专题18 圆锥曲线与直线的综合运用 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题18 圆锥曲线与直线的综合运用 一、知识梳理 圆锥曲线与直线的综合运用解题路径： 第一步：几何条件代数化 设元： 设直线：优先考虑点斜式y-y₀=k(x-x₀)；务必先考虑斜率k是否存在，单独讨论k不存在（直线垂直x轴）的情况。 设交点：设交点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，但不需求出（“设而不求”）。 联立：将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x或y，得到一个关于x（或y）的一元二次方程Ax²+Bx+C=0。 判别：立即写出判别式Δ=B²-4AC>0。这是保证直线与曲线有两个交点的隐含条件，在求参数范围时必不可少。 第二步：核心代数运算 韦达定理：若第一步中方程的两根为x₁,x₂，则： 弦长公式：当直线与圆锥曲线相交于两点时，若需要求弦长|AB|，直接套用公式： 第三步：转化与求解 目标转化：仔细阅读题目所求（是求弦长、中点、斜率关系、定点、定值还是范围？）将其转化为包含和的数学表达式。 代入韦达定理：将第二步中韦达定理的结果代入到这个目标表达式中。至此，问题便转化为一个只关于参数k或m的方程或函数。 求解与验证：解这个关于参数的方程。特别注意：求出结果后，必须代回验证是否满足题目所给条件，否则需要舍去。 二、题型精练 题型1 椭圆与直线 【典例1】．过椭圆的右焦点垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B两点的距离为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【典例2】．若椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线与坐标轴的交点，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 题型2 双曲线与直线 【典例1】．双曲线与直线交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【典例2】．过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于两点，则（    ） A． B． C．6 D． 【典例3】．已知曲线 的左、右焦点分别为，过的直线与曲线左支交于A ，B两点，AB的距离为5，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．26 D．32 题型3 抛物线与直线 【典例1】．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例2】．点在抛物线上，则点到直线的最小距离为（　　） A． B． C． D． 三、知识检测 1．直线经过椭圆的上顶点和右顶点，则该直线截椭圆所得弦长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 2．已知椭圆的焦点分别是，过点的直线与椭圆交A，B两点，则的周长等于（   ） A．20 B．16 C．10 D．8 3．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有几条（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 6．若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（    ） A．3. B．4 C．5 D．6 7．已知直线过抛物线的焦点F，且与离心率为的双曲线的渐近线平行，则该直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8． 已知椭圆，过点与轴平行的直线交椭圆于，两点，则的长为________． 9． 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则______． 10． 已知双曲线的一条渐近线与直线：平行，则的离心率______. 11． 倾斜角为的直线通过的焦点且与抛物线相交于M、N两点，则线段的长为___________. 12． 已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则_____. 13． 已知椭圆和直线，当m分别取何值时，椭圆与直线相交、相切、相离？ 14．已知椭圆：，右焦点为，离心率为，过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的长. 15．已知双曲线的焦点是和，过点并垂直于轴的直线与双曲线的一个交点为，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)在轴上找一点，使得的面积为16． 16．已知双曲线C：＝1的离心率为，且实轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值． 17．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求线段的长. 18．抛物线焦点在圆上，为圆心． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，求的面积． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 圆锥曲线与直线的综合运用 一、知识梳理 圆锥曲线与直线的综合运用解题路径： 第一步：几何条件代数化 设元： 设直线：优先考虑点斜式y-y₀=k(x-x₀)；务必先考虑斜率k是否存在，单独讨论k不存在（直线垂直x轴）的情况。 设交点：设交点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，但不需求出（“设而不求”）。 联立：将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x或y，得到一个关于x（或y）的一元二次方程Ax²+Bx+C=0。 判别：立即写出判别式Δ=B²-4AC>0。这是保证直线与曲线有两个交点的隐含条件，在求参数范围时必不可少。 第二步：核心代数运算 韦达定理：若第一步中方程的两根为x₁,x₂，则： 弦长公式：当直线与圆锥曲线相交于两点时，若需要求弦长|AB|，直接套用公式： 第三步：转化与求解 目标转化：仔细阅读题目所求（是求弦长、中点、斜率关系、定点、定值还是范围？）将其转化为包含和的数学表达式。 代入韦达定理：将第二步中韦达定理的结果代入到这个目标表达式中。至此，问题便转化为一个只关于参数k或m的方程或函数。 求解与验证：解这个关于参数的方程。特别注意：求出结果后，必须代回验证是否满足题目所给条件，否则需要舍去。 二、题型精练 题型1 椭圆与直线 【典例1】．过椭圆的右焦点垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B两点的距离为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先根据椭圆方程求出右焦点坐标，再将右焦点的横坐标代入椭圆方程求出、两点的纵坐标，最后计算、两点间的距离. 【详解】在椭圆中，，， 则，所以右焦点坐标为， 因为过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，所以、两点的横坐标都为， 将代入椭圆方程，可得，解得， 则、两点的纵坐标分别为和，所以， 故选：B. 【典例2】．若椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线与坐标轴的交点，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线与坐标轴的交点，再分情况讨论椭圆焦点的位置，进而确定椭圆的标准方程. 【详解】对于直线， 令，则；令，则， 故直线与坐标轴的交点坐标分别为和． 当椭圆焦点在轴上时，椭圆标准方程为（），其中为半焦距， 此时椭圆的一个焦点为，一个顶点为，则，， 可得， 所以椭圆的标准方程为. 当椭圆焦点在轴上时，椭圆标准方程为（），其中为半焦距， 此时椭圆的一个焦点为，一个顶点为，则，， 可得， 所以椭圆的标准方程为， 因此椭圆的标准方程为或． 故选：B. 题型2 双曲线与直线 【典例1】．双曲线与直线交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】通过联立方程组判断方程解的个数以此来判断交点的个数. 【详解】由直线，可得， 又双曲线， 则联立方程组得即 即，只有一个解， 所以双曲线与直线有个交点. 故选：B. 【典例2】．过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于两点，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由双曲线的标准方程可得出右焦点坐标及渐近线方程，然后将渐近线方程与联立求出的坐标，即可求出. 【详解】由双曲线可得， ，右焦点为， 过右焦点且与轴垂直的直线为， 由可得，渐近线方程为， 则联立方程组，解得， 所以， 所以. 故选：D. 【典例3】．已知曲线 的左、右焦点分别为，过的直线与曲线左支交于A ，B两点，AB的距离为5，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．26 D．32 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义进行分析求解即可. 【详解】由定义可知，， 所以，. 又因为，所以的周长为. 故选：C. 题型3 抛物线与直线 【典例1】．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义以及中点坐标公式求解即可. 【详解】抛物线方程为，可得，即，焦点，准线方程为. 设，，则，， 因此弦长： 代入已知，得. 线段中点的横坐标为，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，因此距离为. 故选：A. 【典例2】．点在抛物线上，则点到直线的最小距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线距离公式及二次函数的性质求解. 【详解】由题意设，， 则点到直线的距离为， 当时，可知当时，， 故选：A． 三、知识检测 1．直线经过椭圆的上顶点和右顶点，则该直线截椭圆所得弦长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的几何意义，求出上顶点和右顶点，再利用两点间的距离公式可求解. 【详解】由椭圆可得，从而， 所以上顶点和右顶点分别为， 所以直线截椭圆所得弦长为. 故选：C 2．已知椭圆的焦点分别是，过点的直线与椭圆交A，B两点，则的周长等于（   ） A．20 B．16 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆中. 因为过焦点的直线与椭圆交A，B两点， 根据椭圆定义， 进而则的周长等于. 故选：A. 3．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线焦距为可以得到，由渐近线与直线垂直，可以得到，求出，即可得到双曲线的方程. 【详解】因为双曲线的焦距为， 所以，. 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以， 又， 解得，. 所以双曲线的方程为. 故选:A. 4．过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有几条（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先判断与双曲线的位置，数形结合即可得解. 【详解】因为点在轴上，双曲线焦点在轴上，如图， 所以过点的直线，两条与渐近线平行，两条与双曲线相切， 都满足与双曲线有且仅有一个公共点，共4条. 故选：D. 5．抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由抛物线方程确定准线方程，再由准线与直线的距离为3，列方程求出的值即可. 【详解】已知抛物线， 则抛物线的准线方程为， 由该抛物线准线与直线的距离为3， 得，解得或， 故所求抛物线方程为或. 故选：D. 6．若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（    ） A．3. B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，结合抛物线标准方程求得焦点坐标，继而求得直线的方程，将抛物线方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理，及焦点弦公式，即可求解. 【详解】因为抛物线：，所以， 所以焦点， 所以直线的方程为， 设，，由， 消去并整理得， 所以，所以. 故选：C. 7．已知直线过抛物线的焦点F，且与离心率为的双曲线的渐近线平行，则该直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由双曲线的离心率并结合得出渐近线的斜率，再根据直线平行的充要条件可得所求直线的斜率，求出抛物线的焦点坐标后，利用点斜式写出直线方程化为一般式即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以， 从而，化简可得， 所以双曲线的渐近线为. 因为所求直线与双曲线的渐近线平行，故所求直线的斜率为， 由抛物线可知，其焦点坐标， 所以该直线方程为或，即或. 故选：B 8．已知椭圆，过点与轴平行的直线交椭圆于，两点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据题意求出直线方程，联立方程组求出两点坐标即可得解. 【详解】过点与轴平行的直线为， 联立，解得， 则不妨设， ， 故答案为：. 9．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则______． 【答案】8 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点， 由椭圆的定义知， 因为，所以． 故答案为：8. 10．已知双曲线的一条渐近线与直线：平行，则的离心率________. 【答案】或 【分析】先由直线平行可得斜率，再分类讨论双曲线的焦点位置求解离心率即可. 【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线：平行， ∴可知双曲线的渐近线斜率， 当双曲线焦点在x轴时，则有，即， 又有， 则离心率； 当双曲线焦点在y轴时，则有，即， 又有， 则离心率； 则的离心率为或. 故答案为：或. 11．倾斜角为的直线通过的焦点且与抛物线相交于M、N两点，则线段的长为___________. 【答案】8 【分析】先求出抛物线焦点坐标，再根据直线倾斜角得到直线方程，最后联立直线与抛物线方程，利用抛物线焦点弦长公式求解. 【详解】抛物线中，，焦点坐标为， 已知直线倾斜角为，可得直线斜率， 又直线过点，可得直线的方程为， 将代入，可得，即， 设，，所以， 所以焦点弦长. 故答案为：8. 12．已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则_____. 【答案】或 【分析】首先联立抛物线与直线方程，消元，再分别讨论二次项系数是否为零的两种情况即可. 【详解】已知抛物线与直线有且仅有一个交点， 则联立方程，得， 整理得， 当时，得，解得，， 所以交点为，满足题意； 当时，由， 整理得，解得， 此时抛物线与直线有且仅有一个交点. 综上可知，或 故答案为：或 13．已知椭圆和直线，当m分别取何值时，椭圆与直线相交、相切、相离？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合椭圆方程和直线方程，联立方程组，消元化简，结合根的判别式，即可判断求解. 【详解】由题意，联立方程组得，消元化简整理得， 所以， 当，即时，解得，此时直线与椭圆相交； 当，即时，解得，此时直线与椭圆相切； 当，即时，解得或，此时直线与椭圆相离； 综上，当时，直线与椭圆相交；当时，直线与椭圆相切； 当或时，直线与椭圆相离. 14．已知椭圆：，右焦点为，离心率为，过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和的关系结合已知条件即可求解. （2）根据已知条件求出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）由椭圆的右焦点为，则， 因为离心率为，即，又，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为直线倾斜角为，所以直线斜率为1， 又直线过椭圆的右焦点，所以直线方程为， 联立直线和椭圆方程，消整理得， 由韦达定理有，，设， 故. 15．已知双曲线的焦点是和，过点并垂直于轴的直线与双曲线的一个交点为，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)在轴上找一点，使得的面积为16． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求双曲线的标准方程为，根据双曲线的定义得出的值，再由焦点确定的值，最后由的关系求出，写出双曲线方程即可. （2）将代入双曲线方程中，求出的值，设点的坐标为，再由三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】（1）由题意，可设所求双曲线的标准方程为， ，，得． 又双曲线的焦点是和可得双曲线的半焦距， ， 因此所求双曲线的标准方程为． （2）由（1）得：双曲线的标准方程为， 当时，，． 设点的坐标为，则. 解得：，即，解得或． 综上所述，点的坐标为或.    16．已知双曲线C：＝1的离心率为，且实轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和实轴的定义可求，进而得的值，据此可得解； （2）设两点的坐标分别为，线段的中点为，将直线方程和双曲线方程联立，消元后得，进而得，将代入圆的方程可求解. 【详解】（1）由题意得，，，所以， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）设两点的坐标分别为，线段的中点为． 由，消去并整理，可得 ，显然， ， 所以，从而， 因为点在圆上， 所以，解得. 17．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求线段的长. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设出抛物线方程，根据图像过点，代入求解即可. （2）求出焦点坐标，根据点斜式方程求出直线方程，再联立方程以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）因为焦点在y轴上，所以设抛物线方程为. 代入点：. 故抛物线方程为. （2）因为，所以焦点为. 因为倾斜角为，所以斜率，所以方程为； 联立与，得：. 设，，由韦达定理，. 根据弦长公式，得 18．抛物线焦点在圆上，为圆心． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出焦点，根据抛物线的标准方程即可求解. （2）根据斜率公式，直线的点斜式方程写出直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合抛物线的定义和点到直线的距离即可求解. 【详解】（1）因为抛物线焦点在圆上， 所以令，即，解得或， 因为焦点在轴正半轴上，所以焦点为，所以抛物线的标准方程为. （2）因为直线倾斜角为，所以斜率，又过点， 所以直线方程为，即直线方程为. 设点，联立方程，整理得， 则，所以. 由圆得圆心，圆心到直线距离为， 所以的面积. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $