专题12 椭圆的标准方程 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题12 椭圆的标准方程 一、知识梳理 （1）椭圆的定义 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距．   （2）椭圆的标准方程 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 焦点坐标 焦点在x轴 F1(－c,0 、F2 (c,0 焦点在y轴 F1(0，－c 、F2(0，c 焦距 |F1F2|＝ 2c a、b、c的关系 c2＝a2－b2 要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 二、题型精练 题型1 根据条件求椭圆的标准方程 【典例1】．平面上到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义进行判断，以及之间的基本关系计算即可. 【详解】由平面上动点到两定点的距离之和为8,且， 所以该点的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 设椭圆方程为，且，则， 所以，所以椭圆方程为. 故选：A 【典例2】．若椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点确定的值，再由即可求解. 【详解】已知椭圆的一个焦点坐标为， 所以，且焦点在轴上， 则，所以， 故选：B. 【典例3】．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求椭圆方程为 ，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为 ， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 【典例4】．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点在y轴的椭圆的特点列不等式求解即可. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以有，解得， 即， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 题型2 已知椭圆方程求解相关问题 【典例1】．椭圆的右焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将方程化为标准方程，再求解右焦点坐标即可 【详解】椭圆化为标准方程为， 其焦点在轴上，，且， 则其右焦点为． 故选：B． 【典例2】．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可； 【详解】因为椭圆可知，， 所以由椭圆的定义可知，椭圆上一点到两焦点的距离的和为， 因为点P到一个焦点的距离为3， 则点P到另一个焦点的距离为． 故选：B 【典例3】．椭圆上的一点与两焦点，构成的的周长为（     ）. A．14 B．10 C．8 D．16 【答案】A 【分析】由椭圆的定义及椭圆的标准方程可知，所求周长为. 【详解】由椭圆，可知，， 由椭圆的定义可知，， 所以点M与两个焦点，构成的的周长为： . 故选：A. 三、知识检测 1．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义得出，根据焦点在轴上即可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，，则， 所以椭圆的标准方程为， 故选：. 2．椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断椭圆的焦点位置，再求出焦点坐标即可. 【详解】由题意知椭圆的焦点在x轴，， 所以，则， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：A. 3．方程表示的是（   ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．双曲线 D．线段 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由题意得，可表示点到点的距离， 可表示点到点的距离， 则，又， 则，满足椭圆的定义， 因为两定点都在y轴上，所以该椭圆的焦点在y轴上. 故选：B. 4．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可求. 【详解】 是椭圆 上的动点， 根据椭圆的定义到该椭圆的两个焦点的距离之和为， ，得. 故选：C. 5．已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可得解． 【详解】因为椭圆的长轴在轴上，所以， 解得，又焦距为，所以，解得. 故选：A． 6．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题目条件先设椭圆标准方程，由条件写出，再由求出即可. 【详解】因为椭圆的两个焦点的坐标分别是和， 椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为： ，， 又因为椭圆经过点，即， 所以， 所以该椭圆的标准方程为：. 故选：. 7．椭圆的焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程确定，再由求出，即可得出焦距. 【详解】已知椭圆，其中， 所以，焦距为. 故选：C. 8．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦点在轴上的椭圆标准方程的特征列不等式组可求. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，，解得， 即的范围是， 故选：C. 9．椭圆的焦点在__________上.（填“轴”或“轴”） 【答案】轴 【分析】根据的大小，结合椭圆的标准方程即可判断. 【详解】∵，∴椭圆的焦点在轴上. 故答案为：轴. 10．已知椭圆，那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为________. 【答案】 【分析】将椭圆方程标准化，求得，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】将椭圆标准化可得：， 可知焦点在轴上且，所以， 根据椭圆的定义，可得椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故答案为：. 11．焦点在x轴上，且的椭圆的标准方程为 ______________________． 【答案】 【分析】根据求出，写出标准方程即可. 【详解】∵椭圆的焦点在x轴上，且， ∴， ∴椭圆的标准方程为， 故答案为：． 12．椭圆的一个焦点是，则实数的值为__________． 【答案】2 【分析】先将椭圆方程化为标准，再根据焦点位置和坐标求解. 【详解】将椭圆方程转化为标准方程为． ∵一个焦点是，∴焦点在轴上，且， ∴故根据方程，得到. 即，，解得． 故答案为：2. 13．已知椭圆的两个焦点为，P是该椭圆上的一点，且构成等差数列，则该椭圆的标准方程是__________． 【答案】 【分析】由等差中项结合椭圆的定义，求出，进而求出椭圆的标准方程. 【详解】因为成等差数列， 则，即，其中， 则， 则椭圆方程为. 故答案为：. 14．点P是椭圆上一点，则点P与两个焦点构成的的周长为 _________． 【答案】34 【分析】根据椭圆的定义及标准方程，可求出的值，结合题意，即可求解． 【详解】因为椭圆方程为， 所以， 的周长为． 故答案为：34． 15．若方程表示的曲线是椭圆，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由方程表示的曲线为椭圆列不等式求解实数即可. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 则解得且， ∴实数的取值范围是. 16．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和等于10； (2)两个焦点坐标分别是和，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义求出，再由题意求出，进而求出，写出椭圆标准方程. （2）由题意，可设椭圆标准方程为，由椭圆的定义知点到两焦点距离之和为，求出，进而求出，写出椭圆标准方程. 【详解】（1）两个焦点坐标分别是，可得，椭圆焦点在轴上， 可设椭圆标准方程为， 因为椭圆上一点P到两个焦点的距离之和等于10，由， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由两个焦点坐标分别是和，可得，椭圆焦点在轴上， 可设椭圆标准方程为， 又点在椭圆上， 由椭圆的定义，可得点到两个焦点距离之和为， 则， 即，所以， 所以椭圆的标准方程为． 17．指出下列椭圆中的焦点坐标和焦距. (1)； (2). 【答案】(1)焦点为，，焦距为 (2)焦点为，，焦距为 【分析】（1）（2）利用椭圆的标准方程即可解得. 【详解】（1）由已知得 ，则椭圆的焦点在轴上，，因此， 焦点坐标为，焦距. （2）由已知得 ，椭圆的焦点在轴上，，因此， 焦点坐标为，焦距. 18．已知椭圆上存在点，使，其中、为该椭圆的两个焦点，求的面积． 【答案】20 【分析】先由椭圆的定义可求解的值，再由勾股定理和完全平方公式可求解的值，代入面积公式即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程得，， ∴，∴，， 由椭圆的定义， 因为，所以在中，， ∴ ， 解得， ∴． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 椭圆的标准方程 一、知识梳理 （1）椭圆的定义 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距．   （2）椭圆的标准方程 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 焦点坐标 焦点在x轴 F1(－c,0 、F2 (c,0 焦点在y轴 F1(0，－c 、F2(0，c 焦距 |F1F2|＝ 2c a、b、c的关系 c2＝a2－b2 要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 二、题型精练 题型1 根据条件求椭圆的标准方程 【典例1】．平面上到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．若椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．3或5 【典例3】．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2 已知椭圆方程求解相关问题 【典例1】．椭圆的右焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【典例3】．椭圆上的一点与两焦点，构成的的周长为（     ）. A．14 B．10 C．8 D．16 三、知识检测 1．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．方程表示的是（   ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．双曲线 D．线段 4．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．椭圆的焦距为（　　） A． B． C． D． 8．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9． 椭圆的焦点在__________上.（填“轴”或“轴”） 10． 已知椭圆，那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为________. 11．焦点在x轴上，且的椭圆的标准方程为 ______________________． 12．椭圆的一个焦点是，则实数的值为__________． 13． 已知椭圆的两个焦点为，P是该椭圆上的一点，且构成等差数列，则该椭圆的标准方程是__________． 14． 点P是椭圆上一点，则点P与两个焦点构成的的周长为 _________． 15． 若方程表示的曲线是椭圆，求实数的取值范围. 16．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和等于10； (2)两个焦点坐标分别是和，且过点． 17．指出下列椭圆中的焦点坐标和焦距. (1)； (2). 18．已知椭圆上存在点，使，其中、为该椭圆的两个焦点，求的面积． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $