专题16 抛物线的标准方程 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题16 抛物线的标准方程 一、知识梳理 （1）抛物线的定义 一般地，把平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线． |PF|=P到定直线l的距离 （2）抛物线的标准方程 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 焦点 F( ，0 F (－ ，0 F(0， F(0，－ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键，为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项，如果一次项含变量x，并且系数为正(或为负)，则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上；如果一次项含变量y，并且系数为正(或为负)，则焦点在y轴的正半轴(或负半轴)上． 二、题型精练 题型1 根据条件求抛物线的标准方程 【典例1】．顶点在原点，准线方程是的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． B． 【典例3】．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，抛物线上一点到焦点距离为6，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 题型2 已知抛物线方程求解相关问题 【典例1】．对抛物线，下列描述正确的是 （    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向上，焦点为 【典例2】．抛物线 的准线方程（    ） A． B． C． D． 【典例3】．已知抛物线，P是抛物线上一点，且点P到焦点的距离为6，则P到轴的距离为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【典例4】．M是抛物线上的任一点，若点M到焦点和到y轴的距离之差是1，则a的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【典例5】．抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为__________． 三、知识检测 1．关于x，y的方程，给出下列命题： ①当时，方程表示双曲线； ②当时，方程表示抛物线； ③当时，方程表示椭圆； ④当时，方程表示等轴双曲线； ⑤当时，方程表示椭圆． 其中，真命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．抛物线的焦点坐标及准线方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．8 D．4 4．已知抛物线上一点A到焦点的距离为6，则点A的横坐标为（    ） A．4 B． C． D．2 5．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．第一象限内的点P在抛物线上，它到准线的距离为7，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 8．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．已知点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 10．抛物线的焦点坐标是__________． 11．已知抛物线的焦点坐标为.则______________. 12．与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______． 13．设抛物线的焦点为，若抛物线上点的横坐标为2，则________． 14．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)焦点在x轴正半轴上，并且； (2)对称轴为轴，经过点. 15．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的一点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值. 16．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的右顶点，求该抛物线的标准方程和准线方程. 17．求抛物线上到焦点的距离等于4的点的坐标． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 抛物线的标准方程 一、知识梳理 （1）抛物线的定义 一般地，把平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线． |PF|=P到定直线l的距离 （2）抛物线的标准方程 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 焦点 F( ，0 F (－ ，0 F(0， F(0，－ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键，为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项，如果一次项含变量x，并且系数为正(或为负)，则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上；如果一次项含变量y，并且系数为正(或为负)，则焦点在y轴的正半轴(或负半轴)上． 二、题型精练 题型1 根据条件求抛物线的标准方程 【典例1】．顶点在原点，准线方程是的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出抛物线焦点位置，求出值，利用抛物线的标准方程即可得解. 【详解】顶点在原点，准线方程是的抛物线的焦点在轴负半轴上， 则，， 所以抛物线方程为， 故选：. 【典例2】．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件设出抛物线方程，再将点代入即可求解. 【详解】依题意设抛物线方程为， 因为抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 故选：C． 【典例3】．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，抛物线上一点到焦点距离为6，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设抛物线方程为，根据抛物线定义求出的值即可. 【详解】∵抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，点在抛物线上， ∴抛物线的开口向左，所以设抛物线方程为， ∴抛物线的准线方程为， ∵抛物线上一点到焦点距离为6，且点到焦点距离与到准线的距离相等， ∴，解得， ∴抛物线方程为， 故选：B. 题型2 已知抛物线方程求解相关问题 【典例1】．对抛物线，下列描述正确的是 （    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向上，焦点为 【答案】A 【分析】先将抛物线方程化成标准形式，即可求解. 【详解】抛物线方程，化成标准方程形式， 可得其开口向上，焦点坐标为， 故选：A． 【典例2】．抛物线 的准线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的准线方程公式即可求解. 【详解】，，， 抛物线 的准线方程为， 抛物线 的准线方程为. 故选：C. 【典例3】．已知抛物线，P是抛物线上一点，且点P到焦点的距离为6，则P到轴的距离为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，即可求出点P到准线的距离，继而求解． 【详解】因为抛物线，P是抛物线上一点，且点P到焦点的距离为6， 所以点P到准线的距离为6， 所以P到轴的距离为. 故选：C. 【典例4】．M是抛物线上的任一点，若点M到焦点和到y轴的距离之差是1，则a的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由抛物线定义结合题目中条件求解即可. 【详解】设抛物线上点， 抛物线，当时，则，准线方程为， 由抛物线定义，点M到焦点的距离为，点M到y轴距离为， 由题意可得，，则， 当时，则，准线方程为， 由抛物线定义，点M到焦点的距离为，点M到y轴距离为， 由题意可得，，则， 综上，或． 故选：D. 【典例5】．抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离. 【详解】如图：    设P点到准线距离为，则由定义 若值最小，即值最小，此时，P、A、B三点共线， ∵抛物线方程为， ∴抛物线的准线为， ∴距离最小值为点到准线的距离， 则的最小值为． 故答案为:. 三、知识检测 1．关于x，y的方程，给出下列命题： ①当时，方程表示双曲线； ②当时，方程表示抛物线； ③当时，方程表示椭圆； ④当时，方程表示等轴双曲线； ⑤当时，方程表示椭圆． 其中，真命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据不同曲线方程的性质即可解得. 【详解】①当时，为双曲线，正确 ②当时，，为两条直线，错误 ③当时，为椭圆，正确 ④当时，表示为圆，错误 ⑤当时，为椭圆，正确 故选：B 2．抛物线的焦点坐标及准线方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据抛物线方程求出的值，即可求解焦点坐标和准线方程. 【详解】因为抛物线方程为， 所以，，焦点在轴的正半轴上， 则焦点为，准线方程为． 故选：A. 3．抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．8 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义列方程求值即可. 【详解】已知抛物线，开口向右，对称轴为轴， 则其准线方程为，因为抛物线上的点到焦点的距离为4， 则点到准线的距离为4，即， 解得， 故选：D. 4．已知抛物线上一点A到焦点的距离为6，则点A的横坐标为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的一点到焦点的距离等于到准线的距离即可. 【详解】由题意得， 由抛物线可得， ，解得. 则抛物线准线方程为：. 所以. 解得. 故选：B. 5．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的标准方程求焦点坐标，从而得解. 【详解】由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点在轴的正半轴上， 且，所以，，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 6．第一象限内的点P在抛物线上，它到准线的距离为7，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到准线的距离为7求出点P的横坐标，再代入抛物线方程，求点P的坐标即可. 【详解】第一象限内的点P在抛物线上，抛物线的准线方程为， 设， 因为点到准线的距离为7， 所以，即， 又因为点P在抛物线上，，即 解得或（舍） 即点P坐标为. 故选：D. 7．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据椭圆的标准方程求焦点，再根据焦点求抛物线的标准方程，再根据抛物线标准方程求准线. 【详解】∵抛物线的焦点在轴的正半轴上， ∴抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 由椭圆的标准方程可知，， ∴，即， ∴右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标是，即， ∴抛物线的准线方程为． 故选:D. 8．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为所求为抛物线的标准方程， 所以抛物线的焦点在坐标轴上. 因为直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 当以为焦点时，抛物线的标准方程为， 当以为焦点时，抛物线的标准方程为. 故选：B. 9．已知点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先判断点A与抛物线的位置，再由抛物线的定义即可求解. 【详解】将A的坐标代入可得，所以点A在抛物线的内部， 由抛物线的方程可得准线方程为， 过点作准线的垂线交抛物线于，交准线于，过点P作准线的垂线,交准线于， 由抛物线的定义可得， 当点P与点Q重合时，可取得最小值， 所以的最小值为5. 故选：B．    10．抛物线的焦点坐标是__________． 【答案】 【分析】将抛物线转化为标准方程再根据公式求焦点坐标. 【详解】将抛物线转化为标准方程， ∴焦点在轴的正半轴上，， ∴，， ∴焦点坐标为， 故答案为: . 11．已知抛物线的焦点坐标为.则______________. 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点坐标确定的值即可； 【详解】因为抛物线的焦点坐标为. 所以，解得， 故答案为：6 12．与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，结合题意即可求解. 【详解】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线， 且为焦点，直线为准线， 设抛物线的方程为， 可知，解得， 所以该抛物线方程是， 故答案为：． 13．设抛物线的焦点为，若抛物线上点的横坐标为2，则__________． 【答案】 【详解】抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离就是这点到抛物线准线的距离，抛物线的准线方程为：，所以，故答案为. 14．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)焦点在x轴正半轴上，并且； (2)对称轴为轴，经过点. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可设抛物线方程，且可得结果. （2）由题可设抛物线方程，代入已知点即可得结果. 【详解】（1）由题知此抛物线焦点在轴正半轴， 可设方程为，由知方程为； （2）由题可知此抛物线对称轴为轴，且过点， 可设抛物线方程为，代入点得， 即得方程为. 15．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的一点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值. 【答案】，. 【分析】依题意，设出抛物线方程，利用抛物线的定义求得，从而得解. 【详解】依题意，设抛物线的方程为， 因为到焦点的距离等于5， 所以，解得， 所以抛物线的方程为， 将代入，得， 所以. 16．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的右顶点，求该抛物线的标准方程和准线方程. 【答案】，准线方程为. 【分析】先由双曲线方程求出右顶点坐标，再设抛物线的标准方程为，进而求出的值，从而得解. 【详解】由可得，所以，则双曲线的右顶点为， 设抛物线的标准方程是，焦点为，准线方程为， 所以，所以， 所以所求抛物线的方程为，准线方程为. 17．求抛物线上到焦点的距离等于4的点的坐标． 【答案】，． 【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求解． 【详解】解：由抛物线，得， 即，所以. 所以抛物线的准线方程为． 设所求点的坐标为，则． 因为所求点到焦点的距离等于4， 由抛物线的定义可知到准线方程的距离等于4， 即，解得． 代入抛物线方程得， 所以， 即所求点的坐标为、． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $