专题17 抛物线的几何性质 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题17 抛物线的几何性质 一、知识梳理 抛物线的几何性质： 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F( ，0 F (－ ，0 F(0， F(0，－ 离心率 e＝__1__ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 注意：当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论． 二、题型精练 题型1 抛物线的几何性质 【典例1】．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】因为抛物线经过点在第二象限，且题中没有明确抛物线的对称轴位置，因此分两种情况设抛物线方程，由点代入可求解. 【详解】由题意，可设其标准方程为或， 由点分别代入方程，可得 或， 解得或. 故抛物线的标准方程为或. 故选：A 【典例2】．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，开口方向向上，焦点在轴上， 所以其关于轴对称，即对称轴为直线， 故选：D． 【典例3】．抛物线上一点到对称轴的距离为4，到准线的距离5，则（    ） A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【分析】先根据题意，得到点的坐标，再抛物线的定义求参数. 【详解】由抛物线的标准方程可知， 抛物线的焦点在轴的正半轴上，对称轴为轴，准线为． ∵点到对称轴的距离为4，∴，代入方程得， 而，点到准线的距离5， ∴，解得或． 故选：D. 【典例4】．直线l过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题意，结合焦点弦的长度公式，即可求解. 【详解】因为抛物线方程为， 所以， 因为直线l过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点， 又， 所以. 故选：B. 【典例5】．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线与双曲线的性质，分析求解即可. 【详解】由双曲线可知：，焦点在轴， 所以， 所以右焦点坐标为， 因为抛物线的焦点坐标为，且与双曲线右焦点重合， 所以，解得：． 故选：A. 三、知识检测 1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（     ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】将抛物线方程化简为标准方程，再判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 2．顶点在原点，以y轴为对称轴且过点的抛物线方程是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称轴位置，设出标准方程，代入点求解即可. 【详解】因为顶点在原点，以y轴为对称轴，所以设抛物线方程为. 因为抛物线过点，则，解得. 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 3．抛物线的离心率（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由抛物线的几何性质即可得解. 【详解】抛物线的离心率是抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比，故为1. 故选：C． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，求得，进而得到焦点到y轴的距离. 【详解】抛物线的准线方程为：. 由抛物线的定义可知：点到焦点的距离等于到准线的距离. 即，得，抛物线方程为. 则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2. 故选：C． 5．顶点在原点，焦点在轴上，且过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设立抛物线方程，再代入点坐标，即可求解. 【详解】由题意可设抛物线的标准方程为． ∵抛物线过点，∴，解得， ∴抛物线的标准方程为． 故选：B. 6．点在抛物线上，它到准线的距离为4，则点到轴的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线的方程求出,再根据到准线的距离求出点的横坐标，则可继续求出的纵坐标，即可求出点到轴的距离. 【详解】∵抛物线方程为，∴， ∵点在抛物线上，可设， ∴由抛物线的几何性质，到准线的距离， 即，解得或（舍去）. ∵，∴，解得或. ∴点到轴的距离为4. 故选：C. 7．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线标准方程的几何性质即可解得. 【详解】由抛物线可得， ，解得， 则焦点坐标为，准线为， 所以焦点到准线的长度为2. 故选：C. 8．直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【分析】通过焦点在直线上的条件求出抛物线方程，联立直线和抛物线，通过韦达定理得到的值，再通过焦点弦性质求解即可. 【详解】易知抛物线焦点为， 代入直线方程可得：，解得，抛物线方程为： 由可得 设， 则有， =， 故选：. 9．已知圆与抛物线的准线相切，则p的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出已知圆的圆心坐标和半径4，及抛物线的准线方程，再根据圆心到准线的距离等于半径即可求得的值 【详解】圆可化为， 故该圆的圆心坐标为，半径， 抛物线的准线方程为， 因为圆与抛物线的准线相切， 所以圆心到准线的距离等于半径， 即，解得，因此选项B正确. 故选：B. 10．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值法验证即可得到答案. 【详解】解：由题意，当，时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示开口向左的抛物线，故排除选项C、D； 当，时，方程表示焦点在轴上的双曲线，方程表示开口向右的抛物线，故排除选项B，而选项A符合题意， 故选：A. 11．抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求得. 【详解】将抛物线的方程化为标准方程，可知挞物线关于轴对称． 故答案为：轴. 12．抛物线的顶点坐标为__________． 【答案】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求得. 【详解】将抛物线的方程化为标准方程，顶点坐标为． 故答案为： 13．已知抛物线上的点M到焦点的距离是5，则点M的坐标为______________. 【答案】或 【分析】根据抛物线的定义即可解得. 【详解】解：依题意得，的准线方程为. 由抛物线定义可知，点M到准线的距离也是5， 设点M为，则，所以， 代入抛物线的方程，解得. 所以点M的坐标为或. 故答案为：或. 14．抛物线的焦点为，点在上，若，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据抛物线焦半径公式求解的值，将点代入抛物线方程，.即可求解. 【详解】由题可得，解得， 因为点在上， 所以，即，解得. 故答案为：. 15．设抛物线的顶点为原点，并且经过点，若抛物线关于轴对称，则抛物线的标准方程为__________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴和曲线上点的坐标，设立抛物线方程，代入点坐标，即可求得解析式. 【详解】∵点在第四象限，且抛物线关于轴对称， ∴可设抛物线方程为． ∵点在抛物线上，∴，解得， ∴所求抛物线的标准方程为． 故答案为：. 16．将抛物线绕顶点逆时针方向旋转角，所得抛物线方程为__________． 【答案】 【分析】图像绕顶点逆时针方向旋转角，实质就是关于轴进行了对称变换. 【详解】抛物线的顶点是原点， 其图像绕原点逆时针方向旋转角， 实质上是关于轴进行了对称变换， 所得抛物线图像与原图像关于轴对称，即． 故答案为：. 17．分别根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)准线方程是； (2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据准线方程得到和抛物线开口方向，即可得到所求抛物线的方程. （2）根据题意求得抛物线焦点坐标，即可得到所求抛物线的方程． 【详解】（1）由题意，抛物线的准线方程为， 所以抛物线开口向上，且，得， 所以抛物线的标准方程是； （2）由题意，双曲线的标准方程为，左顶点为， 所以抛物线的焦点为，抛物线的开口向左，，， 所以抛物线的标准方程是. 18．抛物线的顶点在原点，焦点坐标为， (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上点M到焦点的距离为7，求点M的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标求出，即可求解； （2）由抛物线的定义得出点的横坐标，代入抛物线方程，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点， 所以，即， 所以抛物线标准方程为. （2）因为抛物线标准方程为， 所以抛物线的准线方程为， 设，由抛物线的定义可知， 所以， 代入抛物线的标准方程得，故， 所以点. 19．已知抛物线的焦点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)求抛物线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标求出，即可求解抛物线的标准方程； （2）利用直线与抛物线相切得出抛物线的切线方程，切线方程与已知直线之间的距离即为抛物线上的点到直线的最小距离，结合两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为， 所以， 故抛物线的标准方程为. （2）设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 所以联立方程组得， 消掉得， 由，即， 故抛物线的切线方程为， 所以抛物线上的点到直线的最小距离为. 20．如图所示，倾斜角为的直线过抛物线的焦点，交抛物线于、两点．求：    (1)抛物线的标准方程； (2)的值； (3)的面积． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）由焦点求得，即可得抛物线的标准方程； （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用焦点弦长公式求解； （3）求出原点到直线的距离，计算的面积即可． 【详解】（1）由焦点，设抛物线的标准方程为， 则，解得． 故抛物线的标准方程为． （2）直线的斜率，其方程为． 联立抛物线方程得，即， 其中， 设，则， 由焦点弦长公式得． （3）原点到直线的距离， 则的面积 ． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 抛物线的几何性质 一、知识梳理 抛物线的几何性质： 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F( ，0 F (－ ，0 F(0， F(0，－ 离心率 e＝__1__ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 注意：当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论． 二、题型精练 题型1 抛物线的几何性质 【典例1】．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程是（    ） A．或 B． C． D．或 【典例2】．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【典例3】．抛物线上一点到对称轴的距离为4，到准线的距离5，则（    ） A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【典例4】．直线l过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例5】．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（   ） A．4 B． C． D． 三、知识检测 1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（     ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 2．顶点在原点，以y轴为对称轴且过点的抛物线方程是（   ） A．或 B． C．或 D． 3．抛物线的离心率（   ） A． B． C． D．无法确定 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．顶点在原点，焦点在轴上，且过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．点在抛物线上，它到准线的距离为4，则点到轴的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 7．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．2 D．4 9．已知圆与抛物线的准线相切，则p的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（ ） A． B． C． D． 11．抛物线的对称轴是__________． 12．抛物线的顶点坐标为__________． 13．已知抛物线上的点M到焦点的距离是5，则点M的坐标为______________. 14．抛物线的焦点为，点在上，若，则的值为__________. 15．设抛物线的顶点为原点，并且经过点，若抛物线关于轴对称，则抛物线的标准方程为__________． 16．将抛物线绕顶点逆时针方向旋转角，所得抛物线方程为__________． 17．分别根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)准线方程是； (2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点. 18．抛物线的顶点在原点，焦点坐标为， (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上点M到焦点的距离为7，求点M的坐标. 19．已知抛物线的焦点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)求抛物线上的点到直线的最小距离. 20．如图所示，倾斜角为的直线过抛物线的焦点，交抛物线于、两点．求：    (1)抛物线的标准方程； (2)的值； (3)的面积． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $