专题14 双曲线的标准方程 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题14 双曲线的标准方程 一、知识梳理 （1）双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1 、F2 的距离之差的绝对值为常数(小于| F1F2 | )的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距． （2）双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 焦点坐标 焦点在x轴 F1(－c,0 、F2 (c,0 焦点在y轴 F1(0，－c 、F2(0，c 焦距 |F1F2|＝ 2c a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上． 二、题型精练 题型1 根据条件求双曲线的标准方程 【典例1】．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程的性质确定的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，可化为 解得或，即的取值范围是或， 故选：B. 【典例2】．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可得出，再由求出值即可写出双曲线的标准方程. 【详解】由题可知：设双曲线方程为 已知双曲线的焦点为，， 所以，由，可得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 【典例3】．双曲线C的两焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点距离公式和双曲线的定义得到，即可求解. 【详解】因为双曲线C的两焦点分别为，且经过点， 所以， 所以，又，得到， 即双曲线的标准方程为， 故选：B. 题型2 已知双曲线方程求解相关问题 【典例1】．双曲线的焦距为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，即可求得，继而求得的值，即可求得焦距. 【详解】因为双曲线标准方程为， 所以，， 所以， 所以焦距为. 故选：D. 【典例2】．双曲线的焦点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程及即可求解. 【详解】由双曲线的标准方程易知的焦点在轴上且，， 根据得， 所以双曲线的焦点坐标为，. 故选：A. 【典例3】．已知双曲线的一个焦点坐标是，则实数的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由双曲线的标准方程和焦点坐标可得，，据此可求解. 【详解】由题可知：，， 所以，解得（负根舍去）. 故选：C 【典例4】．已知双曲线 C：的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，若，则（  ） A．13 B．11 C．1或11 D．11或13 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可求. 【详解】，，，， 若点在右支，，则舍去； 若点在左支，，则； 故选：B. 三、知识检测 1．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】若方程表示双曲线， 由题意，知，解得或， 所以的取值范围为， 故选：A. 2．已知两点、与它们的距离的差的绝对值是8的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解标准方程即可. 【详解】因为，由双曲线的定义可知，其轨迹为双曲线， 所以，即，可得， 所以， 又焦点在轴上，所以所求双曲线方程为. 故选：A. 3．双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程形式和焦距的定义，再结合公式计算即可得解. 【详解】依题意知， 得，即， 因此焦距. 故选：B. 4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆与双曲线共焦点，求a. 【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，且焦点相同， 所以，解得(经检验，都符合题意). 故选：C. 5．若点是双曲线的一个焦点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为焦点在轴上，从而由双曲线方程确定、的值，再根据列式，即可求出的值. 【详解】解：双曲线方程为，即 因为焦点为得，所以焦点在y轴 则方程转换为， 即， 代入为，解得. 故选：B. 6．已知点为双曲线上一点，且分别为双曲线的左、右焦点，若，则（   ） A．2 B．2或18 C．4 D．4或18 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线中， 则，即， ∵， ∴由双曲线定义，， 则有，即， 解得或. 且，， 经检验，或时都满足，都成立. 故选：B. 7．已知双曲线焦点在x轴上，，焦距为8，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由焦距求出，进而得，再根据双曲线的焦点位置写出标准方程. 【详解】因为焦距为8，所以，即. 又，所以. 因为双曲线焦点在x轴上，所以其标准方程为. 故选：A 8．已知双曲线方程的一个焦点为，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 【答案】D 【分析】由双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可. 【详解】双曲线方程的一个焦点为， 可得，解得. 故选：D. 9．若双曲线方程为，则它的右焦点坐标为________. 【答案】/ 【分析】将双曲线方程化为标准方程，判断焦点的位置，求出，据此可得解. 【详解】由双曲线方程可化为， 可知，焦点在轴， 所以，右焦点坐标为. 故答案为： 10．若，，且焦点在轴上，则双曲线的标准方程为________. 【答案】 【分析】先由双曲线焦点位置假设双曲线方程，再由题意求得，从而得解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，则设双曲线的标准方程为， 因为，，所以， 所以设双曲线的标准方程为. 故答案为：. 11．双曲线的焦距是________． 【答案】 【分析】利用双曲线的性质进行求解即可. 【详解】∵双曲线的标准方程为， ∴由双曲线的性质可得，即. ∴双曲线的焦距是. 故答案为：． 12．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是____ 【答案】 【分析】首先确定双曲线焦点位置和坐标，结合椭圆方程列出式子，并且注意取舍即可. 【详解】双曲线方程为，所以，双曲线的焦点在轴上， 且，， 焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，即， 且， 即， ， 解得（舍去）或. 故答案为：. 13．设双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，则__________. 【答案】 【分析】由双曲线的定义及标准方程即可求解. 【详解】解：由题意得双曲线的焦点在轴上， 则，所以. 因为点在双曲线的右支上， 所以， 则. 故答案为：. 14．双曲线的焦距为______. 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程，求出基本量，再求得结果. 【详解】由方程表示双曲线可得，即， 所以该双曲线的标准方程为， 得，， 则， 所以该双曲线的焦距为. 故答案为:. 15．已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可． 【详解】（1）因为，即，方程表示双曲线， 所以，解得或； 所以或； （2）因为，即，焦点在轴上的双曲线， 则，解得， 所以； （3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线， 则，解得， 所以. 16．根据条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6； (2)焦点为、，双曲线上的一点M的坐标为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设其标准方程为，由焦距和双曲线的定义可得和，据此可求解； （2）设其标准方程为，由题意可知，利用双曲线的定义可求，据此可求解. 【详解】（1）由于双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为. 因为双曲线的焦距为14，所以. 又因为双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6， 所以； 从而， 所以其标准方程为； （2）由题可知，双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为，其中. 又因为双曲线上的一点M的坐标为， 所以， 解得，从而， 所以其标准方程为. 17．已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距． (1)； (2) 【答案】(1)和； (2)和； 【分析】由双曲线方程，判断焦点的位置、确定的值，进而求出，据此可得结果； 【详解】（1）由双曲线方程可得： 其焦点在轴上，且，， 所以， 所以焦点坐标为和，焦距为； （2）由双曲线方程可得： 其焦点在轴上，且，， 所以， 所以焦点坐标为和，焦距为； 18．已知分别是双曲线的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积． 【答案】(1)10或22 (2)16 【分析】（1）由双曲线的定义求解； （2）由双曲线的定义，结合勾股定理得，进而计算面积即可. 【详解】（1）由双曲线，得，则， 由双曲线的定义，得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x，则，解得或． 故点M到另一个焦点的距离为10或22． （2）将，两边平方得， ． 在中，，， 则，． ． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 双曲线的标准方程 一、知识梳理 （1）双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1 、F2 的距离之差的绝对值为常数(小于| F1F2 | )的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距． （2）双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 焦点坐标 焦点在x轴 F1(－c,0 、F2 (c,0 焦点在y轴 F1(0，－c 、F2(0，c 焦距 |F1F2|＝ 2c a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上． 二、题型精练 题型1 根据条件求双曲线的标准方程 【典例1】．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【典例2】．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．双曲线C的两焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 题型2 已知双曲线方程求解相关问题 【典例1】．双曲线的焦距为（   ） A． B．6 C． D．12 【典例2】．双曲线的焦点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例3】．已知双曲线的一个焦点坐标是，则实数的值是（    ） A． B． C． D．3 【典例4】．已知双曲线 C：的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，若，则（  ） A．13 B．11 C．1或11 D．11或13 三、知识检测 1．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知两点、与它们的距离的差的绝对值是8的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（     ） A． B．1 C． D．2 5．若点是双曲线的一个焦点，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知点为双曲线上一点，且分别为双曲线的左、右焦点，若，则（   ） A．2 B．2或18 C．4 D．4或18 7．已知双曲线焦点在x轴上，，焦距为8，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线方程的一个焦点为，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 9． 若双曲线方程为，则它的右焦点坐标为________. 10． 若，，且焦点在轴上，则双曲线的标准方程为________. 11． 双曲线的焦距是________． 12． 椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是____ 13． 设双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，则__________. 14． 双曲线的焦距为______. 15．已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 16．根据条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6； (2)焦点为、，双曲线上的一点M的坐标为． 17．已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距． (1)； (2) 18．已知分别是双曲线的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $