出，，再由，进而可求出结果. 【详解】由题意知，，，所以，， ∴， 又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上. ∴椭圆方程：或 故选：C 三、知识检测 1．椭圆的标准方程是，下列说法不正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．长轴长为10 C．短轴长为8 D．离心率 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可确定焦点的位置，求得的值，继而求得长轴长、短轴长、离心率，即可判断求解. 【详解】因为椭圆的标准方程是， 所以焦点在x轴上，故选项A正确，不符合题意； 所以，即， 所以长轴长，短轴长，故选项B和C正确，不符合题意； 所以离心率，故选项D错误，符合题意； 故选：. 2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中信息得到c，再根据离心率得到a，最后根据得到b，从而得到椭圆C的方程. 【详解】因为椭圆C的右焦点为， 所以所求椭圆的焦点位于轴上，且. 因为椭圆C的离心率等于，所以， 所以，， 所以椭圆的方程是. 故选：C. 3．椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程得，由长轴长为求得结果. 【详解】由椭圆得，， 则长轴长为. 故选：C． 4．已知椭圆标准方程为 ，则其长半轴长和短半轴长分别是 （    ） A．3 ， 2 B．2， 3 C．， D．， 【答案】A 【分析】根据椭圆方程求解即可. 【详解】因为椭圆方程为， 所以，即； 所以长半轴长为3，短半轴长为2； 故选：A 5．椭圆的短轴长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后根据标准方程确定的值，最后根据短轴长的定义求出短轴长. 【详解】已知椭圆方程，得到， 所以短半轴长，可得短轴长为， 故选：A. 6．若椭圆短轴上的两顶点与椭圆的一个焦点的连线互相垂直，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由椭圆的定义和性质知,利用及即可得出. 【详解】解：    如图：A是椭圆的一个焦点，是短轴的两端点， 由题意知， 在直角三角形中， 根据椭圆的定义和性质可知，，， 则， 所以，则， 所以， 则. 故选：B. 7．中国是瓷器的故乡，瓷器是古代劳动人民的一个重要的创造，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有椭圆形明代瓷盘，建立如图所示平面直角坐标系经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程结合图中信息求解即可. 【详解】从图中可以看出椭圆的长轴在x轴上，可设椭圆标准方程为. 根据图中信息可以得到长半轴长，短半轴长，所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 8．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的离心率公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为， 所以，则，，解得. 因为，所以，解得. 故选：C. 9．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质，结合已知条件求出椭圆方程中的的值即可． 【详解】∵椭圆的焦距为，∴，即， ∵离心率为，∴，可得， ∴， ∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， ∴椭圆的标准方程为． 故选：B． 10．已知椭圆，则其长轴长为__________，离心率为__________． 【答案】 6 【分析】根据椭圆标准方程得到，再计算长轴长和离心率. 【详解】由椭圆的标准方程，知，，， ∴椭圆的长轴长，离心率． 故答案为：6；. 11．椭圆的离心率，长轴长为6，则椭圆焦距是 _______． 【答案】4 【分析】由离心率的表达式，求出c，焦距的长度是，得出结果. 【详解】椭圆的离心率，长轴长为6，所以， 椭圆焦距是. 故答案为：4． 12．已知椭圆的离心率是，且焦距为4，则椭圆的标准方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意，结合椭圆的离心率和焦距，求出c和a的值，继而求得的值，即可求解. 【详解】椭圆的离心率，焦距， ， 故椭圆的标准方程为或. 故答案为：或 13．中国是陶瓷的故乡，陶瓷文化是中华文明的重要象征．如图所示，是一个明代的椭圆形瓷盘，呈现了数学中几何之美，该椭圆形瓷盘口的长为30cm，宽为18cm，则椭圆的离心率为_______． 【答案】/ 【分析】根据题意，可求得a和b的值，继而求得c的值，即可求得椭圆的离心率. 【详解】 由题意，可知， 所以， 所以， 所以该椭圆的离心率为. 故答案为：. 14．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于___________. 【答案】 【分析】由圆的圆心、半径与椭圆焦点、长轴等量关系即可求解. 【详解】由圆的方程，配方可得, 可知圆的圆心为，半径为， 因为椭圆的长轴长等于圆的直径，则椭圆的长轴长为8， 又圆的右焦点与圆的圆心重合， 则，，所以， 所以短轴长为. 故答案为：. 15．已知椭圆的离心率，则_________． 【答案】3或 【分析】分析椭圆焦点在轴或者轴上的情况，再根据离心率计算. 【详解】椭圆方程为，焦点可能在轴或者轴上. 当焦点在轴上时，，则，， 则离心率，则，得到，. 当焦点在轴上，，此时，，. 则离心率，则，即，故，得到. 故答案为：3或. 16．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长和焦距，即可求得a和c的值，结合的关系，即可求得b的值，结合题意，即可求解； （2）根据焦点坐标和短轴长，即可求得c和b的值，结合的关系，可求得a的值，结合题意，即可求解． 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，焦距为2， 即， 所以， 又焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2， 所以，且焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 17．求椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标. 【答案】长轴长：10，短轴长：8，离心率：，焦点坐标：顶点坐标： 【分析】首先将题设中椭圆方程变形为椭圆的标准方程，再结合公式，，即可求解出答案. 【详解】将椭圆方程变形为：， 解得：长轴长为：，短轴长为：， 顶点坐标为：， 焦点坐标为：， 离心率 18．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. (1)求的值； (2)求出这个椭圆的长轴长和离心率. 【答案】(1) (2)长轴长为，离心率为. 【分析】（1）代点入椭圆方程即可求得参数. （2）根据椭圆方程得到，即可求椭圆长轴长和离心率. 【详解】（1）代点可得：，解得. （2）由（1）可知，椭圆的方程为， 由方程可知，，，， 则椭圆长轴长为：， 离心率为：. 19．如图所示，已知椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．    (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆经过点，求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆方程，得到顶点坐标，再根据正三角形的性质，得到的关系，即可求得离心率. （2）根据点的坐标，得到，即可求得标准方程. 【详解】（1）    ∵短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形， 而椭圆与正半轴的交点坐标A为，与正半轴的交点B坐标为， 故. ，即， ∴． （2）∵椭圆经过点，∴，， ∴椭圆的标准方程为． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $