专题15 双曲线的几何性质 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题15 双曲线的几何性质 一、知识梳理 双曲线的几何性质： 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 焦点坐标 焦点在x轴 F1(－c,0 、F2 (c,0 焦点在y轴 F1(0，－c 、F2(0，c 性性质 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1__(－a,0__，A2__(a,0__ 顶点坐标： A1__(0，－a__，A2__(0，a__ 渐近线 y＝ ± x y＝ ± x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__ a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝± a2__ 二、题型精练 题型1 双曲线的几何性质 【典例1】．焦点在轴上，实轴长为8，虚轴长为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 【典例4】．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【典例6】．已知双曲线实轴长、虚轴长，焦距长成等差数列，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 三、知识检测 1．已知双曲线：，则双曲线的焦距是（    ） A． B． C． D． 2．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3．已知双曲线离心率是，经过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的虚轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．过点的等轴双曲线的标准方程的是（    ） A． B． C． D． 7．中心在坐标原点，一个焦点坐标是，一条渐近线方程为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 8．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D． 10．双曲线的离心率___________. 11．双曲线的渐近线方程是______. 12．双曲线的一条渐近线方程为，则_____. 13．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为__________. 14．双曲线的实轴长与虚轴长之比为__________． 15．把离心率为的双曲线称为“完美双曲线”.已知双曲线为“完美双曲线”，点和点分别是它的左焦点和右顶点，点是它虚轴上的一个端点，则等于_____. 16．已知双曲线的两个焦点分别是，，点是双曲线上的一点，． (1)求双曲线的标准方程 (2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 17．求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程． 18．已知双曲线C的方程为. (1)求双曲线C的离心率； (2)求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程. 19．已知双曲线的离心率为2，求实数的值及双曲线的焦点坐标、渐近线方程. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 双曲线的几何性质 一、知识梳理 双曲线的几何性质： 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 焦点坐标 焦点在x轴 F1(－c,0 、F2 (c,0 焦点在y轴 F1(0，－c 、F2(0，c 性性质 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1__(－a,0__，A2__(a,0__ 顶点坐标： A1__(0，－a__，A2__(0，a__ 渐近线 y＝ ± x y＝ ± x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__ a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝± a2__ 二、题型精练 题型1 双曲线的几何性质 【典例1】．焦点在轴上，实轴长为8，虚轴长为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出，代入双曲线标准方程，即可求解. 【详解】∵焦点在轴上，设双曲线的标准方程为． 由题意得，， ∴，， ∴双曲线的标准方程为． 故选：C. 【典例2】．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求渐近线方程. 【详解】由双曲线的方程可知，，， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：B. 【典例3】．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准方程后，求出，据此可得解. 【详解】双曲线方程可变形为， 所以，，从而实轴长. 故选：C 【典例4】．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，再利用离心率公式代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程化成标准方程形式为， 所以，所以离心率， 故选：D. 【典例5】．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分类讨论双曲线焦点的位置，根据渐近线方程和实轴长求解双曲线的标准方程即可. 【详解】因为双曲线的实轴长为4，则，所以， 当焦点在轴上时，设标准方程为， 此时由渐近线方程可得，解得， 所以标准方程为， 当焦点在轴上时，设标准方程为， 此时由渐近线方程可得，解得， 所以标准方程为， 所以双曲线的标准方程为或. 故选:D. 【典例6】．已知双曲线实轴长、虚轴长，焦距长成等差数列，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程关系求解. 【详解】由题意，双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为, 又∵实轴长、虚轴长，焦距长成等差数列， ∴ 即，可得 ∴ 整理得， ∴ 解得，或 ∵ ∴ 故选:D. 三、知识检测 1．已知双曲线：，则双曲线的焦距是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程求，即可得到双曲线的焦距. 【详解】由双曲线的标准方程可知， ，，∴， ∴焦距． 故选：D. 2．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先设出双曲线的方程，然后根据渐近线的方程及离心率的公式求解． 【详解】由题意，设双曲线的方程为， 则该双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线经过点，则， 所以，， 则该双曲线的离心率． 故选：A． 3．已知双曲线离心率是，经过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等轴双曲线的性质，结合待定系数法即可得解. 【详解】由，则双曲线为等轴双曲线，设其方程为， 又因为经过点，则， 所以双曲线方程为. 故选：A. 4．双曲线的虚轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线方程求得，再利用虚轴的定义即可得解. 【详解】对于双曲线，有， 则，所以其虚轴长为. 故选：D. 5．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率，结合之间的关系，可求出的值，继而求出渐近线方程． 【详解】因为双曲线的离心率为， 即， 所以， 所以， ， 所以渐近线方程为． 故选：B． 6．过点的等轴双曲线的标准方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】依题意，设双曲线的方程为（）， 代入点，得，则， 故所求双曲线的方程为，即. 故选：C． 7．中心在坐标原点，一个焦点坐标是，一条渐近线方程为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标求得c，再根据渐近线方程求得，代入中即可求出a、b的值，从而确定双曲线的方程. 【详解】解：由焦点坐标，得且焦点在x轴， 由渐近线方程得， 即，且 ， 则双曲线方程为. 故选：B. 8．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，从而可得，据此可求解. 【详解】由题可知，， 所以，从而. 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 9．已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的一条渐近线与直线平行得到，从而利用即可得解. 【详解】因为直线的斜率为， 又双曲线：的渐近线方程为， 它的一条渐近线与该直线平行，所以该渐近线的斜率为，即， 所以. 故选：D. 10．双曲线的离心率___________. 【答案】/1.5 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】∵双曲线为， ∴， ∴， ∴离心率为. 故答案为：. 11．双曲线的渐近线方程是______. 【答案】. 【分析】根据双曲线的方程可得，，且焦点在轴上，则双曲线的渐近线方程是. 【详解】由双曲线，化为，可得，，且焦点在轴上， 则双曲线的渐近线方程是， 故答案为：. 12．双曲线的一条渐近线方程为，则_____. 【答案】 【分析】根据题意结合双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线，则，且焦点在轴上， 双曲线的一条渐近线方程为， 可得， 解得， 故答案为：. 13．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为__________. 【答案】 【分析】先由双曲线焦点位置假设出双曲线的标准方程，再由其焦距与离心率求得，从而得解. 【详解】由题意可设双曲线的标准方程为， 且，所以，，则， 所以该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 14．双曲线的实轴长与虚轴长之比为__________． 【答案】 【分析】先将双曲线方程转化为标准方程，得到实轴长与虚轴长，即可求解. 【详解】∵双曲线的标准方程为， ∴，，即，. ∴实轴长与虚轴长之比． 故答案为：. 15．把离心率为的双曲线称为“完美双曲线”.已知双曲线为“完美双曲线”，点和点分别是它的左焦点和右顶点，点是它虚轴上的一个端点，则等于______. 【答案】 【分析】根据题意求得，进而求得，再利用勾股定理的逆运用即可得解. 【详解】对于双曲线，，则， 又双曲线为“完美双曲线”，所以，则， 所以， 则，， ， 所以， 则，即. 故答案为：. 16．已知双曲线的两个焦点分别是，，点是双曲线上的一点，． (1)求双曲线的标准方程 (2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义求方程. （2）根据双曲线的方程求双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程. 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点分别是，，所以双曲线的焦点在x轴上，且. 又∵点是双曲线上的一点，且， 根据双曲线的定义，可得，所以. 又由，所以，所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，可得，，. 所以双曲线的实半轴长为， 虚半轴长为， 顶点坐标为，, 离心率， 渐近线方程为． 17．求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程． 【答案】答案见解析 【分析】 先判断焦点在哪一个坐标轴上，再确定a、b、c的值，根据双曲线的几何性质求解即可． 【详解】解：由题意可知双曲线的焦点在y轴上，且，， ∴，， ∴双曲线的实轴长，虚轴长，焦点坐标为、，顶点坐标为、， 离心率 ∴，即渐近线方程为. 18．已知双曲线C的方程为. (1)求双曲线C的离心率； (2)求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的方程可求出的值，再利用离心率公式求解即可； （2）由题意可设所求双曲线方程为，再将点的坐标代入可求出的值，化简即可. 【详解】（1）由双曲线方程可知， 所以，所以， 因此. （2）因为所求双曲线与双曲线C有公共的渐近线， 所以设所求双曲线方程为， 将点代入可得，解得， 所以所求双曲线方程为，即. 19．已知双曲线的离心率为2，求实数的值及双曲线的焦点坐标、渐近线方程. 【答案】；、； 【分析】先利用二次方程表示双曲线的性质求得的取值范围，从而判断其焦点位置，进而利用双曲线的标准方程与离心率列式即可得解. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以，， 所以双曲线的标准方程为，其焦点在轴上， 所以，，则，故， 所以双曲线的焦点坐标为、， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得，此时， 所以，，即， 所以渐近线方程为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $